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(共21张PPT)
第23讲任意角、弧度制和三角函数的定义
考点一　任意角的概念
[例1]　(1)(多选)下列命题正确的是( 　　)
A.终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z}
B.终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=+2kπ,k∈Z}
C.第三象限角的集合为{α|π+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z}
D.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315°
ABD
[解析]　终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z},A正确;
终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=+2kπ,k∈Z},B正确;
第三象限角的集合为{α|π+2kπ<α<+2kπ,k∈Z},C错误;
在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为45°-720°=-675°和45°-360°=-315°,D正确.
(2)(多选)若α是第二象限角,则(　　)
A.-α是第一象限角
B.是第一或第三象限角
C.+α是第二象限角
D.2α是第三或第四象限角或2α的终边在y轴的非正半轴上
BD
[解析]　因为α是第二象限角,所以可得+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z.
对于A,-π-2kπ<-α<--2kπ,k∈Z,则-α是第三象限角,所以A错误;
对于B,+kπ<<+kπ,k∈Z,当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角,所以B正确;
对于C,2π+2kπ<+α<+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<+α<+2(k+1)π,k∈Z,所以+α是第一象限角,所以C错误;
对于D,π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α的终边位于第三或第四象限或y轴的非正半轴上,所以D正确.
方法总结
1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2.确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围,然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.
跟踪训练
1.-2 026°的终边在(　　)
A.第一象限　　　　　 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为-2 026°=-6×360°+134°,易知134°的终边在第二象限,
故-2 026°的终边在第二象限.
B
2.如图所示,终边落在阴影部分的角α的取值集合为
　　　 　　.
解析:终边落在射线OA上的角的集合是{β|β=k·360°+30°,k∈Z},终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ=k·360°+105°,k∈Z},所以终边落在阴影部分(含射线OA,不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°+30°≤α{α|k·360°+30°≤α考点二　弧度制及其应用
[例2]　已知扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l,面积为S.
(1)若α=,R=10 cm,求扇形的弧长l.
[解]　因为α=,R=10 cm,
所以l=|α|R=×10=(cm).
(2)若扇形的周长是20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
[解]　由已知,得l+2R=20(cm),
法一:因为S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,
所以当R=5 cm时,S取得最大值,
此时l=10 cm,α=2.
法二:S=lR=l·2R≤·=25,
当且仅当l=2R,即R=5 cm时取等号,此时扇形的圆心角α=2.
(3)若α=,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.
[解]　设弓形面积为S弓形,由题意知l= cm,
所以S弓形=××2-×22×sin=-(cm2).
方法总结
应用弧度制解决问题的方法
1.利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
2.求扇形面积的最大值问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
3.在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
跟踪训练
3.(多选)如图,在扇形OAB中,∠AOB=60°,OB=OA=4,则(　　)
A.∠AOB=
B.弧AB的长度为
C.扇形OAB的周长为+4
D.扇形OAB的面积为
BD
解析:对于A,∠AOB=,故A错误;
对于B,弧长为×4=,故B正确;
对于C,扇形OAB的周长为+8,故C错误;
对于D,扇形OAB的面积为××4=,故D正确.
考点三　三角函数的定义及应用
角度1　三角函数的定义
[例3]　(1)已知点P(,-)是角α终边上的一点,则sin α+2cos α=(　　)
A.-1 B.1
C.- D.
[解析]　由题意可得sin α==-,cos α==,
则sin α+2cos α=-+2×=.
D
(2)在平面直角坐标系中,已知角α的终边经过点P(a,a-3),且cos α=,则a=(　　)
A.1 B.
C.1或 D.1或-3
[解析]　角α的终边经过点P(a,a-3),且cos α=,
所以cos α==,并且a>0,解得a=-3(舍去)或a=1.
A
角度2　三角函数的符号
[例4]　(1)若角α满足sin α·cos α<0,cos α-sin α<0,则α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
[解析]　因为sin α·cos α<0,所以α是第二或第四象限角.
当α是第二象限角时,cos α<0,sin α>0,满足cos α-sin α<0;
当α是第四象限角时,cos α>0,sin α<0,则cos α-sin α>0,不符合题意.
综上所述,α是第二象限角.
B
(2) 若θ 是第四象限角,则y=++=　　　　　.
[解析]　由题知,sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0,
∴y=++=-1+1-1=-1.
-1
方法总结
1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义,找到给定角的终边上一个点的坐标及这点到原点的距离,确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值,可以通过三角函数的定义列出含参数的方程,求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号,关键是要确定三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限,就要进行分类讨论求解.
跟踪训练
4.点A(tan 2,cos 4)在平面直角坐标系中位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:2弧度的角在第二象限,所以tan 2<0,4弧度的角在第三象限,所以cos 4<0,所以点A在第三象限.
C
5.已知角α 的终边上一点P(-,m)(m≠0),且sin α=,则cos α=　　　　　,tan α=　　　　　.
解析:由题设知|OP|2=+m2(O为坐标原点),即|OP|=,所以sin α===,所以|OP|==2,即3+m2=8,解得m=±.当m= 时,cos α==-,tan α=-;当m=- 时,cos α==-,tan α=.
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或-(共15张PPT)
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A组　基础保分练
1.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A.2kπ-45°(k∈Z)　　　　 B.k·360°+(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)
解析:与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有C正确.
C
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2.若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是(　　)
A.90°-α B.90°+α
C.360°-α D.180°+α
解析:若α是第一象限角,则90°-α的终边在第一象限,90°+α的终边在第二象限,360°-α的终边在第四象限,180°+α的终边在第三象限,故选项C是第四象限角.
C
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3.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴.若点P(sin α,tan α)在第四象限,则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为点P(sin α,tan α)在第四象限,所以sin α>0,tan α<0,所以角α的终边在第二象限.
B
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4.已知sin α=-,cos α=,则α的终边与以原点为圆心,5为半径的圆的交点的坐标为(　　)
A.(-4,3) B.(-3,4)
C.(3,-4) D.(4,-3)
D
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解析:设交点为(x,y),
则所以交点坐标为(4,-3).
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5.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　)
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}
D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}
解析:阴影部分表示的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°, k∈Z}.
C
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6.已知扇形的面积是4 cm2,当扇形的周长最小时,扇形的圆心角的大小为(单位:rad)(　　)
A. B. C.1 D.2
解析:设扇形的圆心角为θ,半径为r,则由题意可得θr2=4,
∴2r+θr=2r+≥2=8,
当且仅当2r=, 即r=2,θ=2时取等号,
∴当扇形的周长取得最小值时,扇形的圆心角为2.
D
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7.(多选)已知扇形的周长为120,圆心角为2 rad,则下列说法正确的有(　　)
A.此扇形的弧长为30 B.此扇形的半径为30
C.此扇形的面积为900 D.此扇形的面积为600
解析:设该扇形的弧长、半径分别为l,r,
所以解得r=30,l=60,故A错误,B正确,扇形的面积S=lr=900,故C正确,D错误.
BC
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8.(多选)已知角θ的终边经过点(-2,-),且θ与α的终边关于x轴对称,则(　 　)
A.sin θ=-
B.α为钝角
C.cos α=-
D.点(tan θ,tan α)在第四象限
ACD
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解析:因为角θ的终边经过点(-2,-),
所以sin θ=-=-,故A正确;
因为θ与α的终边关于x轴对称,
所以α的终边经过点(-2,),
则α为第二象限角,但不一定为钝角,
且cos α==-,故B错误,C正确;
因为tan θ=>0,tan α=-<0,
所以点(tan θ,tan α)在第四象限,D正确.
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9.已知角θ的终边经过点P(m,-10),且tan θ=,则m=　　　　.
解析:因为tan θ=,且角θ的终边经过点P(m,-10),所以=,解得m=-24.
-24
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10.已知角α的终边上一点P的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为(　　)
A. B.
C. D.
B组　能力提升练
D
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解析:∵sin>0,cos<0,
∴角α的终边在第四象限.
根据三角函数的定义可知,sin α=cos =-,
故角α的最小正值为2π-=.
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11.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,其中
《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式:弧田
面积=(弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弧长为 m的弧田,按照上述经验公式计算弧田面积约是
　 　m2.(参考数据:≈1.73)
8.92
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解析:因为圆心角为,弧长为,所以圆的半径r==4,
如图,在Rt△AOD中∠AOD=,所以OD=AOcos∠AOD=4×=2,AD==2,
所以矢=4-2=2,则弦=2AD=4,
所以弧田面积=(弦×矢+矢2)=(4×2+22)=4+2≈8.92(m2).[A组　基础保分练]
1.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A.2kπ-45°(k∈Z)　　　　 B.k·360°+(k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)
答案:C
解析:与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有C正确.
2.若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是 (　　)
A.90°-α B.90°+α
C.360°-α D.180°+α
答案:C
解析:若α是第一象限角,则90°-α的终边在第一象限,90°+α的终边在第二象限,360°-α的终边在第四象限,180°+α的终边在第三象限,故选项C是第四象限角.
3.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴.若点P(sin α,tan α)在第四象限,则角α的终边在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:B
解析:因为点P(sin α,tan α)在第四象限,所以sin α>0,tan α<0,所以角α的终边在第二象限.
4.已知sin α=-,cos α=,则α的终边与以原点为圆心,5为半径的圆的交点的坐标为 (　　)
A.(-4,3) B.(-3,4)
C.(3,-4) D.(4,-3)
答案:D
解析:设交点为(x,y),
则所以交点坐标为(4,-3).
5.如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是 (　　)
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}
D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}
答案:C
解析:阴影部分表示的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.
6.已知扇形的面积是4 cm2,当扇形的周长最小时,扇形的圆心角的大小为(单位:rad) (　　)
A. B.
C.1 D.2
答案:D
解析:设扇形的圆心角为θ,半径为r,则由题意可得θr2=4,
∴2r+θr=2r+≥2=8,
当且仅当2r=, 即r=2,θ=2时取等号,
∴当扇形的周长取得最小值时,扇形的圆心角为2.
7.(多选)已知扇形的周长为120,圆心角为2 rad,则下列说法正确的有 (　　)
A.此扇形的弧长为30 B.此扇形的半径为30
C.此扇形的面积为900 D.此扇形的面积为600
答案:BC
解析:设该扇形的弧长、半径分别为l,r,
所以解得r=30,l=60,故A错误,B正确,扇形的面积S=lr=900,故C正确,D错误.
8.(多选)已知角θ的终边经过点(-2,-),且θ与α的终边关于x轴对称,则 (　　)
A.sin θ=-
B.α为钝角
C.cos α=-
D.点(tan θ,tan α)在第四象限
答案:ACD
解析:因为角θ的终边经过点(-2,-),
所以sin θ=-=-,故A正确;
因为θ与α的终边关于x轴对称,
所以α的终边经过点(-2,),
则α为第二象限角,但不一定为钝角,
且cos α==-,故B错误,C正确;
因为tan θ=>0,tan α=-<0,
所以点(tan θ,tan α)在第四象限,D正确.
9.已知角θ的终边经过点P(m,-10),且tan θ=,则m=　　　　.
答案:-24
解析:因为tan θ=,且角θ的终边经过点P(m,-10),所以=,解得m=-24.
[B组　能力提升练]
10.已知角α的终边上一点P的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为 (　　)
A. B.
C. D.
答案:D
解析:∵sin>0,cos<0,
∴角α的终边在第四象限.
根据三角函数的定义可知,sin α=cos =-,
故角α的最小正值为2π-=.
11.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式:弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弧长为 m的弧田,按照上述经验公式计算弧田面积约是　　　　m2.(参考数据:≈1.73)
答案:8.92
解析:因为圆心角为,弧长为,所以圆的半径r==4,
如图,在Rt△AOD中∠AOD=,所以OD=AOcos∠AOD=4×=2,AD==2,
所以矢=4-2=2,则弦=2AD=4,
所以弧田面积=(弦×矢+矢2)=(4×2+22)=4+2≈8.92(m2).第23讲 任意角、弧度制和三角函数的定义
考点一　任意角的概念
[例1]　(1)(多选)下列命题正确的是 (　　)
A.终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z}
B.终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=+2kπ,k∈Z}
C.第三象限角的集合为{α|π+2kπ≤α≤+2kπ,k∈Z}
D.在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为-675°和-315°
[答案]　ABD
[解析]　终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α=2kπ,k∈Z},A正确;
终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为{x|x=+2kπ,k∈Z},B正确;
第三象限角的集合为{α|π+2kπ<α<+2kπ,k∈Z},C错误;
在-720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为45°-720°=-675°和45°-360°=-315°,D正确.
(2)(多选)若α是第二象限角,则 (　　)
A.-α是第一象限角
B.是第一或第三象限角
C.+α是第二象限角
D.2α是第三或第四象限角或2α的终边在y轴的非正半轴上
[答案]　BD
[解析]　因为α是第二象限角,所以可得+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z.
对于A,-π-2kπ<-α<--2kπ,k∈Z,则-α是第三象限角,所以A错误;
对于B,+kπ<<+kπ,k∈Z,当k为偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角,所以B正确;
对于C,2π+2kπ<+α<+2kπ,k∈Z,即2(k+1)π<+α<+2(k+1)π,k∈Z,所以+α是第一象限角,所以C错误;
对于D,π+4kπ<2α<2π+4kπ,k∈Z,所以2α的终边位于第三或第四象限或y轴的非正半轴上,所以D正确.
方法总结
1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2.确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围,然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.
1.-2 026°的终边在 (　　)
A.第一象限　　　　　 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:B
解析:因为-2 026°=-6×360°+134°,易知134°的终边在第二象限,故-2 026°的终边在第二象限.
2.如图所示,终边落在阴影部分的角α的取值集合为　　　　　.
答案:{α|k·360°+30°≤α解析:终边落在射线OA上的角的集合是{β|β=k·360°+30°,k∈Z},终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ=k·360°+105°,k∈Z},所以终边落在阴影部分(含射线OA,不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°+30°≤α考点二　弧度制及其应用
[例2]　已知扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l,面积为S.
(1)若α=,R=10 cm,求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长是20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大
(3)若α=,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.
[解]　 (1)因为α=,R=10 cm,
所以l=|α|R=×10=(cm).
(2)由已知,得l+2R=20(cm),
法一:因为S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,
所以当R=5 cm时,S取得最大值,
此时l=10 cm,α=2.
法二:S=lR=l·2R≤·=25,
当且仅当l=2R,即R=5 cm时取等号,此时扇形的圆心角α=2.
(3)设弓形面积为S弓形,由题意知l= cm,
所以S弓形=××2-×22×sin=-(cm2).
方法总结
应用弧度制解决问题的方法
1.利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
2.求扇形面积的最大值问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
3.在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
3.(多选)如图,在扇形OAB中,∠AOB=60°,OB=OA=4,则 (　　)
A.∠AOB=
B.弧AB的长度为
C.扇形OAB的周长为+4
D.扇形OAB的面积为
答案:BD
解析:对于A,∠AOB=,故A错误;
对于B,弧长为×4=,故B正确;
对于C,扇形OAB的周长为+8,故C错误;
对于D,扇形OAB的面积为××4=,故D正确.
考点三　三角函数的定义及应用
角度1　三角函数的定义
[例3]　(1)已知点P(,-)是角α终边上的一点,则sin α+2cos α= (　　)
A.-1 B.1
C.- D.
[答案]　D
[解析]　由题意可得sin α==-,cos α==,
则sin α+2cos α=-+2×=.
(2)在平面直角坐标系中,已知角α的终边经过点P(a,a-3),且cos α=,则a= (　　)
A.1 B.
C.1或 D.1或-3
[答案]　A
[解析]　角α的终边经过点P(a,a-3),且cos α=,
所以cos α==,并且a>0,解得a=-3(舍去)或a=1.
角度2　三角函数的符号
[例4]　(1)若角α满足sin α·cos α<0,cos α-sin α<0,则α是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
[答案]　B
[解析]　因为sin α·cos α<0,所以α是第二或第四象限角.
当α是第二象限角时,cos α<0,sin α>0,满足cos α-sin α<0;
当α是第四象限角时,cos α>0,sin α<0,则cos α-sin α>0,不符合题意.
综上所述,α是第二象限角.
(2) 若θ 是第四象限角,则y=++=　　　　　.
[答案]　-1
[解析]　由题知,sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0,
∴y=++=-1+1-1=-1.
方法总结
1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义,找到给定角的终边上一个点的坐标及这点到原点的距离,确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值,可以通过三角函数的定义列出含参数的方程,求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号,关键是要确定三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限,就要进行分类讨论求解.
4.点A(tan 2,cos 4)在平面直角坐标系中位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:C
解析:2弧度的角在第二象限,所以tan 2<0,4弧度的角在第三象限,所以cos 4<0,所以点A在第三象限.
5.已知角α 的终边上一点P(-,m)(m≠0),且sin α=,则cos α=　　　　　,tan α=　　　　　.
答案:-　或-
解析:由题设知|OP|2=+m2(O为坐标原点),即|OP|=,所以sin α===,所以|OP|==2,即3+m2=8,解得m=±.当m= 时,cos α==-,tan α=-;当m=- 时,cos α==-,tan α=.

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