资源简介

(共25张PPT)
第24讲同角三角函数的基本关系式及诱导公式
考点一　同角三角函数基本关系式
角度1　“知三求二”问题
[例1]　(2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.
[解析]　由tan θ=,可得=.
又sin2θ+cos2θ=1,θ∈(0,),
所以sin θ=,cos θ=,
所以sin θ-cos θ=-.
-
角度2　“弦切互换”问题
[例2]　(2021·新课标Ⅰ卷)若tan θ=-2,则=(　　)
A.-　　　　　　　　 B.-
C. D.
C
[解析]　
=
=
=sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θ·cos θ
=
===.
角度3　“和积转化”问题
[例3]　(多选)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是( 　　)
A.sin θ=　　　　　 B.<θ<π
C.tan θ=- D.sin θ-cos θ=
ABD
[解析]　由题意知sin θ+cos θ=,
∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,
∴2sin θcos θ=-<0.
又∵θ∈(0,π),∴<θ<π,
∴sin θ-cos θ>0,
∴sin θ-cos θ====,
∴sin θ=,cos θ=-,
∴tan θ=-,
∴A,B,D正确.
方法总结
1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化.
2.形如,asin2α+bsin αcos α+ccos2α等类型可进行弦化切.
3.对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,知一可求二,若令sin α+cos α=t,则sin αcos α=,sin α-cos α=±(注意根据α的范围选取正、负号),体现了方程思想的应用.
跟踪训练
1.(2026·陕西汉中模拟)若α是第二象限角,6sin αcos α=tan α,则tan α=(　　)
A.- B.-
C. D.
A
解析:由6sin αcos α=tan α,得6sin αcos α=,
因为sin α≠0,所以cos2α=.
因为α是第二象限角,所以cos α=-,
所以sin α=,
所以tan α==-.
2.(2026·湖北孝感模拟)已知x∈(-,0),sin4x+cos4x=,则sin x-cos x=(　　)
A. B.-
C. D.-
B
解析:sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x,
又sin4x+cos4x=,所以1-2sin2xcos2x=,所以sin2xcos2x=.
又x∈(-,0),所以sin x<0,cos x>0,sin x-cos x<0,所以sin xcos x=-,
故sin x-cos x=-=-=-=
-.
3.已知tan α=2,则sin2α-3sin αcos α=　　　　.
解析:因为tan α=2,
所以sin2α-3sin αcos α====-.
-
考点二　诱导公式的应用
[例4]　(多选)下列化简计算结果正确的是 (　 　)
A.tan(2 026π+1)=tan 1
B.若sin(π+α)=-,则sin(4π-α)=
C.已知sin(α+)=,则cos(-α)=
D.=sin 2+cos 2
ACD
[解析]　对于A,tan(2 026π+1)=tan 1,A正确;
对于B,∵sin(π+α)=-sin α=-,∴sin α=,
∴sin(4π-α)=-sin α=-,B错误;
对于C,∵sin(α+)=,
∴cos(-α)=sin[-(-α)]
=sin(α+)=,C正确;
对于D,∵sin(π-2)=sin 2,cos(π-2)=-cos 2,
∴
= =
=|sin 2+cos 2|=|sin(2+)|.
∵<2+<π,∴sin(2+)>0,
∴sin 2+cos 2>0,
∴=sin 2+cos 2,D正确.
方法总结
1.诱导公式的两个应用
(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.
(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
2.常见的互余和互补的角
应用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等;常见的互补关系有+θ与-θ,+θ与-θ等.
注意:运用诱导公式计算含有2π的整数倍的三角函数式时,可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.
跟踪训练
4.已知sin(+2α)=,则cos(-2α)=(　　)
A. B.-
C. D.±
解析:∵sin(+2α)=,
∴cos(-2α)=cos[-(+2α)]
=sin(+2α)=.
C
5.若sin(π+α)=,则sin(π-α)+cos(-α)=(　　)
A.- B.
C. D.-
解析:∵sin(π+α)=-sin α=,∴sin α=-,∴sin(π-α)+cos(-α)=sin α+sin α= 2sin α=-.
A
考点三　同角三角函数的基本关系式及诱导公式的综合应用
[例5]　(1)若sin(α+)=,且α是第三象限角,则cos(α+)=(　　)
A. B.
C.- D.-
B
[解析]　因为sin(α+)=-cos α=,所以cos α=-.
又α是第三象限角,所以sin α=-=-,
所以cos(α+)=cos(α++1 012π)=cos(α+)=-sin α=.
(2)已知α∈(0,),且--4=0,则tan α=(　　)
A. B.
C. D.
A
[解析]　∵--4=0,
∴--4=0,解得=4或=-1.
∵α∈(0,),则 cos α>0,
∴cos α=,sin α=,∴tan α=.
方法总结
1.利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
跟踪训练
6.已知0<α<,sin α=.
(1)求tan α的值;
解:因为sin α=,0<α<,所以cos α===,
故tan α==.
(2)求的值.
解:因为tan α=,
所以=====
-.第24讲同角三角函数的基本关系式及诱导公式
考点一　同角三角函数基本关系式
角度1　“知三求二”问题
[例1]　(2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.
[答案]　-
[解析]　由tan θ=,可得=.
又sin2θ+cos2θ=1,θ∈(0,),
所以sin θ=,cos θ=,
所以sin θ-cos θ=-.
角度2　“弦切互换”问题
[例2]　(2021·新课标Ⅰ卷)若tan θ=-2,则= (　　)
A.-　　　　　　　　 B.-
C. D.
[答案]　C
[解析]　
=
=
=sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θ·cos θ
=
===.
角度3　“和积转化”问题
[例3]　(多选)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是 (　　)
A.sin θ=　　　　　 B.<θ<π
C.tan θ=- D.sin θ-cos θ=
[答案]　ABD
[解析]　由题意知sin θ+cos θ=,
∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,
∴2sin θcos θ=-<0.
又∵θ∈(0,π),∴<θ<π,
∴sin θ-cos θ>0,
∴sin θ-cos θ====,
∴sin θ=,cos θ=-,
∴tan θ=-,
∴A,B,D正确.
方法总结
1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以实现角α的弦切互化.
2.形如,asin2α+bsin αcos α+ccos2α等类型可进行弦化切.
3.对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,知一可求二,若令sin α+cos α=t,则sin αcos α=,sin α-cos α=±(注意根据α的范围选取正、负号),体现了方程思想的应用.
1.(2026·陕西汉中模拟)若α是第二象限角,6sin αcos α=tan α,则tan α=(　　)
A.- B.-
C. D.
答案:A
解析:由6sin αcos α=tan α,得6sin αcos α=,
因为sin α≠0,所以cos2α=.
因为α是第二象限角,所以cos α=-,
所以sin α=,
所以tan α==-.
2.(2026·湖北孝感模拟)已知x∈(-,0),sin4x+cos4x=,则sin x-cos x= (　　)
A. B.-
C. D.-
答案:B
解析:sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x,
又sin4x+cos4x=,所以1-2sin2xcos2x=,所以sin2xcos2x=.
又x∈(-,0),所以sin x<0,cos x>0,sin x-cos x<0,所以sin xcos x=-,
故sin x-cos x=-=-=-=-.
3.已知tan α=2,则sin2α-3sin αcos α=　　　　.
答案:-
解析:因为tan α=2,
所以sin2α-3sin αcos α====-.
考点二　诱导公式的应用
[例4]　(多选)下列化简计算结果正确的是 (　　)
A.tan(2 026π+1)=tan 1
B.若sin(π+α)=-,则sin(4π-α)=
C.已知sin(α+)=,则cos(-α)=
D.=sin 2+cos 2
[答案]　ACD
[解析]　对于A,tan(2 026π+1)=tan 1,A正确;
对于B,∵sin(π+α)=-sin α=-,∴sin α=,
∴sin(4π-α)=-sin α=-,B错误;
对于C,∵sin(α+)=,
∴cos(-α)=sin[-(-α)]
=sin(α+)=,C正确;
对于D,∵sin(π-2)=sin 2,cos(π-2)=-cos 2,
∴
= =
=|sin 2+cos 2|=|sin(2+)|.
∵<2+<π,∴sin(2+)>0,
∴sin 2+cos 2>0,
∴=sin 2+cos 2,D正确.
方法总结
1.诱导公式的两个应用
(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.
(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
2.常见的互余和互补的角
应用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等;常见的互补关系有+θ与-θ,+θ与-θ等.
注意:运用诱导公式计算含有2π的整数倍的三角函数式时,可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.
4.已知sin(+2α)=,则cos(-2α)= (　　)
A. B.-
C. D.±
答案:C
解析:∵sin(+2α)=,
∴cos(-2α)=cos[-(+2α)]
=sin(+2α)=.
5.若sin(π+α)=,则sin(π-α)+cos(-α)=(　　)
A.- B.
C. D.-
答案:A
解析:∵sin(π+α)=-sin α=,∴sin α=-,∴sin(π-α)+cos(-α)=sin α+sin α=2sin α=-.
考点三　同角三角函数的基本关系式及诱导公式的综合应用
[例5]　(1)若sin(α+)=,且α是第三象限角,则cos(α+)= (　　)
A. B.
C.- D.-
[答案]　B
[解析]　因为sin(α+)=-cos α=,所以cos α=-.
又α是第三象限角,所以sin α=-=-,
所以cos(α+)=cos(α++1 012π)=cos(α+)=-sin α=.
(2)已知α∈(0,),且--4=0,则tan α= (　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　∵--4=0,
∴--4=0,解得=4或=-1.
∵α∈(0,),则 cos α>0,
∴cos α=,sin α=,∴tan α=.
方法总结
1.利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
6.已知0<α<,sin α=.
(1)求tan α的值;
(2)求的值.
解:(1)因为sin α=,0<α<,所以cos α===,
故tan α==.
(2)因为tan α=,
所以=====-.(共17张PPT)
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A组　基础保分练
1.sin的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.-
C.1 D.-1
解析:sin=sin(338π-)=-sin=-.
B
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2.若θ是三角形的一个内角,且tan θ=-,则sin θ-cos θ=(　　)
A.　　　B.-　　　C.　　　D.-
解析:由题意,tan θ==-,θ∈(0,π),故sin θ>0,cos θ<0.又sin2θ+cos2θ=1,所以sin θ=,cos θ=-,所以sin θ-cos θ=.
C
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3.已知sin α=,cos α=-,且α为第二象限角,则(　　)
A.C.m=4 D.m=4或m=
解析:∵sin α=,cos α=-,
∴()2+(-)2=1,
∴m=4或m=.
∵α为第二象限角,∴>0,-<0,因此m=4.
C
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4.已知tan α=-3,则sin2α-sin 2α= (　　)
A. B.-
C. D.-
解析:sin2α-sin 2α===.
C
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5.已知tan(3π-α)=,则=(　　)
A.1 B.-
C. D.-
解析:因为tan(3π-α)=tan(2π+π-α)=tan(π-α)=-tan α=,
所以tan α=-,
所以===-.
D
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6.(多选)在△ABC中,下列结论正确的有(　　)
A.sin(A+B)=-sin C
B.sin=cos
C.tan(A+B)=-tan C
D.cos(A+B)=cos C
BC
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解析:在△ABC中,有A+B+C=π,
对于A,sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,故A选项错误;
对于B,sin=sin=cos,故B选项正确;
对于C,tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,故C选项正确;
对于D,cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,故D选项错误.
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7.(多选)已知sin α=-,则(　　)
A.sin(π+α)=
B.sin(π-α)=
C.sin(+α)=
D.cos(α-)=-
AD
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解析:由诱导公式知,sin(π+α)=-sin α=,故A正确;
sin(π-α)=sin α=-,故B错误;
sin(+α)=cos α=±=±,故C错误;
cos(α-)=sin α=-,故D正确.
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8.(2026·四川成都模拟)已知角θ的终边过点P(3,4),则=　　　.
解析:由角θ的终边过点P(3,4),得tan θ=,
所以===10.
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9.(2026·江苏泰州模拟)已知α∈(0,π),且cos α+sin α=,则cos α=
　　　　.
解析:由题可知cos α+sin α=,
两边平方可得1+2sin αcos α=,解得sin αcos α=-<0.
又α∈(0,π),所以sin α>0,则cos α<0,
故sin α,cos α为方程x2-x-=0的两根,
则(x-)(x+)=0,解得x=或x=-,则cos α=-.
-
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10.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
解: f(α)==cos α.
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(2)若f(α+)=,求f(-α).
解:由f(α+)=可得cos(α+)=,
则f(-α)=cos(-α)=cos[π-(α+)]=-cos(α+)=-.
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11.已知角θ∈(,π),角α∈(0,2π),α终边上有一点(-sin θ,cos θ),则α=(　　)
A.θ+ B.θ+
C. D.
B组　能力提升练
A
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由诱导公式得
故
又θ∈(,π),
所以+θ∈(π,),
结合α∈(0,2π)可得α=θ+.
解析:点(-sin θ,cos θ)到原点的距离为1,
故(-sin θ,cos θ)即为(cos α,sin α),
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12.(多选)已知=3,-<α<,则(　 　)
A.tan α=2 B.sin α-cos α=-
C.sin4α-cos4α= D.=
ACD
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解析:因为==3,所以tan α=2,故A正确;
因为tan α==2>0,且-<α<,所以0<α<,所以sin α>0,cos α>0,由=3>0,可得sin α-cos α>0,故B错误;
sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α====,故C正确;
===,故D正确.[A组　基础保分练]
1.sin的值为 (　　)
A.　　　　　　　　　 B.-
C.1 D.-1
答案:B
解析:sin=sin(338π-)=-sin=-.
2.若θ是三角形的一个内角,且tan θ=-,则sin θ-cos θ= (　　)
A.　　　B.-　　　C.　　　D.-
答案:C
解析:由题意,tan θ==-,θ∈(0,π),故sin θ>0,cos θ<0.又sin2θ+cos2θ=1,所以sin θ=,cos θ=-,所以sin θ-cos θ=.
3.已知sin α=,cos α=-,且α为第二象限角,则 (　　)
A.C.m=4 D.m=4或m=
答案:C
解析:∵sin α=,cos α=-,
∴()2+(-)2=1,
∴m=4或m=.
∵α为第二象限角,∴>0,-<0,因此m=4.
4.已知tan α=-3,则sin2α-sin 2α= (　　)
A. B.-
C. D.-
答案:C
解析:sin2α-sin 2α===.
5.已知tan(3π-α)=,则= (　　)
A.1 B.-
C. D.-
答案:D
解析:因为tan(3π-α)=tan(2π+π-α)=tan(π-α)=-tan α=,
所以tan α=-,
所以===-.
6.(多选)在△ABC中,下列结论正确的有 (　　)
A.sin(A+B)=-sin C
B.sin=cos
C.tan(A+B)=-tan C
D.cos(A+B)=cos C
答案:BC
解析:在△ABC中,有A+B+C=π,
对于A,sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,故A选项错误;
对于B,sin=sin=cos,故B选项正确;
对于C,tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,故C选项正确;
对于D,cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,故D选项错误.
7.(多选)已知sin α=-,则 (　　)
A.sin(π+α)=
B.sin(π-α)=
C.sin(+α)=
D.cos(α-)=-
答案:AD
解析:由诱导公式知,sin(π+α)=-sin α=,故A正确;
sin(π-α)=sin α=-,故B错误;
sin(+α)=cos α=±=±,故C错误;
cos(α-)=sin α=-,故D正确.
8.(2026·四川成都模拟)已知角θ的终边过点P(3,4),则=　　　　.
答案:10
解析:由角θ的终边过点P(3,4),得tan θ=,
所以===10.
9.(2026·江苏泰州模拟)已知α∈(0,π),且cos α+sin α=,则cos α=　　　　.
答案:-
解析:由题可知cos α+sin α=,
两边平方可得1+2sin αcos α=,解得sin αcos α=-<0.
又α∈(0,π),所以sin α>0,则cos α<0,
故sin α,cos α为方程x2-x-=0的两根,
则(x-)(x+)=0,解得x=或x=-,则cos α=-.
10.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f(α+)=,求f(-α).
解:(1)f(α)==cos α.
(2)由f(α+)=可得cos(α+)=,
则f(-α)=cos(-α)=cos[π-(α+)]=-cos(α+)=-.
[B组　能力提升练]
11.已知角θ∈(,π),角α∈(0,2π),α终边上有一点(-sin θ,cos θ),则α= (　　)
A.θ+ B.θ+
C. D.
答案:A
解析:点(-sin θ,cos θ)到原点的距离为1,
故(-sin θ,cos θ)即为(cos α,sin α),
由诱导公式得
故
又θ∈(,π),
所以+θ∈(π,),
结合α∈(0,2π)可得α=θ+.
12.(多选)已知=3,-<α<,则(　　)
A.tan α=2 B.sin α-cos α=-
C.sin4α-cos4α= D.=
答案:ACD
解析:因为==3,所以tan α=2,故A正确;
因为tan α==2>0,且-<α<,所以0<α<,所以sin α>0,cos α>0,由=3>0,可得sin α-cos α>0,故B错误;
sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α====,故C正确;
===,故D正确.

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