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第25讲 两角和与差、倍角的正弦、余弦和正切公式
考点一　直接应用公式求值
[例1]　(1)(2025·全国二卷)已知0<α<π,cos=,则sin(α-)= (　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　因为cos α=2cos2-1=2×()2-1=-,
所以sin α===,
则sin(α-)=sin αcos-cos αsin=×-(-)×=.
(2)(2024·全国甲卷)已知=,则tan(α+)= (　　)
A.2+1 B.2-1
C. D.1-
[答案]　B
[解析]　根据题意有=,
即1-tan α=,所以tan α=1-,
所以tan(α+)===2-1.
方法总结
利用三角函数公式解题时应注意的问题
1.首先要注意公式的结构特点和符号变化规律,例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号相反”.
2.应注意同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用.
3.应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
1.(2026·江西鹰潭模拟)若α∈(-,),tan α=,则sin(α+)= (　　)
A. B.
C. D.
答案:A
解析:tan α==,即sin α(3-sin α)=cos2α=1-sin2α,
整理可得sin α=.
因为α∈(-,),sin2α+cos2α=1,所以cos α==,
所以sin(α+)=sin αcos+cos αsin=×+×=.
2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)= (　　)
A. B.
C.- D.-
答案:B
解析:因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
cos αsin β=,所以sin αcos β=+=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-=.
考点二　公式的逆用与变形
[例2]　(1)(多选)下列计算正确的有 (　　)
A.coscos-sinsin=
B.sin 47°cos 17°+cos 47°cos 107°=
C.sin-cos=
D.=1
[答案]　AB
[解析]　对于A,coscos-sinsin=cos(+)=cos=,故A正确;
对于B,sin 47°cos 17°+cos 47°cos 107°=sin 47°cos 17°-cos 47°sin 17°=sin 30°=,故B正确;
对于C,sin-cos=2(sincos-sincos)=2sin(-)=2sin(-)=-,故C不正确;
对于D,=×=×tan(2×22.5°)=×tan 45°=,故D不正确.
(2)(2026·天津模拟)若tan α=3,tan β=5,则tan(α-β)的值为　　　　　.
[答案]　-
[解析]　由tan α=3,tan β=5,得tan(α-β)===-.
方法总结
两角和、差公式的逆用和变形应用的技巧
1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式.
2.两角和、差公式的变形
sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β;
cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β;
tan α±tan β=tan(α±β)·(1 tan α·tan β).
3.cos 160°cos 130°-sin(-160°)cos 40°= (　　)
A. B.
C.- D.-
答案:A
解析:cos 160°cos 130°-sin(-160°)cos 40°
=cos 160°cos(90°+40°)+sin 160°cos 40°
=-cos 160°sin 40°+sin 160°cos 40°
=sin(160°-40°)=sin 120°
=.
4.= (　　)
A.-4 B.-2
C.2 D.4
答案:A
解析:由题意得,tan 40°+===
====4sin 40°.
∵cos 230°=cos(180°+50°)=-cos 50°=-cos(90°-40°)=-sin 40°,
∴=-4.
考点三　角的变换问题
[例3]　已知cos(α+)=,cos(β-)=,α,β∈(-,),则cos(α+β)= (　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　∵α,β∈(-,),∴α+∈(0,),β-∈(-,0).
又∵cos(α+)=>0,cos(β-)=>0,
∴α+∈(0,),β-∈(-,0),
∴sin(α+)>0,sin(β-)<0,
∴sin(α+)==,sin(β-)=-=-,
则cos(α+β)=cos[(α+)+(β-)]
=cos(α+)cos(β-)-sin(α+)sin(β-)=×-×(-)=.
5.已知α∈(0,π),cos(α+)=,则sin α= (　　)
A. B.
C. D.
答案:A
解析:因为cos(α+)=>0,α∈(0,π),则α+∈(,),所以sin(α+)==,
所以sin α=sin[(α+)-]=sin(α+)cos-cos(α+)sin=×-×=.
6.已知sin(-α)=,则cos(+2α)= (　　)
A.- B.
C.- D.
答案:C
解析:法一:cos(+2α)=cos 2(+α)
=2cos2(+α)-1
=2cos2[-(-α)]-1
=2sin2(-α)-1
=-.
法二:cos(-2α)=1-2sin2(-α)=1-2×=,
所以cos(+2α)=cos[π-(-2α)]=-cos(-2α)=-.[A组　基础保分练]
1.(2026·重庆质检)sin 47°sin 103°+sin 43°cos 77°= (　　)
A.-　　　　　　　　 B.
C.- D.1
答案:B
解析:sin 47°sin 103°+sin 43°cos 77°
=cos 43°sin 77°+sin 43°cos 77°
=sin(77°+43°)=sin 120°=.
2.(2026·辽宁沈阳模拟)已知角α终边上一点的坐标为(-3,4),则cos(α+)= (　　)
A.　　　　　　　　 B.-
C. D.-
答案:D
解析:由角α终边上一点的坐标为(-3,4),得sin α=,cos α=-,则cos(α+)=cos αcos-sin αsin=×(--)=-.
3.(2026·安徽蚌埠模拟)= (　　)
A. B.
C. D.
答案:C
解析:===cos 15°=
cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=.
4.(2026·江西抚州模拟)已知sin(α+)=+cos α,则cos(2α-)= (　　)
A.- B.
C.- D.
答案:A
解析:因为sin(α+)=sin α+cos α=+cos α,整理可得sin α-cos α=sin(α-)=,所以cos(2α-)=cos 2(α-)=1-2sin2(α-)=1-2×()2=-.
5.(2026·江苏宿迁模拟)若tan(α-)=2,则sin 2α= (　　)
A. B.-
C. D.-
答案:B
解析:由tan(α-)==2,得tan α=-3,所以sin 2α=2sin αcos α===-.
6.(2026·北京模拟)已知sin α+sin β=0,cos α+cos β=,则cos(α-β)= (　　)
A.- B.
C. D.1
答案:B
解析:由sin α+sin β=0,cos α+cos β=,得(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=3,整理得2+2(cos αcos β+sin αsin β)=3,所以cos(α-β)=.
7.已知α,β均为锐角,cos α=,sin(α-β)=,则sin β= (　　)
A. B.
C. D.
答案:C
解析:因为α,β均为锐角,则α-β∈(-,),所以cos(α-β)==,sin α==.
因为β=α-(α-β),
所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=.
8.(多选)下列等式成立的有 (　　)
A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=
B.cos 15°-sin 15°=
C.cos2-sin2=
D.-=4
答案:AD
解析:A选项,因为tan 60°=tan(35°+25°)==,
所以tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=,故A正确;
B选项,cos 15°-sin 15°=cos 45°cos 15°-sin 45°sin 15°=cos 60°=,故B错误;
C选项,cos2-sin2=cos=,故C错误;
D选项,-====4,故D正确.
9.(多选)(2026·福建福州模拟)已知角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,β的终边经过点P(-sin α,cos α),tan α=2,则 (　　)
A.tan β=- B.β的终边在第二象限
C.sin(α-β)=1 D.cos(α+β)=-
答案:AD
解析:由题意可得tan β===-,A正确;
由于tan α=2,故α可在第一象限或第三象限,
当α在第一象限时,sin α>0,cos α>0,则P(-sin α,cos α)在第二象限,
当α在第三象限时,sin α<0,cos α<0,则P(-sin α,cos α)在第四象限,
即β的终边在第二象限或第四象限,B错误;
由于tan α=2,当α在第一象限时,sin α=,cos α=,
此时β在第二象限,tan β=-,则sin β=,cos β=-,
故sin(α-β)=×(-)-×=-1,
cos(α+β)=×(-)-×=-,
当α在第三象限时,sin α=-,cos α=-,
此时β在第四象限,tan β=-,则sin β=-,cos β=,
故sin(α-β)=-×-(-)×(-)=-1,
cos(α+β)=(-)×-(-)×(-)=-,C错误,D正确.
10.(2026·湖南长沙模拟)若cos(α+)=,α∈(0,),则cos α=　　　　.
答案:
解析:因为α∈(0,),所以α+∈(,),
由cos(α+)=可得sin(α+)==,
所以cos α=cos(α+-)=[cos(α+)+sin(α+)]=(+)=.
[B组　能力提升练]
11.已知cos(α+)+sin α=,则cos(2α-)=(　　)
A.- B.-
C. D.
答案:B
解析:由cos(α+)+sin α=,可得cos α-sin α+sin α=,
即sin α+cos α=,可得sin(α+)=,
所以cos(2α-)=cos[2(α+)-π]=-cos 2(α+)=2sin2(α+)-1=-.
12.(多选)(2026·河北承德模拟)已知0<α<<β<π,sin α=,cos(α+β)=-,下列选项正确的有 (　　)
A.sin(α+β)=± B.cos β=-
C.cos 2β=- D.sin(α-β)=-
答案:BD
解析:由于0<α< 且sin α=,所以cos α=,又α+β∈(,),cos(α+β)=-=-cos α,故α+β=π-α 或α+β=π+α .当α+β=π+α 时,β=π 不满足题意,故α+β=π-α ,所以sin(α+β)=sin(π-α)=sin α=,故A错误;cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=-,故B正确;cos 2β=2cos2β-1=2×-1=,故C错误;sin β==,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×(-)-×=-,故D正确.
13.若α+β=-,则(1+tan α)(1+tan β)=　　　　　　.
答案:2
解析:tan(-)=tan(α+β)==1,所以1-tan αtan β=tan α+tan β,
则1+tan α+tan β+tan αtan β=2,
即(1+tan α)(1+tan β)=2.
14.(2026·湖北黄石模拟)已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan αtan β=　　　　.
答案:
解析:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,①
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,②
①+②得,2cos αcos β=,解得cos αcos β=;
①-②得,-2sin αsin β=-,解得sin αsin β=,
∴tan αtan β===.(共21张PPT)
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A组　基础保分练
1.(2026·重庆质检)sin 47°sin 103°+sin 43°cos 77°=(　　)
A.-　　　　　　　　 B.
C.- D.1
解析:sin 47°sin 103°+sin 43°cos 77°
=cos 43°sin 77°+sin 43°cos 77°
=sin(77°+43°)=sin 120°=.
B
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2.(2026·辽宁沈阳模拟)已知角α终边上一点的坐标为(-3,4),则cos(α+)=(　　)
A.　　　　　　　　 B.-
C. D.-
解析:由角α终边上一点的坐标为(-3,4),得sin α=,cos α=-,则cos(α+)=cos αcos-sin αsin=×(--)=-.
D
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3.(2026·安徽蚌埠模拟)=(　　)
A. B.
C. D.
解析:===cos 15°=
cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=.
C
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4.(2026·江西抚州模拟)已知sin(α+)=+cos α,则cos(2α-)=(　　)
A.- B.
C.- D.
解析:因为sin(α+)=sin α+cos α=+cos α,整理可得sin α-cos α= sin(α-)=,所以cos(2α-)=cos 2(α-)=1-2sin2(α-)=1-2×()2=-.
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5.(2026·江苏宿迁模拟)若tan(α-)=2,则sin 2α=(　　)
A. B.-
C. D.-
解析:由tan(α-)==2,得tan α=-3,所以sin 2α=2sin αcos α= ==-.
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6.(2026·北京模拟)已知sin α+sin β=0,cos α+cos β=,则cos(α-β)=(　　)
A.- B.
C. D.1
解析:由sin α+sin β=0,cos α+cos β=,得(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=3,整理得2+2(cos αcos β+sin αsin β)=3,所以cos(α-β)=.
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7.已知α,β均为锐角,cos α=,sin(α-β)=,则sin β=(　　)
A. B.
C. D.
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解析:因为α,β均为锐角,则α-β∈(-,),所以cos(α-β)==,sin α==.
因为β=α-(α-β),
所以sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=.
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8.(多选)下列等式成立的有(　　)
A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=
B.cos 15°-sin 15°=
C.cos2-sin2=
D.-=4
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解析:A选项,因为tan 60°=tan(35°+25°)==,
所以tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=,故A正确;
B选项,cos 15°-sin 15°=cos 45°cos 15°-sin 45°sin 15°=cos 60°=,故B错误;
C选项,cos2-sin2=cos=,故C错误;
D选项,-== ==4,故D正确.
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9.(多选)(2026·福建福州模拟)已知角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,β的终边经过点P(-sin α,cos α),tan α=2,则(　　)
A.tan β=- B.β的终边在第二象限
C.sin(α-β)=1 D.cos(α+β)=-
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解析:由题意可得tan β===-,A正确;
由于tan α=2,故α可在第一象限或第三象限,
当α在第一象限时,sin α>0,cos α>0,则P(-sin α,cos α)在第二象限,
当α在第三象限时,sin α<0,cos α<0,则P(-sin α,cos α)在第四象限,
即β的终边在第二象限或第四象限,B错误;
由于tan α=2,当α在第一象限时,sin α=,cos α=,
此时β在第二象限,tan β=-,则sin β=,cos β=-,
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故sin(α-β)=×(-)-×=-1,
cos(α+β)=×(-)-×=-,
当α在第三象限时,sin α=-,cos α=-,
此时β在第四象限,tan β=-,则sin β=-,cos β=,
故sin(α-β)=-×-(-)×(-)=-1,
cos(α+β)=(-)×-(-)×(-)=-,C错误,D正确.
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10.(2026·湖南长沙模拟)若cos(α+)=,α∈(0,),则cos α=　　　　.
解析:因为α∈(0,),所以α+∈(,),
由cos(α+)=可得sin(α+)==,
所以cos α=cos(α+-)=[cos(α+)+sin(α+)]=(+)=.
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11.已知cos(α+)+sin α=,则cos(2α-)=(　　)
A.- B.-
C. D.
B组　能力提升练
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解析:由cos(α+)+sin α=,可得cos α-sin α+sin α=,
即sin α+cos α=,可得sin(α+)=,
所以cos(2α-)=cos[2(α+)-π]=-cos 2(α+)=2sin2(α+)-1=-.
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12.(多选)(2026·河北承德模拟)已知0<α<<β<π,sin α=,cos(α+β)=-,下列选项正确的有(　　)
A.sin(α+β)=± B.cos β=-
C.cos 2β=- D.sin(α-β)=-
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解析:由于0<α< 且sin α=,所以cos α=,又α+β∈(,),cos(α+β)=
-=-cos α,故α+β=π-α 或α+β=π+α .当α+β=π+α 时,β=π 不满足题意,故α+β=π-α ,所以sin(α+β)=sin(π-α)=sin α=,故A错误;cos β=cos[(α+β)
-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=-,故B正确;cos 2β=2cos2β-1=2×-1=,故C错误;sin β==,所以
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×(-)-×=-,故D正确.
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13.若α+β=-,则(1+tan α)(1+tan β)=　　　　　　.
解析:tan(-)=tan(α+β)==1,所以1-tan αtan β=tan α+tan β,
则1+tan α+tan β+tan αtan β=2,
即(1+tan α)(1+tan β)=2.
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14.(2026·湖北黄石模拟)已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan αtan β=　　.
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解析:cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,①
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,②
①+②得,2cos αcos β=,解得cos αcos β=;
①-②得,-2sin αsin β=-,解得sin αsin β=,
∴tan αtan β===.(共22张PPT)
第25讲两角和与差、倍角的正弦、余弦和正切公式
考点一　直接应用公式求值
[例1]　(1)(2025·全国二卷)已知0<α<π,cos=,则sin(α-)=(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
D
[解析]　因为cos α=2cos2-1=2×()2-1=-,
所以sin α===,
则sin(α-)=sin αcos-cos αsin=×-(-)×=.
(2)(2024·全国甲卷)已知=,则tan(α+)=(　　)
A.2+1 B.2-1
C. D.1-
[解析]　根据题意有=,
即1-tan α=,所以tan α=1-,
所以tan(α+)===2-1.
B
方法总结
利用三角函数公式解题时应注意的问题
1.首先要注意公式的结构特点和符号变化规律,例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号相反”.
2.应注意同角三角函数的基本关系式与诱导公式的综合应用.
3.应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
跟踪训练
1.(2026·江西鹰潭模拟)若α∈(-,),tan α=,则sin(α+)=(　　)
A. B.
C. D.
A
解析:tan α==,即sin α(3-sin α)=cos2α=1-sin2α,
整理可得sin α=.
因为α∈(-,),sin2α+cos2α=1,所以cos α==,
所以sin(α+)=sin αcos+cos αsin=×+×=.
2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　)
A. B.
C.- D.-
解析:因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
cos αsin β=,所以sin αcos β=+=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-=.
B
考点二　公式的逆用与变形
[例2]　(1)(多选)下列计算正确的有(　　)
A.coscos-sinsin=
B.sin 47°cos 17°+cos 47°cos 107°=
C.sin-cos=
D.=1
AB
[解析]　对于A,coscos-sinsin=cos(+)=cos=,故A正确;
对于B,sin 47°cos 17°+cos 47°cos 107°=sin 47°cos 17°-cos 47°sin 17°=sin 30°=,故B正确;
对于C,sin-cos=2(sincos-sincos)=2sin(-)=2sin(-)=-,故C不正确;
对于D,=×=×tan(2×22.5°)=×tan 45°=,故D不正确.
(2)(2026·天津模拟)若tan α=3,tan β=5,则tan(α-β)的值为　　　　　.
[解析]　由tan α=3,tan β=5,得tan(α-β)===-.
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方法总结
两角和、差公式的逆用和变形应用的技巧
1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式.
2.两角和、差公式的变形
sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β;
cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β;
tan α±tan β=tan(α±β)·(1 tan α·tan β).
跟踪训练
3.cos 160°cos 130°-sin(-160°)cos 40°=(　　)
A. B.
C.- D.-
A
解析:cos 160°cos 130°-sin(-160°)cos 40°
=cos 160°cos(90°+40°)+sin 160°cos 40°
=-cos 160°sin 40°+sin 160°cos 40°
=sin(160°-40°)=sin 120°
=.
4.=(　　)
A.-4 B.-2
C.2 D.4
A
解析:由题意得,tan 40°+== =
====4sin 40°.
∵cos 230°=cos(180°+50°)=-cos 50°=-cos(90°-40°)=-sin 40°,
∴=-4.
考点三　角的变换问题
[例3]　已知cos(α+)=,cos(β-)=,α,β∈(-,),则cos(α+β)=(　　)
A. B.
C. D.
C
[解析]　∵α,β∈(-,),∴α+∈(0,),β-∈(-,0).
又∵cos(α+)=>0,cos(β-)=>0,
∴α+∈(0,),β-∈(-,0),
∴sin(α+)>0,sin(β-)<0,
∴sin(α+)==,sin(β-)=-=-,
则cos(α+β)=cos[(α+)+(β-)]
=cos(α+)cos(β-)-sin(α+)sin(β-)=×-×(-)=.
跟踪训练
5.已知α∈(0,π),cos(α+)=,则sin α=(　　)
A. B.
C. D.
A
解析:因为cos(α+)=>0,α∈(0,π),则α+∈(,),所以sin(α+)==,
所以sin α=sin[(α+)-]=sin(α+)cos-cos(α+)sin=×-×=.
6.已知sin(-α)=,则cos(+2α)=(　　)
A.- B.
C.- D.
C
解析:法一:cos(+2α)=cos 2(+α)
=2cos2(+α)-1
=2cos2[-(-α)]-1
=2sin2(-α)-1
=-.
法二:cos(-2α)=1-2sin2(-α)=1-2×=,
所以cos(+2α)=cos[π-(-2α)]=-cos(-2α)=-.

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