资源简介

(共20张PPT)
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A组　基础保分练
1.已知α∈(0,π),若sin(2α+)=,则sin α=(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
B
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解析:sin(2α+)=sin(2α+1 012π+)=sin(2α+)=cos 2α,
若sin(2α+)=,则cos 2α=1-2sin2α=,
所以sin2α==.
又因为α∈(0,π),则sin α>0,所以sin α=.
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2.化简:=(　　)
A.2cos α　　　　　　　　 B.2cos α
C.2sin α D.sin α
解析:原式=
==2cos α.
A
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3.(2026·贵州毕节模拟)已知cos(α+β)=,tan αtan β=,则cos(α-β)=(　　)
A. B.
C. D.
解析:因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,
tan αtan β==,解得sin αsin β=,cos αcos β=,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+=.
D
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4.已知tan α,tan β是方程x2-4x-3=0的两根,且α,β∈(,π),则α+β的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析:由题意,得则tan(α+β)===1.
因为α,β∈(,π),所以α+β∈(π,2π),故α+β=.
C
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5.若-=4,则实数m=(　　)
A. B.2
C.1 D.
解析:-==4,
即mcos 10°-sin 10°=4sin 10°cos 10°=2sin 20°=2sin(30°-10°) =2sin 30°cos 10°-2cos 30°sin 10°=cos 10°-sin 10°,故m=1.
C
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6.(多选)下列式子计算结果为的有 ( 　　)
A.sin 240°
B.sin 23°cos 37°+cos 23°sin 37°
C.3sin 150°·
D.cos2-cos2
BCD
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解析:对于选项A,sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-,故A错误;
对于选项B,sin 23°cos 37°+cos 23°sin 37°=sin(23°+37°)=sin 60°=,故B正确;
对于选项C,3sin 150°·=3××tan(45°-15°)=×=,故C正确;
对于选项D,cos2-cos2=cos2-cos2(-)=cos2-sin2=cos=,故D正确.
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7.(多选)已知α,β∈(0,),tan(α+β)=7,tan(α-β)=1,则以下说法正确的是(　 　)
A.tan 2α=- B.tan 2β=
C.β=α+ D.β=α-
ABD
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解析:因为tan(α+β)=7,tan(α-β)=1,
所以tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]===-,
tan 2β=tan[(α+β)-(α-β)]===,故A,B正确;
因为α,β∈(0,),所以2α,2β∈(0,π),又tan 2α<0,tan 2β>0,
所以2α∈(,π),2β∈(0,),
所以α∈(,),β∈(0,),
所以α-β∈(0,),
因为tan(α-β)=1,所以α-β=即β=α-,故C错误,D正确.
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8.(2026·广东深圳模拟)若cos(α+)=,α∈(0,),则sin α=　　　　.
解析:因为α∈(0,),则<α+<,
所以sin(α+)===,
因此sin α=sin[(α+)-]=sin(α+)cos-cos(α+)sin=×-×=.
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9.已知sin θ,cos θ是方程x2-2sin α·x+sin2β=0的两个实根,则=(　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
B组　能力提升练
C
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解析:∵sin θ,cos θ是方程x2-2sin α·x+sin2β=0的两个实根,
∴sin θ+cos θ=2sin α,
sin2θ-2sin α·sin θ+sin2β=0,　①
cos2θ-2sin α·cos θ+sin2β=0,　②
①+②得,1-2sin α·(sin θ+cos θ)+2sin2β=0,
即1-4sin2α+2sin2β=0,
整理得2-4sin2α=1-2sin2β,即2cos 2α=cos 2β,得=2.
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10.(2026·山东青岛模拟)已知tan(2α-β)=,tan(α-β)=1,则tan(2α+) =　　.
-
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解析:由tan(2α-β)=,tan(α-β)=1,
则tan α=tan[(2α-β)-(α-β)]
===-,
所以tan 2α===-,
则tan(2α+)===-.
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11.已知<α<,4sinsin(α-)+4sincos(-α)+tan=,则α=　　　　.
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解析:由题知sin(α-)+cos(-α)==,
即2sin(α-+)=,
即2sin(α-)=,即sin(α-)=cos=sin(-)=sin,
则α-=+2kπ或α-+=π+2kπ,k∈Z.
因为<α<,所以0<α-<,所以α-=,解得α=.
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12.如图,已知扇形OPQ的半径为2,面积为,C是扇形弧上的动点,四边形ABCD是扇形的内接矩形(点A,B在半径OP上,点D在半径OQ上).
(1)求 的长;
解:由已知得=×∠QOP×22,解得∠QOP=,则 ×2=.
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(2)记∠POC=α,当α取何值时,矩形ABCD的面积最大 请求出这个最大面积.
解:在Rt△OBC中,OB=2cos α,BC=2sin α,在Rt△OAD中,=tan=,
所以OA=DA=BC=sin α,AB=OB-OA=2cos α-sin α.
设矩形ABCD的面积为S,
则S=AB·BC
=(2cos α-sin α)×2sin α
=4sin αcos α-×2sin2α
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=2sin 2α-×(1-cos 2α)
=2sin 2α+cos 2α-
=×(sin 2α+cos 2α)-
=sin(2α+)-.
由0<α<,得<2α+<,
所以当2α+=,即α=时,Smax=-=.
故当α=时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为.第26讲简单的三角恒等变换
考点一　三角函数式的化简
[例1]　(2026·江苏南京模拟)若<θ<π,则= (　　)
A.1　　　　　　　　　　 B.cos 2θ
C.-cos 2θ D.-1
[答案]　B
[解析]　因为<θ<π,所以cos θ<0,sin θ>0,
所以
=
=
= =cos2θ-sin2θ=cos 2θ.
方法总结
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
1.(-tan3·(1+tan α·tan)=　　　　.
答案:
解析:原式=(-)·(1+·)
=·
=·=.
考点二　三角函数式的求值
角度1　给角求值
[例2]　(2026·辽宁沈阳模拟)sin 20°(+)=　　　　　.
[答案]　1
[解析]　sin 20°(+)=sin 20°(+)=×2(sin 40°+cos 40°)=×2sin 70°====1.
方法总结
三角函数“给角求值”问题的解题策略
观察所给角与特殊角之间的关系,利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为(1)特殊角的三角函数值,(2)正、负相消的项和特殊角的三角函数值,(3)可以约分的项和特殊角的三角函数值等.
角度2　给值求值
[例3]　(2026·山东日照模拟)已知α是第一象限角,且sin α+cos α=3cos αtan α,则sin(α+)=(　　)
A.- B.-
C. D.
[答案]　D
[解析]　因为sin α+cos α=3cos αtan α=3sin α,
所以cos α=2sin α,等号左右两边平方得cos2α=4sin2α=4(1-cos2α),
所以5cos2α=4.
又因为α是第一象限角,
所以cos α=,
则sin(α+)=cos α=.
方法总结
三角函数“给值求值”问题的解题策略
在“给值求值”问题中给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系.
角度3　给值求角
[例4]　已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-,则2α+β= (　　)
A. B.π
C. D.
[答案]　A
[解析]　因为α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-,
所以sin α=,cos α=,sin(α+β)=,α,β∈(0,),所以α+β∈(,π),
所以2α+β∈(,),
则sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=×-×=,所以2α+β=.
方法总结
三角函数“给值求角”问题的解题原则
“给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围),在选取函数时,遵循以下原则:
(1)已知正切函数值,选正切函数.
(2)已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是(0,),选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数;若角的范围为(-,),选正弦函数.
2.计算:sin 40°(-tan 10°)= (　　)
A.1 B.2
C. D.-3
答案:A
解析:sin 40°(-tan 10°)=sin 40°(-)=sin 40°()=sin 40°·=====1.
3.(2026·福建三明模拟)已知α,β是第一象限角,cos(α+β)=sin(α-β),求tan α= (　　)
A. B.-
C.-1 D.1
答案:D
解析:已知cos(α+β)=sin(α-β),得cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β,
即cos αcos β+cos αsin β=sin αcos β+sin αsin β,
可得cos α(cos β+sin β)=sin α(cos β+sin β),
由α,β是第一象限角,有cos β+sin β≠0,
所以cos α=sin α,则有tan α=1.
4.设α∈[,],β∈[,],且sin α+cos α=cos β,则 (　　)
A.α+β= B.α-β=
C.α+β= D.α-β=-
答案:B
解析:因为sin α+cos α=sin(α+)=cos β,所以sin(α+)=cos β=sin(-β).
因为α∈[,],β∈[,],所以α+∈[,],-β∈[0,],
所以α++-β=π,则α-β=.
考点三　三角恒等变换的综合应用
[例5]　某城市一扇形空地的平面图如图所示,为了方便市民休闲健身,现计划在该扇形空地建设公园.经过测量,扇形空地的半径为600 m,∠AOB=120°.在其中圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区,且OC=OD.
(1)求扇形空地的面积;
(2)求矩形场地CDEF的最大面积.
[解]　(1)扇形空地面积S=×6002×
=120 000π(m2).
(2)如图,记的中点为G,连接OG,分别与EF,CD交于点M,N,连接OF,
设∠FOG=α,
则EF=2OFsin α,
CF=MN=OM-ON=OM-
=OFcos α-.
所以矩形面积S1=EF·CF
=2OFsin α·(OFcos α-)
=6002×(2sin αcos α-)
=6002×(2sin αcos α-)
=360 000×(sin 2α+cos 2α-)
=360 000×[sin(2α+30°)-],
所以当α=30°时,矩形场地CDEF的面积取得最大值,且最大值为120 000 m2.
方法总结
1.进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用.
2.形如y=asin x+bcos x化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性等性质.
5.古希腊数学家泰特托斯详细地讨论了无理数的理论,他通过图来构造无理数,,,….如图,则cos∠BAD= (　　)
A. B.
C. D.
答案:B
解析:记∠BAC=α,∠CAD=β,由题意知cos α==,sin α==,cos β==,sin β==,所以cos∠BAD=cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=.
　　　　　积化和差、和差化积公式
(源于人教A版必修第一册P225例8及P226练习T4,T5) 积化和差公式 1.cos α·cos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]; 2.sin α·sin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]; 3.sin α·cos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]; 4.cos α·sin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]. 和差化积公式 1.cos α+cos β=2cos·cos; 2.cos α-cos β=-2sin·sin; 3.sin α+sin β=2sin·cos; 4.sin α-sin β=2cos·sin.
[例]　(1)已知角α,β满足cos α=,cos(α+β)cos β=,则cos(α+2β)= (　　)
A. B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　cos α=,cos(α+β)cos β=,
由积化和差公式得cos(α+β)cos β=[cos(α+β+β)+cos(α+β-β)],
即cos(α+β)cos β=[cos(α+2β)+cos α],
故[cos(α+2β)+]=,解得cos(α+2β)=-=.
(2)已知cos α+cos β=,sin α-sin β=-,则tan(α-β)= (　　)
A.　　　B.-　　　C.-　　　D.
[答案]　B
[解析]　由和差化积公式,
得cos α+cos β=2coscos=,
sin α-sin β=2cossin=-,
两式相除,所以tan=-,所以tan(α-β)=tan(2·)==-.
1.若cos(α+)·cos(α-)=-,则sin 2α=(　　)
A. B.-
C. D.-
答案:C
解析:因为cos(α+)cos(α-)=×[cos(α++α-)+cos(α+-α+)]=×[cos(2α-)+cos π]=(sin 2α-1)=-,所以sin 2α=.
2.(2026·湖南常德模拟)已知cos 2α=2sin2β-,cos(α-β)=,则tan αtan β= (　　)
A. B.7
C.- D.-7
答案:C
解析:因为cos 2α=2sin2β-,所以cos 2α+cos 2β=,
由和差化积公式可得2cos(α+β)cos(α-β)=.
因为cos(α-β)=,所以cos(α+β)=,
由cos αcos β+sin αsin β=,cos αcos β-sin αsin β=,
可得cos αcos β=,sin αsin β=-,所以tan αtan β==-.(共30张PPT)
第26讲简单的三角恒等变换
考点一　三角函数式的化简
[例1]　(2026·江苏南京模拟)若<θ<π,则= (　　)
A.1　　　　　　　　　　 B.cos 2θ
C.-cos 2θ D.-1
B
[解析]　因为<θ<π,所以cos θ<0,sin θ>0,
所以
=
=
= =cos2θ-sin2θ=cos 2θ.
方法总结
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
跟踪训练
1.(-tan3·(1+tan α·tan)=　　　　.
解析:原式=(-)·(1+·)
=·
=·=.
考点二　三角函数式的求值
角度1　给角求值
[例2]　(2026·辽宁沈阳模拟)sin 20°(+)=　　　　　.
[解析]　sin 20°(+)=sin 20°(+)=×2(sin 40°+cos 40°)=×2sin 70°====1.
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方法总结
三角函数“给角求值”问题的解题策略
观察所给角与特殊角之间的关系,利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为(1)特殊角的三角函数值,(2)正、负相消的项和特殊角的三角函数值,(3)可以约分的项和特殊角的三角函数值等.
角度2　给值求值
[例3]　(2026·山东日照模拟)已知α是第一象限角,且sin α+cos α=3cos αtan α,则sin(α+)=(　　)
A.- B.-
C. D.
D
[解析]　因为sin α+cos α=3cos αtan α=3sin α,
所以cos α=2sin α,等号左右两边平方得cos2α=4sin2α=4(1-cos2α),
所以5cos2α=4.
又因为α是第一象限角,
所以cos α=,
则sin(α+)=cos α=.
方法总结
三角函数“给值求值”问题的解题策略
在“给值求值”问题中给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系.
角度3　给值求角
[例4]　已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-,则2α+β=(　　)
A. B.π
C. D.
A
[解析]　因为α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-,
所以sin α=,cos α=,sin(α+β)=,α,β∈(0,),所以α+β∈(,π),
所以2α+β∈(,),
则sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=×-×=,所以2α+β=.
方法总结
三角函数“给值求角”问题的解题原则
“给值求角”实质上可转化为“给值求值”,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围),在选取函数时,遵循以下原则:
(1)已知正切函数值,选正切函数.
(2)已知正弦、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是(0,),选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数;若角的范围为(-,),选正弦函数.
跟踪训练
2.计算:sin 40°(-tan 10°)=(　　)
A.1 B.2
C. D.-3
解析:sin 40°(-tan 10°)=sin 40°(-)=sin 40°()=sin 40°·=====1.
A
3.(2026·福建三明模拟)已知α,β是第一象限角,cos(α+β)=sin(α-β),求tan α=(　　)
A. B.-
C.-1 D.1
解析:已知cos(α+β)=sin(α-β),得cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β,
即cos αcos β+cos αsin β=sin αcos β+sin αsin β,
可得cos α(cos β+sin β)=sin α(cos β+sin β),
由α,β是第一象限角,有cos β+sin β≠0,
所以cos α=sin α,则有tan α=1.
D
4.设α∈[,],β∈[,],且sin α+cos α=cos β,则(　　)
A.α+β= B.α-β=
C.α+β= D.α-β=-
解析:因为sin α+cos α=sin(α+)=cos β,所以sin(α+)=cos β=sin(-β).
因为α∈[,],β∈[,],所以α+∈[,],-β∈[0,],
所以α++-β=π,则α-β=.
B
考点三　三角恒等变换的综合应用
[例5]　某城市一扇形空地的平面图如图所示,为了方便
市民休闲健身,现计划在该扇形空地建设公园.经过测量,
扇形空地的半径为600 m,∠AOB=120°.在其中圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区,且OC=OD.
(1)求扇形空地的面积;
[解]　扇形空地面积S=×6002×
=120 000π(m2).
(2)求矩形场地CDEF的最大面积.
[解]　如图,记 的中点为G,连接OG,分别与EF,CD交于点M,N,连接OF,
设∠FOG=α,
则EF=2OFsin α,
CF=MN=OM-ON=OM-
=OFcos α-.
所以矩形面积S1=EF·CF
=2OFsin α·(OFcos α-)
=6002×(2sin αcos α-)
=6002×(2sin αcos α-)
=360 000×(sin 2α+cos 2α-)
=360 000×[sin(2α+30°)-],
所以当α=30°时,矩形场地CDEF的面积取得最大值,且最大值为120 000 m2.
方法总结
1.进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用.
2.形如y=asin x+bcos x化为y=sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性等性质.
跟踪训练
5.古希腊数学家泰特托斯详细地讨论了无理数的理论,他通过图来构造无理数,,,….如图,则cos∠BAD=(　　)
A. B.
C. D.
B
解析:记∠BAC=α,∠CAD=β,由题意知cos α==,sin α==,cos β==,sin β==,所以cos∠BAD=cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=.
积化和差、和差化积公式
教材延展
知识背景 (源于人教A版必修第一册P225例8及P226练习T4,T5)
积化和差公式
1.cos α·cos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];
2.sin α·sin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)];
3.sin α·cos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];
4.cos α·sin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
知识背景 和差化积公式
1.cos α+cos β=2cos·cos;
2.cos α-cos β=-2sin·sin;
3.sin α+sin β=2sin·cos;
4.sin α-sin β=2cos·sin.
[例]　(1)已知角α,β满足cos α=,cos(α+β)cos β=,则cos(α+2β)=(　　)
A. B.
C. D.
C
[解析]　cos α=,cos(α+β)cos β=,
由积化和差公式得cos(α+β)cos β=[cos(α+β+β)+cos(α+β-β)],
即cos(α+β)cos β=[cos(α+2β)+cos α],
故[cos(α+2β)+]=,解得cos(α+2β)=-=.
(2)已知cos α+cos β=,sin α-sin β=-,则tan(α-β)=(　　)
A.　　　B.-　　　C.-　　　D.
[解析]　由和差化积公式,
得cos α+cos β=2coscos=,
sin α-sin β=2cossin=-,
两式相除,所以tan=-,所以tan(α-β)=tan(2·)==-.
B
跟踪训练
1.若cos(α+)·cos(α-)=-,则sin 2α=(　　)
A. B.-
C. D.-
解析:因为cos(α+)cos(α-)=×[cos(α++α-)+cos(α+
-α+)]=×[cos(2α-)+cos π]=(sin 2α-1)=-,所以sin 2α=.
C
2.(2026·湖南常德模拟)已知cos 2α=2sin2β-,cos(α-β)=,则tan αtan β=(　　)
A. B.7
C.- D.-7
C
解析:因为cos 2α=2sin2β-,所以cos 2α+cos 2β=,
由和差化积公式可得2cos(α+β)cos(α-β)=.
因为cos(α-β)=,所以cos(α+β)=,
由cos αcos β+sin αsin β=,cos αcos β-sin αsin β=,
可得cos αcos β=,sin αsin β=-,所以tan αtan β==-.[A组　基础保分练]
1.已知α∈(0,π),若sin(2α+)=,则sin α=(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
答案:B
解析:sin(2α+)=sin(2α+1 012π+)=sin(2α+)=cos 2α,
若sin(2α+)=,则cos 2α=1-2sin2α=,
所以sin2α==.
又因为α∈(0,π),则sin α>0,所以sin α=.
2.化简:= (　　)
A.2cos α　　　　　　　　 B.2cos α
C.2sin α D.sin α
答案:A
解析:原式=
==2cos α.
3.(2026·贵州毕节模拟)已知cos(α+β)=,tan αtan β=,则cos(α-β)=(　　)
A. B.
C. D.
答案:D
解析:因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,
tan αtan β==,解得sin αsin β=,cos αcos β=,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+=.
4.已知tan α,tan β是方程x2-4x-3=0的两根,且α,β∈(,π),则α+β的值为 (　　)
A. B.
C. D.
答案:C
解析:由题意,得则tan(α+β)===1.
因为α,β∈(,π),所以α+β∈(π,2π),故α+β=.
5.若-=4,则实数m= (　　)
A. B.2
C.1 D.
答案:C
解析:-==4,
即mcos 10°-sin 10°=4sin 10°cos 10°=2sin 20°=2sin(30°-10°)=2sin 30°cos 10°-2cos 30°sin 10°=cos 10°-sin 10°,故m=1.
6.(多选)下列式子计算结果为的有 (　　)
A.sin 240°
B.sin 23°cos 37°+cos 23°sin 37°
C.3sin 150°·
D.cos2-cos2
答案:BCD
解析:对于选项A,sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-,故A错误;
对于选项B,sin 23°cos 37°+cos 23°sin 37°=sin(23°+37°)=sin 60°=,故B正确;
对于选项C,3sin 150°·=3××tan(45°-15°)=×=,故C正确;
对于选项D,cos2-cos2=cos2-cos2(-)=cos2-sin2=cos=,故D正确.
7.(多选)已知α,β∈(0,),tan(α+β)=7,tan(α-β)=1,则以下说法正确的是 (　　)
A.tan 2α=- B.tan 2β=
C.β=α+ D.β=α-
答案:ABD
解析:因为tan(α+β)=7,tan(α-β)=1,
所以tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]===-,
tan 2β=tan[(α+β)-(α-β)]===,故A,B正确;
因为α,β∈(0,),所以2α,2β∈(0,π),又tan 2α<0,tan 2β>0,
所以2α∈(,π),2β∈(0,),
所以α∈(,),β∈(0,),
所以α-β∈(0,),
因为tan(α-β)=1,所以α-β=即β=α-,故C错误,D正确.
8.(2026·广东深圳模拟)若cos(α+)=,α∈(0,),则sin α=　　　　.
答案:
解析:因为α∈(0,),则<α+<,
所以sin(α+)===,
因此sin α=sin[(α+)-]=sin(α+)cos-cos(α+)sin=×-×=.
[B组　能力提升练]
9.已知sin θ,cos θ是方程x2-2sin α·x+sin2β=0的两个实根,则= (　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
答案:C
解析:∵sin θ,cos θ是方程x2-2sin α·x+sin2β=0的两个实根,
∴sin θ+cos θ=2sin α,
sin2θ-2sin α·sin θ+sin2β=0,　①
cos2θ-2sin α·cos θ+sin2β=0,　②
①+②得,1-2sin α·(sin θ+cos θ)+2sin2β=0,
即1-4sin2α+2sin2β=0,
整理得2-4sin2α=1-2sin2β,即2cos 2α=cos 2β,得=2.
10.(2026·山东青岛模拟)已知tan(2α-β)=,tan(α-β)=1,则tan(2α+)=　　　　.
答案:-
解析:由tan(2α-β)=,tan(α-β)=1,
则tan α=tan[(2α-β)-(α-β)]
===-,
所以tan 2α===-,
则tan(2α+)===-.
11.已知<α<,4sinsin(α-)+4sincos(-α)+tan=,则α=　　　　.
答案:
解析:由题知sin(α-)+cos(-α)==,
即2sin(α-+)=,
即2sin(α-)=,即sin(α-)=cos=sin(-)=sin,
则α-=+2kπ或α-+=π+2kπ,k∈Z.
因为<α<,所以0<α-<,所以α-=,解得α=.
12.如图,已知扇形OPQ的半径为2,面积为,C是扇形弧上的动点,四边形ABCD是扇形的内接矩形(点A,B在半径OP上,点D在半径OQ上).
(1)求的长;
(2)记∠POC=α,当α取何值时,矩形ABCD的面积最大 请求出这个最大面积.
解:(1)由已知得=×∠QOP×22,解得∠QOP=,则×2=.
(2)在Rt△OBC中,OB=2cos α,BC=2sin α,在Rt△OAD中,=tan=,
所以OA=DA=BC=sin α,AB=OB-OA=2cos α-sin α.
设矩形ABCD的面积为S,
则S=AB·BC
=(2cos α-sin α)×2sin α
=4sin αcos α-×2sin2α
=2sin 2α-×(1-cos 2α)
=2sin 2α+cos 2α-
=×(sin 2α+cos 2α)-
=sin(2α+)-.
由0<α<,得<2α+<,
所以当2α+=,即α=时,Smax=-=.
故当α=时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为.

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