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第27讲 三角函数的定义域、最值(值域)、单调性
考点一　三角函数的图象
[例1]　(1)函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是 (　　)
[答案]　B
[解析]　当x=0时,y=1;当x=时,y=0;当x=2π时,y=1,结合正弦函数的图象可知B正确.
(2)函数y=-cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为 (　　)
A.(,1)　　　　　　　 B.(π,1)
C.(0,1) D.(2π,1)
[答案]　B
[解析]　用五点作图法作出函数y=-cos x(x>0)的一个周期的图象如图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1).
方法总结
正、余弦函数与正切函数图象问题的解题策略
1.解决正、余弦函数与正切函数的图象问题,关键是要正确地画出正、余弦曲线及正切曲线.
2.正、余弦曲线的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.
1.函数y=cos x·|tan x|(-答案:C
解析:由题意得
y=cos x·|tan x|=
所以其图象的大致形状如选项C所示.
2.已知函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π],若直线y=k与其仅有两个不同的交点,则k的取值范围为　　　　　.
答案:(1,3)
解析:由题意知f(x)=sin x+2|sin x|
=
图象如图所示:
若函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则由图可知k的取值范围是(1,3).
考点二　三角函数的定义域
[例2]　函数y=lg(sin x)+的定义域为　　　　　　　　　.
[答案]　{x|2kπ[解析]　要使函数有意义,则有
解得k∈Z,所以2kπ 方法总结
三角函数定义域问题的解题策略
1.求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角函数不等式(组),常借助单位圆或三角函数的图象来求解.
2.三角函数与基本初等函数的组合或复合,其定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集.
3.函数y=的定义域为　　　　　　　　　　　　.
答案:{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}
解析:法一:要使函数有意义,则sin x-cos x≥0.在同一平面直角坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示.
在[0,2π]内,sin x=cos x的根为x=,或x=,再结合正弦、余弦函数的最小正周期是2π,所以原函数的定义域为[2kπ+,2kπ+](k∈Z).
法二:要使函数y=有意义,
则sin x-cos x≥0,即sin(x-)≥0,
即2kπ≤x-≤2kπ+π(k∈Z),
解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),
即原函数的定义域为{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}.
考点三　三角函数的值域(最值)
[例3]　(1)函数f(x)=3sin(2x-)在区间[0,]上的值域为 (　　)
A.[-,] B.[-,3]
C.[-,] D.[-,3]
[答案]　B
[解析]　当x∈[0,]时,2x-∈[-,],
所以sin(2x-)∈[-,1],
故3sin(2x-)∈[-,3],即此时函数f(x)的值域为[-,3].
(2)函数y=cos2x+sin x-1的值域为 (　　)
A.(-∞,]　　　　　 B.[0,]
C.[-2,0] D.[-2,]
[答案]　D
[解析]　因为y=cos2x+sin x-1=1-sin2x+sin x-1=-sin2x+sin x,
令t=sin x,-1≤t≤1,则y=-t2+t=-(t-)2+,
所以y=-t2+t在[-1,)上单调递增,在(,1]上单调递减,
当t=-1时,y=-2,当t=时,y=,当t=1时,y=0,所以-2≤y≤,
即y=cos2x+sin x-1的值域为[-2,].
方法总结
三角函数的值域(最值)问题的三种类型及解题思路
1.形如y=asin ωx+bcos ωx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值).
2.形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可以先设sin x=t,化为关于t的二次函数,再求值域(最值).
3.形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可以先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值).
4.若x是三角形的最小内角,则函数y=sin x+cos x+sin xcos x的值域是 (　　)
A.[-1,+∞) B.[-1,]
C.(0,] D.(1,+]
答案:D
解析:设t=sin x+cos x=sin(x+).
∵x∈(0,],∴x+∈(,],∴t∈(1,],
∴y=t+=t2+t-∈(1,+],
∴所求函数的值域为(1,+].
考点四　三角函数的单调性
角度1　求单调区间
[例4]　(多选)下列各函数的单调区间正确的是 (　　)
A.y=sin x和y=cos x共同的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z)
B.函数f(x)=sin(-2x)的单调递减区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z)
C.函数y=|tan x|的单调递减区间为(kπ-,kπ](k∈Z)
D.设函数f(x)=cos(-2x),则f(x)在[0,]上的单调递减区间为[,]
[答案]　CD
[解析]　在同一平面直角坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示,
则y=sin x和y=cos x共同的单调递减区间为[+2kπ,π+2kπ],k∈Z,故A错误;
f(x)=sin(-2x)的单调递减区间是g(x)=sin(2x-)的单调递增区间,
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
故函数f(x)的单调递减区间为[kπ-,kπ+],k∈Z,故B错误;
作出函数y=|tan x|的图象,如图,
观察图象可知,函数y=|tan x|的单调递增区间为[kπ,kπ+),k∈Z,单调递减区间为(kπ-,kπ],k∈Z,故C正确;
由已知f(x)=cos(2x-),
得2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,
则kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
又x∈[0,],
∴f(x)在[0,]上的单调递减区间为[,],故D正确.
角度2　利用单调性比较大小
[例5]　设a=(sin 54°-cos 54°),b=cos 50°cos 129°+cos 40°cos 39°,c=sin 10°,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.c>a>b B.b>a>c
C.b>c>a D.a>c>b
[答案]　C
[解析]　a=(sin 54°-cos 54°)=sin(54°-45°)=sin 9°.
b=-cos 50°sin 39°+sin 50°cos 39°=sin(50°-39°)=sin 11°,
∵y=sin x在(0°,90°)上单调递增,∴sin 11°>sin 10°>sin 9°,即b>c>a.
方法总结
1.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,可以先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
2.比较三角函数值的大小,一般化为同名函数,把角化到同一单调区间内,即可比较.
5.(2026·陕西汉中模拟)函数f(x)=-sin(2x+)的单调递增区间为 (　　)
A.[+kπ,+kπ](k∈Z)
B.[-+kπ,+kπ](k∈Z)
C.[+kπ,+kπ](k∈Z)
D.[-+kπ,+kπ](k∈Z)
答案:A
解析:依题意,函数f(x)的单调递增区间,即为函数y=sin(2x+)的单调递减区间,
由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[+kπ,+kπ](k∈Z).
6.下列区间中,使关于x的不等式sin x>cos x成立的是 (　　)
A.(,)　B.(0,) 　C.(,)　D.(π,2π)
答案:A
解析:sin x-cos x=sin(x-),
当x∈(,)时,x-∈(0,π),此时sin(x-)>0,sin x>cos x,故A正确;
当 x∈(0,)时,x-∈(-,0),此时sin(x-)<0,sin x当x∈(,)时,x-∈(,),此时sin(x-)的值有正数,负数和零,故C错误;
当x∈(π,2π)时,x-∈(,),此时sin(x-)的值有正数,负数和零,故D错误.(共27张PPT)
第27讲三角函数的定义域、最值(值域)、单调性
考点一　三角函数的图象
[例1]　(1)函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是(　　)
[解析]　当x=0时,y=1;当x=时,y=0;当x=2π时,y=1,结合正弦函数的图象可知B正确.
B
(2)函数y=-cos x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　)
A.(,1)　　　　　　　 B.(π,1)
C.(0,1) D.(2π,1)
[解析]　用五点作图法作出函数y=-cos x(x>0)的一个周期的图象如图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1).
B
方法总结
正、余弦函数与正切函数图象问题的解题策略
1.解决正、余弦函数与正切函数的图象问题,关键是要正确地画出正、余弦曲线及正切曲线.
2.正、余弦曲线的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.
跟踪训练
1.函数y=cos x·|tan x|(-C
解析:由题意得
y=cos x·|tan x|=
所以其图象的大致形状如选项C所示.
2.已知函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π],若直线y=k与其仅有两个不同的交点,则k的取值范围为　　　　　.
解析:由题意知f(x)=sin x+2|sin x|
=
图象如图所示:
若函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则由图可知k的取值范围是(1,3).
(1,3)
考点二　三角函数的定义域
[例2]　函数y=lg(sin x)+的定义域为　　　　　　 　　　.
[解析]　要使函数有意义,则有
解得k∈Z,所以2kπ{x|2kπ方法总结
三角函数定义域问题的解题策略
1.求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角函数不等式(组),常借助单位圆或三角函数的图象来求解.
2.三角函数与基本初等函数的组合或复合,其定义域是使各部分式子有意义的实数的集合的交集.
跟踪训练
3.函数y=的定义域为　　　　　　　 　　　　　.
{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}
解析:法一:要使函数有意义,则sin x-cos x≥0.在同一平面直角坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示.
在[0,2π]内,sin x=cos x的根为x=,或x=,再结合
正弦、余弦函数的最小正周期是2π,所以原函数的定义域为[2kπ+,2kπ+](k∈Z).
法二:要使函数y=有意义,
则sin x-cos x≥0,即sin(x-)≥0,
即2kπ≤x-≤2kπ+π(k∈Z),
解得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),
即原函数的定义域为{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}.
考点三　三角函数的值域(最值)
[例3]　(1)函数f(x)=3sin(2x-)在区间[0,]上的值域为(　　)
A.[-,] B.[-,3]
C.[-,] D.[-,3]
[解析]　当x∈[0,]时,2x-∈[-,],
所以sin(2x-)∈[-,1],
故3sin(2x-)∈[-,3],即此时函数f(x)的值域为[-,3].
B
(2)函数y=cos2x+sin x-1的值域为(　　)
A.(-∞,]　　　　　 B.[0,]
C.[-2,0] D.[-2,]
D
[解析]　因为y=cos2x+sin x-1=1-sin2x+sin x-1=-sin2x+sin x,
令t=sin x,-1≤t≤1,则y=-t2+t=-(t-)2+,
所以y=-t2+t在[-1,)上单调递增,在(,1]上单调递减,
当t=-1时,y=-2,当t=时,y=,当t=1时,y=0,所以-2≤y≤,
即y=cos2x+sin x-1的值域为[-2,].
方法总结
三角函数的值域(最值)问题的三种类型及解题思路
1.形如y=asin ωx+bcos ωx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值).
2.形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可以先设sin x=t,化为关于t的二次函数,再求值域(最值).
3.形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可以先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值).
跟踪训练
4.若x是三角形的最小内角,则函数y=sin x+cos x+sin xcos x的值域是(　　)
A.[-1,+∞) B.[-1,]
C.(0,] D.(1,+]
D
解析:设t=sin x+cos x=sin(x+).
∵x∈(0,],∴x+∈(,],∴t∈(1,],
∴y=t+=t2+t-∈(1,+],
∴所求函数的值域为(1,+].
考点四　三角函数的单调性
角度1　求单调区间
[例4]　(多选)下列各函数的单调区间正确的是(　　)
A.y=sin x和y=cos x共同的单调递减区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z)
B.函数f(x)=sin(-2x)的单调递减区间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z)
C.函数y=|tan x|的单调递减区间为(kπ-,kπ](k∈Z)
D.设函数f(x)=cos(-2x),则f(x)在[0,]上的单调递减区间为[,]
CD
[解析]　在同一平面直角坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示,
则y=sin x和y=cos x共同的单调递减区间为
[+2kπ,π+2kπ],k∈Z,故A错误;
f(x)=sin(-2x)的单调递减区间是g(x)=sin(2x-)的单调递增区间,
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
故函数f(x)的单调递减区间为[kπ-,kπ+],k∈Z,故B错误;
作出函数y=|tan x|的图象,如图,
观察图象可知,函数y=|tan x|的单调递增区间为[kπ,kπ+),k∈Z,单调递减区间为(kπ-,kπ],k∈Z,故C正确;
由已知f(x)=cos(2x-),
得2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,
则kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
又x∈[0,],
∴f(x)在[0,]上的单调递减区间为[,],故D正确.
角度2　利用单调性比较大小
[例5]　设a=(sin 54°-cos 54°),b=cos 50°cos 129°+cos 40°cos 39°,c=sin 10°,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.c>a>b B.b>a>c
C.b>c>a D.a>c>b
C
[解析]　a=(sin 54°-cos 54°)=sin(54°-45°)=sin 9°.
b=-cos 50°sin 39°+sin 50°cos 39°=sin(50°-39°)=sin 11°,
∵y=sin x在(0°,90°)上单调递增,∴sin 11°>sin 10°>sin 9°,即b>c>a.
方法总结
1.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,可以先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
2.比较三角函数值的大小,一般化为同名函数,把角化到同一单调区间内,即可比较.
跟踪训练
5.(2026·陕西汉中模拟)函数f(x)=-sin(2x+)的单调递增区间为(　　)
A.[+kπ,+kπ](k∈Z)
B.[-+kπ,+kπ](k∈Z)
C.[+kπ,+kπ](k∈Z)
D.[-+kπ,+kπ](k∈Z)
A
解析:依题意,函数f(x)的单调递增区间,即为函数y=sin(2x+)的单调递减区间,
由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[+kπ,+kπ](k∈Z).
6.下列区间中,使关于x的不等式sin x>cos x成立的是(　　)
A.(,)　 B.(0,) 　C.(,)　 D.(π,2π)
解析:sin x-cos x=sin(x-),
当x∈(,)时,x-∈(0,π),此时sin(x-)>0,sin x>cos x,故A正确;
当 x∈(0,)时,x-∈(-,0),此时sin(x-)<0,sin x当x∈(,)时,x-∈(,),此时sin(x-)的值有正数,负数和零,故C错误;
当x∈(π,2π)时,x-∈(,),此时sin(x-)的值有正数,负数和零,故D错误.
A[A组　基础保分练]
1.函数f(x)=ln(cos x)的定义域为 (　　)
A.{x|kπ-B.{x|kπC.{x|2kπ-D.{x|2kπ答案:C
解析:由cos x>0,解得2kπ-2.(2026·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=sin(2x+)+cos 2x,则f(x)的一个单调递减区间是 (　　)
A.[,]　　　　　　　 B.[-,]
C.[-,] D.[-,]
答案:A
解析:f(x)=sin(2x+)+cos 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+).由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的一个单调递减区间为[,].
3.函数f(x)=3sin x+cos 2x的最大值是 (　　)
A.2 B.
C.3 D.
答案:B
解析:因为f(x)=3sin x+cos 2x,所以f(x)=3sin x+1-2sin2x,令t=sin x,则t∈[-1,1],令g(t)=-2t2+3t+1=-2(t-)2+,
所以当t=时,g(t)max=,即当sin x=时,f(x)max=.
4.已知a=cos233°-sin233°,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.cC.b答案:C
解析:a=cos233°-sin233°=cos 66°=sin 24°,
b===sin 23°,c==tan(71°-26°)=1.
因为函数y=sin x在(0°,90°]上是增函数,故sin 23°5.(多选)已知函数f(x)=tan(2x-),则下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)的最小正周期为
B.f(x)在(,)上单调递减
C.f()=f(-)
D.f(x)的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z}
答案:AC
解析:因为f(x)=tan(2x-),所以f(x)的最小正周期为T=,故A正确;当x∈(,)时,2x-∈(,),令z=2x-,则y=tan z,因为y=tan z在(0,)上单调递增,故f(x)在(,)上单调递增,故B错误;因为f(x)的最小正周期为,所以f()=f(-)=f(-),故C正确;令2x-≠+kπ,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,所以f(x)的定义域为{x|x≠+,k∈Z},故D错误.
6.不等式|tan(x-)|≤的解集是　.
答案:{x|kπ≤x≤+kπ,k∈Z}
解析:因为|tan(x-)|≤,所以-≤tan(x-)≤,
所以-+kπ≤x-≤+kπ,k∈Z,解得kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故解集为{x|kπ≤x≤+kπ,k∈Z}.
7.已知函数f(x)=sin(2x-)+,且f(x)在区间[-,m]上的最大值为,则m的最小值为　　　　.
答案:
解析:因为x∈[-,m],所以2x-∈[-,2m-].
又f(x)在区间[-,m]上的最大值为,
所以y=sin(2x-)在区间[-,m]上的最大值为1,
故2m-≥,解得m≥,故m的最小值为.
8.(2025·全国二卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=.
(1)求φ;
(2)设函数g(x)=f(x)+f(x-),求g(x)的值域和单调区间.
解:(1)由题意f(0)=cos φ=(0≤φ<π),所以φ=.
(2)由(1)可知f(x)=cos(2x+),
所以g(x)=f(x)+f(x-)
=cos(2x+)+cos 2x
=cos 2x-sin 2x+cos 2x
=cos 2x-sin 2x
=cos(2x+),
所以函数g(x)的值域为[-,].
令2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
令π+2kπ≤2x+≤2π+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数g(x)的单调递减区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z,单调递增区间为[+kπ,+kπ],k∈Z.
[B组　能力提升练]
9.设甲:“函数f(x)=2sin ωx在[-,]上单调递增”,乙:“0<ω≤2”,则甲是乙的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:若“函数f(x)=2sin ωx在[-,]上单调递增”,则ω>0,
由-≤ωx≤得-≤x≤,
则解得0<ω≤,
所以甲是乙的充分不必要条件.
10.已知函数f(x)=cos(x+)-sin(x-)在x=x0处取得最大值,则x0的值可能是 (　　)
A.- B.
C.π D.π
答案:A
解析:∵(x+)-(x-)=,
∴f(x)=cos(x+)-sin(x-)
=cos[+(x-)]-sin(x-)
=-sin(x-)-sin(x-)
=-2sin(x-),
易知当sin(x-)=-1时,f(x)取最大值,此时x-=2kπ-,k∈Z,
∴x=2kπ-,k∈Z,结合选项可知A正确.
11.若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为　　　　　.
答案:(只要等于2kπ+,k∈Z均可)
解析:因为f(x)=cos φsin x+(sin φ+1)cos x=sin(x+θ),
所以=2,解得sin φ=1,所以φ=+2kπ,k∈Z,故可取φ=.(共17张PPT)
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A组　基础保分练
1.函数f(x)=ln(cos x)的定义域为(　　)
A.{x|kπ-B.{x|kπC.{x|2kπ-D.{x|2kπ解析:由cos x>0,解得2kπ-C
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2.(2026·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=sin(2x+)+cos 2x,则f(x)的一个单调递减区间是(　　)
A.[,]　　　　　　　 B.[-,]
C.[-,] D.[-,]
解析:f(x)=sin(2x+)+cos 2x=sin 2x+cos 2x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+).由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的一个单调递减区间为[,].
A
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3.函数f(x)=3sin x+cos 2x的最大值是(　　)
A.2 B.
C.3 D.
解析:因为f(x)=3sin x+cos 2x,所以f(x)=3sin x+1-2sin2x,令t=sin x,
则t∈[-1,1],令g(t)=-2t2+3t+1=-2(t-)2+,
所以当t=时,g(t)max=,即当sin x=时,f(x)max=.
B
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4.已知a=cos233°-sin233°,b=,c=,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.cC.bC
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解析:a=cos233°-sin233°=cos 66°=sin 24°,
b===sin 23°,c==tan(71°-26°) =1.
因为函数y=sin x在(0°,90°]上是增函数,故sin 23°7
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5.(多选)已知函数f(x)=tan(2x-),则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为
B.f(x)在(,)上单调递减
C.f()=f(-)
D.f(x)的定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z}
AC
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解析:因为f(x)=tan(2x-),所以f(x)的最小正周期为T=,故A正确;当x∈(,)时,2x-∈(,),令z=2x-,则y=tan z,因为y=tan z在(0,)上单调递增,故f(x)在(,)上单调递增,故B错误;因为f(x)的最小正周期为,所以f()=f(-)=f(-),故C正确;令2x-≠+kπ,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,所以f(x)的定义域为{x|x≠+,k∈Z},故D错误.
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6.不等式|tan(x-)|≤的解集是　 .
解析:因为|tan(x-)|≤,所以-≤tan(x-)≤,
所以-+kπ≤x-≤+kπ,k∈Z,解得kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故解集为{x|kπ≤x≤+kπ,k∈Z}.
{x|kπ≤x≤+kπ,k∈Z}
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7.已知函数f(x)=sin(2x-)+,且f(x)在区间[-,m]上的最大值为,则m的最小值为　　　　.
解析:因为x∈[-,m],所以2x-∈[-,2m-].
又f(x)在区间[-,m]上的最大值为,
所以y=sin(2x-)在区间[-,m]上的最大值为1,
故2m-≥,解得m≥,故m的最小值为.
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8.(2025·全国二卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=.
(1)求φ;
解:由题意f(0)=cos φ=(0≤φ<π),所以φ=.
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(2)设函数g(x)=f(x)+f(x-),求g(x)的值域和单调区间.
解:由(1)可知f(x)=cos(2x+),
所以g(x)=f(x)+f(x-)
=cos(2x+)+cos 2x
=cos 2x-sin 2x+cos 2x
=cos 2x-sin 2x
=cos(2x+),
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所以函数g(x)的值域为[-,].
令2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
令π+2kπ≤2x+≤2π+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数g(x)的单调递减区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z,单调递增区间为[+kπ,+kπ],k∈Z.
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9.设甲:“函数f(x)=2sin ωx在[-,]上单调递增”,乙:“0<ω≤2”,则甲是乙的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B组　能力提升练
A
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解析:若“函数f(x)=2sin ωx在[-,]上单调递增”,则ω>0,
由-≤ωx≤得-≤x≤,
则解得0<ω≤,
所以甲是乙的充分不必要条件.
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10.已知函数f(x)=cos(x+)-sin(x-)在x=x0处取得最大值,则x0的值可能是(　　)
A.- B.
C.π D.π
A
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解析:∵(x+)-(x-)=,
∴f(x)=cos(x+)-sin(x-)
=cos[+(x-)]-sin(x-)
=-sin(x-)-sin(x-)
=-2sin(x-),
易知当sin(x-)=-1时,f(x)取最大值,此时x-=2kπ-,k∈Z,
∴x=2kπ-,k∈Z,结合选项可知A正确.
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11.若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为　　 　　　.
解析:因为f(x)=cos φsin x+(sin φ+1)cos x=sin(x+θ),
所以=2,解得sin φ=1,所以φ=+2kπ,k∈Z,故可取φ=.
(只要等于2kπ+,k∈Z均可)
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