资源简介

(共17张PPT)
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A组　基础保分练
1.(2026·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)是奇函数,则φ的值可以是(　　)
A.0　　　　　　　　　 B.
C. D.π
解析:由f(x)为奇函数,可得φ=+kπ,k∈Z,
当k=0时,φ=.
C
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2.(2026·陕西商洛模拟)曲线y=sin(2πx-)的一条对称轴方程为(　　)
A.x= B.x=
C.x= D.x=
解析:由2πx-=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),当k=0时,x=.
B
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3.函数f(x)=cos x+2cosx的一个周期为(　　)
A.π B.2π
C.3π D.4π
解析:易知y=cos x,y=2cosx的最小正周期分别为2π,4π,则2π,4π 的公倍数4π 是f(x)的一个周期.
D
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4.已知函数f(x)=cos(x-)-ktan(x+π)+2(k∈R).若f()=-1,则f(-)=(　　)
A.5 B.3
C.1 D.0
解析:设g(x)=cos(x-)-ktan(x+π)=sin x-ktan x.
因为g(-x)=-sin x+ktan x=-g(x),
所以函数g(x)是奇函数,
f()=-1 g()+2=-1 g()=-3,
因此f(-)=g(-)+2=-g()+2=3+2=5.
A
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5.(多选)(2026·江西景德镇模拟)若f(x)=sin(2x+),则(　　 )
A.初相为
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)在[-,]上单调递增
D.f(x-)为奇函数
ABD
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解析:对于函数f(x)=sin(2x+),初相为,A正确;
最小正周期为T==π,B正确;
当x∈[-,]时,2x+∈[,],
由于y=sin x在[,]上单调递减,故f(x)在[-,]上单调递减,C错误;
f(x-)=sin[2(x-)+]=sin 2x,x∈R,该函数为奇函数,D正确.
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6.(多选)(2026·四川成都模拟)已知函数f(x)=sin(2x-),则(　 　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)在(,)上单调递减
D.f(x)在(0,π)上有2个零点
ACD
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解析:对于A,函数f(x)的最小正周期为=π,A正确;
对于B,因为f()=sin(2×-)=0≠±1,所以f(x)的图象不关于直线x=对称,B错误;
对于C,当x∈(,)时,2x-∈(,),因为y=sin x在(,)上单调递减,
所以f(x)在(,)上单调递减,C正确;
对于D,当x∈(0,π)时,2x-∈(-,),由f(x)=0,得2x-=0或2x-=π,
解得x=或x=,即f(x)在(0,π)上有2个零点,D正确.
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7.(2026·河北保定模拟)若函数f(x)=tan 2x的最小正周期为T,且f(x)的图象关于点(m,0)(0解析:T=,由01
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8.写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)=　　 　　　.
① x∈R,f(x+)=f(x);
② x∈R,f(x)≤f()恒成立.
解析:由 x∈R,f(x+)=f(x)可知,函数的一个周期为,
由 x∈R,f(x)≤f()恒成立可知,函数在x=处取到最大值,
则f(x)=-cos 4x满足题意,
一方面根据余弦函数的周期公式,T==,满足 x∈R,f(x+)=f(x),
另一方面,f()=-cos π=1=f(x)max,满足 x∈R,f(x)≤f()恒成立.
-cos 4x(答案不唯一)
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9.已知函数f(x)=sin ωx·cos ωx-sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间;
解: f(x)=sin 2ωx+=sin(2ωx+)-.
因为f(x)的最小正周期为π,所以π=,解得ω=1,所以f(x)=sin(2x+)-,
令-+2kπ<2x+<+2kπ,k∈Z,解得-+kπ所以f(x)的单调递增区间为(-+kπ,+kπ),k∈Z.
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(2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心坐标.
解:令2x+=+kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z,所以对称轴方程为x=+,k∈Z;
令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,所以对称中心为(-+,-),k∈Z.
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10.已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1(ω<0)的最小正周期为π,则(　　)
A.其图象关于点(,0)对称
B.函数f(x)在[1,2]上单调递增
C.函数f(x)在(0,1)上单调
D.其图象关于直线x=对称
B组　能力提升练
C
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解析:由题意,
在f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1中,ω<0,
f(x)=cos 2ωx+sin 2ωx=2sin(2ωx+),
∵最小正周期为π,
∴T=π,ω=-=-1,f(x)=2sin(-2x+)=-2sin(2x-),
A项,当x=时,f()=-2sin(2×-)=-2≠0,故A错误;
B项,当2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时函数单调递减,当kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时单调递增,
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∴函数在[1,]上单调递减,在[,2]上单调递增,故B错误;
C项,函数在(0,)上单调递减,故在区间(0,1)上单调,故C正确;
D项,函数的对称轴为2x-=kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z),
∴x=不是函数的对称轴,故D错误.
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11.(2026·福建福州模拟)已知函数f(x)=的最小正周期为M,g(x)=的最小正周期为N,则下列说法正确的是 (　　)
A.M=2N B.M=N
C.M>2N D.M<2N
A
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解析:由函数f(x)====,
满足x≠+kπ,k∈Z且tan x≠±1,
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠+kπ且x≠±+kπ,k∈Z},
结合余弦型函数的周期性,可得函数f(x)的最小正周期为M==π.
又由函数g(x)==tan 2x,其定义域为{x|x≠+kπ且x≠±+kπ,k∈Z},
由正切函数的周期性,可得函数g(x)的最小正周期为N=.
综上可得,M=2N成立.[A组　基础保分练]
1.(2026·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)是奇函数,则φ的值可以是 (　　)
A.0　　　　　　　　　 B.
C. D.π
答案:C
解析:由f(x)为奇函数,可得φ=+kπ,k∈Z,
当k=0时,φ=.
2.(2026·陕西商洛模拟)曲线y=sin(2πx-)的一条对称轴方程为 (　　)
A.x= B.x=
C.x= D.x=
答案:B
解析:由2πx-=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),当k=0时,x=.
3.函数f(x)=cos x+2cosx的一个周期为 (　　)
A.π B.2π
C.3π D.4π
答案:D
解析:易知y=cos x,y=2cosx的最小正周期分别为2π,4π,则2π,4π 的公倍数4π 是f(x)的一个周期.
4.已知函数f(x)=cos(x-)-ktan(x+π)+2(k∈R).若f()=-1,则f(-)= (　　)
A.5 B.3
C.1 D.0
答案:A
解析:设g(x)=cos(x-)-ktan(x+π)=sin x-ktan x.
因为g(-x)=-sin x+ktan x=-g(x),
所以函数g(x)是奇函数,
f()=-1 g()+2=-1 g()=-3,
因此f(-)=g(-)+2=-g()+2=3+2=5.
5.(多选)(2026·江西景德镇模拟)若f(x)=sin(2x+),则 (　　)
A.初相为
B.f(x)的最小正周期为π
C.f(x)在[-,]上单调递增
D.f(x-)为奇函数
答案:ABD
解析:对于函数f(x)=sin(2x+),初相为,A正确;
最小正周期为T==π,B正确;
当x∈[-,]时,2x+∈[,],
由于y=sin x在[,]上单调递减,故f(x)在[-,]上单调递减,C错误;
f(x-)=sin[2(x-)+]=sin 2x,x∈R,该函数为奇函数,D正确.
6.(多选)(2026·四川成都模拟)已知函数f(x)=sin(2x-),则 (　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)在(,)上单调递减
D.f(x)在(0,π)上有2个零点
答案:ACD
解析:对于A,函数f(x)的最小正周期为=π,A正确;
对于B,因为f()=sin(2×-)=0≠±1,所以f(x)的图象不关于直线x=对称,B错误;
对于C,当x∈(,)时,2x-∈(,),因为y=sin x在(,)上单调递减,
所以f(x)在(,)上单调递减,C正确;
对于D,当x∈(0,π)时,2x-∈(-,),由f(x)=0,得2x-=0或2x-=π,
解得x=或x=,即f(x)在(0,π)上有2个零点,D正确.
7.(2026·河北保定模拟)若函数f(x)=tan 2x的最小正周期为T,且f(x)的图象关于点(m,0)(0答案:
解析:T=,由08.写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)=　　　　　.
① x∈R,f(x+)=f(x);
② x∈R,f(x)≤f()恒成立.
答案:-cos 4x(答案不唯一)
解析:由 x∈R,f(x+)=f(x)可知,函数的一个周期为,
由 x∈R,f(x)≤f()恒成立可知,函数在x=处取到最大值,
则f(x)=-cos 4x满足题意,
一方面根据余弦函数的周期公式,T==,满足 x∈R,f(x+)=f(x),
另一方面,f()=-cos π=1=f(x)max,满足 x∈R,f(x)≤f()恒成立.
9.已知函数f(x)=sin ωx·cos ωx-sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间;
(2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心坐标.
解:(1)f(x)=sin 2ωx+=sin(2ωx+)-.
因为f(x)的最小正周期为π,所以π=,解得ω=1,所以f(x)=sin(2x+)-,
令-+2kπ<2x+<+2kπ,k∈Z,解得-+kπ所以f(x)的单调递增区间为(-+kπ,+kπ),k∈Z.
(2)令2x+=+kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z,所以对称轴方程为x=+,k∈Z;
令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,所以对称中心为(-+,-),k∈Z.
[B组　能力提升练]
10.已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1(ω<0)的最小正周期为π,则 (　　)
A.其图象关于点(,0)对称
B.函数f(x)在[1,2]上单调递增
C.函数f(x)在(0,1)上单调
D.其图象关于直线x=对称
答案:C
解析:由题意,
在f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1中,ω<0,
f(x)=cos 2ωx+sin 2ωx=2sin(2ωx+),
∵最小正周期为π,
∴T=π,ω=-=-1,f(x)=2sin(-2x+)=-2sin(2x-),
A项,当x=时,f()=-2sin(2×-)=-2≠0,故A错误;
B项,当2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时函数单调递减,当kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时单调递增,
∴函数在[1,]上单调递减,在[,2]上单调递增,故B错误;
C项,函数在(0,)上单调递减,故在区间(0,1)上单调,故C正确;
D项,函数的对称轴为2x-=kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z),
∴x=不是函数的对称轴,故D错误.
11.(2026·福建福州模拟)已知函数f(x)=的最小正周期为M,g(x)=的最小正周期为N,则下列说法正确的是 (　　)
A.M=2N B.M=N
C.M>2N D.M<2N
答案:A
解析:由函数f(x)====,
满足x≠+kπ,k∈Z且tan x≠±1,
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠+kπ且x≠±+kπ,k∈Z},
结合余弦型函数的周期性,可得函数f(x)的最小正周期为M==π.
又由函数g(x)==tan 2x,其定义域为{x|x≠+kπ且x≠±+kπ,k∈Z},
由正切函数的周期性,可得函数g(x)的最小正周期为N=.
综上可得,M=2N成立.第28讲 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
考点一　三角函数的周期性
[例1]　(1)(多选)下列函数中,最小正周期为π的是 (　　)
A.y=cos|2x|　　　　　 B.y=|cos x|
C.y=cos(2x+) D.y=tan(2x-)
[答案]　ABC
[解析]　A中,y=cos|2x|=cos 2x的最小正周期为π;
B中,由图象(图略)知y=|cos x|的最小正周期为π;
C中,y=cos(2x+)的最小正周期T==π;
D中,y=tan(2x-)的最小正周期T=.
(2)已知函数f(x)=2sin,则f(1)+f(2)+…+f(19)+f(20)=　　　　.
[答案]　2
[解析]　因为函数f(x)=2sin的周期为T==6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0,
所以f(1)+f(2)+…+f(19)+f(20)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(1)+f(2)=2.
方法总结
三角函数周期的计算方法
1.定义法:通过把已知函数变形,利用周期的定义得到f(x+T)=f(x),从而求得三角函数的周期.
2.公式法:函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T=,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T=.
3.图象法:求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象,通过观察图象得出周期.
1.已知函数f(x)=sin2ωx-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π,则ω= (　　)
A.1 B.2
C. D.4
答案:A
解析:因为f(x)=sin2ωx-cos2ωx=-cos 2ωx,所以=π,故ω=1.
2.函数f(x)=|sin x|+|cos x|的最小正周期和最小值分别为 (　　)
A.,1 B.,
C.,1 D.π,1
答案:C
解析:因为f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|≠f(x),f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|=|cos x|+|-sin x|=|cos x|+|sin x|=f(x),所以f(x)的最小正周期为,故排除A,D;当x∈[0,]时,f(x)=sin x+cos x=sin(x+),当x=0或x=时,f(x)取得最小值1,所以函数f(x)的最小值是1,排除B,故选C.
考点二　三角函数的奇偶性与对称性
[例2]　(1)函数y=2|sin x|+1是 (　　)
A.周期为2π的奇函数
B.周期为π的奇函数
C.周期为2π的偶函数
D.周期为π的偶函数
[答案]　D
[解析]　设f(x)=y=2|sin x|+1,x∈R,
则f(-x)=2|sin(-x)|+1=2|-sin x|+1=2|sin x|+1=f(x),所以f(x)为偶函数.
因为y=2sin x+1的周期为2π,所以y=2|sin x|+1的周期为π.
综上,y=2|sin x|+1是周期为π的偶函数.
(2)函数f(x)=sin(x+)+1的图象的对称轴方程为　　　　　　　　　　,对称中心为　　　　　　　　　　.
[答案]　x=+kπ(k∈Z)　(kπ-,1)(k∈Z)
[解析]　由x+=+kπ(k∈Z),解得x=+kπ(k∈Z),
所以函数f(x)的对称轴方程为x=+kπ(k∈Z).
令x+=kπ(k∈Z),得x=-+kπ(k∈Z),
所以函数f(x)的对称中心为(kπ-,1)(k∈Z).
方法总结
1.奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式.
2.对称轴、对称中心的求法:对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=kπ(k∈Z)),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=+kπ(k∈Z)),求x即可.对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=(k∈Z),求x即可.
3.已知函数f(x)=sin xcos(2x+φ),φ∈[0,π]为偶函数,则φ= (　　)
A.0 B.
C. D.π
答案:C
解析:因为f(x)的定义域为R,且为偶函数,
所以f(-)=f(),即-cos(-π+φ)=cos(π+φ),可得cos φ=-cos φ,即得cos φ=0.
因为φ∈[0,π],则φ=,
当φ=时,f(x)=-sin xsin 2x为偶函数,满足题意.
4.(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan(x-)的图象的一个对称中心,则a的最小值为 (　　)
A. B.
C. D.
答案:B
解析:根据正切函数的性质,y=2tan(x-)的对称中心横坐标满足x-=,k∈Z,
即y=2tan(x-)的对称中心是(+,0),k∈Z,即a=+,k∈Z.
又a>0,则当k=0时,a取最小值.
考点三　三角函数性质的综合应用
[例3]　(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
[答案]　BC
[解析]　A选项,令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)零点,
令g(x)=sin(2x-)=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)零点,
显然f(x),g(x)零点不同,A选项错误;
B选项,显然f(x)max=g(x)max=1,B选项正确;
C选项,根据周期公式,f(x),g(x)的最小正周期均为=π,C选项正确;
D选项,根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+ x=+,k∈Z,
g(x)的对称轴满足2x-=kπ+ x=+,k∈Z,
显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,D选项错误.
方法总结
解决三角函数图象与性质综合问题的方法
先将y=f(x)化为y=asin ωx+bcos ωx的形式,然后利用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的形式,再借助y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
5.(多选)北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统,其实现全球范围内全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务的关键,在于对复杂信号的处理.假设某语言通信的传递可以用函数f(x)=sin x++近似模拟其信号,则下列结论中正确的是 (　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于点(-π,0)对称
C.f'(x)的图象关于直线x=π对称
D.f'(x)在[0,]上的最小值为0
答案:BCD
解析:对于A,f(x+π)=-sin x--≠f(x),A错误.
对于B,易知f(x)为奇函数,且f(x-2π)=sin x++=f(x),所以f(x-2π)=-f(-x),则f(x)的图象关于点(-π,0)对称,B正确.
对于C,f'(x)=cos x+cos 3x+cos 5x,则f'(x)为偶函数,又f'(x+2π)=f'(x),所以f'(2π+x)=f'(-x),则f'(x)的图象关于直线x=π对称,C正确.
对于D,令g(x)=f'(x),则g'(x)=-sin x-3sin 3x-5sin 5x,当x∈[0,]时,3x∈[0,],5x∈[0,],则sin x≥0,sin 3x≥0,sin 5x≥0,则g'(x)≤0,所以g(x)在[0,]上单调递减,所以f'(x)在[0,]上的最小值为f'()=+0-=0,D正确.(共19张PPT)
第28讲三角函数的周期性、奇偶性、对称性
考点一　三角函数的周期性
[例1]　(1)(多选)下列函数中,最小正周期为π的是(　 　)
A.y=cos|2x|　　　　　 B.y=|cos x|
C.y=cos(2x+) D.y=tan(2x-)
[解析]　A中,y=cos|2x|=cos 2x的最小正周期为π;
B中,由图象(图略)知y=|cos x|的最小正周期为π;
C中,y=cos(2x+)的最小正周期T==π;
D中,y=tan(2x-)的最小正周期T=.
ABC
(2)已知函数f(x)=2sin,则f(1)+f(2)+…+f(19)+f(20)=　　　　.
[解析]　因为函数f(x)=2sin的周期为T==6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0,
所以f(1)+f(2)+…+f(19)+f(20)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(1)+f(2)=2.
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方法总结
三角函数周期的计算方法
1.定义法:通过把已知函数变形,利用周期的定义得到f(x+T)=f(x),从而求得三角函数的周期.
2.公式法:函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T=,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T=.
3.图象法:求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象,通过观察图象得出周期.
跟踪训练
1.已知函数f(x)=sin2ωx-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π,则ω=(　　)
A.1 B.2
C. D.4
解析:因为f(x)=sin2ωx-cos2ωx=-cos 2ωx,所以=π,故ω=1.
A
2.函数f(x)=|sin x|+|cos x|的最小正周期和最小值分别为(　　)
A.,1 B.,
C.,1 D.π,1
解析:因为f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|≠f(x),f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|=
|cos x|+|-sin x|=|cos x|+|sin x|=f(x),所以f(x)的最小正周期为,故排除A,D;当x∈[0,]时,f(x)=sin x+cos x=sin(x+),当x=0或x=时,f(x)取得最小值1,所以函数f(x)的最小值是1,排除B,故选C.
C
考点二　三角函数的奇偶性与对称性
[例2]　(1)函数y=2|sin x|+1是(　　)
A.周期为2π的奇函数
B.周期为π的奇函数
C.周期为2π的偶函数
D.周期为π的偶函数
D
[解析]　设f(x)=y=2|sin x|+1,x∈R,
则f(-x)=2|sin(-x)|+1=2|-sin x|+1=2|sin x|+1=f(x),所以f(x)为偶函数.
因为y=2sin x+1的周期为2π,所以y=2|sin x|+1的周期为π.
综上,y=2|sin x|+1是周期为π的偶函数.
(2)函数f(x)=sin(x+)+1的图象的对称轴方程为　　　　　　　　　　,对称中心为　　　　　　　　　　.
[解析]　由x+=+kπ(k∈Z),解得x=+kπ(k∈Z),
所以函数f(x)的对称轴方程为x=+kπ(k∈Z).
令x+=kπ(k∈Z),得x=-+kπ(k∈Z),
所以函数f(x)的对称中心为(kπ-,1)(k∈Z).
x=+kπ(k∈Z)
(kπ-,1)(k∈Z)
方法总结
1.奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式.
2.对称轴、对称中心的求法:对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))形式的函数,如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=kπ(k∈Z)),求x即可;如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=+kπ(k∈Z)),求x即可.对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=(k∈Z),求x即可.
跟踪训练
3.已知函数f(x)=sin xcos(2x+φ),φ∈[0,π]为偶函数,则φ=(　　)
A.0 B.
C. D.π
C
解析:因为f(x)的定义域为R,且为偶函数,
所以f(-)=f(),即-cos(-π+φ)=cos(π+φ),可得cos φ=-cos φ,即得cos φ=0.
因为φ∈[0,π],则φ=,
当φ=时,f(x)=-sin xsin 2x为偶函数,满足题意.
4.(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan(x-)的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
B
解析:根据正切函数的性质,y=2tan(x-)的对称中心横坐标满足x-=, k∈Z,
即y=2tan(x-)的对称中心是(+,0),k∈Z,即a=+,k∈Z.
又a>0,则当k=0时,a取最小值.
考点三　三角函数性质的综合应用
[例3]　(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
BC
[解析]　A选项,令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)零点,
令g(x)=sin(2x-)=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)零点,
显然f(x),g(x)零点不同,A选项错误;
B选项,显然f(x)max=g(x)max=1,B选项正确;
C选项,根据周期公式,f(x),g(x)的最小正周期均为=π,C选项正确;
D选项,根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+ x=+,k∈Z,
g(x)的对称轴满足2x-=kπ+ x=+,k∈Z,
显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,D选项错误.
方法总结
解决三角函数图象与性质综合问题的方法
先将y=f(x)化为y=asin ωx+bcos ωx的形式,然后利用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的形式,再借助y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
跟踪训练
5.(多选)北斗卫星导航系统是我国自行研制的全球卫星导航系统,其实现全球范围内全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务的关键,在于对复杂信号的处理.假设某语言通信的传递可以用函数f(x)=sin x++近似模拟其信号,则下列结论中正确的是(　 　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于点(-π,0)对称
C.f'(x)的图象关于直线x=π对称
D.f'(x)在[0,]上的最小值为0
BCD
解析:对于A,f(x+π)=-sin x--≠f(x),A错误.
对于B,易知f(x)为奇函数,且f(x-2π)=sin x++=f(x),所以f(x-2π)=
-f(-x),则f(x)的图象关于点(-π,0)对称,B正确.
对于C,f'(x)=cos x+cos 3x+cos 5x,则f'(x)为偶函数,又f'(x+2π)=f'(x),所以f'(2π+x)=f'(-x),则f'(x)的图象关于直线x=π对称,C正确.
对于D,令g(x)=f'(x),则g'(x)=-sin x-3sin 3x-5sin 5x,当x∈[0,]时,3x∈[0,],5x∈[0,],则sin x≥0,sin 3x≥0,sin 5x≥0,则g'(x)≤0,所以g(x)在[0,]上单调递减,所以f'(x)在[0,]上的最小值为f'()=+0-=0,D正确.

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