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第29讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
考点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
[例1]　已知函数f(x)=2sin(x-).
(1)用五点作图法作出f(x)在一个周期内的简图;
(2)函数y=f(x)的图象可以由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到
[解]　(1)列表如下
x- 0 π 2π
x 2π 5π
f(x) 0 2 0 -2 0
描点、连线得f(x) 的图象如图所示.
(2)将y=sin x 的图象上的所有点向右平移 个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象,再将y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(x-)的图象,再将y=sin(x-)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数f(x)=2sin (x-)的图象.
方法总结
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象
常用的两种方法
1.五点法:通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π求出相应的x,通过列表计算得出五点的坐标,描点后得出图象.
2.图象变换法:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径,即“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
1.先将函数f(x)=sin(4x+)的图象向右平移个最小正周期,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则g(x)= (　　)
A.sin(2x-)　　　　　　 B.sin(8x-)
C.sin(2x+) D.sin(8x+)
答案:A
解析:函数f(x)=sin(4x+)的最小正周期为T==,将函数f(x)的图象向右平移个最小正周期,可得到函数y=sin[4(x-)+]=sin(4x-)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,
故g(x)=sin(·4x-)=sin(2x-).
2.(2026·山东济南质检)为了得到函数y=2cos(2x-)的图象,只需将函数y=2sin x (　　)
A.图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
B.图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移个单位长度
C.图象向右平移个单位长度,再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
D.图象向左平移个单位长度,再将所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
答案:A
解析:y=2sin x=2cos(x-),
将y=2cos(x-)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,
得到函数y=2cos(2x-)的图象,
再将所得图象向右平移个单位长度,
得到函数y=2cos[2(x-)-]=2cos(2x-)的图象,故A正确,B错误;
将函数y=2cos(x-)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=2cos(x--)=2cos(x-)的图象,
再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=2cos(2x-)的图象,故C,D错误.
考点二　函数y=Asin(ωx+φ)的解析式问题
[例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点.若|AB|=,则f(π)=　　　　　.
[答案]　-
[解析]　对比正弦函数y=sin x 的图象易知,点(,0)为“五点法”中的第五个点,所以ω+φ=2π.
由题知|AB|=xB-xA=,两式相减,得ω(xB-xA)=,即ω=,解得ω=4,
则×4+φ=2π,得φ=-,所以f(x)=sin(4x-),
所以f(π)=sin(4π-)=-sin =-.
方法总结
根据三角函数的图象求解析式,重在对A,ω,φ 的理解,主要从以下三个方面考虑:
1.根据最大值或最小值求出A的值.
2.根据最小正周期求出ω 的值.
3.求φ 的常用方法:(1)代入法；
(2)五点法.
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为 (　　)
A.f(x)=2sin(x+)
B.f(x)=2sin(x+)
C.f(x)=2sin(x-)
D.f(x)=2sin(x-)
答案:D
解析:由题图可得,函数f(x)的最大值为2,最小值为-2,故A=2,f(x)图象的两个相邻的对称中心分别为(-2,0),(6,0),所以函数f(x)的最小正周期T=2×[6-(-2)]=16,所以ω===,所以f(x)=2sin(x+φ).
由点(-2,0)在函数图象上可得f(-2)=2sin[×(-2)+φ]=2sin(φ-)=0,又点(-2,0)在函数图象的下降段上,所以φ-=π+2kπ(k∈Z),解得φ=2kπ+(k∈Z).因为|φ|<π,所以k=-1,φ=-,所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(x-).
考点三　函数y=Asin(ωx+φ)的综合应用
角度1　图象与性质的综合问题
[例3]　(1)(多选)已知函数f(x)=sin(ωx+)+b(0<ω<1)的图象关于点(,1)中心对称,将曲线y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短至原来的(纵坐标不变),再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则 (　　)
A.f(x)=sin(x+)+1
B.g(x)=sin(x+)
C.函数g(x)的图象关于直线x=-对称
D.函数g(x)的图象在区间(-,)内单调递增
[答案]　AD
[解析]　由函数f(x)=sin(ωx+)+b的图象关于点(,1)中心对称,可得b=1,f()=1,
即sin(ω+)=0,
解得ω+=kπ,k∈Z,
∴ω=-+,k∈Z.
又∵0<ω<1,∴ω=,
∴f(x)=sin(x+)+1,故选项A正确.
将f(x)图象上所有点的横坐标缩短至原来的,得到y=sin(x+)+1,再向下平移1个单位长度,得到g(x)=sin(x+),故选项B错误.
g(x)=sin(x+)的对称轴需满足x+=+kπ,k∈Z,
即x=+kπ,k∈Z,不存在整数k使x=-,故选项C错误.
当x∈(-,)时,x+∈(-,),由正弦函数的单调性可知,g(x)在区间(-,)内单调递增,故选项D正确.
(2)已知关于x的方程2sin2x-sin 2x+m-1=0在(,π)上有两个不同的实数根,则实数m的取值范围是　　　　.
[答案]　(-2,-1)
[解析]　方程2sin2x-sin 2x+m-1=0可转化为m=1-2sin2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin(2x+),x∈(,π).设2x+=t,则t∈(,),所以题目条件可转化为=sin t,t∈(,)有两个不同的实数根,即为y=和y=sin t,t∈(,)的图象有两个不同交点,由图可知,的取值范围是(-1,-),故实数m的取值范围是(-2,-1).
方法总结
1.研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可以将“ωx+φ”视为一个整体,利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性、最值等.
2.与三角函数相关的方程根的问题、零点问题等,常通过函数与方程思想化为图象交点问题,再借助图象分析.
角度2　三角函数的实际应用
[例4]　(2026·广东佛山模拟)如图所示,单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动,角速度大小为2π rad/s,圆上两点A,B始终满足∠AOB=.随着圆O的旋转,A,B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义:A,B两点的竖直距离为A,B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻,即t=0 s时,点A位于圆心正下方,则t=　　　　　s时,A,B两点的竖直距离第一次为0;A,B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f(t)=　　　　　　　.
[答案]　　|sin(2πt+)|
[解析]　以O为原点,以OA所在直线为y轴,过点O且垂直于OA的直线为x轴,建立平面直角坐标系(图略),由于角速度ω=2π rad/s,
设点A(cos(2πt-),sin(2πt-)),圆上两点A,B始终保持∠AOB=,
则B(cos(2πt+),sin(2πt+)),要使A,B两点的竖直距离为0,
则sin(2πt-)=sin(2πt+),第一次为0时,4πt-=π,解得t=,
f(t)=|sin(2πt+)-sin(2πt-)|
=|sin 2πt+cos 2πt+cos 2πt|
=|sin 2πt+cos 2πt|
=|sin(2πt+)|.
方法总结
利用三角函数模型解决实际问题的步骤
1.寻找与角有关的信息,确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型.
2.寻找数据,建立函数解析式进行解题.
3.将所得结果“翻译”成实际答案,要注意根据实际作答.
4.三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式,其瞬时电流i(单位:A)与时间t(单位:s)满足函数关系式:i=Imsin(ωt+φ0)(其中Im为供电的最大电流,单位: A;ω表示角速度,单位:rad/s;φ0为初始相位),该三相交流电的频率f(单位:Hz)与周期T(单位:s)满足关系式f·T=1.某实验室使用5 Hz的三相交流电,经仪器测得在t=0.05s与t=0.2s的瞬时电流之比为,且在t=1s时的瞬时电流恰好为1A.若φ0∈(0,),则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为 (　　)
A.2A B. A
C.3 A D.2.5 A
答案:A
解析:由题意f=5,∴T=,∴=,
∴ω=10π,从而i=Imsin(10πt+φ0).
∵在t=0.05s与t=0.2s的瞬时电流之比为,
∴Imsin(10π×0.05+φ0)=Imsin(10π×0.2+φ0),∴sin(+φ0)=sin(2π+φ0),
∴cos φ0=sin φ0,即tan φ0=.
∵φ0∈(0,),∴φ0=,从而i=Imsin(10πt+).
∵在t=1s时的瞬时电流恰好为1A,
∴1=Imsin(10π+),即1=Imsin,解得Im=2.
5.(多选)(2026·山西临汾模拟)如图是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象,下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期是π
B.点(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心
C.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
D.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得图象对应的函数是偶函数
答案:AB
解析:由题图可得=-=,所以T=π,即函数f(x)的最小正周期是π,故A正确;
则T==π,解得ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),
又f()=2sin(+φ)=2,所以+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=2sin(2x+),
又f()=2sin(2×+)=2sin π=0,所以点(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心,故B正确;
因为f()=2sin(+)=2cos=,
所以直线x=不是函数f(x)图象的一条对称轴,故C错误;
将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到y=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-),
显然y=2sin(2x-)为非奇非偶函数,故D错误.(共30张PPT)
第29讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
考点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
[例1]　已知函数f(x)=2sin(x-).
(1)用五点作图法作出f(x)在一个周期内的简图；
[解]　列表如下
x- 0 π 2π
x 2π 5π
f(x) 0 2 0 -2 0
描点、连线得f(x) 的图象如图所示.
(2)函数y=f(x)的图象可以由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到
[解]　将y=sin x 的图象上的所有点向右平移 个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象,再将y=sin(x-)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(x-)的图象,再将y=sin(x-)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),得到函数f(x)=2sin (x-)的图象.
方法总结
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象
常用的两种方法
1.五点法:通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π求出相应的x,通过列表计算得出五点的坐标,描点后得出图象.
2.图象变换法:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径,即“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
跟踪训练
1.先将函数f(x)=sin(4x+)的图象向右平移个最小正周期,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则g(x)=(　　)
A.sin(2x-)　　　　　　 B.sin(8x-)
C.sin(2x+) D.sin(8x+)
A
解析:函数f(x)=sin(4x+)的最小正周期为T==,将函数f(x)的图象向右平移个最小正周期,可得到函数y=sin[4(x-)+]=sin(4x-)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象, 故g(x)=sin(·4x-)=sin(2x-).
2.(2026·山东济南质检)为了得到函数y=2cos(2x-)的图象,只需将函数y=2sin x(　　)
A.图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再向右平移个单位长度
B.图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移个单位长度
C.图象向右平移个单位长度,再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
D.图象向左平移个单位长度,再将所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
A
解析:y=2sin x=2cos(x-),
将y=2cos(x-)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,
得到函数y=2cos(2x-)的图象,
再将所得图象向右平移个单位长度,
得到函数y=2cos[2(x-)-]=2cos(2x-)的图象,故A正确,B错误;
将函数y=2cos(x-)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=2cos(x--) =2cos(x-)的图象,
再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=2cos(2x-)的图象,故C,D错误.
考点二　函数y=Asin(ωx+φ)的解析式问题
[例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点.若|AB|=,则f(π)=　　　　　.
-
[解析]　对比正弦函数y=sin x 的图象易知,点(,0)为“五点法”中的第五个点,所以ω+φ=2π.
由题知|AB|=xB-xA=,两式相减,得ω(xB-xA)=,即ω=,解得ω=4,
则×4+φ=2π,得φ=-,所以f(x)=sin(4x-),
所以f(π)=sin(4π-)=-sin =-.
方法总结
根据三角函数的图象求解析式,重在对A,ω,φ 的理解,主要从以下三个方面考虑:
1.根据最大值或最小值求出A的值.
2.根据最小正周期求出ω 的值.
3.求φ 的常用方法:(1)代入法；
(2)五点法.
跟踪训练
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=2sin(x+)
B.f(x)=2sin(x+)
C.f(x)=2sin(x-)
D.f(x)=2sin(x-)
D
解析:由题图可得,函数f(x)的最大值为2,最小值为-2,故A=2,f(x)图象的两个相邻的对称中心分别为(-2,0),(6,0),所以函数f(x)的最小正周期T=2×[6-(-2)]=16,所以ω===,所以f(x)=2sin(x+φ).
由点(-2,0)在函数图象上可得f(-2)=2sin[×(-2)+φ]=2sin(φ-)=0,又点(-2,0)在函数图象的下降段上,所以φ-=π+2kπ(k∈Z),解得φ=2kπ+(k∈Z).因为|φ|<π,所以k=-1,φ=-,所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(x-).
考点三　函数y=Asin(ωx+φ)的综合应用
角度1　图象与性质的综合问题
[例3]　(1)(多选)已知函数f(x)=sin(ωx+)+b(0<ω<1)的图象关于点(,1)中心对称,将曲线y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短至原来的(纵坐标不变),再向下平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,则(　　)
A.f(x)=sin(x+)+1
B.g(x)=sin(x+)
C.函数g(x)的图象关于直线x=-对称
D.函数g(x)的图象在区间(-,)内单调递增
[答案]　AD
[解析]　由函数f(x)=sin(ωx+)+b的图象关于点(,1)中心对称,可得b=1,f()=1,
即sin(ω+)=0,
解得ω+=kπ,k∈Z,
∴ω=-+,k∈Z.
又∵0<ω<1,∴ω=,
∴f(x)=sin(x+)+1,故选项A正确.
将f(x)图象上所有点的横坐标缩短至原来的,得到y=sin(x+)+1,再向下平移1个单位长度,得到g(x)=sin(x+),故选项B错误.
g(x)=sin(x+)的对称轴需满足x+=+kπ,k∈Z,
即x=+kπ,k∈Z,不存在整数k使x=-,故选项C错误.
当x∈(-,)时,x+∈(-,),由正弦函数的单调性可知,g(x)在区间(-,)内单调递增,故选项D正确.
(2)已知关于x的方程2sin2x-sin 2x+m-1=0在(,π)上有两个不同的实数根,则实数m的取值范围是　　　　.
[解析]　方程2sin2x-sin 2x+m-1=0可转化为m=1-2sin2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin(2x+),x∈(,π).设2x+=t,则t∈(,),所以题目条件可转化为=sin t,t∈(,)有两个不同的实数根,即为y=和y=sin t,t∈(,)的图象有两个不同交点,由图可知,的取值范围是(-1,-),故实数m的取值范围是(-2,-1).
(-2,-1)
方法总结
1.研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可以将“ωx+φ”视为一个整体,利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性、最值等.
2.与三角函数相关的方程根的问题、零点问题等,常通过函数与方程思想化为图象交点问题,再借助图象分析.
角度2　三角函数的实际应用
[例4]　(2026·广东佛山模拟)如图所示,单位圆O绕圆心
做逆时针匀速圆周运动,角速度大小为2π rad/s,圆上两点
A,B始终满足∠AOB=随着圆O的旋转,A,B两点的位置
关系呈现周期性变化.现定义:A,B两点的竖直距离为A,B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻,即t=0 s时,点A位于圆心正
下方,则t=　　　　　s时,A,B两点的竖直距离第一次为0;A,B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f(t)=　　　　　　　.
|sin(2πt+)|
[解析]　以O为原点,以OA所在直线为y轴,过点O且垂直于OA的直线为x轴,建立平面直角坐标系(图略),由于角速度ω=2π rad/s,
设点A(cos(2πt-),sin(2πt-)),圆上两点A,B始终保持∠AOB=,
则B(cos(2πt+),sin(2πt+)),要使A,B两点的竖直距离为0,
则sin(2πt-)=sin(2πt+),第一次为0时,4πt-=π,解得t=,
f(t)=|sin(2πt+)-sin(2πt-)|
=|sin 2πt+cos 2πt+cos 2πt|
=|sin 2πt+cos 2πt|
=|sin(2πt+)|.
方法总结
利用三角函数模型解决实际问题的步骤
1.寻找与角有关的信息,确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型.
2.寻找数据,建立函数解析式进行解题.
3.将所得结果“翻译”成实际答案,要注意根据实际作答.
跟踪训练
4.三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式,其瞬时电流i(单位:A)与时间t(单位:s)满足函数关系式:i=Imsin(ωt+φ0)(其中Im为供电的最大电流,单位: A;ω表示角速度,单位:rad/s;φ0为初始相位),该三相交流电的频率f(单位:Hz)与周期T(单位:s)满足关系式f·T=1.某实验室使用5 Hz的三相交流电,经仪器测得在t=0.05s与t=0.2s的瞬时电流之比为,且在t=1s时的瞬时电流恰好为1A.若φ0∈(0,),则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为(　　)
A.2A B. A
C.3 A D.2.5 A
A
解析:由题意f=5,∴T=,∴=,
∴ω=10π,从而i=Imsin(10πt+φ0).
∵在t=0.05s与t=0.2s的瞬时电流之比为,
∴Imsin(10π×0.05+φ0)=Imsin(10π×0.2+φ0),∴sin(+φ0)=sin(2π+φ0),
∴cos φ0=sin φ0,即tan φ0=.
∵φ0∈(0,),∴φ0=,从而i=Imsin(10πt+).
∵在t=1s时的瞬时电流恰好为1A,
∴1=Imsin(10π+),即1=Imsin,解得Im=2.
5.(多选)(2026·山西临汾模拟)如图是函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象,下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期是π
B.点(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心
C.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
D.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得图象对应的函数是偶函数
AB
解析:由题图可得=-=,所以T=π,即函数f(x)的最小正周期是π,故A正确;
则T==π,解得ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),
又f()=2sin(+φ)=2,所以+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=,
所以f(x)=2sin(2x+),
又f()=2sin(2×+)=2sin π=0,所以点(,0)是
函数f(x)图象的一个对称中心,故B正确;
因为f()=2sin(+)=2cos=,
所以直线x=不是函数f(x)图象的一条对称轴,故C错误;
将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到y=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-),
显然y=2sin(2x-)为非奇非偶函数,故D错误.[A组　基础保分练]
1.(2026·广东揭阳模拟)把函数f(x)=3sin 3x的图象向左平移个最小正周期后,所得图象对应的函数为 (　　)
A.y=3sin(3x+)　　　 B.y=3sin(3x-)
C.y=3cos 3x D.y=-3cos 3x
答案:C
解析:由题意得f(x)的最小正周期为T=,则所求函数为y=3sin 3(x+×)=3sin(3x+)=3cos 3x.
2.(2026·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)=2cos(+x)cos(-x),要得到函数g(x)=sin 2x-2cos2x+1的图象,只需将f(x)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案:D
解析:f(x)=2cos(+x)cos(-x)=2·cos(+x)sin(+x)=sin(+2x)=cos 2x,
g(x)=sin 2x-2cos2x+1=sin 2x-cos 2x=sin(2x-)=cos(2x-),
故将f(x)的图象向右平移个单位长度可得y=cos 2(x-)=cos(2x-),即为g(x)的图象.
3.(2026·北京模拟)设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π).已知f(1)=,且当f(x1)f(x2)=1(x1≠x2)时,|x1-x2|的最小值为4,则 (　　)
A.ω=,φ= B.ω=,φ=
C.ω=,φ= D.ω=,φ=
答案:C
解析:因为f(x)=sin(ωx+φ)的值域为[-1,1],f(x1)f(x2)=1(x1≠x2),
所以当函数值同时取最大值或最小值时,满足f(x1)f(x2)=1(x1≠x2).
因为|x1-x2|的最小值为4,所以函数的周期T==4,所以ω=.
因为f(1)=sin(×1+φ)=,
又0<φ<π,所以+φ=,所以φ=.
4.(2026·陕西西安模拟)已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+)-3的最小正周期为T.若A.-4 B.
C.-2 D.
答案:A
解析:由因为y=f(x)的图象关于直线x=对称,所以ω+=kπ,k∈Z,即ω=k-,k∈Z,
所以ω=×4-=,所以f(x)=cos(x+)-3,则f(-)=cos[×(-)+]-3=-4.
5.(2026·山西临汾模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,f(0)=2,则f()= (　　)
A.0 B.-2
C.1 D.2
答案:B
解析:根据f(0)=2可得sin φ=1,故φ=+2kπ,k∈Z,故f(x)=2sin(ωx++2kπ)=2cos ωx,
令f(x)=2cos ωx=,故ωx1=+2kπ,ωx2=-+2kπ,k∈Z,
结合图象可知ωxA=-+2π,ωxB=+2π,
因此|AB|=xB-xA==,故ω=2,
因此f(x)=2cos 2x,故f()=2cos π=-2.
6.(多选)(2026·江苏南通模拟)把函数f(x)=sin ωx+cos ωx(0<ω<3)的图象向左平移个单位长度,得到的函数图象关于原点对称,则下列说法正确的是 (　　)
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)在(-,)上单调递增
D.若f(x)在区间[-,a)上存在极大值点和极小值点,则实数a的取值范围为(,+∞)
答案:ABD
解析:f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+),
f(x+)=2sin[ω(x+)+]
=2sin(ωx+ω+),
由f(x+)关于原点对称,得ω+=kπ,k∈Z,则ω=-,k∈Z,
而0<ω<3,则ω=2,所以f(x)=2sin(2x+),
f(x)的最小正周期T==π,A正确;
由2x+=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,直线x=是f(x)的一条对称轴,f(x)在(-,)上不单调,B正确,C错误;
由-≤x则2a+>,解得a>,D正确.
7.(多选)某摩天轮最高点距离地面的高度为128m,转盘直径为120 m,设置若干个座舱,游客从离地面最近的位置进舱,开启后按逆时针方向匀速旋转tmin,当t=15时,游客随舱首次旋转至距离地面最远处,则下列关于摩天轮的说法,正确的是 (　　)
A.摩天轮与地面最近的距离为4m
B.若旋转t min后,游客距离地面的高度为h m,则h=-60cost+68(t≥0)
C.若在t1,t2时刻,游客距离地面的高度相等,则t1+t2的最小值为30
D. t1,t2∈[0,20],使得游客在该时刻距离地面的高度均为90m
答案:BC
解析:对于A,最高点距离地面的高度为128m,转盘直径为120 m,所以摩天轮与地面最近的距离为128-120=8(m),A错误;对于B,设h=Asin(ωt+φ)+b,由题意知A=60,b=68,当t=0时,游客离地面最近,则φ=-,当t=15时,游客离地面最远,则周期T=30,角速度为ω==,故高度h关于时间t的函数解析式是h=60sin(t-)+68=-60cost+68(t≥0),B正确;对于C,周期为30,由余弦型函数的性质可知,若t1+t2取最小值,则t1,t2∈[0,30],又高度相等,则t1,t2关于t=15对称,则=15,即t1+t2=30,C正确;对于D,h=-60cost+68(t≥0),令0≤t≤π,解得0≤t≤15,令π≤t≤2π,解得15≤t≤30,则h在[0,15]上单调递增,在[15,20]上单调递减,当t=0时,h=8,当t=15时,hmax=128,当t=20时,h=98>90,故h=90在[0,20]上只有一个解,D错误.
8.(2026·北京模拟)已知将函数f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度后,所得函数图象关于原点对称,则常数φ的一个取值为　　　　.
答案:(答案不唯一)
解析:将函数f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度得到y=cos[2(x-)+φ]=cos(2x+φ-)的图象,
又y=cos(2x+φ-)的图象关于原点对称,所以φ-=+kπ, k∈Z,
即φ=+kπ,k∈Z,当k=-1时,φ=.
9.(2026·湖北武汉模拟)函数f(x)=2sin(2x+φ)+1(|φ|<π)的部分图象如图所示,则φ=　　　　.
答案:
解析:令f(x)=2sin(2x+φ)+1=0,则sin(2x+φ)=-,即2x+φ=-+2kπ,k∈Z,或2x+φ=+2kπ,k∈Z,
根据图象得x=-为函数零点,零点左右函数为上升趋势,则2×(-)+φ=2kπ-,k∈Z,
则φ=2kπ+,k∈Z.因为|φ|<π,所以k=0,φ=.
10.已知函数f(x)=sin(2x-).
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象;(先在所给的表格中填上所需的数字,再画图)
x
2x-
f(x)
(2)求f(x)在区间[0,]上的值域.
解:(1)
x
2x- 0 π 2π
f(x) 0 1 0 -1 0
(2)因为x∈[0,],所以2x-∈[-,],
所以sin(2x-)∈[-,1],所以f(x)的值域为[-,1].
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象,如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,]上的单调递增区间.
解:(1)由题图得=-=,
所以T=π,所以ω==2.
由f()=0,得Asin(+φ)=0,
所以+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ-π,k∈Z.
又因为|φ|<,所以当k=1时,φ=.
又由f(0)=,得Asin=,即A=2,
所以f(x)=2sin(2x+).
(2)将f(x)=2sin(2x+) 的图象向右平移个单位长度,
得到y=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-)的图象,
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,
得到g(x)=2sin(4x-)的图象.
由2kπ-≤4x-≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,k∈Z,
当k=0时,-≤x≤;当k=1时,≤x≤.
因为x∈[0,],所以函数g(x)在区间[0,]上的单调递增区间为[0,],[,].
[B组　能力提升练]
12.(多选)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的最小正周期为π,且过点(0,),则 (　　)
A.f(x)在(0,)上单调递增
B.f(x)的一条对称轴为x=
C.f(|x|)的最小正周期为
D.把函数f(x)的图象向左平移个长度单位得到函数g(x)=cos(2x+)
答案:BD
解析:f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin(ωx+φ+).
∵最小正周期为π,ω>0,∴ω===2,即f(x)=sin(2x+φ+).
∵函数f(x)过点(0,),
∴f(0)=sin(φ+)=,
则φ+=+2kπ,k∈Z.又|φ|≤,
当k=0时,φ=,即f(x)=sin(2x+)=cos 2x.
A选项,令2x∈(2kπ,π+2kπ),k∈Z,则x∈(kπ,+kπ),k∈Z,
当k=0时,f(x)在(0,)上单调递减,故A错误.
B选项,令2x=kπ,k∈Z,则x=,k∈Z,
当k=1时,f(x)的一条对称轴为x=,故B正确.
C选项,∵f(x)=cos 2x为偶函数,∴f(|x|)=cos(|2x|)=cos 2x,
则f(|x|)的最小正周期为π,故C错误.
D选项,函数f(x)的图象向左平移个长度单位得到函数g(x)=cos 2(x+)=cos(2x+),故D正确.
13.已知f(x)=sin(2x+)+sin(2x+),若af(x-)-f(x+)≥2 对任意的x∈[,]恒成立,则a的取值范围是　　　　.
答案:[5,+∞)
解析:f(x)=sin(2x+)+sin(2x+)
=sin(2x+)+sin(2x++)
=sin(2x+)+cos(2x+)
=[sin(2x+)+cos(2x+)]
=sin(2x+),
则f(x-)=sin x,
f(x+)=sin(2x+)=cos 2x=-2sin2x,
则不等式转化为2sin2x+asin x-3≥0对任意的x∈[,]恒成立,
令t=sin x,t∈[,1],则不等式转化为a≥-2t+对任意的t∈[,1]恒成立.
又函数y=-2t+在[,1]上单调递减,所以当t=时,(-2t+)max=5,故a≥5,
所以a的取值范围为[5,+∞).(共29张PPT)
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A组　基础保分练
1.(2026·广东揭阳模拟)把函数f(x)=3sin 3x的图象向左平移个最小正周期后,所得图象对应的函数为(　　)
A.y=3sin(3x+)　　　 B.y=3sin(3x-)
C.y=3cos 3x D.y=-3cos 3x
解析:由题意得f(x)的最小正周期为T=,则所求函数为y=3sin 3(x+×)=3sin(3x+)=3cos 3x.
C
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2.(2026·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)=2cos(+x)cos(-x),要得到函数g(x)=sin 2x-2cos2x+1的图象,只需将f(x)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
D
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解析:f(x)=2cos(+x)cos(-x)=2·cos(+x)sin(+x)=sin(+2x)= cos 2x,
g(x)=sin 2x-2cos2x+1=sin 2x-cos 2x=sin(2x-)=cos(2x-),
故将f(x)的图象向右平移个单位长度可得y=cos 2(x-)=
cos(2x-),即为g(x)的图象.
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3.(2026·北京模拟)设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π).已知f(1)=,且当f(x1)f(x2)=1(x1≠x2)时,|x1-x2|的最小值为4,则(　　)
A.ω=,φ= B.ω=,φ=
C.ω=,φ= D.ω=,φ=
C
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解析:因为f(x)=sin(ωx+φ)的值域为[-1,1],f(x1)f(x2)=1(x1≠x2),
所以当函数值同时取最大值或最小值时,满足f(x1)f(x2)=1(x1≠x2).
因为|x1-x2|的最小值为4,所以函数的周期T==4,所以ω=.
因为f(1)=sin(×1+φ)=,
又0<φ<π,所以+φ=,所以φ=.
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4.(2026·陕西西安模拟)已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+)-3的最小正周期为T.若A.-4 B.
C.-2 D.
A
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解析:由因为y=f(x)的图象关于直线x=对称,所以ω+=kπ,k∈Z,即ω=k-, k∈Z,
所以ω=×4-=,所以f(x)=cos(x+)-3,则f(-)=cos[×(-)+]-3=-4.
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5.(2026·山西临汾模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,f(0)=2,则f()=(　　)
A.0 B.-2
C.1 D.2
B
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解析:根据f(0)=2可得sin φ=1,故φ=+2kπ,k∈Z,故f(x)=2sin(ωx++2kπ)=2cos ωx,
令f(x)=2cos ωx=,故ωx1=+2kπ,ωx2=-+2kπ,k∈Z,
结合图象可知ωxA=-+2π,ωxB=+2π,
因此|AB|=xB-xA==,故ω=2,
因此f(x)=2cos 2x,故f()=2cos π=-2.
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6.(多选)(2026·江苏南通模拟)把函数f(x)=sin ωx+cos ωx(0<ω<3)的图象向左平移个单位长度,得到的函数图象关于原点对称,则下列说法正确的是(　　 )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)在(-,)上单调递增
D.若f(x)在区间[-,a)上存在极大值点和极小值点,则实数a的取值范围为(,+∞)
ABD
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解析:f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+),
f(x+)=2sin[ω(x+)+]
=2sin(ωx+ω+),
由f(x+)关于原点对称,得ω+=kπ,k∈Z,则ω=-,k∈Z,
而0<ω<3,则ω=2,所以f(x)=2sin(2x+),
f(x)的最小正周期T==π,A正确;
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由2x+=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,直线x=是f(x)的一条对称轴,f(x)在
(-,)上不单调,B正确,C错误;
由-≤x则2a+>,解得a>,D正确.
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7.(多选)某摩天轮最高点距离地面的高度为128m,转盘直径为120 m,设置若干个座舱,游客从离地面最近的位置进舱,开启后按逆时针方向匀速旋转tmin,当t=15时,游客随舱首次旋转至距离地面最远处,则下列关于摩天轮的说法,正确的是(　　)
A.摩天轮与地面最近的距离为4m
B.若旋转t min后,游客距离地面的高度为h m,则h=-60cost+68(t≥0)
C.若在t1,t2时刻,游客距离地面的高度相等,则t1+t2的最小值为30
D. t1,t2∈[0,20],使得游客在该时刻距离地面的高度均为90m
BC
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解析:对于A,最高点距离地面的高度为128 m,转盘直径为120 m,所以摩天轮与地面最近的距离为128-120=8(m),A错误;对于B,设h=Asin(ωt+φ)+b,由题意知A=60,b=68,当t=0时,游客离地面最近,则φ=-,当t=15时,游客离地面最远,则周期T=30,角速度为ω==,故高度h关于时间t的函数解析式是h=60sin(t-)+68=
-60cost+68(t≥0),B正确;对于C,周期为30,由余弦型函数的性质可知,若t1+t2取最小值,则t1,t2∈[0,30],又高度相等,则t1,t2关于t=15对称,则=15,即t1+t2=30,C正确;对于D,h=-60cost+68(t≥0),令0≤t≤π,解得0≤t≤15,令π≤t≤2π,解得15≤t≤30,则h在[0,15]上单调递增,在[15,20]上单调递减,当t=0时,h=8,当t=15时,hmax=128,当t=20时,h=98>90,故h=90在[0,20]上只有一个解,D错误.
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8.(2026·北京模拟)已知将函数f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度后,所得函数图象关于原点对称,则常数φ的一个取值为
　 　　　.
解析:将函数f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度得到y=cos[2(x-)+φ]=cos(2x+φ-)的图象,
又y=cos(2x+φ-)的图象关于原点对称,所以φ-=+kπ, k∈Z,
即φ=+kπ,k∈Z,当k=-1时,φ=.
(答案不唯一)
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9.(2026·湖北武汉模拟)函数f(x)=2sin(2x+φ)+1(|φ|<π)的
部分图象如图所示,则φ=　　　　.
解析:令f(x)=2sin(2x+φ)+1=0,则sin(2x+φ)=-,即2x+φ=-+2kπ,k∈Z,或2x+φ=+2kπ,k∈Z,
根据图象得x=-为函数零点,零点左右函数为上升趋势,则2×
(-)+φ=2kπ-,k∈Z,
则φ=2kπ+,k∈Z.因为|φ|<π,所以k=0,φ=.
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10.已知函数f(x)=sin(2x-).
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期内的图象;(先在所给的表格中填上所需的数字,再画图)
x
2x-
f(x)
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解:
x
2x- 0 π 2π
f(x) 0 1 0 -1 0
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(2)求f(x)在区间[0,]上的值域.
解:因为x∈[0,],所以2x-∈[-,],
所以sin(2x-)∈[-,1],所以f(x)的值域为[-,1].
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11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象,
如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
解:由题图得=-=,
所以T=π,所以ω==2.
由f()=0,得Asin(+φ)=0,
所以+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ-π,k∈Z.
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又因为|φ|<,所以当k=1时,φ=.
又由f(0)=,得Asin=,即A=2,
所以f(x)=2sin(2x+).
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(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,]上的单调递增区间.
解:将f(x)=2sin(2x+) 的图象向右平移个单位长度,
得到y=2sin[2(x-)+]=2sin(2x-)的图象,
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,
得到g(x)=2sin(4x-)的图象.
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由2kπ-≤4x-≤2kπ+,k∈Z,得-≤x≤+,k∈Z,
当k=0时,-≤x≤;当k=1时,≤x≤.
因为x∈[0,],所以函数g(x)在区间[0,]上的单调递增区间为[0,],[,].
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12.(多选)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的最小正周期为π,且过点(0,),则 (　　)
A.f(x)在(0,)上单调递增
B.f(x)的一条对称轴为x=
C.f(|x|)的最小正周期为
D.把函数f(x)的图象向左平移个长度单位得到函数g(x)=cos(2x+)
B组　能力提升练
BD
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解析:f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin(ωx+φ+).
∵最小正周期为π,ω>0,∴ω===2,即f(x)=sin(2x+φ+).
∵函数f(x)过点(0,),
∴f(0)=sin(φ+)=,
则φ+=+2kπ,k∈Z.又|φ|≤,
当k=0时,φ=,即f(x)=sin(2x+)=cos 2x.
A选项,令2x∈(2kπ,π+2kπ),k∈Z,则x∈(kπ,+kπ),k∈Z,
当k=0时,f(x)在(0,)上单调递减,故A错误.
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B选项,令2x=kπ,k∈Z,则x=,k∈Z,
当k=1时,f(x)的一条对称轴为x=,故B正确.
C选项,∵f(x)=cos 2x为偶函数,∴f(|x|)=cos(|2x|)=cos 2x,
则f(|x|)的最小正周期为π,故C错误.
D选项,函数f(x)的图象向左平移个长度单位得到函数g(x)=cos 2(x+)=cos(2x+),故D正确.
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13.已知f(x)=sin(2x+)+sin(2x+),若af(x-)-f(x+)≥2 对任意的x∈[,]恒成立,则a的取值范围是　　　　.
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解析:f(x)=sin(2x+)+sin(2x+)
=sin(2x+)+sin(2x++)
=sin(2x+)+cos(2x+)
=[sin(2x+)+cos(2x+)]
=sin(2x+),
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则f(x-)=sin x,
f(x+)=sin(2x+)=cos 2x=-2sin2x,
则不等式转化为2sin2x+asin x-3≥0对任意的x∈[,]恒成立,
令t=sin x,t∈[,1],则不等式转化为a≥-2t+对任意的t∈[,1]恒成立.
又函数y=-2t+在[,1]上单调递减,所以当t=时,(-2t+)max=5,故a≥5,
所以a的取值范围为[5,+∞).

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