资源简介

2025~2026学年度第二学期学业质量检测
九 年 级 数 学
说明：本卷满分为 120 分，考试用时为 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、座位号。用 2B
铅笔把对应该号码的标号涂黑。
2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案，作答在试卷上的答案无效。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如
需改动，先划掉原来的答案，再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生务必保持答题卡的整洁。考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分）。在每小题列出的四个选项中，
只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（ ）
（A）赵爽弦图 （B）斐波那契螺旋线 （C）阿基米德螺线 （D）笛卡尔心形线
2．2025年是不平凡的一年。这一年，我国有效应对局地干旱、洪涝、连阴雨等不利气
象灾害，粮食总产量达 14298亿斤，再创历史新高，连续两年站稳 1.4万亿斤台阶。“14298
亿”用科学记数法表示为（ ）
（A）1.4298 1010 （B）1.4298 1011 （C）1.4298 1012 （D）1.4298 1013
x 1 03．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
x 3
（A） （B）
（C） （D）
4．下列视图中，可能是圆柱体的俯视图的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．实数 a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
（A） | a | | b | （B） a b （C） 3a 3b （D） a 1
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6．如果圆的半径是6cm，圆心到直线的距离是8cm，那么直线与圆的位置关系是（ ）
（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）不能确定
7 1 1．已知 a 10，则 a2 （ ）
a a2
（A）8 （B）10 （C）12 （D） 2 10
8．如图 1是 2026年 5月的月历，小李同学用图 2形框在图 1的月历上框出四个数字，
将该图 2形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期。若其中两个日期如图 3所示，
则m与 n的数量关系是（ ）
（A）m n 8 （B） n m 8 （C）m n 9 （D） n m 9
m
n
图 1 图 2 图 3
9．如图，用边长相等的 3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案，
每个正五边形均与三角形有一组公共边，则 的度数为（ ）
（A）64 （B）84 （C）94 （D）98
10．如图，在由边长为 1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A、B、C、D、E都
在网格的格点上，则下列结论中不．正．确．的是（ ）
（A） AD BD （B） BC // DE （C） A ABE （D） DEA BEC
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15 分）。请将下列各题的正确答案填写
在答题卡相应的位置上。
11 2 1．分式方程 的解是 x _________。
x 3 x 1
12．2026年 3月 14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”。为
了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数
成画”三个挑战游戏。每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概
率为_________。
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13．数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形（如左图所示），它可以折成一个
底面半径 r为6cm，高 h为8cm的圆锥体（如右图所示），那么这个扇形的面积是_________ cm2 。
14．钢琴调音时，琴弦的振动频率 f（单位：Hz）与琴弦的张力调节系数 x满足某．种．函．
数．关．系．。调音师在某架钢琴调音时记录了以下数据：
张力调节系数 x … 1 2 3 4 …
振动频率 f （Hz） … 429 432 435 438 …
已知钢琴标准音高为 440Hz，此时琴弦的振动频率为 430Hz，调音师要将该钢琴调至标
准音高，则张力调节系数应增加_________。
15．计算： 9 9 9 9 9 9 19 9 9 _________。（结果用乘方表示）
2026个9 2026个9 2026个9
三、解答题（一）（本大题共 3小题，每小题 7分，共 21 分）。解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
16 1．计算： 12 tan 60 。
3
17．如图，在 ABC中， AB AC。
（1）【动手操作】按以下要求，用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作边 BC的中线 AO；
②再作点 A关于点O的对称点D，并连接BD、CD；
（2）【推理证明】求证：四边形 ABDC是菱形。
18．近年来，各类露营地备受欢迎，帐篷成为户外必备装备，抛物线型帐篷支架简易便
携，适宜休闲旅行。如图 1，这款帐篷搭建时张开的宽度 AB 4m，顶部高度 h 2m，在图 1
中以 AB所在直线为 x轴， AB的中点为原点，建立平面直角坐标系。
（1）求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式；
（2）每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量。图 2为一张椅子摆
入这款帐篷后的简易视图，椅子高度CE 0.72m，宽度CD 0.5m。若在帐篷内沿 AB所在的
水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量。
第 3 页 共 6 页
四、解答题（二）（本大题共 3小题，每小题 9分，共 27 分）。解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
19．问题：如何仅用直尺和圆规，过圆上一点作已知圆的切线？
【拓展作法】小明提出一种想法：如图，设点P为⊙O上一点，先作射线 PO交⊙O于点
Q，再以⊙O上一点 A为圆心（点 A不与点 P、Q重合），以 AP长为半径画圆弧，交射线 PQ
于点 B，交射线 BA于点C，连接PC。
（1）【推理证明】小明认为此时 PC是⊙O的切线。
请你帮小明写出证明过程；
（2）【数值计算】若 sin BCP 4 ， AP 12，
5
求⊙O的半径。
20．英歌舞是潮汕特色民俗，融武术、舞蹈、戏剧于一体，文化底蕴深厚、艺术魅力独
特。当地精选甲、乙、丙三名青年重点培养，助力非遗活态传承。现组织专项测试，综合考
评三人理论与实操能力，精准掌握优缺点，为定制培养、推动青年创新传承英歌舞提供依据。
在英歌舞理．论．知．识．测．试．中，甲、乙、丙三名青年的得分（满分为 100分）分别为 90分，
93分，88分。技．艺．实．践．能．力．由 10位评委根据其表演呈现效果进行评分（每位评委打分≤10
分且为整数），各位评委打分之和作为该培养对象技艺实践能力成绩。甲、乙两人技艺实践
能力得分的条形图，丙技艺实践能力得分的扇形图如下：
甲、乙、丙三名青年的技艺实践能力情况统计表
培养对象 评委打分的中位数 评委打分的众数 技艺实践能力成绩 方差
甲 8 8 80 c
乙 8 b 81 1.29
丙 a 8 82 1.36
（1）填空： a ，b ；
（2）请根据方差数据，分析哪位培养对象的技．艺．实．践．能．力．表现更稳定，评委对其评价的
一致性程度更高？并说明理由。
（3）为全面考量三名培养对象的综合素质，组委会决定按照英歌舞理论．知．识．测．试．成绩占
35%，技．艺．实．践．能．力．成绩占 65%的比例计算综合成绩。请分别计算甲、乙、丙三名培养对象的
综合成绩，并判断谁的综合成绩最高，以此作为后续重点培养对象？
（4）如果你是组委会成员，为了使得选拔的英歌舞传承人培养对象的综合素质更全面，
请你再增加一个评分维度，并基于这三个评分维度重新分配评分权重。
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21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 A在 x轴的正半轴上，OA 2，点 B
k
在反比例函数 y （k 0)的图象上， OBA为等边三角形，延长
x
BO k与反比例函数 y 的图象在第三象限交于点C。连接CA并延
x
k
长与反比例函数 y 的图象在第一象限交于点D。
x
（1 k）求反比例函数 y 的表达式；
x
（2）求点D的坐标及 OAD的面积。
五、解答题（三）（本大题共 2小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分）。解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22．【停车位的数学建模】
某住宅小区为方便业主停车，拟在角落处增设一个矩形停车位 ABCD，其中 AD 500cm，
AB 260cm。车位的三面围墙及墙DE高度高于车顶，车库门前有一条平行于CD且与CD距
离为 270cm的人行横道线。已知车辆停在该车位，驾驶座车门完全打开时，车门与车身夹角
为70 。当驾驶座车门与车身夹角不小于 25 时，驾驶员能顺畅从驾驶座下车。
图 2是汽车外形的部分数据：①车身长度 460cm；②驾驶座车门长度100cm；③车头宽度
160cm；④两个车外后视镜完全打开时车身宽度为 215cm；⑤车身宽度185cm（不含两个后
视镜）；⑥车外后视镜纵向长度 20cm。
假设：车身始终与墙 BC保持平行，车外后视镜完
全打开时，后视镜与墙之间有10cm的安．全．距．离．。
参考数据：
sin 25 0.42， cos25 0.91， tan 25 0.47；
sin 53 0.80， cos53 0.60， tan 53 1.33；
sin 70 0.94， cos70 0.34， tan 70 2.75。
结合上述条件，回答下列问题：
（1）【实际应用】如图 1，当汽车倒入矩形停车位 ABCD时，驾驶员能否顺畅从驾驶座
下车？请说明理由；
（2）【实践探究】如图 3，当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域CDEG内，驾驶员
将驾驶座车门完全打开时，汽车是否占用人行横道？请说明理由。
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23．【三角形综合探究】
如图 1，在△ 中，已知 ABC 2 C， BD平分 ABC。
（1）【推理演算】如果 AD 4，DC 5，求BC的长；
（2）如图 2，在图 1的基础上，过点 A作 AC的垂线 AP，与边CB的延长线交于点 P。
①【猜想证明】猜想线段 PC与边 AB的数量关系并证明；
②【深入探究】在线段DB上截取DQ DA，连接 AQ，当 PAQ 2 BAQ时，探究是
否存在实数 k，使得 AB kBQ PB成立？如果存在，请求出 k的值；如果不存在，请说明理
由。
图 1 图 2 备用图
第 6 页 共 6 页2025~2026学年度第二学期九年级教学质量检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 D C B C A A A D B C
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15 分）
1
11． 5 12． 13．60 1014． 15．102026
3 3
三、解答题（一）（本大题共 3小题，每小题 7分，共 21 分）
16 2 3 3．解：原式 3 ………………………………6分（正确化简一个得 2分）
3
3
（2 3 3）
3
3 3
3
4 3
. ………………………………7分
3
17．（1）解：①如图所示， AO即为所求.
②如图所示，点D、BD、CD即为所求.
………………………………4分
（2）证明：∵ AB AC，
∴ ABC是等腰三角形．
1
∵ AO是边 BC的中线，
∴OB OC．
∵ AO OD，
∴四边形 ABDC是平行四边形．
∵ AB AC，
∴四边形 ABDC是菱形．………………………………7分
18．（1）解：∵帐篷张开时的宽度 AB 4m，顶部高度 h 2m，
∴ A( 2，0）， B(2，0），顶点坐标为 (0，2）．
设抛物线的函数表达式为 y ax2 2，
将 A( 2，0）代入，得0 4a 2 1，解得 a ．
2
1
∴抛物线的函数表达式为 y x2 2． ………………………………4分
2
（2）解：∵椅子的高度CE 0.72m，宽度CD 0.5m，
∴将 y 0.72代入 y 1 x2 1 2，得0.72 x2 2．
2 2
解得： x1 1.6， x2 1.6．
1.6 （ 1.6） 3.（2 m），3.2 0.5 6.4（把）．
∴最多可摆放 6把椅子． ………………………………7分
四、解答题（二）（本大题共 3小题，每小题 9分，共 27 分）
19．（1）证明：依题意得 AB AP AC．
∵点 B、A、C在同一条直线上，
∴ BC为⊙ A的直径．
∴ BPC 90 ，即OP PC．
∵OP为⊙ 的半径，
∴ PC为⊙ 的切线． ………………………………4分
（2）解：如图，连接 AQ．
2
∵ PQ为⊙ 的直径，
∴ QAP 90 ．
∵ AB AP，
∴ ABP APB．
∵ BCP ABP AQP APB 90 ，
∴ AQP BCP．
∴ sin AQP sin BCP 4 ．
5
AP 4
∴ ．
PQ 5
∵ AP 12，
∴ PQ 5 12 15．
4
∴ PO 1 PQ 7.5．
2
∴⊙ 的半径为7.5． ………………………………9分
20．（1） a 8，b 8和9. ………………………………2分
（2）解：评委对乙青年技艺实践能力的评价一致性程度更高．理由如下：
由条形图可知，甲青年评委打分从低到高排列为：5，6，7，8，8，8，9，9，10，10．
80
x甲 8．10
s2 5 8
2 6 8 2 7 8 2 8 8 2 3 9 8 2 2 10 8 2 2
甲 2.4 ．…………4分10
2.4 1.36 1.29，
s2 s2 s2甲 丙 乙．
3
评委对乙青年技艺实践能力的评价一致性程度更高．………………………………5分
（3）解：甲青年的综合成绩为90 35% 80 65% 83.（5 分），
乙青年的综合成绩为93 35% 81 65% 85.（2 分），
丙青年的综合成绩为88 35% 82 65% 84.（1 分）．
85.2 84.1 83.5，
乙青年的综合成绩最高，可作为后续重点培养对象．………………………………8分
（4）例如：增加“团队协作能力”这一个评分维度．
评分权重重新分配为：英歌舞理论知识、技艺实践能力、团队协作能力这三个维度的评分权
重分别为 30%、50%、20%．………………………………9分
说明：答案不限于以上评分维度及评分权重，只要言之有理，即可酌情给分．
21．（1）解：作 BF x轴于点F ．
∵ OBA为等边三角形，OA 2，
∴OB 2，OF AF 1．
∴ BF OB2 OF 2 3．
∴点 B的坐标为（1，3）．
∵点 B在反比例函数 y k （k 0）的图象上，
x
∴ k 1 3 3．
3
∴反比例函数的表达式为 y ． ………………………………4分
x
k
（2）解：∵延长 BO与反比例函数 y 的图象在第三象限交于点C，
x
4
∴点C与点 B关于原点对称．
∴点C的坐标为（ 1， 3）．
∵OA 2，
∴点 A的坐标为（2，0）．
设直线 AC的解析式为 y k x b，
3
k
将C 1 3 k b 3 （ ， ）、 A（2，0）代入，得 ，解得： 3 ．
2k b 0 b 2 3 3
3 2 3
∴直线 AC的解析式为 y x ． ………………………………6分
3 3

y 3 x 3 3 2 3联立 得： x ．
3 2 3 x 3 3
y x 3 3
解得： x 3或 x 1（舍去）．
经检验， x 3是原方程的解．
y 3 3 2 3 3∴ ．
3 3 3
3
∴点D的坐标为（3， ）． ………………………………8分
3
S 1 1 3 3∴ OAD OA yD 2 ． ………………………………9分2 2 3 3
五、解答题（三）（本大题共 2小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分）
22．（1）解：驾驶员能顺畅从驾驶座下车．理由如下：…………………………1分
在图 1中，过点 F 作FH MN 于点H．
215 185
依题意，车外后视镜完全打开时与车身的距离为 15cm，FO 100cm．
2
∵车外后视镜完全打开时与墙之间有10 cm的安全距离，
∴此时另一侧车身与墙 BC之间的距离为10 15 25 cm ．
∴车身MN与墙 AD之间的距离为260 185 25 50 cm ．…………………………3分
5
方法 1：假设驾驶座车门 FO与车身MN的夹角 FOH 25 ，
FH
在Rt△FHO中， sin FOH sin 25 0.42，
FO
∴ FH 0.42FO 0.42 100 42(cm)．
∵ 42 50，
∴驾驶员能顺畅从驾驶座下车． ………………………………6分
方法 2：假设极限状态驾驶座车门顶点 F 在墙体 AD上，则此时FH 50(cm)．
FH 50 1
在Rt△FHO中， sin FOH sin30 ．
FO 100 2
∴ FOH 30 25 ．
∴驾驶员能顺畅从驾驶座下车． ………………………………6分
（2）解：当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域CDEG内，驾驶员将驾驶座车门完全打开
时，汽车不会占用人行横道．理由如下：…………………………7分
考虑极限状态，汽车车头刚好到达线段 EG，若此时 O点到 DE的距离超过 100cm，则车门
能完全打开．
6
如图，设 CD与 MN交点为 J，则 ON=160cm，则 JO=110cm,
过点 O作 OP⊥DE，交 DE于点 P，过点 D作 DQ//MN，交 OP于点 Q，过点 Q作 QH⊥MN，
交 MN于点 H.………………………………8分
∴四边形 DJHQ是矩形．
∴ = , = ．
∵ ADE 143 ,
∴∠ = 143° 90 = 53°,则∠ = 53°………………………………9分
在 中，由（1）知： = = 50 ,
∴ = 50 ÷ 53° ≈ 50 ÷ 1.33 ≈ 37.59 ,
∴ = 50 ÷ 53° ≈ 50 ÷ 0.8 ≈ 62.5 ,………………………………10分
在 中，∠ = 53°，DQ=110-37.59=72.41 ,
∴ = 72.41 × 53° ≈ 72.41 × 0.6 ≈ 43.45 ,
∴OP=OQ+QP=62.5+43.45=105.95cm > 100cm，………………………………12分
∴驾驶座车门能完全打开．
∴当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域CDEG内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽
车不会占用人行横道． ………………………………13分
23．（1）解：∵ BD平分 ABC，
ABD CBD 1∴ ABC．
2
∵ ABC 2 C，
∴ ABD CBD C .
∴ BD CD 5 .
∵ ADB CBD C 2 C ABC，
∴ ADB∽ ABC .
AD BD AB
∴ ．
AB BC AC
∵ AD 4，DC 5，
∴ AC AD CD 9，BD 5.
4 AB
∴ .
AB 9
∴ AB2 36．
7
∴ AB 6（负值舍去）．…………………………3分
BD 6 2
∴ .
BC 9 3
∴ BC
3BD 15
.…………………………4分
2 2
（2）①解： PC 2AB．证明如下：…………………………5分
如图 2，取 PC中点E，连接 AE．
∵ AC AP，
∴ APC是直角三角形．
∴ PC 2AE， AE EC．
∴ EAC C．
∴ AEB C EAC 2 C ABC．
∴ AB AE．
∴ PC 2AB．…………………………7分
5 1
（2）②解：存在实数 k ，使得 AB kBQ PB成立．理由如下：…………………8分
2
∵DQ DA，
ADQ DAQ AQD 180 ADB∴在 中， 90 C．
2
∴在 ABC中，
BAQ 180 C ABC DAQ 180 C 2 C (90 C) 90 2 C．
∵ PAQ 2 BAQ，
∴ PAQ 180 4 C .
8
∵ PAC PAQ DAQ （180 4 C） （90 C） 90 ，
∴ C ABD CBD 36 .
∴ BAC 180 36 72 72 .
∴ BAC ABC 72 .
∴ AC BC .
同理可得： AB BD.
∵ BD CD，
∴ AB BD CD .
∴ AD AC CD AC AB .
由（1）知： ADB∽ ABC .
AD BD AB
设 m，
AB BC AC
则 AD mAB， AB mAC，BD mBC .
∴ AD AC CD AC AB AC mAC （1 m）AC .
∵ AB2 AD AC，
∴m2AC 2 （1 m)AC AC .
整理得：m2 m 1 0.
5 1
解得：m （负值舍去）.
2
由①知： PC 2AB 2mAC 2mBC .
∴ PB PC BC 2mBC BC 2m 1 BC .
∴ AB PB 1 m BC，DQ DA mAB m（ mAC） m 2AC m 2BC .
∴ BQ BD DQ mBC m2BC （m m2）BC m 1 m BC .
k AB PB 1 m BC 1 2
2 5 1 5 1
∴ .BQ m 1 m BC m 5 1 5 1 5 1 2
k 5 1∴存在实数 ，使得 AB kBQ PB成立.…………………………14分
2
92025~2026 学年度第二学期学业质量检测
九年级数学 答题卷 考 号
监考员填涂缺考 [ ]
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
学校 班级 姓名 座位号______ [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]
[2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2]
注意事项 : [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3]
[4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4]
1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名和座位号，再 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5]
用 2B 铅笔把考号的对应数字涂黑。 [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6]
[7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7]
2、作答时注意题号顺序，不得擅自更改题号。 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8]
[9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9]
3、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。
选 1 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D]
择 2 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
题
3 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
答
题 4 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D]
区 5 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]
以下非选择题答题区，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内按题号顺序作答，否则答案无效。
二、填空题：
11. ； 12. ； 13. ； 14. ； 15. .
16.
17.
第 1面共 6 面
请勿在此处作任何标记或作答
18.
19.
第 2面共 6 面
2025~2026 学年度第二学期学业质量检测
考 号
九年级数学 答题卷
监考员填涂缺考 [ ]
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]
学校 班级 姓名 座位号______ [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2]
[3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3]
注意事项 : [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4]
[5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5]
1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名和座位号，再 [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6]
用 2B 铅笔把考号的对应数字涂黑。 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7]
[8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8]
2、作答时注意题号顺序，不得擅自更改题号。 [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9]
3、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。
20. （1） a ，b ；
第 3面共 6 面
请勿在此处作任何标记或作答
21.
第 4面共 6 面
2025~2026 学年度第二学期学业质量检测
考 号
九年级数学 答题卷
监考员填涂缺考 [ ]
[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0]
[1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1]
学校 班级 姓名 座位号______ [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2]
[3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3]
注意事项 : [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4]
[5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5]
1、答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名和座位号，再 [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6]
用 2B 铅笔把考号的对应数字涂黑。 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7]
[8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8]
2、作答时注意题号顺序，不得擅自更改题号。 [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9]
3、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。
22.
图 1
图 3
第 5面共 6 面
请勿在此处作任何标记或作答
23.
图 1
图 2
备用图
第 6面共 6 面2025~2026学年度第二学期学业质量检测
九 年 级 数 学
说明：本卷满分为120分，考试用时为120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、座位号。用2B
铅笔把对应该号码的标号涂黑。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案，作答在试卷上的答案无效。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如
需改动，先划掉原来的答案，再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生务必保持答题卡的整洁。考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）。在每小题列出的四个选项中，
只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．下列以数学家名字命名的图形中，是轴对称图形的是（ ）
（A）赵爽弦图 （B）斐波那契螺旋线 （C）阿基米德螺线 （D）笛卡尔心形线
2．2025年是不平凡的一年。这一年，我国有效应对局地干旱、洪涝、连阴雨等不利气象灾害，粮食总产量达14298亿斤，再创历史新高，连续两年站稳1.4万亿斤台阶。“14298亿”用科学记数法表示为（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4．下列视图中，可能是圆柱体的俯视图的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
5．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（ ）
（A）相离 （B）相切 （C）相交 （D）不能确定
7．已知，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．如图1是2026年5月的月历，小李同学用图2形框在图1的月历上框出四个数字，将该图2形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期。若其中两个日期如图3所示，则与的数量关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
图1 图2 图3
9．如图，用边长相等的3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案，每个正五边形均与三角形有一组公共边，则的度数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
10．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、、、都在网格的格点上，则下列结论中不正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）。请将下列各题的正确答案填写
在答题卡相应的位置上。
11．分式方程的解是_________。
12．2026年3月14日是全球的第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”。为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数阵寻宝”“方程追击”“连数成画”三个挑战游戏。每人随机选择参与其中一个游戏，则小陈和小赵选择的游戏相同的概率为_________。
13．数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形（如左图所示），它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体（如右图所示），那么这个扇形的面积是_________。
14．钢琴调音时，琴弦的振动频率 f（单位：）与琴弦的张力调节系数满足某种函数关系。调音师在某架钢琴调音时记录了以下数据：
张力调节系数 … 1 2 3 4 …
振动频率（） … 429 432 435 438 …
已知钢琴标准音高为440，此时琴弦的振动频率为430，调音师要将该钢琴调至标准音高，则张力调节系数应增加_________。
15．计算：_________。（结果用乘方表示）
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）。解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
16．计算：。
17．如图，在中，。
（1）【动手操作】按以下要求，用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作边的中线；
②再作点关于点的对称点，并连接、；
（2）【推理证明】求证：四边形是菱形。
18．近年来，各类露营地备受欢迎，帐篷成为户外必备装备，抛物线型帐篷支架简易便携，适宜休闲旅行。如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，在图1中以所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系。
（1）求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式；
（2）每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量。图2为一张椅子摆入这款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度。若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量。
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）。解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
19．问题：如何仅用直尺和圆规，过圆上一点作已知圆的切线？
【拓展作法】小明提出一种想法：如图，设点为上一点，先作射线交于点，再以上一点为圆心（点不与点、重合），以长为半径画圆弧，交射线于点，交射线于点，连接。
（1）【推理证明】小明认为此时是的切线。
请你帮小明写出证明过程；
（2）【数值计算】若，，
求的半径。
20．英歌舞是潮汕特色民俗，融武术、舞蹈、戏剧于一体，文化底蕴深厚、艺术魅力独特。当地精选甲、乙、丙三名青年重点培养，助力非遗活态传承。现组织专项测试，综合考评三人理论与实操能力，精准掌握优缺点，为定制培养、推动青年创新传承英歌舞提供依据。
在英歌舞理论知识测试中，甲、乙、丙三名青年的得分（满分为100分）分别为90分，93分，88分。技艺实践能力由10位评委根据其表演呈现效果进行评分（每位评委打分≤10分且为整数），各位评委打分之和作为该培养对象技艺实践能力成绩。甲、乙两人技艺实践能力得分的条形图，丙技艺实践能力得分的扇形图如下：
甲、乙、丙三名青年的技艺实践能力情况统计表
培养对象 评委打分的中位数 评委打分的众数 技艺实践能力成绩 方差
甲 8 8 80 c
乙 8 b 81 1.29
丙 a 8 82 1.36
（1）填空：　　　　　，　　　　　　；
（2）请根据方差数据，分析哪位培养对象的技艺实践能力表现更稳定，评委对其评价的一致性程度更高？并说明理由。
（3）为全面考量三名培养对象的综合素质，组委会决定按照英歌舞理论知识测试成绩占35%，技艺实践能力成绩占65%的比例计算综合成绩。请分别计算甲、乙、丙三名培养对象的综合成绩，并判断谁的综合成绩最高，以此作为后续重点培养对象？
（4）如果你是组委会成员，为了使得选拔的英歌舞传承人培养对象的综合素质更全面，请你再增加一个评分维度，并基于这三个评分维度重新分配评分权重。
21．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点。连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点。
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点的坐标及的面积。
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）。解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22．【停车位的数学建模】
某住宅小区为方便业主停车，拟在角落处增设一个矩形停车位，其中，。车位的三面围墙及墙高度高于车顶，车库门前有一条平行于且与距离为的人行横道线。已知车辆停在该车位，驾驶座车门完全打开时，车门与车身夹角为。当驾驶座车门与车身夹角不小于时，驾驶员能顺畅从驾驶座下车。
图2是汽车外形的部分数据：①车身长度；②驾驶座车门长度；③车头宽度；④两个车外后视镜完全打开时车身宽度为；⑤车身宽度（不含两个后视镜）；⑥车外后视镜纵向长度。
假设：车身始终与墙保持平行，车外后视镜完全打开时，后视镜与墙之间有的安全距离。
参考数据：
，，；
，，；
，，。
结合上述条件，回答下列问题：
（1）【实际应用】如图1，当汽车倒入矩形停车位时，驾驶员能否顺畅从驾驶座下车？请说明理由；
（2）【实践探究】如图3，当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车是否占用人行横道？请说明理由。
23．【三角形综合探究】
如图1，在中，已知，平分。
（1）【推理演算】如果，，求的长；
（2）如图2，在图1的基础上，过点作的垂线，与边的延长线交于点。
①【猜想证明】猜想线段与边的数量关系并证明；
②【深入探究】在线段上截取，连接，当时，探究是否存在实数，使得成立？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由。
图1 图2 备用图

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