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福建省第二届“卓越杯”数学思维能力测评
初中组测试试题
（测试时间 90 分钟，试卷满分 120 分）
一、选择题（5 道题，每题 6分，共 30分）
1 1 1 1
1. 计算： （ ）.
4 2 2 4 6 4 4 6 8 6 6 8 50 48 48 50
2 2 2
A. 2 B. C. D.
2 5 10
2. 满足不等式 | x 5 | | x 1| 35 的整数 x 共有 （ ）.
A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个
3. 在△ABC 中，∠CAB=120 ，作 AD⊥AB 交 BC 于点 D，若 AB=CD=1，则 BD 的长为
（ ）.
A. 3 B. 2 C. 3 3 D. 3 2
4.设 m 和 n 为任意给定的整数，关于 x 的两个一元二次方程 x2 10mx 5n 2 0 和
x2 10mx 5n 2 0 中，有整数根的方程的个数为 （ ）.
A. 0 B. 1 C. 2 D.不确定
5.将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10按任意顺序写成一行，依次记为 a1 ，a2 ， ，a10 ，设
S1 a1 ，S2 a1 a2 ，…，S10 a1 a2 a10 .在S1 ，S2 ，…，S10 中，质数的个数最多是（ ）.
A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个
二．填空题（5 道题，每题 6 分，共 30 分）
1 1
6.已知 x, y 满足 2x 2026，1013y 2026 ，则 ________.
x y
x8 47x4 1
7.已知 x2 5x 1 0 ，则 ________.
x7 10x4 x
8.已知一次函数的图象过点 P(1，2)，且在第一象限与坐标轴围成的三角形面积最小，这
个一次函数的解析式为_____________.
9.设 15个数 a1，a2 ， ，a15 各取1，2，3 中的某一个值，且满足 a
2 a21 2 a
2 78 ， 15
a3 a3 3 ，则 a a a _______. 1 2 a15 206 1 2 15
10.已知正整数 a,b,c 满足：1≤ a ，b ， c ≤9 ， abc (10 a)(10 b)(10 c) .符合要求
的 (a，b，c)共有_______组.
1
三．解答题（四道题 60分，每道题 15分,每问 5分）
11.用[x]表示不超过实数 x 的最大整数，设{x} x [x].已知正实数 a，b，c满足如下方
程组：
2[a] {b} c 3，

2b [c] 2{a} 7.2，

a 2[b] {c} 6.9.
求 2a b c的值.
12.已知直角△ABC 的三边长 a，b，c 为正整数，且这个三角形的周长与面积的数值相等.
试判断关于 x 的一元二次方程 x2 (a b c)x abc 0是否有实数根.
2
13.一个各位数字互不相同的四位数 A 是完全平方数，它的各位数字之和是一个完全平
方数 B，且 A 除以 B 的商也是一个完全平方数.求满足条件的四位数 A.
14.如图，点 D、E 分别是△ABC 的外接圆 O 的劣弧 BC 和 AB 的中点，点 F 在 AB 的
延长线上，AF＝AC，设△ABC 的内心为 I，EB 的延长线交 FI 于点 P.证明：DP⊥AB.
3
2026 年福建省“卓越杯”数学思维能力测评（初中组）试题
参考答案及评分标准
一、选择题（本题满分 30 分，每小题 6分）
本题共有 5 个小题，每题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你
所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是
否写在括号内），一律得 0 分.
1 1 1 1
1.计算： （ ）.
4 2 2 4 6 4 4 6 8 6 6 8 50 48 48 50
2 2 2
A. 2 B. C. D.
2 5 10
答案：C.
解析 设 n为正整数，可得
1 1 1 1 n 1 n

(2n 2) 2n 2n 2n 2 2 2n(n 1) n 1 n 2 2n(n 1) (n 1) n
1 n 1 n 1 1 1
( ) ，
2 2 n(n 1) 2 2 n n 1
分别取 n 1,2,3, ,24，可得
1 1 1 1

4 2 2 4 6 4 4 6 8 6 6 8 50 48 48 50
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
[( ) ( ) ( ) ( )] ( ) .
2 2 1 2 2 3 3 4 24 25 2 2 1 5 5
2.满足不等式 | x 5 | | x 1| 35 的整数 x 共有（ ）.
A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个
答案：B.
6 35
解析 （1）当 x 1时，不等式 | x 5 | | x 1| 35 化为5 x 1 x 35 ，所以 x ，此时不等
2
6 35
式的解为 x 1.
2
（2）当1 x 5时，不等式 | x 5 | | x 1| 35 化为5 x x 1 35 ，即 4 35 ，恒成立，此时不等
式的解为1 x 5.
6 35
（3）当 x 5 时，不等式 | x 5 | | x 1| 35 化为 x 5 x 1 35 ，所以 x ，此时不等式的
2
6 35
解为5 x .
2
6 35 6 35
综合可知，不等式 | x 5 | | x 1| 35 的解为 x .
2 2
6 35 6 35
又因为 0 1，5 6，所以满足不等式 | x 5 | | x 1| 35 的整数 x 共有 5 个，分别
2 2
为 1，2，3，4，5.
3.在△ABC 中，∠CAB=120 ，作 AD⊥AB交 BC 于点 D，若 AB=CD=1 ，则 BD 的长为（ ）.
A. 3 B. 2 C. 3 3 D. 3 2
答案：D.
解析 过点 C 作 CH⊥AB，交 BA 的延长线于点 H，设 BD x， AH y .
BD BA x 1 1
因为 AD∥CH，所以 ，即 ，所以 y .
CD AH 1 y x
在 Rt△ACH 中，∠CAH=60 ，故可得CH 3AH 3y .
在 Rt△BCH 中，由勾股定理可得 BC2 BH 2 CH 2 ，即 (x 1)2 (y 1)2 ( 3y)2 .
1
把 y 代入，整理得 x4 2x3 2x 4 0，因式分解得 (x 2)(x3 2) 0，解得 x 3 2 .
x
4.设m 和 n为任意给定的整数，关于 x 的两个一元二次方程 x2 10mx 5n 2 0 和 x2 10mx 5n 2 0
中，有整数根的方程的个数为（ ）.
A.0 B.1 C.2 D.不确定
答案：A.
解析 两方程的判别式分别为
(10m)21 4(5n 2) 4(25m
2 5n 2) ，
2 ( 10m)
2 4(5n 2) 4(25m2 5n 2) ，
当 1 ≥0 ， 2 ≥ 0 时，两方程的根分别为 5m 25m
2 5n 2 和5m 25m2 5n 2 .
因为 25m2 5n 5(5m2 n)是 5的倍数，所以 25m2 5n 2的个位数字为 2或 7，25m2 5n 2 的个位数
字为 3或 8，而一个完全平方数的个位数字只能是 0，1，4，5，6，9这 6个数字之一，所以 25m2 5n 2和
25m2 5n 2 都不是完全平方数，进而可知 5m 25m2 5n 2 和5m 25m2 5n 2 都不是整数.所以，
关于 x 的两个一元二次方程 x2 10mx 5n 2 0 和 x2 10mx 5n 2 0 都没有整数根.
5.将 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10按任意顺序写成一行，依次记为 a1，a2， ，a10，设 S1 a1 ，S2 a1 a2 ，…，
S10 a1 a2 a10 .在 S1，S2， ，S10 中，质数的个数最多是（ ）.
A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个
答案：C.
解析 显然， S10 1 2 10 55不是质数，加到第 2 个奇数时所得的和、加到第 4 个奇数时所得的
和都是大于 2的偶数，也不会是质数，所以，在 S1，S2， ，S10 中，质数的个数不超过 7个.
另一方面，如果按照下表顺序排列，可知 S1，S2， ，S10 中可以有 7个质数.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ai 7 6 4 2 9 1 3 5 10 8
Si 7 13 17 19 28 29 32 37 47 55
故质数的个数最多为 7.
二、填空题（本题满分 30 分，每小题 6分）
本题共有 5个小题，将你的答案填在题中的横线上，每小题答案正确得 6分，答案错误（不论是否写在
横线上）得 0分.
1 1
6.已知 xx, y 满足 2 2026，1013y 2026 ，则 ________.
x y
答案：1.
解析 由条件可得： 2xy 2026y ，1013xy 2026x .所以 2xy 1013xy 2026y 2026x ，即 2026xy 2026x y ，
1 1
所以 xy x y ，故 1.
x y
x8 47x4 1
7.已知 x2 5x 1 0 ，则 ________.
x7 10x4 x
答案：4.
解析 因为 x2
1 1 1 1
5x 1 0 ，所以 x 5 ，计算可得 x2 23， x3 110 ， x4 527 ，所以
x x2 x3 x4
4 1x 47
x8 47x4 1 x4 527 47 480 4 .
x7 10x4 x 3 1 110 10 120x 10
x3
8.已知一次函数的图象过点 P(1，2)，且在第一象限与坐标轴围成的三角形面积最小，这个一次函数的解
析式为_____________.
答案： y 2x 4 .
解析 设一次函数的解析式为 y kx b（ k 0，b 0 ），因为一次函数的图象过点 P(1,2)，所以 2 k b .
b
设一次函数的图象交 x 轴于点 A( ，0)，交 y 轴于点 B(0，b)，则
k
1 1 b b2 (2 k)2 (2 k)2 1 4
S AOB OA OB ( ) b [( k) 4]
2 2 k 2k 2k 2( k) 2 k
1 2
( k )2 4 ≥ 4，
2 k
2
当且仅当 k ，即 k 2时取等号，此时b 4 .
k
所以，所求的一次函数的解析式为 y 2x 4 .
9.设 15个数 a1，a2， ，a15各取1，2，3中的某一个值，且满足 a
2
1 a
2 a2 78 ，a3 a3 32 15 1 2 a15 206，
则 a1 a2 a15 _______.
答案：32.
解析 设 a1，a2， ，a15中有 x 个1， y 个 2， z 个3，则
x y z 15 . ①
由 a2 a2 2 得 21 2 a15 78 x 1 y 2
2 z 32 78，即
x 4y 9z 78 . ②
由 a3 31 a2 a
3
15 206得 x 1
3 y 23 z 33 206 ，即
x 8y 27z 206 ③
联立①、②、③，解得 x 4， y 5， z 6 .所以 a1 a2 a15 x 2y 3z 32.
10.已知正整数 a,b,c 满足：1 a，b，c 9 ， abc (10 a)(10 b)(10 c) .符合要求的 (a，b，c) 共有
_______组.
答案：25.
解析 由 abc (10 a)(10 b)(10 c)得 abc 1000 100(a b c) 10(ab bc ca) abc ，所以
abc 500 50(a b c) 5(ab bc ca) 5[100 10(a b c) (ab bc ca)]，
故 abc是 5的倍数，所以 a，b，c中至少有一个是 5.
（1）如果 a，b，c中至少有两个 5，则第三个也必为 5，即 (a，b，c) (5，5，5) ，显然符合要求；
（2）如果 a，b，c中只有一个 5，当 a 5时，则bc 100 10(5 b c) 5b 5c bc ，整理得b c 10 .
这时对应的 (a，b，c)有 8种，分别是 (5，1，9)， (5，2，8) ， (5，3，7) ， (5，4，6)， (5，6，4)， (5，7，3) ， (5，8，2) ， (5，9，1)；
同理，当b 5或 c 5时，对应的 (a，b，c)也各有 8种.
所以，符合要求的 (a，b，c)共有1 8 8 8 25 种.
三、解答题（本题满分 60 分，每小题 15分）
11.用[x]表示不超过实数 x 的最大整数，设{x} x [x].已知正实数 a,b,c 满足如下方程组：
2[a] {b} c 3,

2b [c] 2{a} 7.2,

a 2[b] {c} 6.9.
求 2a b c的值.
解析 设 *[a] A，{a} x ，[b] B ，{b} y ，[c] C ，{c} z ，其中A，B，C N ，x，y，z 0，1 ，则
2A C y z 3， ①
2B C 2x 2y 7.2， ②
A 2B x z 6.9. ③ …………………3分
由①式可知C 2A 3， z y . …………………5分
代入②③得: A B x y 5.1， A 2B x y 6.9 .于是可得：
2A 3B 12， B 2(x y) 1.8 . …………………9分
又因为 A，B，C *N ，分析可得： B 0 ， A 6 ， x y 0.9 ，C 2A 3 9或
B 2 ，A 3，x y 0.1，C 2A 3 3 . ……………………13 分
所以 2a b c 2A 2x (B y) (C z) 2A B C 2(x y) 3 B 2(x y)，
代入得 2a b c的值为 4.8或 0.8 . …………………15 分
12.已知直角△ABC的三边长 a,b,c 为正整数，且这个三角形的周长与面积的数值相等.试判断关于 x
的一元二次方程 x2 (a b c)x abc 0是否有实数根.
解析 1 因为 x2 (a b c)x abc是关于 a，b，c 的轮换对称式，不妨设 c 为斜边长，则由条件可
得：
a2 b2 c2 ， ①
1
a b c ab . ② …………………3分
2
1 1 1
由②得 a b ab c，结合①可得： (a b)2 a2b2 abc c2 a2b2 abc a2 b2 ，整理得
2 4 4
1
abc a2b2 2ab . …………………7分
4
所以，一元二次方程 x2 (a b c)x abc 0的判别式
2 1 2 1 3 (a b c) 4abc ( ab) 4( a2b2 2ab) 8ab a2b2
1
ab(32 3ab) . ……………10 分
2 4 4 4
1
又因为直角△ABC的三边长 a,b,c 为正整数，易知 ab≥3 4 12，所以 ab(32 3ab) 0，故关于 x
4
的一元二次方程 x2 (a b c)x abc 0没有实数根. …………………15 分
解析 2 因为 x2 (a b c)x abc是关于 a,b,c 的轮换对称式，不妨设 c 为斜边长，则由条件可得：
a2 b2 c2 ， ①
1
a b c ab . ② …………………3分
2
1
由①②消去 c ，可得 a2 b2 ( ab a b)2 ，整理得 ab 4(a b) 8 0 ，所以 (a 4)(b 4) 8.
2
a 4 1, a 4 2, a 5, a 6,
又 a，b为正整数（不妨设 a ≤b ），所以 或 ，解得 或
b 4 8, b 4 4, b 12, b 8.
…………………9分
当 a 5，b 12 时， c 13，方程 2 2x (a b c)x abc 0即 x 30x 780 0 ，它的判别式
( 30)2 4 1 780 0，所以方程没有实数根. …………………12分
当 2a 6 ， b 8 时， c 10 ，方程 x2 (a b c)x abc 0 即 x 24x 480 0 ，它的判别式
( 24)2 4 1 480 0，所以方程没有实数根.
综上可知，关于 x 的一元二次方程 x2 (a b c)x abc 0没有实数根. …………………15 分
13.一个各位数字互不相同的四位数 A 是完全平方数，它的各位数字之和是一个完全平方数 B，且 A 除
以 B 的商也是一个完全平方数.求满足条件的四位数 A.
A
解析 由条件，不妨设 A x2 ， B y2 ， z2 ， x, y, z 均为自然数，易知32≤ x ≤99 .
B
考虑 A 的各位数字之和，最小为1 0 2 3 6 ，最大为9 8 7 6 30，在 6 到 30 之间的完全平方数
有 9、16、25，即 B y2 可能为 9、16、25. …………………3分
如果 B y2 25，则 A Bz2 25z2 ，故 A 的末两位是 00、25、50、75.因为 A 是完全平方数，被 4 除所
得余数只能是 0 或 1，而 A 的各位数字互不相同，所以 A 的末两位只能是 25，设 A ab25 ，则 a b 2 5 25，
所以 a b 18，只可能 a b 9 ，不满足 A 的各位数字互不相同.所以，此时没有符合条件的数.
…………………6分
如果 2 2B y2 16，则 A Bz 16z ，故 x 4z .因为一个数除以 9 所得余数和它的各位数字之和除以 9
所得余数相同，所以 A 16z2 除以 9 所得余数为 7（ B 16 除以 9 所得余数），进而可知 7z2 除以 9 所得余数
为 7，所以 z2 除以 9所得余数为 1，故 z2 9k 1（ k 为自然数），变形得 (z 1)(z 1) 9k ，注意到 z 1和 z 1
不可能都是 3 的倍数，所以 z 1或 z 1是 9 的倍数.又32≤ x 4z ≤99，所以 z 的值只可能为 8，10，17，
19.当 z 8时， A 16z2 1024 ，不符合条件；当 z 10 时， A 16z2 1600 ，不符合条件；当 z 17 时，
A 16z2 4624，不符合条件；当 2z 19 时， A 16z 5776 ，不符合条件.综上可知，此时没有符合条件的
数. …………………11分
如果 B y2 9 ，则 A Bz2 9z2，故 x 3z ，在 32 到 99 中是 3 的倍数的数有 33，36，…，99.因为 A
的各位数字互不相同且和为 9，四个数位上的数字的不同组合只有三种：(0，1，2，6)、(0，1，3，5)、(0，
2，3，4).验证可知：只有 482 2304，512 2601符合题设要求.
综上可知，满足条件的四位数 A 有：2304，2601. …………………15 分
14.如图，点 D、E 分别是△ABC 的外接圆 O 的劣弧 BC 和 AB 的中点，点 F 在 AB 的延长线上，
AF＝AC，设△ABC 的内心为 I，EB 的延长线交 FI 于点 P.证明：DP⊥AB.
证明 如图，连结 AD，DF，DB，DC.
因为点 D 是 BC 的中点，所以∠CAD＝∠BAD，DC＝DB. …………………3分
又因为 I 是△ACB 的内心，所以点 I 在 AD 上，故∠CAI＝∠BAI＝∠FAI.
又 AF＝AC，所以△CAI≌△FAI， …………………6分
并且直线 AD 垂直平分线段 CF，所以 DF＝DC＝DB. …………………9分
因为 E 是 AB 的中点，所以 C、I、E 三点共线，连接 CE，可得
∠PBF＝∠ABE＝∠ACE＝∠ACI＝∠AFI＝∠PFB，
所以 PF＝PB. ………………12 分
又 DF＝DB，所以点 P 和点 D 都在线段 BF 的中垂线上，故 DP⊥BF，即 DP⊥AB. ………………15分

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