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福建省第二届“卓越杯”数学思维能力测评
高中组测试试题
（测试时间 90 分钟，试卷满分 120 分）
一、选择题(5 道题，每题 6 分，共 30 分)
3 4i
1. 已知复数 z ,则 | z 2z |的值为( ).
1 i
A. 65 B. 3 C. 4 D. 58
2 2
2. 3100 除以17的余数是 ( ).
A.11 B.12 C.13 D.14
3.已知{1，2} A {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A的元素个数不超过 7 ,则这样的集合 A的
个数为 ( ).
A. 210 B. 219 C.221 D.209
4. ABC中，三内角 A,B,C A 2 中 ,对边 a 3 . ABC的外心为O,它到边
3
AB、AC的距离分别为 d1 ,d 2 .则3d1 4d 2 的最大值为 ( ).
A. 35 B. 37 C.6 D. 39
a,b 2 45. 已知正实数 满足 1, 2则 a b a b 2 的最小值为 ( ).
a b
A. 20 B. 4 22 C.18 D.12 3
二．填空题（5 道题，每题 6 分，共 30 分)
6. 已知 | a | 2, | b | 4, a与b 的夹角为 ，且 (a b) (a 2b), __________ .
3
7. (lg 2)3 (lg5)3 3lg 2 lg5 10 lg 2025 __________ .
8 .在1,2,3,...,500这 500个正整数中，能被 3、5、7中至少一个整除的数共有 ____个.
3
9. n数列{an}的通项公式为 an n ,记其前 n项的和为 S2 n
.则 Sn __________ .
1
10.已知对任意 x R,都有不等式 e x ax b.恒成立.则 ab的最小值为
___________ .
二．解答题(四道题 60 分，每道题 15 分,每问 5 分)
11. 3 2已知三次函数 f (x) x ax bx 1, x R (其中 a,b是常数)的图像经过点
( 1, 7), (1,3).
(1)求 f (x)；
(2)利用函数单调性定义证明： f (x)在 R上单调递增；
11
(3)求 f (k) f ( 9) f ( 8) ... f (10) f (11)的值.
k 9
12.如图, 梯形 ABCD中, AD // BC, 已知
2 2 2 2
成立恒等式 AC BD m(AB DC ) nAD BC.
(1)试给出常数m、n的值;
(2)证明你所得到的关系式;
(3)求证： | AC BD | | AB DC | .
2
13.已知 A( 1,0),B(1,0)， MAB中，M 为动点，记 MAB , MBA ,
M 满足条件： cos cos k sin( ) （ k为常数， k 1）.记动点M 轨迹上的点
到原点的距离最小值为 f (k) .
（1）求M 点的轨迹方程；
（2）求 f (k)的解析式; (3)求证 f (2) f (3) ... f (n) 3 .
4
(3) 3求证 f (2) f (3) ... f (n) .
4
3
14.已知数集 A {a1 ,a2 ,...,an}(1 a1 a2 ... an ,n 2)具有性质 P：对任意
a
满足1 i j n的数 ai ,a j ,
j
都有： aia j 与 两个数中至少有一个属于 A.ai
（1）分别判断数集{1,4,8},{1,2.4.8.16}是否具有性质 P,并说明理由；
a a ... a
（2）证明： a1 1, 且
1 2 n
1 1 1 a ;a1 a2 ... a
n
n
（4）证明： n 5时， a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5成等比数列.
4
福建省第二届“卓越杯”数学思维能力总评高中组测试试题
参考答案和评分标准
一、选择题（共 30 分，每小题 6 分）
(本题共有 5个小题，将你的答案填在题中的括弧内，每小题答案正确得 6分，
不选、选错或选出的代号字母超过一个，一律得 0 分)
3 4i
1. 已知复数 z ,则 | z 2z |的值为( ).1 i
A. 65 B. 3 C. 4 D. 58
2 2
答案：D.
z 3 4i (3 4i)(1 i) 1 7i , z 1 7i解析： .于是
1 i (1 i)(1 i) 2 2
w z 2z 1 7i 1 7i 3 7i 2 ,
2 2 2
w 3 7i 58故 .
2 2
2. 3100 除以17的余数是 ( ).
A.11 B.12 C.13 D.14
答案：C.
解析：
33 1（0 mod17),34 30 4(mod17),35 12 （5 mod17),
36 15 2,37 6(mod17),38 18 1(mod17),316 (38 )2 ( 1)2 1(mod17),
3100这样 （316）6 34 16（ 4） 4 1（3 mod17).
3. 已知{1，2} A {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A的元素个数不超过 7 ,则这样的集合 A的
个数为 ( ).
A. 210 B. 219 C.221 D.209
1
答案： B.
解析：集合 A必含有元素 1 和 2，剩下的元素在集合{3,4,...,9,10}这个 8 元集合选
不超过 5 个元素即可.方法总数为
N C 0 C1 C 2 C 3 C 4 58 8 8 8 8 C8 1 8 28 56 70 56 219.
或
N 28 C 6 C 7 88 8 C8 256 28 8 1 219.
4. ABC中，三内角 A,B,C 2 中 A ,对边 a 3 . ABC的外心为O,它到边
3
AB、AC的距离分别为 d1 ,d 2 .则3d1 4d 2 的最大值为 ( ).
A. 35 B. 37 C.6 D. 39
答案： B.
解析： ABC a 3的外接圆半径 R 1, d R cosC,d R cosB .
2sin A 1 22sin
3
于是3d1 4d 2 4cosB 3cosC, 注意到恒等式：
(4cosB 3cosC)2 (4sin B 3sinC)2 25 24cos(B C) 25 24cos 37,
3
于是 4cosB 3cosC 37,当 4sin B 3sinC 4b 3c时取等.
故3d1 4d 2 的最大值为 37.
2 4
5. 已知正实数 a,b满足 1,则 L a b a2 b2 的最小值为 ( ).
a b
A. 20 B. 4 22 C.18 D.12 3
答案： A.
2 4
解析 1：利用等式 1,得到 ab 4a 2b,于是
a b
(a b a2 b2 )(a b a2L a b a2 b2 b
2 ) 2ab
.
a b a2 b2 a b a2 b2
8a 4b
于是 L .
a b a2 b2
2
2 a b
利用柯西不等式知 a b 2 , 为待定正常数.
1 2
8a 4b
故 L . ①
(1 1 )a (1 )b
1 2 1 2
1 1 2 1 2 1 1 4令 （ ） 2 ,平方得到 .将之代入①，
1 2 1 2 3
20
得到 L 20, 当 a 5,b 可取等. 于是所求最小值为 20.
3
2 4
解析 2： 由已知条件 1,，得到 ab 4a 2b,于是，有
a b
2
L a b a 2 b2 [a b a b
2 ][a b a 2 b2 ]

a b a 2 b2
2ab 4a 2b
，
a b a 2 b2 a b a 2 b2
由此得到

a b a
2 b2 L，

a b a 2 b2 8a 4b ,
L
因此得到
(2 8 )a (2 4 )b L 0 .
L L
2 4 4a
由已知条件 1,得到b ，代入上式，并经化简得到
a b a 2
(2 8 )a2 (L 4)a 2L 0，
L
由于 L有最小值，因此有
[ (L 4)]2 8L(2 8 ) L2 24L 80 (L 4)(L 20) 0 ，
L
20
由此得到 L 20，并求得这时 a 5,b .
3
故选 A.
解析 3：设 r a 2 b 2 ,a r cos ,b r sin , (0, ).
2
2 4 1 2 4代入等式 ，得到 r .于是有
a b cos sin
3
L a b a 2 b 2 r(cos sin ) r
2 4
( )(cos sin ) 2 4
cos sin cos sin
L 6 2(1 sin ) 4(1 cos )于是 .
cos sin
2
记 t tan (0,1),则 sin 2t 2 , cos
1 t
2 ,于是得到2 1 t 1 t
L 6 2(1 t) 4 4t 4(1 t) t 1 t 6 (2 ) [4 ] 12 4( ) 12 8 20,
1 t t 1 t t 1 t t
取等不再赘述.
二、填空题(共 30 分，每题 6 分)(注意：答案不正确、多填、少填均不给分)
6 .已知 | a | 2, | b | 4, a 与b的夹角为 ，且 (a b) (a 2b),则 ______ .
3
1
答案： .
7
解析：由 (a b) (a 2b)得到
2 2
(a b) (a 2b) a ( 2)a b 2 b 0 ②
2 2
利用题目条件知 a 4, b 16, a b 2 4 cos 4, 代入②式得
3
4 （4 2 1 ） 32 0, .
7
7. (lg 2)3 (lg5)3 3lg 2 lg5 10 lg 2025 __________ .
答案：2026.
解析： (lg 2)3 (lg5)3 3lg 2 lg5 (lg 2)3 (lg5)3 3lg 2 lg5 (lg 2 lg5)
(lg 2 lg5)3 lg310 1.
lg 2025
又由对数指数恒等式知10 2025,于是题中式子等于 2026.
8.在1,2,3,...,500这 500 个正整数中，能被 3、5、7中至少一个整除的的数共有
_________个.
答案：271.
解析：记全集 I {x N | 1 x 500}, | X |表示集合 X 中元素个数.
4
A {x : 3 | x, x I},B {x : 5 | x, x I},C {x : 7 | x, x I},
则
A B {x :15 | x, x I},B C {x : 35 | x, x I},C A {x : 21 | x, x I},
A B C {x :105 | x, x I}. A B C {x : 3 | x,或5 | x,或7 | x, x I}.
| A | 500 166,| B | 500 100,|C | 500 可求得： 71, 3 5 7
| A B | 500 33,| B C | 500 500

15 35
14,|C A | 23,
21
| A B C | 500 4. 105
由三元容斥公式：
| A B C | | A | | B | |C | | A B | | B C | |C A | | A B C |，
所求 | A B C | 166 100 71 33 14 23 4 271.
3
9.数列{a } nn 的通项公式为 an n ,记其前 n项的和为 Sn .2
则 Sn __________ .
3
26 n 6n
2 18n 26
答案： .
2n
k 3 3 2
解析：设 k f (k) f (k 1), f (k)
ak bk ck d

2 2k
.
k
两边同乘以 2 ,得到恒等式：
k 3 ak 3 bk 2 ck d 2[a(k 1)3 b(k 1)2 c(k 1) d ]
ak 3 (6a b)k 2 ( 6a 4b c)k 2a 2b 2c d ，
比较系数得：
5
a 1 a 1

6a b 0 b 6
解得
6a 4b c 0

c 18
2a 2b 2c d 0 d 26
n 3 2
S [ f (k) f (k 1)] f (n) f (0) n 6n 18n 26 26于是 n n 0 ,即
k 1 2 2
n3S 6n
2 18n 26
n 26 . .2n
10.. 已知对任意 x R,都有 e x ax b.则 ab的最大值为 _____________.
e
答案： .
2
解析：求 ab的最大值，只需考虑 a,b同号即可. 全负时，对 x 不等式显然不成
立，因此，只需考虑 a,b 0.
x
解法一（切线法） 不等式相当于 y e 的图像位于直线 y ax b的上方，可以通过
向上平移直线使得二者相切，平移后乘积增大. 故不妨假设两者相切.
t t t
设切点为 (t,e ), 切线 y e e (x t) y et x et (1 t),于是
a e t ,b e t (1 t),
ab e2t (1 t) f (t), f ' (t) e2t (1 2t) 0,
t 1 , (ab) 1 e max f ( ) ,2 2 2
e
于是，求得 a e ,b .
2
x ' x
解法二 不等式相当于b e ax g(x), x R，g (x) e a 0, x ln a,
b g(x)min g(ln a) a(1 ln a). ab a
2 (1 ln a) (a), '(a) a(1 2ln a) 0,
a e.
ab (a) ( e) e于是 max .2
x
解法三（不等式放缩法） 有 e ax b, x 0.
6
2x
e x于是由二元均值知 2 abx , ab e h(x), 1 e求导得到 h(x)
4x min
h( ) ,
2 2
1
不难得到取等时 ax b, x a e ,b e .
2 2
x e
下面证明 e (2x 1), x R.
2
e 1
只需证明 (x) e x (2x 1) 0,求导得到 (x)min ( ) 0, (x) 0.2 2
三、解答题 (四道题 60 分，每道题 15 分,每小问 5 分 ) (学生解答与标答不同，只要过
程严谨、答案正确，给满分;部分正确的酌情给分.)
11.已知三次函数 f (x) x3 ax 2 bx 1, x R (其中 a,b是常数)的图像经过点
( 1, 7), (1,3).
(1)求 f (x)；
(2)利用函数单调性定义证明： f (x)在 R上单调递增；
11
(3)求 f (k) f ( 9) f ( 8) .... f (11)的值.
k 9
1 a b 1 7 a 3
解析：(1)由题意 ，解得
1 a b 1 3

b 4
f (x) x3 2故 3x 4x 1. ......5 分
（2） x1 , x2 R,且 x1 x2 .
f (x ) f (x ) (x 3 x 3则 1 2 1 2 ) 3(x
2
1 x
3
2 ) 4(x1 x2 )
(x1 x
2
2 )(x1 x1x2 x
2
2 3x1 3x2 4)
g(x 2 21) x1 x1x2 x2 3x1 3x2 4 x
2
1 (x2 3)x1 x
2
2 3x2 4,
2 2
此二次式的判别式 (x2 3) 4(x2 3x2 4) 3(x2 1)
2 4 0,于是
g(x1 ) 0. 又 x1 x2 , x1 x2 0,故 f (x1 ) f (x2 ) (x1 x2 )g(x1 ) 0,
7
知 f (x)是 R上增函数. ......10 分
(3) 求 和两 两 首 尾等 距 配 对 ,每 一对 中 自 变量 和 为 2, 故 我们 可 考 虑形 如
f (1 x) f (1 x)式子的值是否为一定值.具体计算如下：
f (1 x) f (1 x)
[(1 x)3 (1 x)3] 3[(1 x)2 (1 x)2 ] 4[(1 x) (1 x)] 2
(2 6x 2 ) 3(2 2x 2 ) 8 2 6,
在上述等式中依次令 x 10, 9, 8,...., 1得到：
f ( 9) f (11) 6, f ( 8) f (10) 6,..., f (0) f (2) 2,及 f (1) 3,
11
将此 11 个式子相加得到 f (k) 6 10 3 63. ......15 分
k 9
12. 如图, 梯形 ABCD中, AD // BC, 已知
2 2 2 2
成立恒等式 AC BD m(AB DC ) nAD BC.
(1) 试给出常数m、n的值;
(2) 证明你所得到的关系式;
(3) 求证： | AC BD | | AB DC | .
解析：(1)取两个退化梯形,如单位正方形和单位正三角形
得
( 2)2 ( 2)2 M (12 12 ) N 1 1 M 1
解得 ......5 分
2 1 1
2 M (12 12 ) N 0 1 N 2
(注：不需要过程，只要给出M ,N 正确的值，给满分 5 分）
(2) 要证明梯形中成立
AC 2 BD 2 AB 2 CD 2 2AD BC. AE BC,DF BC ，垂足依次为 E、F.
由勾股定理知：
AC 2 AB2 EC 2 BE 2 (EC BE)(EC BE) BC(BC 2BE),
2 2
同理有 BD DC BC(BC 2FC),
8
于是 (AC 2 BD 2 ) (AB 2 DC 2 ) 2BC(BC BE FC) 2BC EF.
显然四边形 AEFD是矩形，故 AD EF .
2
这样 (AC BD 2 ) (AB 2 DC 2 ) 2BC AD,于是结论成立. ......10 分
(注：若垂足落在 BC边延长线上，只要把论证中的 BC上线段视为其上有向线段即可.
学生没讨论，不扣分)
2 2 2 2
(3) 由前面结论有 AC BD AB DC 2AD BC.
对梯形运用托勒密不等式知 2AC BD 2AB DC 2AD BC,
此两式相减得：
(AC BD)2 (AB C)2 ,开方即 | AC BD | | AB DC | . ......15 分
13.已知 A( 1,0),B(1,0)， MAB中，M 为动点，记 MAB , MBA , M 满
足条件： cos cos k sin( ) （ k为常数， k 1）.
记动点M 轨迹上的点到原点的距离最小值为 f (k) .
(1)求M 点的轨迹方程；
(2)求 f (k)的解析式;
(3)求证 f (2) f (3) 3 ... f (n) .
4
解析：(1)设动点M (x, y)，则
MA (x 1)2 y 2 , MB (x 1)2 y 2 .
cos x 1
y y
,sin , cos 1 x ,sin ,
MA MB MA MB
2 y
sin( ) sin cos cos sin .
MA MB
由 cos cos k sin( ) 得
(x 1) (x 1)2 y 2 (1 x) (x 1)2 y 2 2k y ， ①
(x 1) (x 1)2 y 2 2k y (1 x) (x 1)2即 y 2 .
9
将之平方，并注意到 y 0得：
k(1 x) (x 1)2 y 2 y (k 2 x)， ②
2 2 2
y2 k (1 x ) 2 2 2再平方化简得到 2 2 2 . 由于 k 1 0,故 k x 0 x k ,(k 1)(k x )
k 2 x k 2 k 0.
再由②式得1 x 0 x 1, 又考虑到所求轨迹的对称性，知 1 x 1，
y2 k
2 (1 x2 )2
到此得到所求轨迹方程为： 2 2 2 ( 1 x 1) . ......5 分(k 1)(k x )
(2) 记M 点到原点的距离为 d ,
t k 2 x2 x2 k 2 t , 2， t (k 1,k 2 ].
k 2d 2 x2 y2 k 2 t [(k
2 1) t]2 1 2[t k (k
2 1)2
] k 2.
(k 2 1)t k 2 1 t
2
注意 d (t)在 (0, k(k 2 1)] 2上单调递增，在 (k(k 1), )单调递减；
k 2 1 k (k 2当 1) k 2 ,即1 k 5 1 (t) (k(k 2 2时， min 1)) 2k k ;2
当 k 2 k (k 2 1) k 5 1 2，即 时， min (t) (k )
1
.
2 k 2 1

2k k 2 ,k (1,
5 1];
这样 f (k) min (t)
2
......10 分
1
2 ,k
5 1
( , ).
k 1 2
（3) 由 (2)知 k 2 f (k) 1 时， 2 .k 1
1 1 1 1 1
则 f (2) f (3) f (4) ... f (n) 2 ... 2 1 32 1 42 1 (n 1)2 1 n2 1
1 1 1 1 1 1
[(1 ) ( ) ( ) ... ( 1 1) ( 1 1 )]
2 3 2 4 3 5 n 2 n n 1 n 1
. ......15 分
1 (1 1 1 1 3 )
2 2 n n 1 4
10
14.已知数集 A {a1 ,a2 ,...,an}(1 a1 a2 ... an ,n 2)具有性质 P：对任意
a j
满足1 i j n的数 ai ,a j , 都有： aia j 与 两个数中至少有一个属于 A.ai
(1) 分别判断数集{1,4,8},{1,2.4.8.16}是否具有性质 P,并说明理由；
a1 a2 ... a(2) 证明： a1 1, 且
n
a 1 1 1
an ;
1 a2 ... an
(3) 证明： n 5时， a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5成等比数列.
解析： (1)由于 4 8 8, {1,4,8},所以该数集不具有性质 P;
4
由于集合{1,2.4.8.16}得元素是16 24 k 1的所有因子组成, ak 2 ,k 1,2,3,4,5.
a
于是对任意1 i j 5, j 2 j i {1,2,4,8,16} ,所以该集合
ai
具有性质 P. ......5 分
(2)因为集合 A {a1 ,a2 ,...,an}具有性质 P,且1 a1 a2 ... an .于是
a
anan an ,anan A, 于是
n 1 A,只能是a 1.
a 1n
a a a a a
类似地，有 n A,k 2,3,...,n,又显然 n an A,且满足
n n ... n ,
ak a1 a1 a2 an
an a a于是集合{ , n ,..., n } {a ,a ,...,a },两集合元素均按升序排列，相应位置元素对应
an a
1 2 n
n 1 a1
相等：
an a a , n
a a
1 a ,...,
n a n
a a 2 a n 1
, an， ①
n n 1 2 a1
a a a a
得到 n n .... n n a
a a a 1
a2 ... an 1 an , 于是
1 2 n 1 an
a1 a2 ... an
1 且 ......10 分a a 1
a , a 1.
1 2 ... a
1 n 1
n
a a 2
(3)由(2)中的式子①知，当 n 5时成立 5 a2 ,
5 a3 ,即 a5 a2aa a 4
a3 .
4 3
11
因为1 a1 a2 ... a5 ,所以 a3a4 a2a4 a5 ,故 a3a4 A,由 A具有性质 P知道：
a4 a a a A . 由 a2a
a
4 a
2
3 得到
3 4 A,且1 3 a3 ,于是
3 a2 ,a3 a2 a3 a2 a2
a4 a3 a a a a可知 a 5 4 3 22 , a2 ,于是 n 5时， aa a a a a a 1
,a2 ,a3 ,a4 ,a5 成等比数
3 2 4 3 2 1
列. ......15 分
12

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