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(共16张PPT)
第44讲数列与不等式
考点一　与数列有关的不等式证明问题
[例1]　已知数列{an}满足a1=1,an+1an=an-2an+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
[解]　由a1=1,可得an≠0,an+1≠0.
由an+1an=an-2an+1得-=1,所以+1=2(+1),
又+1=2≠0,所以是首项、公比均为2的等比数列,所以+1=2n,则an=.
(2)记数列{an}的前n项和为Sn,求证:Sn<2.
[证明]　显然当n=1时,a1=1<2成立,
当n≥2时,2n-1≥22-1=2>1,所以<1,所以2->1,所以2n-1(2-)>1×2n-1,即2n-1>2n-1>0,所以an=<,
所以Sn=a1+a2+a3+…+an<1+++…+==2(1-)<2.
综上,Sn<2,得证.
方法总结
放缩的常见技巧
1.添加或舍去一些项,如>=|a|,>=n,
<=n.
2.将分子或分母放大或缩小,如<=-,>=-.
3.利用基本不等式,如<.
跟踪训练
1.记Sn和Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,已知{an}为等差数列,bn=,且b1=b3,4T2=S2+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
解:由题设4(b1+b2)=a1+a2+2,又bn=,则4(+)=a1+a2+2,
所以a1=2.又b1=b3,所以=,所以a3=4a1=8.
又{an}为等差数列,设公差为d,则d==3,
所以{an}是首项为2,公差为3的等差数列,故an=2+(n-1)×3=3n-1.
(2)证明:Tn<5.
证明:由(1)得bn=,则Tn=+++…+,
所以=+++…++,
作差得=1+++…+-=-+-=--,
所以Tn=5--=5-<5.
考点二　与数列有关的最值(范围)问题
[例2]　设数列{an}的前n项积为Tn,满足TnTn-1+2Tn=2Tn-1(n∈N*,n≥2),且an≠0,a1=.
(1)求数列{an}的通项公式an;
[解]　由TnTn-1+2Tn=2Tn-1,得-=.
又==,所以=+(n-1)=,所以Tn=,所以an==(n≥2).
因为当n=1时,a1=符合上式,所以an=.
(2)若数列{bn}满足bn=an+,求数列{bn}的前n项和Sn的最值.
[解]　由(1)知,an=,
所以bn=an+=+=-+2.
所以Sn=b1+b2+…+bn=(-+2)+(-+2)+…+(-+2)=-+2n,
显然Sn=-+2n在n∈N*上单调递增,
所以当n=1时,Sn的最小值是,无最大值.
跟踪训练
2.已知数列{an}是首项为的等比数列,公比q∈N*,前n项和为Sn,满足S4=5S2.
(1)求数列{an}的通项公式;
解:∵S4=5S2,
∴q≠1,
∴=,解得q=2.
∴an=×2n-1=2n-5.
(2)设bn=logaan(a>0且a≠1),求数列{bn}的前n项和Tn的最值.
解: bn=logaan=(n-5)loga2,
∴Tn=loga2=[(n-)2-]loga2,
当a>1时,Tn的最小值为T4=T5=-10loga2,无最大值;
当0考点三　与数列有关的不等式恒成立问题
[例3]　已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+cn,其中c为常数,且a2=5.
(1)求c的值,并求an;
[解]　由已知,S1=12+c×1=1+c,S2=22+c×2=4+2c,
所以a2=S2-S1=3+c=5,则c=2,所以Sn=n2+2n,
a1=S1=3,
an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1(n≥2),
且a1=3=2×1+1也成立,所以an=2n+1.
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,若 n∈N*,都有Tn[解]　由(1)可知,an=2n+1,则bn==,
则Tn=++…++,
Tn=++…++,
两式作差得,Tn=+2×(++…+)-=+2×-=-,
则Tn=5-.
因为Tn-Tn-1=5--5+=>0,n≥2,
所以数列{Tn}为递增数列.
因为>0,则T1≤Tn<5,即≤Tn<5.
又 n∈N*,都有Tn方法总结
求数列不等式中参数的取值范围问题时，要看清楚是恒成立问题,还是有解问题.若f(n)≥M恒成立,则f(n)min≥M;若f(n)≥M有解,则f(n)max≥M.
跟踪训练
3.已知数列{an}是递增的等比数列且a1+a4=9,a2a3=8.
(1)求数列{an}的通项公式;
解:设等比数列的公比为q,
依题意得
由=,解得q3=8或q3=,回代入方程组,可得
因为数列{an}是递增数列,所以则数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,数列的前n项和为Tn,若不等式λ≤Tn对任意的n∈N*恒成立,求实数λ的最大值.
解:由(1)可得an=2n-1,Sn==2n-1,
则==-,
所以Tn=(-)+(-)+…+(-)=1-.
因为f(n)=1-在n∈N*上单调递增,所以Tn=1-≥1-=.
因为不等式λ≤Tn对任意的n∈N*恒成立,所以λ的最大值为.第44讲 数列与不等式
考点一　与数列有关的不等式证明问题
[例1]　已知数列{an}满足a1=1,an+1an=an-2an+1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列{an}的前n项和为Sn,求证:Sn<2.
(1)[解]　由a1=1,可得an≠0,an+1≠0.
由an+1an=an-2an+1得-=1,所以+1=2(+1),
又+1=2≠0,所以是首项、公比均为2的等比数列,所以+1=2n,则an=.
(2)[证明]　显然当n=1时,a1=1<2成立,
当n≥2时,2n-1≥22-1=2>1,所以<1,所以2->1,所以2n-1(2-)>1×2n-1,即2n-1>2n-1>0,所以an=<,
所以Sn=a1+a2+a3+…+an<1+++…+==2(1-)<2.
综上,Sn<2,得证.
方法总结
放缩的常见技巧
1.添加或舍去一些项,如>=|a|,>=n,<=n.
2.将分子或分母放大或缩小,如<=-,>=-.
3.利用基本不等式,如<.
1.记Sn和Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,已知{an}为等差数列,bn=,且b1=b3,4T2=S2+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:Tn<5.
(1)解:由题设4(b1+b2)=a1+a2+2,又bn=,则4(+)=a1+a2+2,
所以a1=2.又b1=b3,所以=,所以a3=4a1=8.
又{an}为等差数列,设公差为d,则d==3,
所以{an}是首项为2,公差为3的等差数列,故an=2+(n-1)×3=3n-1.
(2)证明:由(1)得bn=,则Tn=+++…+,
所以=+++…++,
作差得=1+++…+-=-+-=--,
所以Tn=5--=5-<5.
考点二　与数列有关的最值(范围)问题
[例2]　设数列{an}的前n项积为Tn,满足TnTn-1+2Tn=2Tn-1(n∈N*,n≥2),且an≠0,a1=.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若数列{bn}满足bn=an+,求数列{bn}的前n项和Sn的最值.
[解]　(1)由TnTn-1+2Tn=2Tn-1,得-=.
又==,所以=+(n-1)=,所以Tn=,所以an==(n≥2).
因为当n=1时,a1=符合上式,所以an=.
(2)由(1)知,an=,
所以bn=an+=+=-+2.
所以Sn=b1+b2+…+bn=(-+2)+(-+2)+…+(-+2)=-+2n,
显然Sn=-+2n在n∈N*上单调递增,
所以当n=1时,Sn的最小值是,无最大值.
2.已知数列{an}是首项为的等比数列,公比q∈N*,前n项和为Sn,满足S4=5S2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=logaan(a>0且a≠1),求数列{bn}的前n项和Tn的最值.
解:(1)∵S4=5S2,
∴q≠1,
∴=,解得q=2.
∴an=×2n-1=2n-5.
(2)bn=logaan=(n-5)loga2,
∴Tn=loga2=[(n-)2-]loga2,
当a>1时,Tn的最小值为T4=T5=-10loga2,无最大值;
当0考点三　与数列有关的不等式恒成立问题
[例3]　已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+cn,其中c为常数,且a2=5.
(1)求c的值,并求an;
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,若 n∈N*,都有Tn[解]　(1)由已知,S1=12+c×1=1+c,S2=22+c×2=4+2c,
所以a2=S2-S1=3+c=5,则c=2,所以Sn=n2+2n,
a1=S1=3,
an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1(n≥2),
且a1=3=2×1+1也成立,所以an=2n+1.
(2)由(1)可知,an=2n+1,则bn==,
则Tn=++…++,
Tn=++…++,
两式作差得,Tn=+2×(++…+)-=+2×-=-,
则Tn=5-.
因为Tn-Tn-1=5--5+=>0,n≥2,
所以数列{Tn}为递增数列.
因为>0,则T1≤Tn<5,即≤Tn<5.
又 n∈N*,都有Tn 方法总结
求数列不等式中参数的取值范围问题时要看清楚是恒成立问题,还是有解问题.若f(n)≥M恒成立,则f(n)min≥M;若f(n)≥M有解,则f(n)max≥M.
3.已知数列{an}是递增的等比数列且a1+a4=9,a2a3=8.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Sn是数列{an}的前n项和,数列的前n项和为Tn,若不等式λ≤Tn对任意的n∈N*恒成立,求实数λ的最大值.
解:(1)设等比数列的公比为q,
依题意得
由=,解得q3=8或q3=,回代入方程组,可得
因为数列{an}是递增数列,所以则数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)由(1)可得an=2n-1,Sn==2n-1,
则==-,
所以Tn=(-)+(-)+…+(-)=1-.
因为f(n)=1-在n∈N*上单调递增,所以Tn=1-≥1-=.
因为不等式λ≤Tn对任意的n∈N*恒成立,所以λ的最大值为.[A组　基础保分练]
1.已知数列{an}的前n项和Sn=(n2+n).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列的前n项和为Tn,证明:Tn≥.
(1)解:因为Sn=(n2+n),
当n≥2时,Sn-1=[(n-1)2+(n-1)]=n2-n,
两式相减,得an=n,
当n=1时a1=(1+1)=1,满足上式,
故数列{an}的通项公式为an=n.
(2)证明:由(1)知an=n,故===-,
所以Tn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-,
由n+1≥2,则0<≤,所以1-≥,故Tn≥.
2.(2026·江苏连云港模拟)已知数列的前n项和为Sn,且Sn=+.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)数列的每一项均为正数,bn=数列的前n项和为Tn,当≥1 013时,求n的最小值.
(1)证明:当n=1时,a1=+ =2,
当n≥2时,Sn=+,
所以=,所以-=2(常数),
故数列=2为首项,2为公差的等差数列.
(2)解:由(1)知,=2+(n-1)2=2n,
得bn=
所以Tn=(1++++…+)
=(1+-1+-+-+…+-)=,
当≥1 013时,≥1 013 n≥2 026,所以n的最小值为2 026.
[B组　能力提升练]
3.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且6Sn=(an+7)(an-4),数列{bn}满足b1=4,3b1+3b2+3b3+…+3bn=4n+1-4.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=,Tn为数列{cn}的前n项和,若对任意n∈N*,Tn≥m2-m恒成立,求m的取值范围.
解:(1)由6Sn=(an+7)(an-4)=+3an-28,得6Sn+1=+3an+1-28,
两式相减得6an+1=-+3an+1-3an,即(an+1+an)(an+1-an-3)=0.
因为an>0,所以an+1-an-3=0,即an+1-an=3.
当n=1时,6a1=+3a1-28,解得a1=7或a1=-4(舍去),
所以{an}是首项为7,公差为3的等差数列,故an=3n+4.
因为3b1+3b2+3b3+…+3bn=4n+1-4,①
所以当n≥2时,3b1+3b2+3b3+…+3bn-1=4n-4,②
①-②得bn=4n,b1=4也满足bn=4n.
故{an}的通项公式为an=3n+4,{bn}的通项公式为bn=4n.
(2)因为cn===-,
所以Tn=1-+-+…+-=1-,
当n=1时,Tn取得最小值.
因为对任意n∈N*,Tn≥m2-m恒成立,所以≥m2-m,
整理得4m2-12m-7=(2m-7)(2m+1)≤0,解得m∈[-,].(共8张PPT)
1
2
3
A组　基础保分练
1.已知数列{an}的前n项和Sn=(n2+n).
(1)求数列{an}的通项公式;
解:因为Sn=(n2+n),
当n≥2时,Sn-1=[(n-1)2+(n-1)]=n2-n,
两式相减,得an=n,
当n=1时a1=(1+1)=1,满足上式,
故数列{an}的通项公式为an=n.
1
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3
(2)若数列的前n项和为Tn,证明:Tn≥.
证明:由(1)知an=n,故===-,
所以Tn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-,
由n+1≥2,则0<≤,所以1-≥,故Tn≥.
1
2
3
2.(2026·江苏连云港模拟)已知数列的前n项和为Sn,且Sn=+.
(1)证明:数列是等差数列;
证明:当n=1时,a1=+ =2,
当n≥2时,Sn=+,
所以=,所以-=2(常数),
故数列=2为首项,2为公差的等差数列.
1
2
3
(2)数列的每一项均为正数,bn=数列的前n项和为Tn,当≥1 013时,求n的最小值.
1
2
3
解:由(1)知,=2+(n-1)2=2n,
得bn=
所以Tn=(1++++…+)
=(1+-1+-+-+…+-)=,
当≥1 013时,≥1 013 n≥2 026,所以n的最小值为2 026.
1
2
3
3.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且6Sn=(an+7)(an-4),数列{bn}满足b1=4,3b1+3b2+3b3+…+3bn=4n+1-4.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
B组　能力提升练
1
2
3
解:由6Sn=(an+7)(an-4)=+3an-28,得6Sn+1=+3an+1-28,
两式相减得6an+1=-+3an+1-3an,即(an+1+an)(an+1-an-3)=0.
因为an>0,所以an+1-an-3=0,即an+1-an=3.
当n=1时,6a1=+3a1-28,解得a1=7或a1=-4(舍去),
所以{an}是首项为7,公差为3的等差数列,故an=3n+4.
因为3b1+3b2+3b3+…+3bn=4n+1-4,①
所以当n≥2时,3b1+3b2+3b3+…+3bn-1=4n-4,②
①-②得bn=4n,b1=4也满足bn=4n.
故{an}的通项公式为an=3n+4,{bn}的通项公式为bn=4n.
1
2
3
(2)设cn=,Tn为数列{cn}的前n项和,若对任意n∈N*,Tn≥m2-m恒成立,求m的取值范围.
解:因为cn===-,
所以Tn=1-+-+…+-=1-,
当n=1时,Tn取得最小值.
因为对任意n∈N*,Tn≥m2-m恒成立,所以≥m2-m,
整理得4m2-12m-7=(2m-7)(2m+1)≤0,解得m∈[-,].

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