资源简介

[A组　基础保分练]
1.已知数列1,-,,-2,,…,则该数列的第36项为(　　)
A.-36　　　　　　　　　 B.36
C.-6 D.6
答案:C
解析:因为数列1,-,,-2,,…,即,-,,-,,…,所以归纳可得该数列的通项公式为an=(-1)n+1,所以a36=(-1)36+1=-6.
2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+n,则a7=(　　)
A.140 B.120
C.40 D.50
答案:C
解析:由Sn=3n2+n可得a7=S7-S6=3×72+7-(3×62+6)=40.
3.已知函数y=f(x)的对应关系如表所示,若数列{xn}满足x1=5,且对任意正整数均有xn+1=f(xn),则x2 026的值为(　　)
x 1 2 3 4 5
f(x) 4 1 3 5 2
A.1 B.2
C.4 D.5
答案:B
解析:由题意可得,x2=f(x1)=f(5)=2,x3=f(x2)=f(2)=1,
x4=f(x3)=f(1)=4,x5=f(x4)=f(4)=5,
故数列{xn}是以4为周期的周期数列,
故x2 026=x2=2.
4.(2026·广东肇庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=n2+3n+2,则下列判断正确的是(　　)
A.数列{an}为等差数列
B.a5=11
C.数列{Sn}存在最大值
D.数列{}存在最大值
答案:D
解析:由Sn=n2+3n+2可知,当n=1时,a1=S1=6,当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+3(n-1)+2,
因为an=所以an=
故数列{an}是从第二项开始的等差数列,故A错误;
将n=5代入{an}的通项公式可得a5=2×5+2=12,故B错误;
由Sn=n2+3n+2知,数列{Sn}为递增数列,Sn不存在最大值,故C错误;
由=知,数列{}为递减数列,故存在最大值,故D正确.
5.记Sn为首项为1的数列{an}的前n项和,且=n2,则S30=(　　)
A. B.
C. D.
答案:C
解析:易得Sn+1=(n+1)2an+1,故Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an,
化简得(n2+2n)an+1=n2an,即(n+2)an+1=nan,
由a1=1知an≠0,故=,
累乘可得··…··=××…××,
即an+1==,故an=(n≥2),
当n=1时,也符合上式,故Sn=n2an=,故S30=.
6.若an=an-1+n-1(n≥2),a1=1,则a10=(　　)
A.55 B.56
C.45 D.46
答案:D
解析:由an=an-1+n-1,得a2=a1+1,a3=a2+2,
a4=a3+3,…,an=an-1+n-1(n≥2),
累加得,an=a1+1+2+3+…+n-1=n2-n+1(n≥2),
当n=1时,上式成立,
则an=n2-n+1,
所以a10=×100-×10+1=46.
7.(2026·吉林通化模拟)数列{an}的通项公式为an=,该数列的前50项中最大的项是(　　)
A.a1 B.a45
C.a46 D.a50
答案:C
解析:因为an=
=
=1+,
所以当n<,即n≤45时,<0,所以an<1.
当n>,即n≥46时,>0,所以an>1.
且n≥46时,数列{1+}为递减数列,
所以该数列的前50项中最大的项是a46.
8.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an+1=,则(　　)
A.a3= B.a5>0
C.a2 027=-1 D.S37=21
答案:AC
解析:因为a1=2,an+1=,所以a2=-1,a3=,a4=2,a5=-1<0,故A正确,B错误;
所以数列{an}是以3为周期的周期数列,则a2 027=a3×675+2=a2=-1,故C正确;
S37=a1+a2+a3+…+a37=12(a1+a2+a3)+a1=12×(2-1+)+2=20,故D错误.
9.(多选)数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=-n2+7n,则下列说法正确的是(　　)
A.{an}是递增数列
B.a10=-12
C.当n>4时,an<0
D.当n=5时,Sn取得最大值
答案:BC
解析:当n=1时,a1=S1=6,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+7n-[-(n-1)2+7(n-1)]=-2n+8,n=1也符合an=-2n+8,
所以an=-2n+8,
所以数列{an}是递减数列,故A错误;
a10=-20+8=-12,故B正确;
当n>4时,an<0,故C正确;
Sn=-n2+7n,所以当n=3或n=4时,Sn取得最大值,故D错误.
10.已知数列{an}对任意正整数n满足a1a2…an=n2,则数列{an}的通项公式an=　　　　.
答案:
解析:当n=1时,a1=1;
当n≥2时,由a1a2…an=n2可得a1a2…an-1=(n-1)2,
两式作商可得an=.
又a1=1不符合上式,所以an=
11.在数列{an}中,a1=,=,则a97=　　　　.
答案:3
解析:因为a1=,=,故有··…··=××…××,即得=,所以a97=a1=3.
[B组　能力提升练]
12.数列{an}的通项公式为an=n·3n+(2n+1)λ,若{an}为递增数列,则λ的取值范围为(　　)
A.(-,+∞) B.[-,+∞)
C.(0,+∞) D.[0,+∞)
答案:A
解析:因为{an}为递增数列,所以an+1>an.
因为an=n·3n+(2n+1)λ,所以(n+1)·3n+1+(2n+3)λ>n·3n+(2n+1)λ,
化简可得λ>-.
因为y=2x+3,y=3x在(0,+∞)上单调递增,且恒大于0,
所以f(x)=-在(0,+∞)上单调递减,
所以y=-在(0,+∞)上单调递减.因为n∈N*,所以当n=1时,[-]max=-,所以λ>-.
13.(多选)已知数列{an}的通项公式为an=,则下列说法正确的是(　　)
A.数列{an}为递增数列,且存在常数m≤-2,使得an>m恒成立
B.数列{an}为递减数列,且存在常数m≤-2,使得an>m恒成立
C.数列{an}为递增数列,且存在常数m<0,使得an≤m恒成立
D.数列{an}为递减数列,且存在常数m<0,使得an≤m恒成立
答案:BD
解析:因为an=,所以an+1=,则an+1-an=-=-=<0,所以{an}为递减数列.an===-2+,当n→+∞且n∈N*时,an→-2,当n=1时,a1=-2+=-,所以an∈(-2,-],当m≤-2时,an>m恒成立,当-≤m<0时,an≤m恒成立,则B,D正确.
14.已知数列{an}满足a1=2,若2Sn=an+1+2,则数列{an}的通项公式为　　　　.
答案:an=
解析:当n=1时,2S1=2a1=a2+2,因为a1=2,所以a2=2,
当n≥2时,2Sn-1=an+2,
则2an=2Sn-2Sn-1=an+1-an,即3an=an+1,=3,
所以{an}是首项为a2=2,公比为3的等比数列,
则an=a2·qn-2=2×3n-2,n≥2,
此时,令n=1,a1≠2,所以an=
15.已知数列{an}满足:①先单调递减后单调递增;②当n=3时取得最小值.写出一个满足条件的数列{an}的通项公式:　　　　　.
答案:an=(n-3)2(答案不唯一)
解析:设an=(n-3)2(n∈N*),则=(n-2)2,-an=(n-2)2-(n-3)2=2n-5,当1≤n≤2时,-an=2n-5<0,数列单调递减,当n≥3时,-an=2n-5>0,数列单调递增,即a1>a2>a3,a3考点一　观察法求通项公式
[例1]　如图所示的1,5,12,22被称为五边形数,将所有的五边形数从小到大依次排列,则第8个数为(　　)
A.51 B.70
C.92 D.117
[答案]　C
[解析]　由题图及五边形数知:每一个数与前一个数的差依次为4,7,10,13,16,19,22,…,所以五边形数依次为1,5,12,22,35,51,70,92,…,即第8个数为92.
1.(多选)已知数列{an}的前4项为2,0,2,0,则由此归纳该数列的通项公式可能是(　　)
A.an=(-1)n-1+1
B.an=
C.an=2sin
D.an=cos[(n-1)π]+1
答案:ABD
解析:对n=1,2,3,4进行验证,an=2sin不符合题意,其他均符合.
考点二　由an与Sn的关系求通项公式
[例2]　已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,2Sn=an+1,则数列{an}的通项公式为　　　　.
[答案]　an=
[解析]　由2Sn=an+1得,当n≥2时,2Sn-1=an,两式相减得an+1=3an,当n=1时,≠3,
所以当n≥2时,{an}是公比为3的等比数列,而a2=2,则an=2×3n-2(n≥2),
由a1=1不满足上式,得an=
方法总结
1.已知Sn求an的常用方法是利用an=转化为关于an的关系式,再求通项公式.
2.Sn与an关系问题的求解思路
思路1:利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.
思路2:利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
2.设Sn是数列{an}的前n项和,若Sn=2an+n,则a10=(　　)
A.-1 023 B.-100
C.513 D.2 036
答案:A
解析:由题意得Sn+1=2an+1+n+1,则Sn+1-Sn=2(an+1-an)+1,
所以an+1=2an-1,
则an+1-1=2(an-1).
当n=1时,由Sn=2an+n得,a1=2a1+1,解得a1=-1,
所以a1-1=-2,所以{an-1}是首项为-2,公比为2的等比数列,
则an-1=-2n,所以an=1-2n,
所以a10=1-210=1-1 024=-1 023.
3.若数列{an}的前n项和Sn=2n2-4n+1,则通项公式an=　　　　　　.
答案:
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n+1-[2(n-1)2-4(n-1)+1]=4n-6,
当n=1时,a1=2-4+1=-1不适合上式,
∴an=
考点三　由数列的递推公式求通项
[例3]　(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+ln(1+),则{an}的通项公式为　　　　.
[答案]　an=1+ln n
[解析]　an+1-an=ln(1+)=ln(n+1)-ln n,故当n≥2时,an-an-1=ln n-ln(n-1),
所以an=ln n-ln(n-1)+an-1=ln n-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+an-2=ln n-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+…+ln 2-ln 1+a1=ln n-ln 1+1=1+ln n,当n=1时也满足,所以an=1+ln n.
(2)已知数列{an}满足a1=1,a2=,=,则a8=　　　　.
[答案]　128
[解析]　由题意知,=,即=4·,又=≠0,
所以数列{}是首项为,公比为4的等比数列,
所以=×4n-1=2-5×22n-2=22n-7,
当n≥2时,an=··…··a1=22n-9·22n-11·…·2-5·1==,
所以a8=27=128.
方法总结
1.形如an+1-an=f(n)的数列,利用累加法即可求数列{an}的通项公式.
2.形如=f(n)的数列,利用累乘法即可求数列{an}的通项公式.
4.已知数列{an}的首项为2,且an+1-an=2n+1,则an=　　　　.
答案:2n+1-2
解析:因为an+1-an=2n+1,
所以当n≥2时,an-an-1=2n,an-1-an-2=2n-1,…,a3-a2=23,a2-a1=22,
累加可得an-a1=2n+2n-1+…+23+22,又a1=2,
所以an=2n+2n-1+…+23+22+2==2n+1-2.又a1=2满足上式,所以an=2n+1-2.
5.在数列{an}中,n(an+1-an)=an(n∈N*),且a3=π,则an=　　　　.
答案:
解析:由题意可知,= = =(n≥2),
显然有=2,= a2=,a1=,
由累乘法可得a1×××××…×=×2××××…× an=(n≥2).
而a1=符合,所以an=.
考点四　数列的函数特征
角度1　数列的周期性
[例4]　已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+2=an+1-an(n∈N*),则a2 025=(　　)
A.-1 B.1
C.-2 D.2
[答案]　B
[解析]　因为an+2=an+1-an,所以an+6=an+5-an+4=(an+4-an+3)-an+4=-an+3=-(an+2-an+1)=-[(an+1-an)-an+1]=an,
故数列{an}是以6为周期的周期数列,
故a2 025=a3=a2-a1=1.
角度2　数列的单调性
[例5]　已知数列{an}的通项公式为an=n2-2kn,当{an}为递增数列时,k的取值范围是(　　)
A.k< B.k≤
C.k<1 D.k≤1
[答案]　A
[解析]　因为{an}是递增数列,所以对于任意的n∈N*,都有an+1>an,
即(n+1)2-2k(n+1)>n2-2kn,化简得k所以k角度3　数列的最值
[例6]　已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的最大项为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　法一:an+1-an=-=·,当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>8时,an+1-an<0,即an+1a10>a11>…,所以数列{an}有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9==.
法二:设数列{an}的第n项最大,则(n≥2),即(n≥2),解得8≤n≤9.又n∈N*,所以n=8或n=9,故数列{an}有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9=.
6.在数列{an}中,an+1=若a1=,则a2 026=(　　)
A. B.
C. D.
答案:C
解析:因为an+1=a1=,
所以a2=2a1-1=2×-1=,
a3=2a2-1=2×-1=,
a4=2a3=2×=,
a5=2a4=2×==a1,
所以数列{an}是以4为周期的周期数列,
所以a2 026=a4×506+2=a2=.
7.已知数列{}是单调递减数列,则λ的取值范围为(　　)
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.[1,+∞) D.[0,+∞)
答案:A
解析:数列{}是单调递减数列,故>,即2n+2λ>n+1+λ,λ>1-n,且n∈N*,故λ>0.
8.已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则Sn取到最小值,时n的值是(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
答案:B
解析:an==×=×=+,
由an>0,得+>0,解得n<2或n>.
因为n∈N*,所以当n=1或n≥8时,an>0,当2≤n≤7时,an≤0,
所以当n=7时,Sn取得最小值.(共20张PPT)
第39讲数列的概念
考点一　观察法求通项公式
[例1]　如图所示的1,5,12,22被称为五边形数,将所有的五边形数从小到大依次排列,则第8个数为(　　)
A.51 B.70
C.92 D.117
[解析]　由题图及五边形数知:每一个数与前一个数的差依次为4,7,10,13,16,19,22,…,所以五边形数依次为1,5,12,22,35,51,70,92,…,即第8个数为92.
C
跟踪训练
1.(多选)已知数列{an}的前4项为2,0,2,0,则由此归纳该数列的通项公式可能是(　 　)
A.an=(-1)n-1+1 B.an=
C.an=2sin D.an=cos[(n-1)π]+1
解析:对n=1,2,3,4进行验证,an=2sin不符合题意,其他均符合.
ABD
考点二　由an与Sn的关系求通项公式
[例2]　已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,2Sn=an+1,则数列{an}的通项
公式为　 　　　.
[解析]　由2Sn=an+1得,当n≥2时,2Sn-1=an,两式相减得an+1=3an,当n=1时,≠3,
所以当n≥2时,{an}是公比为3的等比数列,而a2=2,则an=2×3n-2(n≥2),
由a1=1不满足上式,得an=
an=
方法总结
1.已知Sn求an的常用方法是利用an=转化为关于an的关系式,再求通项公式.
2.Sn与an关系问题的求解思路
思路1:利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.
思路2:利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
跟踪训练
2.设Sn是数列{an}的前n项和,若Sn=2an+n,则a10=(　　)
A.-1 023 B.-100 C.513 D.2 036
解析:由题意得Sn+1=2an+1+n+1,则Sn+1-Sn=2(an+1-an)+1,
所以an+1=2an-1,
则an+1-1=2(an-1).
当n=1时,由Sn=2an+n得,a1=2a1+1,解得a1=-1,
所以a1-1=-2,所以{an-1}是首项为-2,公比为2的等比数列,
则an-1=-2n,所以an=1-2n,
所以a10=1-210=1-1 024=-1 023.
A
3.若数列{an}的前n项和Sn=2n2-4n+1,则通项公式an=　　 　　　　.
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n+1-[2(n-1)2-4(n-1)+1]=4n-6,
当n=1时,a1=2-4+1=-1不适合上式,
∴an=
考点三　由数列的递推公式求通项
[例3]　(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+ln(1+),则{an}的通项公式为
　 　　　.
[解析]　an+1-an=ln(1+)=ln(n+1)-ln n,故当n≥2时,an-an-1=ln n-ln(n-1),
所以an=ln n-ln(n-1)+an-1=ln n-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+an-2=ln n-ln(n-1)
+ln(n-1)-ln(n-2)+…+ln 2-ln 1+a1=ln n-ln 1+1=1+ln n,当n=1时也满足,所以an=1+ln n.
an=1+ln n
(2)已知数列{an}满足a1=1,a2=,=,则a8=　　　　.
[解析]　由题意知,=,即=4·,又=≠0,
所以数列{}是首项为,公比为4的等比数列,
所以=×4n-1=2-5×22n-2=22n-7,
当n≥2时,an=··…··a1=22n-9·22n-11·…·2-5·1
==,
所以a8=27=128.
128
方法总结
1.形如an+1-an=f(n)的数列,利用累加法即可求数列{an}的通项公式.
2.形如=f(n)的数列,利用累乘法即可求数列{an}的通项公式.
跟踪训练
4.已知数列{an}的首项为2,且an+1-an=2n+1,则an=　　　　.
解析:因为an+1-an=2n+1,
所以当n≥2时,an-an-1=2n,an-1-an-2=2n-1,…,a3-a2=23,a2-a1=22,
累加可得an-a1=2n+2n-1+…+23+22,又a1=2,
所以an=2n+2n-1+…+23+22+2==2n+1-2.又a1=2满足上式,所以an=2n+1-2.
2n+1-2
5.在数列{an}中,n(an+1-an)=an(n∈N*),且a3=π,则an=　　　　.
解析:由题意可知,= = =(n≥2),
显然有=2,= a2=,a1=,
由累乘法可得a1×××××…×=×2××××…× an=(n≥2).
而a1=符合,所以an=.
角度1　数列的周期性
[例4]　已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+2=an+1-an(n∈N*),则a2 025
=(　　)
A.-1 B.1 C.-2 D.2
[解析]　因为an+2=an+1-an,所以an+6=an+5-an+4=(an+4-an+3)-an+4=-an+3=
-(an+2-an+1)=-[(an+1-an)-an+1]=an,
故数列{an}是以6为周期的周期数列,
故a2 025=a3=a2-a1=1.
考点四　数列的函数特征
B
角度2　数列的单调性
[例5]　已知数列{an}的通项公式为an=n2-2kn,当{an}为递增数列时,k的取值范围是(　　)
A.k< B.k≤
C.k<1 D.k≤1
[解析]　因为{an}是递增数列,所以对于任意的n∈N*,都有an+1>an,
即(n+1)2-2k(n+1)>n2-2kn,化简得k所以kA
角度3　数列的最值
[例6]　已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的最大项为(　　)
A. B.
C. D.
D
[解析]　法一:an+1-an=-=·,当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>8时,an+1-an<0,即an+1a10>a11>…,所以数列{an}有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9==.
法二:设数列{an}的第n项最大,则(n≥2),即(n≥2),解得8≤n≤9.又n∈N*,所以n=8或n=9,故数列{an}有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9=.
6.在数列{an}中,an+1=若a1=,则a2 026=(　　)
A. B.
C. D.
跟踪训练
C
解析:因为an+1=a1=,
所以a2=2a1-1=2×-1=,
a3=2a2-1=2×-1=,
a4=2a3=2×=,
a5=2a4=2×==a1,
所以数列{an}是以4为周期的周期数列,
所以a2 026=a4×506+2=a2=.
7.已知数列{}是单调递减数列,则λ的取值范围为(　　)
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C.[1,+∞) D.[0,+∞)
解析:数列{}是单调递减数列,故>,即2n+2λ>n+1+λ,λ>1-n,且n∈N*,故λ>0.
A
8.已知数列{an}的通项公式为an=,前n项和为Sn,则Sn取到最小值时,n的值是(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
解析:an==×=×=+,
由an>0,得+>0,解得n<2或n>.
因为n∈N*,所以当n=1或n≥8时,an>0,当2≤n≤7时,an≤0,
所以当n=7时,Sn取得最小值.
B(共21张PPT)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A组　基础保分练
1.已知数列1,-,,-2,,…,则该数列的第36项为(　　)
A.-36　　　　　　　　　 B.36
C.-6 D.6
解析:因为数列1,-,,-2,,…,即,-,,-,,…,所以归纳可得该数列的通项公式为an=(-1)n+1,所以a36=(-1)36+1=-6.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+n,则a7=(　　)
A.140 B.120
C.40 D.50
解析:由Sn=3n2+n可得a7=S7-S6=3×72+7-(3×62+6)=40.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3.已知函数y=f(x)的对应关系如表所示,若数列{xn}满足x1=5,且对任意正整数均有xn+1=f(xn),则x2 026的值为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.5
解析:由题意可得,x2=f(x1)=f(5)=2,x3=f(x2)=f(2)=1,
x4=f(x3)=f(1)=4,x5=f(x4)=f(4)=5,
故数列{xn}是以4为周期的周期数列,
故x2 026=x2=2.
x 1 2 3 4 5
f(x) 4 1 3 5 2
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4.(2026·广东肇庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=n2+3n+2,则下列判断正确的是(　　)
A.数列{an}为等差数列
B.a5=11
C.数列{Sn}存在最大值
D.数列{}存在最大值
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:由Sn=n2+3n+2可知,当n=1时,a1=S1=6,当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+
3(n-1)+2,
因为an=所以an=
故数列{an}是从第二项开始的等差数列,故A错误;
将n=5代入{an}的通项公式可得a5=2×5+2=12,故B错误;
由Sn=n2+3n+2知,数列{Sn}为递增数列,Sn不存在最大值,故C错误;
由=知,数列{}为递减数列,故存在最大值,故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5.记Sn为首项为1的数列{an}的前n项和,且=n2,则S30=(　　)
A. B.
C. D.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:易得Sn+1=(n+1)2an+1,故Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an,
化简得(n2+2n)an+1=n2an,即(n+2)an+1=nan,
由a1=1知an≠0,故=,
累乘可得··…··=××…××,
即an+1==,故an=(n≥2),
当n=1时,也符合上式,故Sn=n2an=,故S30=.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6.若an=an-1+n-1(n≥2),a1=1,则a10=(　　)
A.55 B.56 C.45 D.46
解析:由an=an-1+n-1,得a2=a1+1,a3=a2+2,
a4=a3+3,…,an=an-1+n-1(n≥2),
累加得,an=a1+1+2+3+…+n-1=n2-n+1(n≥2),
当n=1时,上式成立,
则an=n2-n+1,
所以a10=×100-×10+1=46.
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7.(2026·吉林通化模拟)数列{an}的通项公式为an=,该数列的前50项中最大的项是(　　)
A.a1 B.a45
C.a46 D.a50
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:因为an=
=
=1+,
所以当n<,即n≤45时,<0,所以an<1.
当n>,即n≥46时,>0,所以an>1.
且n≥46时,数列{1+}为递减数列,
所以该数列的前50项中最大的项是a46.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,an+1=,则(　　)
A.a3= B.a5>0
C.a2 027=-1 D.S37=21
解析:因为a1=2,an+1=,所以a2=-1,a3=,a4=2,a5=-1<0,故A正确,B错误;
所以数列{an}是以3为周期的周期数列,则a2 027=a3×675+2=a2=-1,故C正确;
S37=a1+a2+a3+…+a37=12(a1+a2+a3)+a1=12×(2-1+)+2=20,故D错误.
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9.(多选)数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=-n2+7n,则下列说法正确的是(　　)
A.{an}是递增数列
B.a10=-12
C.当n>4时,an<0
D.当n=5时,Sn取得最大值
BC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:当n=1时,a1=S1=6,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+7n-[-(n-1)2+7(n-1)]=-2n+8,n=1也符合an=-2n+8,
所以an=-2n+8,
所以数列{an}是递减数列,故A错误;
a10=-20+8=-12,故B正确;
当n>4时,an<0,故C正确;
Sn=-n2+7n,所以当n=3或n=4时,Sn取得最大值,故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10.已知数列{an}对任意正整数n满足a1a2…an=n2,则数列{an}的通项公
式an=　　　 　.
解析:当n=1时,a1=1;
当n≥2时,由a1a2…an=n2可得a1a2…an-1=(n-1)2,
两式作商可得an=.
又a1=1不符合上式,所以an=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11.在数列{an}中,a1=,=,则a97=　　　　.
解析:因为a1=,=,故有··…··=××…×
×,即得=,所以a97=a1=3.
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12.数列{an}的通项公式为an=n·3n+(2n+1)λ,若{an}为递增数列,则λ的取值范围为(　　)
A.(-,+∞) B.[-,+∞)
C.(0,+∞) D.[0,+∞)
B组　能力提升练
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:因为{an}为递增数列,所以an+1>an.
因为an=n·3n+(2n+1)λ,所以(n+1)·3n+1+(2n+3)λ>n·3n+(2n+1)λ,
化简可得λ>-.
因为y=2x+3,y=3x在(0,+∞)上单调递增,且恒大于0,
所以f(x)=-在(0,+∞)上单调递减,
所以y=-在(0,+∞)上单调递减.因为n∈N*,所以当n=1时,
[-]max=-,所以λ>-.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
13
15
13.(多选)已知数列{an}的通项公式为an=,则下列说法正确的是(　　)
A.数列{an}为递增数列,且存在常数m≤-2,使得an>m恒成立
B.数列{an}为递减数列,且存在常数m≤-2,使得an>m恒成立
C.数列{an}为递增数列,且存在常数m<0,使得an≤m恒成立
D.数列{an}为递减数列,且存在常数m<0,使得an≤m恒成立
BD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:因为an=,所以an+1=,则an+1-an=-=-=<0,所以{an}为递减数列.an===-2+,当n→+∞且n∈N*时,an→-2,当n=1时,a1=-2+=-,所以an∈(-2,-],当m≤-2时,an>m恒成立,当-≤m<0时,an≤m恒成立,则B,D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14.已知数列{an}满足a1=2,若2Sn=an+1+2,则数列{an}的通项公式为
　　 　　.
解析:当n=1时,2S1=2a1=a2+2,因为a1=2,所以a2=2,
当n≥2时,2Sn-1=an+2,
则2an=2Sn-2Sn-1=an+1-an,即3an=an+1,=3,
所以{an}是首项为a2=2,公比为3的等比数列,
则an=a2·qn-2=2×3n-2,n≥2,
此时,令n=1,a1≠2,所以an=
an=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15.已知数列{an}满足:①先单调递减后单调递增;②当n=3时取得最小值.写出一个满足条件的数列{an}的通项公式:　　　　 　.
解析:设an=(n-3)2(n∈N*),则=(n-2)2,-an=(n-2)2-(n-3)2=2n-5,当1≤n≤2时,-an=2n-5<0,数列单调递减,当n≥3时,-an=2n-5>0,数列单调递增,即a1>a2>a3,a3an=(n-3)2(答案不唯一)

展开更多......

收起↑