资源简介

[A组　基础保分练]
1.(2026·北京模拟)已知等差数列{an}满足a5-2a3=1,且a2=0,则a2 026=(　　)
A.2 026　　　　　　　　 B.2 025
C.2 024 D.2 023
答案:C
解析:设等差数列{an}的公差为d,由a5-2a3=1,a2=0,
得所以an=n-2,所以a2 026=2 024.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5+a6+a7=15,则S11=(　　)
A.30 B.55
C.80 D.110
答案:B
解析:因为{an}是等差数列,故a5+a6+a7=3a6=15,解得a6=5,
则S11==11a6=55.
3.(2026·吉林长春模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=S9=6,则S12=(　　)
A.0 B.3
C.6 D.12
答案:A
解析:因为{an}是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,
又S3=S9=6,所以6,S6-6,6-S6,S12-6成等差数列,
则6+S12-6=S6-6+6-S6,则S12=0.
4.(2026·河北秦皇岛模拟)在等差数列{an}中,若a8=1,3a6+2a4=a2,则数列{a3n-1}的前8项和为(　　)
A.26 B.50
C.-2 D.-6
答案:A
解析:设等差数列{an}的公差为d,
因为a8=1,3a6+2a4=a2,可得3(1-2d)+2(1-4d)=1-6d,解得d=,所以an=a8+(n-8)d=n-3,所以a3n-1=(3n-7),
所以数列{a3n-1}的前8项和为S8=8×(-2)+×=26.
5.(多选)已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和,且S10>0,a6<0,则下列说法正确的是(　　)
A.{an}的公差d<0 B.a4+a5+a6<0
C.S11>0 D.S5≥Sn
答案:AD
解析:由S10==5(a5+a6)>0,由于a6<0,
故a5>0,因此d=a6-a5<0,A正确;
a4+a5+a6=3a5>0,B错误;
S11==11a6<0,C错误;
由于a6<0,a5>0,故S5是Sn中最大的项,故S5≥Sn,D正确.
6.(多选)(2026·河北石家庄模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+11n,则下列说法正确的是(　　)
A.数列{}为递减数列
B.当且仅当n=5时,Sn取得最大值
C.an=-2n+12
D.{}是等比数列
答案:ACD
解析:由题意可知,=-n+11,则-=-n+10-(-n+11)=-1<0,
故数列{}为递减数列,故A正确;
因为二次函数y=-x2+11x图象的对称轴为x=,且开口向下,
则当n=5或n=6时,Sn取得最大值,故B错误;
当n≥2时,Sn-1=-(n-1)2+11(n-1)=-n2+13n-12,
则an=Sn-Sn-1=-n2+11n-(-n2+13n-12)=-2n+12,
又a1=S1=10,符合上式,故an=-2n+12,n∈N*,故C正确;
令bn==2-2n+12,则==2-2,则{}是等比数列,故D正确.
7.(2026·广东广州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-1,S7=5a4+10,则S4=　　　　.
答案:8
解析:设等差数列{an}的公差为d,则7a1+21d=5(a1+3d)+10,
故a1+3d=5.又a1=-1,所以d=2,所以S4=4a1+6d=-4+12=8.
8.若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:{}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明:当n≥2时,an=Sn-Sn-1且an+2SnSn-1=0,
即(Sn-Sn-1)+2SnSn-1=0,可得-=2,且==2.
故数列{}是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)解:由(1)可知=2+2(n-1)=2n,即Sn=,
当n≥2时,an=-2SnSn-1=-,
当n=1时,a1=不符合上式,
所以an=
[B组　能力提升练]
9.(2026·河北保定模拟)已知在等差数列{an}中,a1=1,公差d>0.若数列{}也是等差数列,则d=(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案:C
解析:依题意an=dn+1-d(d>0),则=d2n+2d(1-d)+,
则-=d2+-=d2-.
又{}是等差数列,所以-=0,解得d=3或d=-1(舍去).
10.(2026·福建厦门模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若a3+a18>0,S19<0,则(　　)
A.S20<0 B.a6+a17<0
C.a11>0 D.∈(-9,-8)
答案:C
解析:由a3+a18>0有a1+a20=a3+a18>0 S20==10(a1+a20)>0,故A错误;
由S19<0 S19===19a10<0 a10<0,a10+a11=a3+a18>0,所以a11>0,故C正确;
a6+a17=a11+a12>0,故B错误;
由 -10<<-9,故D错误.
11.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则使得为整数的正整数n的值为　　　　.
答案:2或8
解析:因为=,
所以========3+,
若使为整数,则n+1是9的因数.
因为n∈N*,所以n=2或n=8.(共14张PPT)
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A组　基础保分练
1.(2026·北京模拟)已知等差数列{an}满足a5-2a3=1,且a2=0,则a2 026
=(　　)
A.2 026　　　　　　　　 B.2 025
C.2 024 D.2 023
解析:设等差数列{an}的公差为d,由a5-2a3=1,a2=0,
得所以an=n-2,所以a2 026=
2 024.
C
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2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5+a6+a7=15,则S11=(　　)
A.30 B.55
C.80 D.110
解析:因为{an}是等差数列,故a5+a6+a7=3a6=15,解得a6=5,
则S11==11a6=55.
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3.(2026·吉林长春模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=S9=6,则S12=(　　)
A.0 B.3
C.6 D.12
解析:因为{an}是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,
又S3=S9=6,所以6,S6-6,6-S6,S12-6成等差数列,
则6+S12-6=S6-6+6-S6,则S12=0.
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4.(2026·河北秦皇岛模拟)在等差数列{an}中,若a8=1,3a6+2a4=a2,则数列{a3n-1}的前8项和为(　　)
A.26 B.50
C.-2 D.-6
解析:设等差数列{an}的公差为d,
因为a8=1,3a6+2a4=a2,可得3(1-2d)+2(1-4d)=1-6d,解得d=,所以an=a8+(n-8)d=n-3,所以a3n-1=(3n-7),
所以数列{a3n-1}的前8项和为S8=8×(-2)+×=26.
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5.(多选)已知Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和,且S10>0,a6<0,则下列说法正确的是(　　)
A.{an}的公差d<0 B.a4+a5+a6<0 C.S11>0 D.S5≥Sn
解析:由S10==5(a5+a6)>0,由于a6<0,
故a5>0,因此d=a6-a5<0,A正确;
a4+a5+a6=3a5>0,B错误;
S11==11a6<0,C错误;
由于a6<0,a5>0,故S5是Sn中最大的项,故S5≥Sn,D正确.
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6.(多选)(2026·河北石家庄模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+11n,则下列说法正确的是(　 　)
A.数列{}为递减数列
B.当且仅当n=5时,Sn取得最大值
C.an=-2n+12
D.{}是等比数列
ACD
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解析:由题意可知,=-n+11,则-=-n+10-(-n+11)=-1<0,
故数列{}为递减数列,故A正确;
因为二次函数y=-x2+11x图象的对称轴为x=,且开口向下,
则当n=5或n=6时,Sn取得最大值,故B错误;
当n≥2时,Sn-1=-(n-1)2+11(n-1)=-n2+13n-12,
则an=Sn-Sn-1=-n2+11n-(-n2+13n-12)=-2n+12,
又a1=S1=10,符合上式,故an=-2n+12,n∈N*,故C正确;
令bn==2-2n+12,则==2-2,则{}是等比数列,故D正确.
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7.(2026·广东广州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=
-1,S7=5a4+10,则S4=　　　　.
解析:设等差数列{an}的公差为d,则7a1+21d=5(a1+3d)+10,
故a1+3d=5.又a1=-1,所以d=2,所以S4=4a1+6d=-4+12=8.
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8.若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.
(1)证明:{}是等差数列;
证明:当n≥2时,an=Sn-Sn-1且an+2SnSn-1=0,
即(Sn-Sn-1)+2SnSn-1=0,可得-=2,且==2.
故数列{}是首项为2,公差为2的等差数列.
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(2)求数列{an}的通项公式.
解:由(1)可知=2+2(n-1)=2n,即Sn=,
当n≥2时,an=-2SnSn-1=-,
当n=1时,a1=不符合上式,
所以an=
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9.(2026·河北保定模拟)已知在等差数列{an}中,a1=1,公差d>0.若数列{}也是等差数列,则d=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:依题意an=dn+1-d(d>0),则=d2n+2d(1-d)+,
则-=d2+-=d2-.
又{}是等差数列,所以-=0,解得d=3或d=-1(舍去).
B组　能力提升练
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10.(2026·福建厦门模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若a3+a18>0,S19<0,则(　　)
A.S20<0 B.a6+a17<0
C.a11>0 D.∈(-9,-8)
C
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解析:由a3+a18>0有a1+a20=a3+a18>0 S20==10(a1+a20)>0,故A错误;
由S19<0 S19===19a10<0 a10<0,a10+a11=a3+a18>0,所以a11>0,故C正确;
a6+a17=a11+a12>0,故B错误;
由 -10<<-9,故D错误.
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11.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则使得为整数的正整数n的值为　　　　.
解析:因为=,
所以====
====3+,
若使为整数,则n+1是9的因数.
因为n∈N*,所以n=2或n=8.
2或8(共24张PPT)
第二节　等差数列
第六章　数列
考点一　等差数列基本量的计算
[例1]　(1)(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列,则a10=(　　)
A.-20　　　　　　　　　 B.-18
C.16 D.18
[解析]　设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
因为a3,a4,a6成等比数列,且a1=-2,
所以=a3a6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得d=2或d=0(舍去),
所以a10=a1+9d=-2+9×2=16.
C
(2)(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6=(　　)
A.-20　　　　　　　　 B.-15
C.-10 D.-5
B
[解析]　法一:设等差数列{an}的公差为d,则由题可得
所以S6=6a1+15d=6×5+15×(-3)=-15.
法二:因为Sn为等差数列{an}的前n项和,所以设Sn=An2+Bn,
由S3=6,S5=-5,得
解得
所以Sn=-n2+n,所以S6=-×36+×6=-15.
法三:由S3=3a2=6,S5=5a3=-5,可得a2=2,a3=-1,
故公差d=a3-a2=-3,首项a1=a2-d=5,
所以S6=6a1+15d=6×5+15×(-3)=-15.
方法总结
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量:a1,n,d,an,Sn .知道其中三个，就能求出另外两个(简称“知三求二”).
2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.
跟踪训练
1.(2026·河南郑州模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=7,S5-6a2=5,则a1=(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
解析:设等差数列{an}的公差为d.
因为a3=7=a1+2d,S5-6a2=5=5a1+10d-6(a1+d),所以a1=3,d=2.
A
2.(多选)已知在公差为d的等差数列{an}中,其前n项和为Sn,且a2=0,S7=a4+12,则(　 　)
A.d=1 B.an=n-2
C.a4+a10=a12 D.Sn=n2-3n
解析:在公差为d的等差数列{an}中,其前n项和为Sn,且a2=0,
则S7=a4+12=7a4,解得a4=2=a2+2d,所以d=1,A选项正确;
an=a2+(n-2)d=n-2,B选项正确;
a4+a10=2+8=10=a12,C选项正确;
a1=-1,Sn==,D选项错误.
ABC
考点二　等差数列的判定与证明
[例2]　(2026·陕西汉中模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,若2Sn-an=n2,n∈N*.证明:数列{an+an+1}是等差数列.
[证明]　∵2Sn-an=n2,
∴当n≥2时,2Sn-1-an-1=(n-1)2,
两式相减得2Sn-an-(2Sn-1-an-1)=n2-(n-1)2=2n-1.
又∵2Sn-an-(2Sn-1-an-1)=2Sn-2Sn-1-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1,
∴an+an-1=2n-1,
故(an+1+an)-(an+an-1)=[2(n+1)-1]-(2n-1)=2,且a2+a1=3,
∴数列{an+1+an}是以3为首项,2为公差的等差数列.
方法总结
等差数列的判定与证明的常用方法
1.定义法:an+1-an=d(d是常数,n∈N*)或an-an-1=d(d是常数,n∈N*,n≥2) {an}为等差数列.
2.等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*) {an}为等差数列.
3.通项公式法:an=an+b(a,b是常数,n∈N*) {an}为等差数列.
4.前n项和公式法:Sn=an2+bn(a,b为常数) {an}为等差数列.
跟踪训练
3.若数列{an}为等差数列,则下列说法错误的是(　　)
A.数列2a1,2a2,2a3,…,2an,…为等差数列
B.数列a2,a4,a6,…,a2n,…为等差数列
C.数列{anan+1}为等差数列
D.数列{an+an+1}为等差数列
C
解析:A选项,因为{an}为等差数列,所以设an+1-an=d(d为常数),又2an+1
-2an=2(an+1-an)=2d,所以数列{2an}也为等差数列,故A正确;
B选项,a2n+2-a2n=2d,所以数列{a2n}为等差数列,故B正确;
C选项,an+1an+2-anan+1=2dan+1,不是常数,故{anan+1}不是等差数列,故C错误;
D选项,an+1+an+2-(an+an+1)=2d,所以数列{an+an+1}为等差数列,故D正确.
4.已知数列{an}满足a1=4,an+1=4-,记bn=,证明:数列{bn}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式.
证明:由an+1=4-,得bn+1-bn=-=-=.
又b1=,所以数列{bn}是首项为的等差数列.
于是bn=,由bn==,解得an=2+.
考点三　等差数列的性质
角度1　等差数列项的性质
[例3]　(1)(多选)等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a3+a8+a13是一个定值,则下列各数也为定值的是(　　)
A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
[解析]　由等差中项的性质可得a3+a8+a13=3a8为定值,则a8为定值,
S15==15a8为定值,
但S16==8(a8+a9)不是定值.
BC
(2)若等差数列{an}满足a7+a8+a9=0,a7+a10=1,则a1=　　　　.
[解析]　因为数列{an}为等差数列,所以a7+a8+a9=3a8=0,即a8=0,
且a7+a10=a8+a9=1,可得a9=1,
即
解得
-7
角度2　等差数列前n项和的性质
[例4]　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=288,S9=162,则S6=(　　)
A.18 B.36
C.54 D.72
[解析]　因为在等差数列{an}中,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,
令S3=x,S6=y,即x,y-x,162-y,288-162成等差数列,
则x+(162-y)=2(y-x),(y-x)+(288-162)=2(162-y),
即x+54=y,x+198=3y,解得S6=y=72.
D
(2)已知Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,且=(n∈N*),则+=(　　)
A.B. C. D.
[解析]　Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,故=(n∈N*),且b3+b18=b6+b15=b10+b11,故+=+=
===.
D
角度3　等差数列前n项和的最值
[例5]　(多选)数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和.已知a4=-5,a10=1,则下列结论正确的有(　 　)
A.a7=-2
B.公差d=1
C.S5=30
D.当n=8或n=9时,Sn最小
ABD
[解析]　因为a4=-5,a10=1,所以a4+a10=-5+1=-4=2a7,解得a7=-2,故A正确;
d===1,故B正确;
法一:因为a1=a4-3d=-5-3=-8,
所以Sn=-8n+=n2-n,
而S5=-8×5+=-30,由于二次函数y=x2-x的图象开口向上,
且对称轴为直线x=,所以当n=8或n=9时,Sn最小,故C错误,D正确.
法二:因为a1=a4-3d=-5-3=-8,
所以an=a1+(n-1)d=n-9,故a3=-6,
则S5==5×a3=5×(-6)=-30.
因为an=n-9,所以当n≤8时,an<0,且a9=0,
当n>9时,an>0,所以当n=8或n=9时,Sn最小,故C错误,D正确.
跟踪训练
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a9+a8=55,则S16=(　　)
A.880 B.440
C.110 D.220
解析:因为a9+a8=55,所以a1+a16=55,故S16=(a1+a16)=8×55=440.
B
6.北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则中、下两层共有扇面形石板(　　)
A.2 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.2 997块
D
解析:设第n环扇面形石板的块数为an,上层共有n环,Sn为{an}的前n项和,
则{an}是首项为9,公差为9的等差数列,an=9+9(n-1)=9n,Sn=(n2+n),
上层、中层、下层的块数分别为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,
由下层比中层多729块,得S3n-S2n=S2n-Sn+729,
即(9n2+3n)-(4n2+2n)=(4n2+2n)-(n2+n)+729,解得n=9,
所以中、下两层共有扇面形石板S27-S9=(272+27)-(92+9)=2 997(块).
7.(2026·四川绵阳模拟)已知在数列{an}中,a1=10,an=an-1-4(n≥2),则数列{an}的前n项和的最大值为　　　　.
解析:当n≥2时,an-an-1=-4,且a1=10,
所以数列{an}是首项为10,公差为-4的等差数列,
则数列{an}的前n项和为Sn=10n+×(-4)=-2n2+12n=-2(n-3)2+18.
因为n∈N*,所以当n=3时,Sn取得最大值18.
18第40讲　等差数列
考点一　等差数列基本量的计算
[例1]　(1)(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列,则a10=(　　)
A.-20　　　　　　　　　 B.-18
C.16 D.18
[答案]　C
[解析]　设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
因为a3,a4,a6成等比数列,且a1=-2,
所以=a3a6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得d=2或d=0(舍去),
所以a10=a1+9d=-2+9×2=16.
(2)(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6=(　　)
A.-20　　　　　　　　B.-15
C.-10 D.-5
[答案]　B
[解析]　法一:设等差数列{an}的公差为d,则由题可得
所以S6=6a1+15d=6×5+15×(-3)=-15.
法二:因为Sn为等差数列{an}的前n项和,所以设Sn=An2+Bn,
由S3=6,S5=-5,得
解得
所以Sn=-n2+n,所以S6=-×36+×6=-15.
法三:由S3=3a2=6,S5=5a3=-5,可得a2=2,a3=-1,
故公差d=a3-a2=-3,首项a1=a2-d=5,
所以S6=6a1+15d=6×5+15×(-3)=-15.
方法总结
1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量:a1,n,d,an,Sn.知道其中三个,就能求出另外两个(简称“知三求二”).
2.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.
1.(2026·河南郑州模拟)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=7,S5-6a2=5,则a1=(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
答案:A
解析:设等差数列{an}的公差为d.
因为a3=7=a1+2d,S5-6a2=5=5a1+10d-6(a1+d),所以a1=3,d=2.
2.(多选)已知在公差为d的等差数列{an}中,其前n项和为Sn,且a2=0,S7=a4+12,则(　　)
A.d=1 B.an=n-2
C.a4+a10=a12 D.Sn=n2-3n
答案:ABC
解析:在公差为d的等差数列{an}中,其前n项和为Sn,且a2=0,
则S7=a4+12=7a4,解得a4=2=a2+2d,所以d=1,A选项正确;
an=a2+(n-2)d=n-2,B选项正确;
a4+a10=2+8=10=a12,C选项正确;
a1=-1,Sn==,D选项错误.
考点二　等差数列的判定与证明
[例2]　(2026·陕西汉中模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,若2Sn-an=n2,n∈N*.证明:数列{an+an+1}是等差数列.
[证明]　∵2Sn-an=n2,
∴当n≥2时,2Sn-1-an-1=(n-1)2,
两式相减得2Sn-an-(2Sn-1-an-1)=n2-(n-1)2=2n-1.
又∵2Sn-an-(2Sn-1-an-1)=2Sn-2Sn-1-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1,
∴an+an-1=2n-1,
故(an+1+an)-(an+an-1)=[2(n+1)-1]-(2n-1)=2,且a2+a1=3,
∴数列{an+1+an}是以3为首项,2为公差的等差数列.
方法总结
等差数列的判定与证明的常用方法
1.定义法:an+1-an=d(d是常数,n∈N*)或an-an-1=d(d是常数,n∈N*,n≥2) {an}为等差数列.
2.等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N*) {an}为等差数列.
3.通项公式法:an=an+b(a,b是常数,n∈N*) {an}为等差数列.
4.前n项和公式法:Sn=an2+bn(a,b为常数) {an}为等差数列.
3.若数列{an}为等差数列,则下列说法错误的是(　　)
A.数列2a1,2a2,2a3,…,2an,…为等差数列
B.数列a2,a4,a6,…,a2n,…为等差数列
C.数列{anan+1}为等差数列
D.数列{an+an+1}为等差数列
答案:C
解析:A选项,因为{an}为等差数列,所以设an+1-an=d(d为常数),又2an+1-2an=2(an+1-an)=2d,所以数列{2an}也为等差数列,故A正确;
B选项,a2n+2-a2n=2d,所以数列{a2n}为等差数列,故B正确;
C选项,an+1an+2-anan+1=2dan+1,不是常数,故{anan+1}不是等差数列,故C错误;
D选项,an+1+an+2-(an+an+1)=2d,所以数列{an+an+1}为等差数列,故D正确.
4.已知数列{an}满足a1=4,an+1=4-,记bn=,证明:数列{bn}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式.
证明:由an+1=4-,得bn+1-bn=-=-=.
又b1=,所以数列{bn}是首项为的等差数列.
于是bn=,由bn==,解得an=2+.
考点三　等差数列的性质
角度1　等差数列项的性质
[例3]　(1)(多选)等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,当首项a1和d变化时,a3+a8+a13是一个定值,则下列各数也为定值的是(　　)
A.a7 B.a8
C.S15 D.S16
[答案]　BC
[解析]　由等差中项的性质可得a3+a8+a13=3a8为定值,则a8为定值,
S15==15a8为定值,
但S16==8(a8+a9)不是定值.
(2)若等差数列{an}满足a7+a8+a9=0,a7+a10=1,则a1=　　　　.
[答案]　-7
[解析]　因为数列{an}为等差数列,所以a7+a8+a9=3a8=0,即a8=0,
且a7+a10=a8+a9=1,可得a9=1,
即
解得
角度2　等差数列前n项和的性质
[例4]　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=288,S9=162,则S6=(　　)
A.18 B.36
C.54 D.72
[答案]　D
[解析]　因为在等差数列{an}中,S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,
令S3=x,S6=y,即x,y-x,162-y,288-162成等差数列,
则x+(162-y)=2(y-x),(y-x)+(288-162)=2(162-y),
即x+54=y,x+198=3y,解得S6=y=72.
(2)已知Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,且=(n∈N*),则+=(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,故=(n∈N*),且b3+b18=b6+b15=b10+b11,故+=+====.
角度3　等差数列前n项和的最值
[例5]　(多选)数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和.已知a4=-5,a10=1,则下列结论正确的有(　　)
A.a7=-2
B.公差d=1
C.S5=30
D.当n=8或n=9时,Sn最小
[答案]　ABD
[解析]　因为a4=-5,a10=1,所以a4+a10=-5+1=-4=2a7,解得a7=-2,故A正确;
d===1,故B正确;
法一:因为a1=a4-3d=-5-3=-8,
所以Sn=-8n+=n2-n,
而S5=-8×5+=-30,由于二次函数y=x2-x的图象开口向上,
且对称轴为直线x=,所以当n=8或n=9时,Sn最小,故C错误,D正确.
法二:因为a1=a4-3d=-5-3=-8,
所以an=a1+(n-1)d=n-9,故a3=-6,
则S5==5×a3=5×(-6)=-30.
因为an=n-9,所以当n≤8时,an<0,且a9=0,
当n>9时,an>0,所以当n=8或n=9时,Sn最小,故C错误,D正确.
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a9+a8=55,则S16=(　　)
A.880 B.440
C.110 D.220
答案:B
解析:因为a9+a8=55,所以a1+a16=55,故S16=(a1+a16)=8×55=440.
6.北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则中、下两层共有扇面形石板(　　)
A.2 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.2 997块
答案:D
解析:设第n环扇面形石板的块数为an,上层共有n环,Sn为{an}的前n项和,
则{an}是首项为9,公差为9的等差数列,an=9+9(n-1)=9n,Sn=(n2+n),
上层、中层、下层的块数分别为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,
由下层比中层多729块,得S3n-S2n=S2n-Sn+729,
即(9n2+3n)-(4n2+2n)=(4n2+2n)-(n2+n)+729,解得n=9,
所以中下、两层共有扇面形石板S27-S9=(272+27)-(92+9)=2 997(块).
7.(2026·四川绵阳模拟)已知在数列{an}中,a1=10,an=an-1-4(n≥2),则数列{an}的前n项和的最大值为　　　　.
答案:18
解析:当n≥2时,an-an-1=-4,且a1=10,
所以数列{an}是首项为10,公差为-4的等差数列,
则数列{an}的前n项和为Sn=10n+×(-4)=-2n2+12n=-2(n-3)2+18.
因为n∈N*,所以当n=3时,Sn取得最大值18.

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