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(共15张PPT)
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A组　基础保分练
1.(2026·福建泉州模拟)已知{an}为等比数列,a2a7=-3,a2a5=a1a3a6,则a6=(　　)
A.-3　　　　　　　　 B.3
C.-9 D.9
解析:由题设知a3a6=a2a7=-3,又a2a5=a1a3a6,
则a1a6=a2a5=a1(a3a6)=-3a1,而a1≠0,故a6=-3.
A
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2.(2026·陕西安康模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=2S3-S2+6,a2=1,则a5=(　　)
A.16 B.32
C.27 D.81
解析:因为S4=2S3-S2+6,a2=1,则S4-S3=S3-S2+6,所以a4=a3+6.
因为a2=1,所以q2=q+6,q>0,所以q=3或q=-2(舍),所以a5=1×33=27.
C
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3.已知{an}的第1项到第5项是公比为q的等比数列,第5项到第15项是公差为d的等差数列,且q,d均为正整数,a1=5,a15=240,则a6=(　　)
A.80 B.96
C.100 D.112
解析:依题意,有a5=a1q4=5q4,a15=a5+10d=5q4+10d=240,
当q=1时,d不是正整数,舍去;
当q=2时,d=16;
当q≥3时,5q4≥405,d不是正整数.
所以q=2,d=16,a6=a1q4+d=96.
B
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4.(多选)(2026·陕西宝鸡模拟)已知数列{an}是公比为q的等比数列,其前n项和为Sn,a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则(　 　)
A.q=2
B.a1=
C.Sn=
D.a1+a2+a3+a2+a3+a4+a3+a4+a5+…+a10+a11+a12=1 023
ABD
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解析:根据题意,a1+a2+a3=1,(a1+a2+a3)q=2,两式相除得q=2,A正确;
又a1+a1q+a1q2=1,即a1+2a1+4a1=1,可得a1=,B正确;
Sn==,C错误;
根据选项A,可知a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5,…是首项为1,公比为2的等比数列,
所以a1+a2+a3+a2+a3+a4+a3+a4+a5+…+a10+a11+a12=(a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+(a3+a4+a5)+…+(a10+a11+a12)=1+2+22+…+29==1 023,D正确.
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5.(多选)(2026·福建龙岩模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,则(　　)
A.若{an}是等差数列,则S2,S4-S2,S6-S4成等差数列
B.若{an}是等比数列,则S2,S4-S2,S6-S4成等比数列
C.若|an+1-an|=1,且a1=1,则存在数列{an},使得S102=1
D.若|an+1-an|=1,且a1=1,则存在k∈N*,使得S4k+1=100
AC
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解析:对于选项A,若{an}是等差数列,设其公差为d,
因为S2=a1+a2,S4-S2=a3+a4=a1+a2+4d,S6-S4=a5+a6=a1+a2+8d,
则2(S4-S2)=S2+(S6-S4),
所以S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,故A正确;
对于选项B,例如an=(-1)n,则S2=a1+a2=-1+1=0,
可得S2,S4-S2,S6-S4不成等比数列,故B错误;
对于选项C,例如周期数列1,0,-1,0,1,0,-1,0,…,满足|an+1-an|=1,且a1=1,
此时S102=25×(1+0-1+0)+1+0=1,故C正确;
对于选项D,因为|an+1-an|=1,且a1=1,所以该数列的项奇偶交替,且为整数,
而前4k+1项包含2k+1个奇数,2k个偶数,这些项的和为奇数,而S4k+1=100为偶数,矛盾,
故D错误.
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6.(2026·浙江绍兴模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2a5=2a4,且a3与2a6的等差中项为,则S4=　　　　.
解析:由题意可得a2a5=a3a4=2a4,解得a3=2.
因为a3与2a6的等差中项为,所以a3+2a6=,则a6=,
得到q3==,解得q=,故a1==8,
所以S4==15.
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7.(2026·山东淄博模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn.若S3=13,a3=9,则公比q=　　　　.
解析:由S3=a1+a2+a3,得S3-a3=a1+a2=4,
由a3=a1q2,a3=a2q,得+=4,
整理可得4q2-9q-9=0,分解因式可得(4q+3)(q-3)=0,
解得q=3或q=-(舍去).
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8.已知数列{an}的首项a1=,且满足an+1=.
(1)证明:数列为等比数列;
证明:由an+1===·+,
则-1=(-1),-1=1≠0,
所以数列是首项为1,公比为的等比数列.
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(2)若+++…+<2 026,求满足条件的最大整数n.
解:由(1)得-1=()n-1,=1+()n-1,
所以+++…+=n+1++…+()n-1=n+=n+2[1-()n]=n+2-()n-1.
设bn=n+2-()n-1,则bn+1-bn=n+1+2-()n-n-2+()n-1=1+()n>0,
则数列{bn}是递增数列,
当n=2 024时,b2 024=2 026-()2 023<2 026,
当n=2 025时,b2 025=2 027-()2 024>2 026,
所以满足条件的最大整数为2 024.
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9.(2026·天津模拟)若数列满足an+1=2an-1,则称为“对奇数列”.已知正项数列为“对奇数列”,且b1=2,则b2 026=(　　)
A.2×32 024 B.22 024
C.22 025 D.22 026
解析:因为正项数列为“对奇数列”,所以bn+1+1=2(bn+1)-1,则bn+1=2bn,即数列是公比为2的等比数列.又因为b1=2,所以b2 026=
2×22 025=22 026.
B组　能力提升练
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10.(多选)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn.若a1>1,0A.S2 026-S2 025>0
B.a2 025a2 027<1
C.数列{Tn}中的最大值是T2 025
D.数列{Tn}无最大值
ABC
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解析:由a1>1,00,
由(a2 025-1)·(a2 026-1)<0可得,0S2 026-S2 025=a2 026>0,显然A正确;
由0根据等比中项可得a2 025a2 027=<1,显然B正确;
由00,
可知{an}的前2 025项(包含2 025项)都大于1,从第2 026项(包含2 026项)往后都小于1,所以数列{Tn}中的最大值是T2 025,所以C正确,D错误.
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11.(2026·陕西榆林模拟)已知数列为等比数列,且an>0,其前n项积为
Tn,且T14=T7.若a1=,则Tn的最小值为　　　　　.
解析:设数列的公比为q,因为T14=T7,所以a8·a9·a10·a11·a12·a13·a14=1,所以a11=1,所以a1==.因为an>0,所以q=2,所以a12=2>1,所以当n=10或n=11时,Tn取得最小值,最小值为T10=()10×()9×…×=()10+9+…+1=.[A组　基础保分练]
1.(2026·福建泉州模拟)已知{an}为等比数列,a2a7=-3,a2a5=a1a3a6,则a6=(　　)
A.-3　　　　　　　　 B.3
C.-9 D.9
答案:A
解析:由题设知a3a6=a2a7=-3,又a2a5=a1a3a6,
则a1a6=a2a5=a1(a3a6)=-3a1,而a1≠0,故a6=-3.
2.(2026·陕西安康模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=2S3-S2+6,a2=1,则a5=(　　)
A.16 B.32
C.27 D.81
答案:C
解析:因为S4=2S3-S2+6,a2=1,则S4-S3=S3-S2+6,所以a4=a3+6.
因为a2=1,所以q2=q+6,q>0,所以q=3或q=-2(舍),所以a5=1×33=27.
3.已知{an}的第1项到第5项是公比为q的等比数列,第5项到第15项是公差为d的等差数列,且q,d均为正整数,a1=5,a15=240,则a6=(　　)
A.80 B.96
C.100 D.112
答案:B
解析:依题意,有a5=a1q4=5q4,a15=a5+10d=5q4+10d=240,
当q=1时,d不是正整数,舍去;
当q=2时,d=16;
当q≥3时,5q4≥405,d不是正整数.
所以q=2,d=16,a6=a1q4+d=96.
4.(多选)(2026·陕西宝鸡模拟)已知数列{an}是公比为q的等比数列,其前n项和为Sn,a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则(　　)
A.q=2
B.a1=
C.Sn=
D.a1+a2+a3+a2+a3+a4+a3+a4+a5+…+a10+a11+a12=1 023
答案:ABD
解析:根据题意,a1+a2+a3=1,(a1+a2+a3)q=2,两式相除得q=2,A正确;
又a1+a1q+a1q2=1,即a1+2a1+4a1=1,可得a1=,B正确;
Sn==,C错误;
根据选项A,可知a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5,…是首项为1,公比为2的等比数列,
所以a1+a2+a3+a2+a3+a4+a3+a4+a5+…+a10+a11+a12=(a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+(a3+a4+a5)+…+(a10+a11+a12)=1+2+22+…+29==1 023,D正确.
5.(多选)(2026·福建龙岩模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,则(　　)
A.若{an}是等差数列,则S2,S4-S2,S6-S4成等差数列
B.若{an}是等比数列,则S2,S4-S2,S6-S4成等比数列
C.若|an+1-an|=1,且a1=1,则存在数列{an},使得S102=1
D.若|an+1-an|=1,且a1=1,则存在k∈N*,使得S4k+1=100
答案:AC
解析:对于选项A,若{an}是等差数列,设其公差为d,
因为S2=a1+a2,S4-S2=a3+a4=a1+a2+4d,S6-S4=a5+a6=a1+a2+8d,
则2(S4-S2)=S2+(S6-S4),
所以S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,故A正确;
对于选项B,例如an=(-1)n,则S2=a1+a2=-1+1=0,
可得S2,S4-S2,S6-S4不成等比数列,故B错误;
对于选项C,例如周期数列1,0,-1,0,1,0,-1,0,…,满足|an+1-an|=1,且a1=1,
此时S102=25×(1+0-1+0)+1+0=1,故C正确;
对于选项D,因为|an+1-an|=1,且a1=1,所以该数列的项奇偶交替,且为整数,
而前4k+1项包含2k+1个奇数,2k个偶数,这些项的和为奇数,而S4k+1=100为偶数,矛盾,
故D错误.
6.(2026·浙江绍兴模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2a5=2a4,且a3与2a6的等差中项为,则S4=　　　　.
答案:15
解析:由题意可得a2a5=a3a4=2a4,解得a3=2.
因为a3与2a6的等差中项为,所以a3+2a6=,则a6=,
得到q3==,解得q=,故a1==8,
所以S4==15.
7.(2026·山东淄博模拟)已知等比数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn.若S3=13,a3=9,则公比q=　　　　.
答案:3
解析:由S3=a1+a2+a3,得S3-a3=a1+a2=4,
由a3=a1q2,a3=a2q,得+=4,
整理可得4q2-9q-9=0,分解因式可得(4q+3)(q-3)=0,
解得q=3或q=-(舍去).
8.已知数列{an}的首项a1=,且满足an+1=.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)若+++…+<2 026,求满足条件的最大整数n.
(1)证明:由an+1===·+,
则-1=(-1),-1=1≠0,
所以数列是首项为1,公比为的等比数列.
(2)解:由(1)得-1=()n-1,=1+()n-1,
所以+++…+=n+1++…+()n-1=n+=n+2[1-()n]=n+2-()n-1.
设bn=n+2-()n-1,则bn+1-bn=n+1+2-()n-n-2+()n-1=1+()n>0,
则数列{bn}是递增数列,
当n=2 024时,b2 024=2 026-()2 023<2 026,
当n=2 025时,b2 025=2 027-()2 024>2 026,
所以满足条件的最大整数为2 024.
[B组　能力提升练]
9.(2026·天津模拟)若数列满足an+1=2an-1,则称为“对奇数列”.已知正项数列为“对奇数列”,且b1=2,则b2 026=(　　)
A.2×32 024 B.22 024
C.22 025 D.22 026
答案:D
解析:因为正项数列为“对奇数列”,所以bn+1+1=2(bn+1)-1,则bn+1=2bn,即数列是公比为2的等比数列.又因为b1=2,所以b2 026=2×22 025=22 026.
10.(多选)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn.若a1>1,0A.S2 026-S2 025>0
B.a2 025a2 027<1
C.数列{Tn}中的最大值是T2 025
D.数列{Tn}无最大值
答案:ABC
解析:由a1>1,00,
由(a2 025-1)·(a2 026-1)<0可得,0S2 026-S2 025=a2 026>0,显然A正确;
由0根据等比中项可得a2 025a2 027=<1,显然B正确;
由00,
可知{an}的前2 025项(包含2 025项)都大于1,从第2 026项(包含2 026项)往后都小于1,所以数列{Tn}中的最大值是T2 025,所以C正确,D错误.
11.(2026·陕西榆林模拟)已知数列为等比数列,且an>0,其前n项积为Tn,且T14=T7.若a1=,则Tn的最小值为　　　　　.
答案:
解析:设数列的公比为q,因为T14=T7,所以a8·a9·a10·a11·a12·a13·a14=1,所以a11=1,所以a1==.因为an>0,所以q=2,所以a12=2>1,所以当n=10或n=11时,Tn取得最小值,最小值为T10=()10×()9×…×=()10+9+…+1=.第41讲　等比数列
考点一　等比数列基本量的运算
[例1]　(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则(　　)
A.q=　　　　　　　　 B.a5=
C.S5=8 D.an+Sn=8
[答案]　AD
[解析]　对于A,由题意得结合q>0,解得(舍去),故A正确;
对于B,a5=a1q4=4×()4=,故B错误;
对于C,S5===,故C错误;
对于D,an=4×()n-1=23-n,Sn==8-23-n,
则an+Sn=23-n+8-23-n=8,故D正确.
方法总结
等比数列基本量运算的解题策略
1.等比数列中有五个量:a1,n,q,an,Sn.一般可以“知三求二”,通过列方程(组)解决.
2.在利用等比数列的前n项和公式时,要注意讨论公比q.
1.(2026·湖南邵阳模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=1,S6=S3,则a1=(　　)
A.3 B.2
C.- D.-
答案:D
解析:设等比数列{an}的公比为q,若q=1,则S6=2S3,故q≠1,
由S6=S3可得=×,
化简得q3=-,解得q=-,则a1===-.
2.(2026·安徽滁州模拟)已知首项为负数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S6=63,则a4=(　　)
A.8 B.16
C.24 D.48
答案:C
解析:设数列{an}的公比为q,则S2=a1+a2=a1(1+q)=3.
又a1<0,则1+q<0,即q<-1.
又S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a2)(1+q2+q4)=63,
即1+q2+q4=21,解得q2=4.
又q<-1,则q=-2,所以a1=-3,a4=a1·q3=-3·(-2)3=24.
3.(2026·江西九江模拟)有一款合成2 048游戏.游戏规则如下:在一个4*4的方格中,游戏开始时,方格中会随机出现两个数字小方块,只能是2或4.手指向一个方向(上、下、左、右)滑动,所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止,滑动过程中相同数字的两个小方块相撞时数字会相加,称为一次合并运算.每次滑动时,空白处会随机刷新出一个含有数字(只能是2或4)的小方块.当界面中最大数字是2 048时,最少合并运算的次数为　　　　次.
答案:511
解析:由题意可知,算式1 024+1 024=2 048只需出现1次,而算式中有2个1 024,
故算式512+512=1 024需出现21次,
算式256+256=512需出现22次……以此类推,算式4+4=8需出现28次,
故每次出现的都是数字4,最少合并运算的次数是1+2+22+…+28==29-1=511(次).
考点二　等比数列的判定与证明
[例2]　(2025·八省联考)已知数列{an}中,a1=3,an+1=.
(1)证明:数列{1-}为等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
(1)[证明]　∵an+1=,a1=3>0,∴an>0,
∴==+,
∴1-=-=(1-).又1-=≠0,
∴数列,公比为的等比数列.
(2)[解]　由(1)知,1-=()n an==.
方法总结
注意:若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续的三项不成等比数列.
4.在数列{an}中,a1=2,an+1=,则下列结论正确的是(　　)
A.数列{an}的通项公式为an=2n
B.数列{an}为等比数列
C.数列{ln an}为等比数列
D.数列{ln an}为等差数列
答案:C
解析:在数列{an}中,a1=2,an+1=,则a2==22,a3==(22)2=24,显然a1,a2,a3不成等比数列,A,B都错误;
依题意,ln a1=ln 2>0,由an+1=两边取对数得,ln an+1=2ln an,
因此数列{ln an}是首项为ln 2,公比为2的等比数列,C正确,D错误.
考点三　等比数列的性质
角度1　等比数列项的性质
[例3]　(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=　　　　　.
[答案]　-2
[解析]　法一:∵{an}为等比数列,
∴a4a5=a3a6,∴a2=1.
又a2a9a10=a7a7a7,∴1×(-8)=(a7)3,
∴a7=-2.
法二:设{an}的公比为q(q≠0),
则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q,显然an≠0,
则a4=q2,即a1q3=q2,则a1q=1.
∵a9a10=-8,则a1q8·a1q9=-8,
则q15=(q5)3=-8=(-2)3,
则q5=-2,则a7=a1q·q5=q5=-2.
方法总结
利用等比数列项的性质解题
1.基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.
2.优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.
角度2　等比数列前n项和的性质
[例4]　(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数列的公比等于　　　　　.
[答案]　2
[解析]　法一:设该等比数列为{an},其公比为q(q>0),其前n项和为Sn,则S4=4,S8=68,
当q=1时,S4=4a1=4,即a1=1,则S8=8a1=8≠68,显然不成立,舍去;
当q≠1时,则S4==4,S8==68,
两式相除得=,即=17,
则1+q4=17,所以q=2,
所以该等比数列的公比为2.
法二:设该等比数列为{an},其公比为q(q>0),其前n项和为Sn,则S4=4,S8=68,
所以S4=a1+a2+a3+a4=4,
S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8
=a1+a2+a3+a4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4
=(a1+a2+a3+a4)(1+q4)=68,
所以4(1+q4)=68,则1+q4=17,因为q>0,所以q=2,
所以该等比数列的公比为2.
方法总结
1.“片段和”性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列.注意:q=-1且n为偶数时不适用,且记住公比为qn.
2.在等比数列{an}中,若项数为偶数,则有S偶=qS奇,且Sn=S偶+S奇.
3.解题时要注意观察序号之间的联系,发现解题契机,注意应用整体的思想.
5.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1,a9是关于x的方程x2-mx+4=0的两个实数根,则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=(　　)
A.8 B.9
C.16 D.18
答案:B
解析:a1,a9是关于x的方程x2-mx+4=0的两个实数根,则a1a9=4,
由等比数列的性质可得,a1a9=a8a2=…=a5a5=4,所以a5=2.
又log2a1+log2a2+…+log2a9=log2(a1·a2·a3·…·a9)=log2[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5]=log2(44×2)=log229=9.
6.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S14=3S7,S7+S21=56,则S21=(　　)
A.14 B.28
C.35 D.49
答案:D
解析:由Sn是等比数列{an}的前n项和,由题易知S7,S14-S7,S21-S14均不为0,
且S7,S14-S7,S21-S14是等比数列.
因为S14=3S7,所以S14-S7=2S7,可得S21-S14=2(S14-S7)=4S7,所以S21=S14+4S7=7S7,
则S7+S21=8S7=56,解得S7=7,则S21=7×7=49.(共22张PPT)
第41讲 等比数列
考点一　等比数列基本量的运算
[例1]　(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则(　　)
A.q=　　　　　　　　 B.a5=
C.S5=8 D.an+Sn=8
AD
[解析]　对于A,由题意得结合q>0,解得(舍去),故A正确;
对于B,a5=a1q4=4×()4=,故B错误;
对于C,S5===,故C错误;
对于D,an=4×()n-1=23-n,Sn==8-23-n,
则an+Sn=23-n+8-23-n=8,故D正确.
方法总结
等比数列基本量运算的解题策略
1.等比数列中有五个量:a1,n,q,an,Sn .一般可以“知三求二”,通过列方程(组)解决.
2.在利用等比数列的前n项和公式时，要注意讨论公比q.
跟踪训练
1.(2026·湖南邵阳模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=1,S6=S3,则a1=(　　)
A.3 B.2 C.- D.-
解析:设等比数列{an}的公比为q,若q=1,则S6=2S3,故q≠1,
由S6=S3可得=×,
化简得q3=-,解得q=-,则a1===-.
D
2.(2026·安徽滁州模拟)已知首项为负数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S6=63,则a4=(　　)
A.8 B.16
C.24 D.48
解析:设数列{an}的公比为q,则S2=a1+a2=a1(1+q)=3.
又a1<0,则1+q<0,即q<-1.
又S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(a1+a2)(1+q2+q4)=63,
即1+q2+q4=21,解得q2=4.
又q<-1,则q=-2,所以a1=-3,a4=a1·q3=-3·(-2)3=24.
C
3.(2026·江西九江模拟)有一款合成2 048游戏.游戏规则如下:在一个4*4的方格中,游戏开始时,方格中会随机出现两个数字小方块,只能是2或4.手指向一个方向(上、下、左、右)滑动,所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止,滑动过程中相同数字的两个小方块相撞时数字会相加,称为一次合并运算.每次滑动时,空白处会随机刷新出一个含有数字(只能是2或4)的小方块.当界面中最大数字是2 048时,最少合并运算的次数为　　　　次.
511
解析:由题意可知,算式1 024+1 024=2 048只需出现1次,而算式中有2个
1 024,
故算式512+512=1 024需出现21次,
算式256+256=512需出现22次……以此类推,算式4+4=8需出现28次,
故每次出现的都是数字4,最少合并运算的次数是1+2+22+…+28==29-1=511(次).
考点二　等比数列的判定与证明
[例2]　(2025·八省联考)已知数列{an}中,a1=3,an+1=.
(1)证明:数列{1-}为等比数列;
[证明]　∵an+1=,a1=3>0,∴an>0,
∴==+,
∴1-=-=(1-).又1-=≠0,
∴数列,公比为的等比数列.
(2)求{an}的通项公式.
[解]　由(1)知,1-=()n an==.
方法总结
注意:若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续的三项不成等比数列.
跟踪训练
4.在数列{an}中,a1=2,an+1=,则下列结论正确的是(　　)
A.数列{an}的通项公式为an=2n
B.数列{an}为等比数列
C.数列{ln an}为等比数列
D.数列{ln an}为等差数列
C
解析:在数列{an}中,a1=2,an+1=,则a2==22,a3==(22)2=24,显然a1,a2,a3不成等比数列,A,B都错误;
依题意,ln a1=ln 2>0,由an+1=两边取对数得,ln an+1=2ln an,
因此数列{ln an}是首项为ln 2,公比为2的等比数列,C正确,D错误.
考点三　等比数列的性质
角度1　等比数列项的性质
[例3]　(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=　　　　　.
-2
[解析]　法一:∵{an}为等比数列,
∴a4a5=a3a6,∴a2=1.
又a2a9a10=a7a7a7,∴1×(-8)=(a7)3,
∴a7=-2.
法二:设{an}的公比为q(q≠0),
则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q,显然an≠0,
则a4=q2,即a1q3=q2,则a1q=1.
∵a9a10=-8,则a1q8·a1q9=-8,
则q15=(q5)3=-8=(-2)3,
则q5=-2,则a7=a1q·q5=q5=-2.
方法总结
利用等比数列项的性质解题
1.基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题.
2.优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.
角度2　等比数列前n项和的性质
[例4]　(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数列的公比等于　　　　　.
2
[解析]　法一:设该等比数列为{an},其公比为q(q>0),其前n项和为Sn,则S4=4,S8=68,
当q=1时,S4=4a1=4,即a1=1,则S8=8a1=8≠68,显然不成立,舍去;
当q≠1时,则S4==4,S8==68,
两式相除得=,即=17,
则1+q4=17,所以q=2,
所以该等比数列的公比为2.
法二:设该等比数列为{an},其公比为q(q>0),其前n项和为Sn,则S4=4,S8=68,
所以S4=a1+a2+a3+a4=4,
S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8
=a1+a2+a3+a4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4
=(a1+a2+a3+a4)(1+q4)=68,
所以4(1+q4)=68,则1+q4=17,因为q>0,所以q=2,
所以该等比数列的公比为2.
1.“片段和”性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列.注意: q=-1且n为偶数时不适用,且记住公比为qn.
2.在等比数列{an}中,若项数为偶数,则有S偶=qS奇,且Sn=S偶+S奇.
3.解题时要注意观察序号之间的联系,发现解题契机,注意应用整体的思想.
方法总结
跟踪训练
5.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1,a9是关于x的方程x2-mx+4=0的两个实数根,则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=(　　)
A.8 B.9
C.16 D.18
解析:a1,a9是关于x的方程x2-mx+4=0的两个实数根,则a1a9=4,
由等比数列的性质可得,a1a9=a8a2=…=a5a5=4,所以a5=2.
又log2a1+log2a2+…+log2a9=log2(a1·a2·a3·…·a9)=
log2[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5]=log2(44×2)=log229=9.
B
6.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S14=3S7,S7+S21=56,则S21=(　　)
A.14 B.28
C.35 D.49
解析:由Sn是等比数列{an}的前n项和,由题易知S7,S14-S7,S21-S14均不为0,
且S7,S14-S7,S21-S14是等比数列.
因为S14=3S7,所以S14-S7=2S7,可得S21-S14=2(S14-S7)=4S7,所以S21=S14+4S7=7S7,
则S7+S21=8S7=56,解得S7=7,则S21=7×7=49.
D

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