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(共10张PPT)
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A组　基础保分练
1.已知数列{an}为等差数列,且a4=2,a8=-2.数列{bn}为等比数列,且b1=2,b4=54.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
解:设数列{an}的公差为d,
所以a8-a4=4d=-4,解得d=-1,
所以an=a4+(n-4)d=6-n.
设数列{bn}的公比为q,所以=q3=27,解得q=3,
所以bn=b1qn-1=2·3n-1.
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(2)求数列{bn-an}的前n项和Tn.
解: Tn=b1-a1+b2-a2+…+bn-an=(b1+b2+…+bn)-(a1+a2+…+an)=-=3n+--1.
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2.记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=(n+1)an.
(1)求数列{an}的通项公式;
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解:∵2Sn=(n+1)an(n∈N*),
∴2Sn-1=nan-1(n≥2),
两式相减得2an=(n+1)an-nan-1,
即(n-1)an=nan-1,
∴=(n≥2),
∴-=0,
∴数列是常数列,
∴=1,∴an=n.
当n=1时,a1=1满足上式,∴an=n.
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(2)设bn=(-1)n+1,求数列{bn}的前2n项和T2n.
解:由(1)知bn=(-1)n+1=(-1)n+1n2,
∴b2n-1+b2n=(2n-1)2-(2n)2=-4n+1,
当n≥2时,(b2n-1+b2n)-(b2n-3+b2n-2)=-4n+1-[-4(n-1)+1]=-4,
又b1+b2=-3,
即数列{b2n+b2n-1}是以-3为首项,-4为公差的等差数列,
∴T2n=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n-1+b2n)=-3n+×(-4)=-2n2-n.
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3.(2026·广东广州模拟)已知数列{an}满足a1=1,a3=6,且对任意的n≥2,n∈N*,都有an+1+an-1=2an+3.
(1)设bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式;
解:由an+1+an-1=2an+3可得an+1-an=an-an-1+3,n≥2.
又bn=an+1-an,所以bn-bn-1=3,即{bn}是以3为公差的等差数列.
又a1=1,a3=6,得b1=a2-a1=a2-1,b2=a3-a2=6-a2,
所以6-a2-(a2-1)=3,解得a2=2,故b1=a2-1=1,
所以bn=1+3(n-1)=3n-2.
B组　能力提升练
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(2)数列cn=[lg bn],[x]表示不超过x的最大整数,求{cn}的前350项和T350.
解:由(1)可得b4=10,b34=100,b334=1 000,
又cn=[lg bn]
所以cn=
所以T350=0×3+1×30+2×300+3×17=681.
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4.记数列{an}的前n项和为Sn,已知an+Sn=2n+.
(1)证明:数列{an-2}是等比数列;
证明:因为an+Sn=2n+,
所以当n=1时,a1=.
当n≥2时,an-1+Sn-1=2(n-1)+,
所以an-an-1+an=2,即an=1+an-1,
所以an-2=(an-1-2).
又a1-2=≠0,所以=,
所以数列{an-2}是首项为,公比为的等比数列.
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(2)求数列{an}的通项公式;
解:由(1)得an-2=×()n-1=()n+1,所以an=()n+1+2.
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(3)求数列{nan}的前n项和Tn.
解:由(2)得nan=n×()n+1+2n,
记Hn=1×()2+2×()3+3×()4+…+(n-1)×()n+n×()n+1,①
则Hn=1×()3+2×()4+3×()5+…+(n-1)×()n+1+n×()n+2,②
由①-②得Hn=()2+()3+()4+…+()n+1-n×()n+2=-n×()n+2=-×()n+1,
所以Hn=1-,
所以Tn=1-+2×=n2+n+1-.(共17张PPT)
第42讲数列求和(一)
考点一　分组求和
[例1]　已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=1,且a3,3a2,a4成等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
[解]　因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,a1=1,且a3,3a2,a4成等差数列,
所以6a2=a3+a4.
设数列{an}的公比为q>0,则q2+q-6=0,解得q=2,或q=-3(舍),
所以an=a1qn-1=2n-1.
(2)设bn=an+log2an,求数列{bn}的前n项和.
[解]　由(1)知an=2n-1,
因为bn=an+log2an,
所以bn=2n-1+n-1,
设数列{bn}的前n项和为Sn,
则Sn=b1+b2+b3+…+bn
=(20+0)+(21+1)+(22+2)+…+(2n-1+n-1)
=(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1)
=+
=2n+-1,
即数列{bn}的前n项和为2n+-1.
方法总结
分组求和法常见题型
1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列,可以采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列{cn}的通项公式为cn=其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,可以采用分组求和法求{cn}的前n项和.
跟踪训练
1.已知{an},{bn}均为等比数列,且a1=b1=,a2=2b2=2.
(1)证明:anbn为定值.
证明:设数列{an}的公比为q1,数列{bn}的公比为q2,
依题意可得q1==,q2==,
所以an=a1=()n,bn=b1=×()n-1,
则anbn=()n××()n-1=2,故anbn为定值.
(2)求数列{(an-bn)2}的前n项和Sn.
解:由(an-bn)2=2n-4+,
故Sn=(2+22+…+2n)-4n+4(++…+)
=-4n+4×
=2n+1-4n+2-.
考点二　并项求和
[例2]　已知数列{an}满足a1=2,an+1=1-,n∈N*.
(1)求a2,a3,a4,并写出一个符合题意的{an}的通项公式;(不需要证明)
[解]　a2=1-=1-=,a3=1-=1-2=-1,a4=1-=1+1=2,
可看出数列{an}是周期为3的数列,故an=
理由如下:{an}是周期为3的数列,当n=3k+1,k∈N时,an=2,
当n=3k+2,k∈N时,an=,当n=3k+3,k∈N时,an=-1.
(2)设bn=2n·an,记Sn为数列{bn}的前n项和,求S3n.
[解]　由(1)可知,
bn=2n·an=
则b3n-2+b3n-1+b3n=23n-2+1+23n-1-1-23n=-23n-2,
故S3n=(b1+b2+b3)+…+(b3n-2+b3n-1+b3n)
=-23×1-2+(-23×2-2)+…+(-23n-2)
=-(23×1-2+23×2-2+…+23n-2)
=.
跟踪训练
2.已知数列{an}是首项为2且公差不为0的等差数列,a4为a2和a8的等比中项,记数列{an}的前n项和为Sn.
(1)求an和Sn;
解:设等差数列{an}的公差为d(d≠0).因为a4为a2和a8的等比中项,所以=a2a8.
又因为数列{an}是首项为2且公差不为0的等差数列,所以(2+3d)2=(2+d)(2+7d),所以d=2,an=2n,Sn==n(n+1).
(2)设bn=(-1)n-1·(n∈N*),求数列{bn}的前2 026项的和.
解:因为bn=(-1)n-1·=(-1)n-1·=(-1)n-1·(n+1),
所以数列{bn}的前2 026项的和为
b1+b2+…+b2 026=2-3+4-5+…+2 026-2 027=(2-3)+(4-5)+…+(2 026-
2 027)=-1×=-1 013.
考点三　错位相减法求和
[例3]　(2025·全国一卷)已知在数列{an}中,a1=3,=+.
(1)证明:数列{nan}是等差数列;
[证明]　由题意证明如下,n∈N*,
在数列{an}中,a1=3,=+,
∴(n+1)an+1=nan+1,
即(n+1)an+1-nan=1,
∴{nan}是以3为首项,1为公差的等差数列.
(2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2).
[解]　由题意及(1)得,n∈N*,
在数列{nan}中,首项为3,公差为1,
∴nan=3+1×(n-1),即an=1+,
在f(x)=a1x+a2x2+…+amxm中,
f(x)=3x+2x2+…+(1+)xm,
f'(x)=3+4x+…+(m+2)xm-1,
∴xf'(x)=3x+4x2+…+(m+2)xm,
当x≠1且x≠0时,
∴(1-x)f'(x)=3+x+x2+…+xm-1-(m+2)xm
=3+-(m+2)xm,
∴f'(x)=+-,
∴f'(-2)
=+-
=1+-
=1---
=-.
方法总结
1.如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,常采用错位相减法.
2.错位相减法求和时的注意点
(1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”,以便下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.
(2)应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1,如果q=1,应用公式Sn=na1.
跟踪训练
3.(2026·广东惠州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2(n∈N*).数列{bn}是公比为3的等比数列,且b1=a1.
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;
解:当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=n2-n2+2n-1=2n-1,
当n=1时也符合上式,
所以an=2n-1,b1=a1=1,
所以bn=3n-1.
(2)令cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
解: cn=an·bn=(2n-1)3n-1,
所以Tn=1+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1,
3Tn=3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n,
两式相减得-2Tn=1+2×(31+32+…+3n-1)-(2n-1)3n
=1+2×-(2n-1)3n
=-2+(2-2n)3n,
所以Tn=(n-1)3n+1.[A组　基础保分练]
1.已知数列{an}为等差数列,且a4=2,a8=-2.数列{bn}为等比数列,且b1=2,b4=54.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn-an}的前n项和Tn.
解:(1)设数列{an}的公差为d,
所以a8-a4=4d=-4,解得d=-1,
所以an=a4+(n-4)d=6-n.
设数列{bn}的公比为q,所以=q3=27,解得q=3,
所以bn=b1qn-1=2·3n-1.
(2)Tn=b1-a1+b2-a2+…+bn-an=(b1+b2+…+bn)-(a1+a2+…+an)=-=3n+--1.
2.记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=(n+1)an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(-1)n+1,求数列{bn}的前2n项和T2n.
解:(1)∵2Sn=(n+1)an(n∈N*),
∴2Sn-1=nan-1(n≥2),
两式相减得2an=(n+1)an-nan-1,
即(n-1)an=nan-1,
∴=(n≥2),
∴-=0,
∴数列是常数列,
∴=1,∴an=n.
当n=1时,a1=1满足上式,∴an=n.
(2)由(1)知bn=(-1)n+1=(-1)n+1n2,
∴b2n-1+b2n=(2n-1)2-(2n)2=-4n+1,
当n≥2时,(b2n-1+b2n)-(b2n-3+b2n-2)=-4n+1-[-4(n-1)+1]=-4,
又b1+b2=-3,
即数列{b2n+b2n-1}是以-3为首项,-4为公差的等差数列,
∴T2n=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n-1+b2n)=-3n+×(-4)=-2n2-n.
[B组　能力提升练]
3.(2026·广东广州模拟)已知数列{an}满足a1=1,a3=6,且对任意的n≥2,n∈N*,都有an+1+an-1=2an+3.
(1)设bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式;
(2)数列cn=[lg bn],[x]表示不超过x的最大整数,求{cn}的前350项和T350.
解:(1)由an+1+an-1=2an+3可得an+1-an=an-an-1+3,n≥2.
又bn=an+1-an,所以bn-bn-1=3,即{bn}是以3为公差的等差数列.
又a1=1,a3=6,得b1=a2-a1=a2-1,b2=a3-a2=6-a2,
所以6-a2-(a2-1)=3,解得a2=2,故b1=a2-1=1,
所以bn=1+3(n-1)=3n-2.
(2)由(1)可得b4=10,b34=100,b334=1 000,
又cn=[lg bn]
所以cn=
所以T350=0×3+1×30+2×300+3×17=681.
4.记数列{an}的前n项和为Sn,已知an+Sn=2n+.
(1)证明:数列{an-2}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求数列{nan}的前n项和Tn.
(1)证明:因为an+Sn=2n+,
所以当n=1时,a1=.
当n≥2时,an-1+Sn-1=2(n-1)+,
所以an-an-1+an=2,即an=1+an-1,
所以an-2=(an-1-2).
又a1-2=≠0,所以=,
所以数列{an-2}是首项为,公比为的等比数列.
(2)解:由(1)得an-2=×()n-1=()n+1,所以an=()n+1+2.
(3)解:由(2)得nan=n×()n+1+2n,
记Hn=1×()2+2×()3+3×()4+…+(n-1)×()n+n×()n+1,①
则Hn=1×()3+2×()4+3×()5+…+(n-1)×()n+1+n×()n+2,②
由①-②得Hn=()2+()3+()4+…+()n+1-n×()n+2=-n×()n+2=-×()n+1,
所以Hn=1-,
所以Tn=1-+2×=n2+n+1-.第42讲　数列求和(一)
考点一　分组求和
[例1]　已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=1,且a3,3a2,a4成等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=an+log2an,求数列{bn}的前n项和.
[解]　(1)因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,a1=1,且a3,3a2,a4成等差数列,
所以6a2=a3+a4.
设数列{an}的公比为q>0,则q2+q-6=0,解得q=2,或q=-3(舍),
所以an=a1qn-1=2n-1.
(2)由(1)知an=2n-1,
因为bn=an+log2an,
所以bn=2n-1+n-1,
设数列{bn}的前n项和为Sn,
则Sn=b1+b2+b3+…+bn
=(20+0)+(21+1)+(22+2)+…+(2n-1+n-1)
=(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1)
=+
=2n+-1,
即数列{bn}的前n项和为2n+-1.
方法总结
分组求和法常见题型
1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列,可以采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列{cn}的通项公式为cn=其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,可以采用分组求和法求{cn}的前n项和.
1.已知{an},{bn}均为等比数列,且a1=b1=,a2=2b2=2.
(1)证明:anbn为定值.
(2)求数列{(an-bn)2}的前n项和Sn.
(1)证明:设数列{an}的公比为q1,数列{bn}的公比为q2,
依题意可得q1==,q2==,
所以an=a1=()n,bn=b1=×()n-1,
则anbn=()n××()n-1=2,故anbn为定值.
(2)解:由(an-bn)2=2n-4+,
故Sn=(2+22+…+2n)-4n+4(++…+)
=-4n+4×
=2n+1-4n+2-.
考点二　并项求和
[例2]　已知数列{an}满足a1=2,an+1=1-,n∈N*.
(1)求a2,a3,a4,并写出一个符合题意的{an}的通项公式;(不需要证明)
(2)设bn=2n·an,记Sn为数列{bn}的前n项和,求S3n.
[解]　(1)a2=1-=1-=,a3=1-=1-2=-1,a4=1-=1+1=2,
可看出数列{an}是周期为3的数列,故an=
理由如下:{an}是周期为3的数列,当n=3k+1,k∈N时,an=2,
当n=3k+2,k∈N时,an=,当n=3k+3,k∈N时,an=-1.
(2)由(1)可知,
bn=2n·an=
则b3n-2+b3n-1+b3n=23n-2+1+23n-1-1-23n=-23n-2,
故S3n=(b1+b2+b3)+…+(b3n-2+b3n-1+b3n)
=-23×1-2+(-23×2-2)+…+(-23n-2)
=-(23×1-2+23×2-2+…+23n-2)
=.
2.已知数列{an}是首项为2且公差不为0的等差数列,a4为a2和a8的等比中项,记数列{an}的前n项和为Sn.
(1)求an和Sn;
(2)设bn=(-1)n-1·(n∈N*),求数列{bn}的前2 026项的和.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0).因为a4为a2和a8的等比中项,所以=a2a8.
又因为数列{an}是首项为2且公差不为0的等差数列,所以(2+3d)2=(2+d)(2+7d),所以d=2,an=2n,Sn==n(n+1).
(2)因为bn=(-1)n-1·=(-1)n-1·=(-1)n-1·(n+1),
所以数列{bn}的前2 026项的和为
b1+b2+…+b2 026=2-3+4-5+…+2 026-2 027=(2-3)+(4-5)+…+(2 026-2 027)=-1×=-1 013.
考点三　错位相减法求和
[例3]　(2025·全国一卷)已知在数列{an}中,a1=3,=+.
(1)证明:数列{nan}是等差数列;
(2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2).
(1)[证明]　由题意证明如下,n∈N*,
在数列{an}中,a1=3,=+,
∴(n+1)an+1=nan+1,
即(n+1)an+1-nan=1,
∴{nan}是以3为首项,1为公差的等差数列.
(2)[解]　由题意及(1)得,n∈N*,
在数列{nan}中,首项为3,公差为1,
∴nan=3+1×(n-1),即an=1+,
在f(x)=a1x+a2x2+…+amxm中,
f(x)=3x+2x2+…+(1+)xm,
f'(x)=3+4x+…+(m+2)xm-1,
∴xf'(x)=3x+4x2+…+(m+2)xm,
当x≠1且x≠0时,
∴(1-x)f'(x)=3+x+x2+…+xm-1-(m+2)xm
=3+-(m+2)xm,
∴f'(x)=+-,
∴f'(-2)
=+-
=1+-
=1---
=-.
方法总结
1.如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,常采用错位相减法.
2.错位相减法求和时的注意点
(1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应将两式“错项对齐”,以便下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.
(2)应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1,如果q=1,应用公式Sn=na1.
3.(2026·广东惠州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2(n∈N*).数列{bn}是公比为3的等比数列,且b1=a1.
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;
(2)令cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=n2-n2+2n-1=2n-1,
当n=1时也符合上式,
所以an=2n-1,b1=a1=1,
所以bn=3n-1.
(2)cn=an·bn=(2n-1)3n-1,
所以Tn=1+3×31+5×32+…+(2n-1)×3n-1,
3Tn=3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n,
两式相减得-2Tn=1+2×(31+32+…+3n-1)-(2n-1)3n
=1+2×-(2n-1)3n
=-2+(2-2n)3n,
所以Tn=(n-1)3n+1.

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