资源简介

[A组　基础保分练]
1.(2026·河南驻马店模拟)在空间直角坐标系Oxyz中,点M(2,3,-1)关于平面Oxz对称的点的坐标是(　　)
A.(2,3,1)　　　　　　 B.(2,-3,-1)
C.(-2,3,-1) D.(2,-3,1)
答案:B
解析:点M(2,3,-1)关于平面Oxz对称的点的坐标是(2,-3,-1).
2.(2026·浙江温州模拟)在空间直角坐标系中,已知三点A(0,1,2),B(2,0,0),C(2a,a,1),且||=||,则实数a=(　　)
A. B.2
C.- D.-1
答案:A
解析:空间直角坐标系中,A(0,1,2),B(2,0,0),C(2a,a,1),且||=||,
所以
=,
解得a=.
3.(2026·四川成都模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,=a,=b,=c.若点P满足=a+b+kc,且点P在平面A1BC内,则k=(　　)
A. B.
C. D.1
答案:B
解析:因为=a+b+kc,且点P在平面A1BC内,
根据共面向量定理的推论,
得++k=1,解得k=.
4.已知是空间一个基底,p=a+b,q=a-b,一定可以与向量p,q构成空间的一个基底的是(　　)
A.a B.b
C.c D.p-2q
答案:C
解析:向量p+q=(a+b)+(a-b)=2a,
得a与p,q是共面向量, 不能构成空间的一个基底,故A错误;
同理p-q=(a+b)-(a-b)=2b,得b与p,q是共面向量,
不能构成空间的一个基底,故B错误;
又c与a和b不共面,所以c与p,q可以构成空间的一个基底,故C正确;
由题意得p-2q与p,q是共面向量,不能构成空间的一个基底,故D错误.
5.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,则k=(　　)
A.1 B.
C. D.
答案:D
解析:由已知得|a|==,|b|==2,
且a·b=1×2+0×0+1×(-2)=0,
由(ka+b)·(a+kb)=2得,ka2+k2a·b+a·b+kb2=2,
即2k+8k=2,解得k=.
6.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M为BC的中点,N为A1C1靠近A1的三等分点,设=a,=b,=c,则用a,b,c表示为(　　)
A.a+b-c B.-a+b+c
C.a-b-c D.-a-b+c
答案:A
解析:=++=b-c+(a-b)=a+b-c.
7.(2026·广东广州期末)我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图,四棱锥P-ABCD为“阳马”,PA⊥平面ABCD,且EC=2PE.若=x+y+z,则x+y+z=(　　)
A.1 B.2
C. D.
答案:A
解析:因为EC=2PE,所以=,
所以=-=+-
=+-
=+(-)-
=+-
=+-(+)
=--
=-+.
又=x+y+z,所以x=1,y=-,z=,则x+y+z=1.
8.(多选)下列说法正确的是(　　)
A.在空间直角坐标系Oxyz中,点(3,-4,5)关于平面Oxy对称的点为(3,-4,-5)
B.对空间任意一点O与不共线的A,B,C三点,若=x+y+z,其中x,y,z∈R且x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面
C.已知a=(0,1,1),b=(0,0,-1),则a在b上的投影向量为(0,0,-1)
D.向量p在单位正交基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3)
答案:ABD
解析:对于A,点(3,-4,5)关于平面Oxy对称的点应满足横、纵坐标不变,竖坐标变为相反数,即为(3,-4,-5),故A正确;
对于B,因为x+y+z=1,则z=1-x-y,所以=x+y+(1-x-y),即-=x-x+y-y,所以=x+y,所以P,A,B,C四点共面,故B正确;
对于C,由投影向量定义可得a在b上的投影向量为b=b=-b=(0,0,1),故C错误;
对于D,设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),
则p=x(a+b)+y(a-b)+zc,
又向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),
则p=4a+2b+3c,
所以4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc
=(x+y)a+(x-y)b+zc,
所以
所以向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3),故D正确.
9.(多选)已知空间向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),下列说法正确的是(　　)
A.若a⊥b,则x=
B.若3a+b=(2,-1,10),则x=1
C.存在x使a在b上的投影向量为b
D.若a与b的夹角为锐角,则x∈(,+∞)
答案:ABD
解析:对于A,∵a⊥b,∴a·b=0,
又a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),
即a·b=(2,-1,3)·(-4,2,x)=-8-2+3x=0,
解得x=,故A正确;
对于B,∵3a+b=(2,-1,10),
∴3a+b=3(2,-1,3)+(-4,2,x)=(2,-1,9+x)=(2,-1,10),
∴9+x=10,解得x=1,故B正确;
对于C,a在b上的投影向量为·=b,
代入坐标化简可得3(-10+3x)=20+x2,
故x2-9x+50=0,无解,故C错误;
对于D,∵a与b的夹角为锐角,
∴a·b=-10+3x>0,解得x>,
且a与b不共线,即≠,≠,解得x≠-6,
∴x∈(,+∞),故D正确.
10.在空间直角坐标系中,已知A(1,1,0),B(-1,0,2),点C满足=3,则点C的坐标为　　　　　.
答案:(-5,-2,6)
解析:设C(x,y,z),
则=(-2,-1,2),=(x-1,y-1,z)=3=(-6,-3,6),
故
故点C的坐标为(-5,-2,6).
11.(2026·湖北武汉模拟)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱AA1的长为b,且∠A1AB=∠A1AD=120°,则AC1的长为 　　　　.
答案:
解析:因为=++,所以=(++)2 =+++2·+2·+2· =a2+a2+b2-ab-ab=2a2-2ab+b2,所以||=,即AC1=.
[B组　能力提升练]
12.已知圆锥SO的底面半径为2,P为底面圆周上任意一点,Q为侧面(异于顶点和底面圆周)上任意一点,则·的取值范围为(　　)
A.(-4,4) B.[-4,4]
C.(-2,2) D.[-2,2]
答案:A
解析:如图所示,延长SQ交底面圆周于点B,连接OB,过点Q作QG⊥OB于点G,
显然·=·(+)=·=2cos<,>·||,
由题意可知cos<,>∈[-1,1],0<||<2,
所以·的取值范围为(-4,4).
13.(多选)(2026·湖南长沙模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, ||=||=||=1且 ∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=,M为A1C1与B1D1的交点.设 =a,=b,=c,则下列结论正确的是(　　)
A.=a+b+c
B.=a-b+c
C.||=
D.cos<,>=
答案:ACD
解析:对于A,=++=++=a+b+c,故A正确;
对于B,=+=+=+(-)=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c,故B错误;
对于C,∵||=||=||=1,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=,
∴||=
=
==,故C正确;
对于D,cos<,>====,故D正确.
14.(多选)(2026·安徽合肥质检)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,P是线段BC1上的点,且BP=2PC1,则下列说法正确的是(　　)
A.=++
B.·=-
C.AP=
D.直线AB1与BC1所成角的余弦值为
答案:BCD
解析:由题意知=+=+=+(-)=+(+-)=++,故A错误;
设=a,=b,=c,∴=-a+b+c,∴·=a·(-a+b+c)=-a2+a·b+a·c=-1+=-,故B正确;
由=++=a+b+c,∴||=
=
==,故C正确;
由=a+c,=-a+b+c,
∴||=
==,
||===,
又·=(a+c)·(-a+b+c)=-1+0+-++1=,∴cos<,>==,
∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为,故D正确.
15.如图,正四面体ABCD的所有棱长均为1,E,F,G,H分别是正四面体ABCD各棱的中点,设=a,=b,=c.
(1)求||;
(2)求,的夹角.
解:(1)因为点E,F,G分别是棱BC,AD,AB的中点,
所以=++ =++
=(+)++ =(c-b-a),
因此||2=(c-b-a)2=(c2+b2+a2-2c·b+2b·a-2c·a).
因为正四面体ABCD 的所有棱长均为1,
所以||2=×(1+1+1-2×1×1×+2×1×1×-2×1×1×)=,所以||=.
(2) 由(1)可知=(c-b-a),||=,
同理=(b+c-a),||=,
所以cos<,>== =(c2+a2-2a·c-b2) =×(1+1-2×1×1×-1)=0,
所以,的夹角为90°.(共26张PPT)
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A组　基础保分练
1.(2026·河南驻马店模拟)在空间直角坐标系Oxyz中,点M(2,3,-1)关于平面Oxz对称的点的坐标是(　　)
A.(2,3,1)　　　　　　 B.(2,-3,-1)
C.(-2,3,-1) D.(2,-3,1)
解析:点M(2,3,-1)关于平面Oxz对称的点的坐标是(2,-3,-1).
B
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2.(2026·浙江温州模拟)在空间直角坐标系中,已知三点A(0,1,2),B(2,0,0),C(2a,a,1),且||=||,则实数a=(　　)
A.B.2 C.- D.-1
解析:空间直角坐标系中,A(0,1,2),B(2,0,0),C(2a,a,1),且||=||,
所以
=,
解得a=.
A
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3.(2026·四川成都模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,=a,=b,=c.若点P满足=a+b+kc,且点P在平面A1BC内,则k=(　　)
A. B.
C. D.1
解析:因为=a+b+kc,且点P在平面A1BC内,
根据共面向量定理的推论,
得++k=1,解得k=.
B
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4.已知是空间一个基底,p=a+b,q=a-b,一定可以与向量p,q构成空间的一个基底的是(　　)
A.a B.b C.c D.p-2q
解析:向量p+q=(a+b)+(a-b)=2a,
得a与p,q是共面向量, 不能构成空间的一个基底,故A错误;
同理p-q=(a+b)-(a-b)=2b,得b与p,q是共面向量,
不能构成空间的一个基底,故B错误;
又c与a和b不共面,所以c与p,q可以构成空间的一个基底,故C正确;
由题意得p-2q与p,q是共面向量,不能构成空间的一个基底,故D错误.
C
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5.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,则k=(　　)
A.1 B.
C. D.
解析:由已知得|a|==,|b|==2,
且a·b=1×2+0×0+1×(-2)=0,
由(ka+b)·(a+kb)=2得,ka2+k2a·b+a·b+kb2=2,
即2k+8k=2,解得k=.
D
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6.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M为BC的中点,N为A1C1靠近A1的三等分点,设=a,=b,=c,则用a,b,c表示为(　　)
A.a+b-c B.-a+b+c
C.a-b-c D.-a-b+c
解析:=++=b-c+(a-b)=a+b-c.
A
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7.(2026·广东广州期末)我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图,四棱锥P-ABCD为“阳马”,PA⊥平面ABCD,且EC=2PE.若=x+y+z,则x+y+z=(　　)
A.1 B.2
C. D.
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解析:因为EC=2PE,所以=,
所以=-=+-
=+-
=+(-)-
=+-
=+-(+)
=--
=-+.
又=x+y+z,所以x=1,y=-,z=,则x+y+z=1.
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8.(多选)下列说法正确的是(　　 )
A.在空间直角坐标系Oxyz中,点(3,-4,5)关于平面Oxy对称的点为(3,-4,-5)
B.对空间任意一点O与不共线的A,B,C三点,若=x+y+z,其中x,y,z∈R且x+y+z=1,则P,A,B,C四点共面
C.已知a=(0,1,1),b=(0,0,-1),则a在b上的投影向量为(0,0,-1)
D.向量p在单位正交基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3)
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解析:对于A,点(3,-4,5)关于平面Oxy对称的点应满足横、纵坐标不变,竖坐标变为相反数,即为(3,-4,-5),故A正确;
对于B,因为x+y+z=1,则z=1-x-y,所以=x+y+(1-x-y),即-=x-x+y-y,所以=x+y,所以P,A,B,C四点共面,故B正确;
对于C,由投影向量定义可得a在b上的投影向量为b=b=-b=(0,0,1),故C错误;
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对于D,设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),
则p=x(a+b)+y(a-b)+zc,
又向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),
则p=4a+2b+3c,
所以4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc
=(x+y)a+(x-y)b+zc,
所以
所以向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3),故D正确.
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9.(多选)已知空间向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),下列说法正确的是(　　 )
A.若a⊥b,则x=
B.若3a+b=(2,-1,10),则x=1
C.存在x使a在b上的投影向量为b
D.若a与b的夹角为锐角,则x∈(,+∞)
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解析:对于A,∵a⊥b,∴a·b=0,
又a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),
即a·b=(2,-1,3)·(-4,2,x)=-8-2+3x=0,
解得x=,故A正确;
对于B,∵3a+b=(2,-1,10),
∴3a+b=3(2,-1,3)+(-4,2,x)=(2,-1,9+x)=(2,-1,10),
∴9+x=10,解得x=1,故B正确;
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对于C,a在b上的投影向量为·=b,
代入坐标化简可得3(-10+3x)=20+x2,
故x2-9x+50=0,无解,故C错误;
对于D,∵a与b的夹角为锐角,
∴a·b=-10+3x>0,解得x>,
且a与b不共线,即≠,≠,解得x≠-6,
∴x∈(,+∞),故D正确.
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10.在空间直角坐标系中,已知A(1,1,0),B(-1,0,2),点C满足=3,则点C的坐标为　　　　　.
解析:设C(x,y,z),
则=(-2,-1,2),=(x-1,y-1,z)=3=(-6,-3,6),
故
故点C的坐标为(-5,-2,6).
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11.(2026·湖北武汉模拟)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱AA1的长为b,且∠A1AB=∠A1AD=120°,则AC1的长为 　　　 　.
解析:因为=++,所以=(++)2 =+++2·+2·+2· =a2+a2+b2-ab-ab=2a2-2ab+b2,所以||=,
即AC1=.
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12.已知圆锥SO的底面半径为2,P为底面圆周上任意一点,Q为侧面(异于顶点和底面圆周)上任意一点,则·的取值范围为(　　)
A.(-4,4) B.[-4,4]
C.(-2,2) D.[-2,2]
B组　能力提升练
A
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解析:如图所示,延长SQ交底面圆周于点B,连接OB,过点Q作QG⊥OB于点G,
显然·=·(+)=·=2cos<,>·||,
由题意可知cos<,>∈[-1,1],0<||<2,
所以·的取值范围为(-4,4).
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13.(多选)(2026·湖南长沙模拟)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, ||=||=||=1且 ∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=,M为A1C1与B1D1的交点.设 =a,=b,=c,则下列结论正确的是(　 　)
A.=a+b+c
B.=a-b+c
C.||=
D.cos<,>=
ACD
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解析:对于A,=++=++=a+b+c,故A正确;
对于B,=+=+=+(-)=+
(-)=c+(b-a)=-a+b+c,故B错误;
对于C,∵||=||=||=1,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=,
∴||=
=
==,故C正确;
对于D,cos<,>====,故D正确.
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14.(多选)(2026·安徽合肥质检)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,
∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,P是线段BC1上的点,且BP=2PC1,则下列说法正确的是(　 　)
A.=++
B.·=-
C.AP=
D.直线AB1与BC1所成角的余弦值为
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解析:由题意知=+=+=+(-)=+(+-)=++,故A错误;
设=a,=b,=c,∴=-a+b+c,∴·=a·(-a+b+c)=-a2+a·b+a·c=-1+=-,故B正确;
由=++=a+b+c,∴||=
=
==,故C正确;
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由=a+c,=-a+b+c,
∴||=
==,
||===,
又·=(a+c)·(-a+b+c)=-1+0+-++1=,∴cos<,>==,
∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为,故D正确.
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15.如图,正四面体ABCD的所有棱长均为1,E,F,G,H分别是正四面体ABCD各棱的中点,设=a,=b,=c.
(1)求||;
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解:因为点E,F,G分别是棱BC,AD,AB的中点,
所以=++ =++
=(+)++ =(c-b-a),
因此||2=(c-b-a)2=(c2+b2+a2-2c·b+2b·a-2c·a).
因为正四面体ABCD 的所有棱长均为1,
所以||2=×(1+1+1-2×1×1×+2×1×1×-2×1×1×)=,所以||=.
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(2)求,的夹角.
解:由(1)可知=(c-b-a),||=,
同理=(b+c-a),||=,
所以cos<,>== =(c2+a2-2a·c-b2) =×
(1+1-2×1×1×-1)=0,
所以,的夹角为90°.第49讲　空间向量及其运算
考点一　空间向量的线性运算
[例1]　已知四面体OABC,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1.若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　)
A.(,,)　　　　　 B.(,,)
C.(,,) D.(,,)
[答案]　A
[解析]　法一:如图所示,连接AG1并延长,交BC于点E,则E为BC的中点,
=(+)=(-2+),
则==(-2+).
因为=3=3(-),
所以==(+)
=(+-+)
=(++),
所以x=y=z=.
法二:因为G1是△ABC的重心,
所以++=0,
所以+++++=0,
从而=(++).
因为G是OG1上一点,且OG=3GG1,
所以=,
从而=(++),
所以x=y=z=.
方法总结
空间向量线性运算中的三个关键点
1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
(1) 化简:--=　　　　;
(2) 用,,表示,则=　　　　.
答案:(1)
(2)++
解析:(1)--=(+)--=+(+)--=.
(2)=+=+ =(+)+ =++.
考点二　空间向量基本定理及其应用
[例2]　(多选)下列说法正确的是(　　)
A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
B.若G是四面体OABC的底面△ABC的重心,则=(++)
C.若=-+,则A,B,C,G四点共面
D.若p在单位正交基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则p在基底{a-b,a+b,c}下的坐标为(-,,3)
[答案]　BD
[解析]　对于A,若b=0,则满足a与b共线,b与c共线,但是a与c不一定共线,故A错误;
对于B,由于G为四面体OABC的底面△ABC的重心,设D为BC的中点,故=2,
整理得-=2-2,故3=++,
故=(++),故B正确;
对于C,由于-+≠1,
故A,B,C,G四点不共面,故C错误;
对于D,p在单位正交基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),即p=a+2b+3c,设p在基底{a-b,a+b,c}下的坐标为(x,y,z),则满足p=x(a-b)+y(a+b)+zc=(x+y)a+(y-x)b+zc=a+2b+3c,
故
则p在基底{a-b,a+b,c}下的坐标为(-,,3),故D正确.
方法总结
1.只有空间中不共面的三个向量才能作为基向量,解题时应结合已知和所求观察图形,正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,灵活运用三角形法则和平行四边形法则.
2.应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面
=λ =x+y
对空间任意一点O,=+t 对空间任意一点O,=+x+y
对空间任意一点O,=x+(1-x) 对空间任意一点O,=x+y+(1-x-y)
2.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件
B.若,共线,则AB∥CD
C.A,B,C三点不共线,对空间任意一点O,若=++,则P,A,B,C四点共面
D.若P,A,B,C为空间四点,且有=λ+μ(,不共线),则λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件
答案:CD
解析:由|a|-|b|=|a+b|,可得向量a,b的方向相反,此时向量a,b共线,反之,当向量a,b同向时,不能得到|a|-|b|=|a+b|,所以A不正确;
若,共线,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,所以B不正确;
由A,B,C三点不共线,对空间任意一点O,若=++,因为++=1,可得P,A,B,C四点共面,所以C正确;
若P,A,B,C为空间四点,且有=λ+μ(,不共线),
当λ+μ=1时,即μ=1-λ,可得-=λ(+),即=λ,
所以A,B,C三点共线,反之也成立,即λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件,所以D正确.
3.已知空间向量a=(1,1,1),b=(0,m,2),c=(1,0,0),若a,b,c共面,则m的值为(　　)
A.1 B.-1
C.-2 D.2
答案:D
解析:空间向量a=(1,1,1),b=(0,m,2),c=(1,0,0),若a,b,c共面,
则a=λb+μc,整理得(1,1,1)=λ(0,m,2)+μ(1,0,0),解得μ=1,λ=,m=2.
考点三　空间向量数量积的应用
[例3]　(2026·江苏常州模拟)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,P为B1C1的中点,则·=(　　)
A. B.1
C. D.
[答案]　A
[解析]　由正三棱柱ABC-A1B1C1可得AA1⊥AB,AA1⊥AC,∠BAC=60°,
而=+,=+=+=+-,
故·=(+)·(+-)
=-·+=-+1=.
[例4]　已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形,∠BAA1=∠DAA1=,AA1=2.
(1)求体对角线AC1的长;
(2)求直线AC1与A1B所成角的余弦值.
[解]　(1)设=a,=b,=c,因为=++=++=a+b+c,
又底面ABCD是正方形,∠BAA1=∠DAA1=,AB=1,AA1=2,
所以a·b=·=0,a·c=·=1×2×cos=1,b·c=·=1×2×cos=1,
所以||=|a+b+c|
=
==.
(2)因为=-=a-c,
所以||=|a-c|===,·=(a+b+c)·(a-c)=a2+a·b-b·c-c2=1+0-1-4=-4.
设直线AC1与A1B所成角为θ,所以cos θ===,
即直线AC1与A1B所成角的余弦值为.
方法总结
空间向量的数量积运算有两条途径:一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算.
4.已知空间向量a=(2,-1,2),b=(1,-2,1),则向量b在向量a上的投影向量是(　　)
A.(,-,)
B.(2,-1,2)
C.(,-,)
D.(1,-2,1)
答案:A
解析:因为a=(2,-1,2),b=(1,-2,1),所以a·b=6,|a|=3,故向量b在向量a上的投影向量是a=(2,-1,2)=(,-,).
5.已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),则下列结论正确的是(　　)
A.(a+b)∥a
B.a与b夹角的余弦值为
C.2a⊥(5a+6b)
D.4|a|=|b|
答案:C
解析:对于A,a+b=(1,3,6),因为≠≠,所以a+b与a不平行,故A错误;
对于B,a与b夹角的余弦值为==-,故B错误;
对于C,2a=(-4,-2,2),5a+6b=(8,19,35),则2a·(5a+6b)=-32-38+70=0,即2a⊥(5a+6b),故C正确;
对于D,4|a|=4,|b|=×=5,故D错误.(共24张PPT)
第49讲空间向量及其运算
考点一　空间向量的线性运算
[例1]　已知四面体OABC,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1.若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　)
A.(,,)　　　　　 B.(,,)
C.(,,) D.(,,)
A
[解析]　法一:如图所示,连接AG1并延长,交BC于点E,则E为BC的中点,
=(+)=(-2+),
则==(-2+).
因为=3=3(-),
所以==(+)
=(+-+)
=(++),
所以x=y=z=.
法二:因为G1是△ABC的重心,
所以++=0,
所以+++++=0,
从而=(++).
因为G是OG1上一点,且OG=3GG1,
所以=,
从而=(++),
所以x=y=z=.
方法总结
空间向量线性运算中的三个关键点
跟踪训练
1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
化简:--=　　　　;
解析:--=(+)--=+(+)--=.
(2) 用,,表示,则=　 　　　.
解析:=+=+ =(+)+ =++.
++
考点二　空间向量基本定理及其应用
[例2]　(多选)下列说法正确的是(　　)
A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
B.若G是四面体OABC的底面△ABC的重心,则=(++)
C.若=-+,则A,B,C,G四点共面
D.若p在单位正交基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则p在基底{a-b,a+b,c}下的坐标为(-,,3)
BD
[解析]　对于A,若b=0,则满足a与b共线,b与c共线,但是a与c不一定共线,故A错误;
对于B,由于G为四面体OABC的底面△ABC的重心,设D为BC的中点,故=2,
整理得-=2-2,故3=++,
故=(++),故B正确;
对于C,由于-+≠1,
故A,B,C,G四点不共面,故C错误;
对于D,p在单位正交基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),即p=a+2b+3c,设p在基底{a-b,a+b,c}下的坐标为(x,y,z),则满足p=x(a-b)+y(a+b)+zc=(x+y)a+
(y-x)b+zc=a+2b+3c,
故
则p在基底{a-b,a+b,c}下的坐标为(-,,3),故D正确.
方法总结
1.只有空间中不共面的三个向量才能作为基向量,解题时应结合已知和所求观察图形,正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,灵活运用三角形法则和平行四边形法则.
2.应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面
跟踪训练
2.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件
B.若,共线,则AB∥CD
C.A,B,C三点不共线,对空间任意一点O,若=++,则P,A,B,C四点共面
D.若P,A,B,C为空间四点,且有=λ+μ(,不共线),则λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件
CD
解析:由|a|-|b|=|a+b|,可得向量a,b的方向相反,此时向量a,b共线,反之,当向量a,b同向时,不能得到|a|-|b|=|a+b|,所以A不正确;
若,共线,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,所以B不正确;
由A,B,C三点不共线,对空间任意一点O,若=++,因为++=1,可得P,A,B,C四点共面,所以C正确;
若P,A,B,C为空间四点,且有=λ+μ(,不共线),
当λ+μ=1时,即μ=1-λ,可得-=λ(+),即=λ,
所以A,B,C三点共线,反之也成立,即λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件,所以D正确.
3.已知空间向量a=(1,1,1),b=(0,m,2),c=(1,0,0),若a,b,c共面,则m的值为(　　)
A.1 B.-1
C.-2 D.2
解析:空间向量a=(1,1,1),b=(0,m,2),c=(1,0,0),若a,b,c共面,
则a=λb+μc,整理得(1,1,1)=λ(0,m,2)+μ(1,0,0),解得μ=1,λ=,m=2.
D
考点三　空间向量数量积的应用
[例3]　(2026·江苏常州模拟)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
AB=AA1=1,P为B1C1的中点,则·=(　　)
A. B.1
C. D.
A
[解析]　由正三棱柱ABC-A1B1C1可得AA1⊥AB,AA1⊥AC,∠BAC=60°,
而=+,=+=+=+-,
故·=(+)·(+-)
=-·+=-+1=.
[例4]　已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形,∠BAA1=∠DAA1=,AA1=2.
(1)求体对角线AC1的长;
[解]　设=a,=b,=c,因为=++=++=a+b+c,
又底面ABCD是正方形,∠BAA1=∠DAA1=,AB=1,AA1=2,
所以a·b=·=0,a·c=·=1×2×cos=1,
b·c=·=1×2×cos=1,
所以||=|a+b+c|
=
==.
(2)求直线AC1与A1B所成角的余弦值.
[解]　因为=-=a-c,
所以||=|a-c|==
=,·=(a+b+c)·(a-c)=a2+a·b-b·c-c2=1+0-1-4=-4.
设直线AC1与A1B所成角为θ,所以cos θ===,
即直线AC1与A1B所成角的余弦值为.
方法总结
空间向量的数量积运算有两条途径:一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算.
跟踪训练
4.已知空间向量a=(2,-1,2),b=(1,-2,1),则向量b在向量a上的投影向量是(　　)
A.(,-,) B.(2,-1,2)
C.(,-,) D.(1,-2,1)
解析:因为a=(2,-1,2),b=(1,-2,1),所以a·b=6,|a|=3,故向量b在向量a上的投影向量是a=(2,-1,2)=(,-,).
A
5.已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),则下列结论正确的是(　　)
A.(a+b)∥a
B.a与b夹角的余弦值为
C.2a⊥(5a+6b)
D.4|a|=|b|
C
解析:对于A,a+b=(1,3,6),因为≠≠,所以a+b与a不平行,故A错误;
对于B,a与b夹角的余弦值为==-,故B错误;
对于C,2a=(-4,-2,2),5a+6b=(8,19,35),则2a·(5a+6b)=-32-38+70=0,即2a⊥(5a+6b),故C正确;
对于D,4|a|=4,|b|=×=5,故D错误.

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