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第51讲 利用空间向量求空间角
考点一　异面直线所成的角
[例1]　(1)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1,AB=2,则异面直线AC与PB所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　由题知AB,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,AD所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),B(0,2,0),则=(1,1,0),=(0,2,-1).设直线AC与PB所成的角为θ,则cos θ===,故异面直线AC与PB所成角的余弦值为.
(2)(2026·广西桂林模拟)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,则直线DC1,B1C所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　以{,,}为基底,则==+,==-,
则||=
==,
||=
==,
·=(+)·(-)=·-·+·-
=1×1×cos 60°-1×2×cos 60°+2×1×cos 60°-22=-,
所以cos<,>===-,
则直线DC1,B1C所成角的余弦值为.
方法总结
向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点
1.两种方法
(1)基向量法:利用线性运算;
(2)坐标法:利用坐标运算.
2.一个注意点
注意异面直线所成角与向量夹角的区别,尤其是取值范围.
1.(2026·安徽合肥模拟)在《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体,该几何体的上、下底面平行,且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的“曲池”,它的高为2,AA1,BB1,CC1,DD1均与“曲池”的底面ABCD垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90°,则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
答案:A
解析:设上底面圆心为O1,下底面圆心为O,连接OO1,OC,OB,O1B1,O1C1,
以O为坐标原点,分别以OC,OB,OO1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则C(1,0,0),A(0,2,0),B1(0,1,2),D1(2,0,2),
所以=(1,0,2),=(0,-1,2),
cos<,>===,
所以异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为.
考点二　直线与平面所成的角
[例2]　(2025·北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,△ACD与△ABC均为等腰直角三角形,∠ADC=90°,∠BAC=90°,E为BC的中点.
(1)若F,G分别为PD,PE的中点,证明:FG∥平面PAB;
(2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求直线AB与平面PCD所成角的正弦值.
(1)[证明]　取PA的中点N,PB的中点M,连接FN,MN,GM.
∵E,F分别为BC,PD的中点,
∴FN AD,GM BE.
∵△ACD与△ABC为等腰直角三角形,∠ADC=90°,∠BAC=90°,
∴∠DAC=45°,∠ACB=45°,
∴AD∥BC,∴FN∥GM.
又∵BC=AC=2AD,E为BC的中点,
∴FN=GM,∴四边形FGMN为平行四边形,
∴FG∥MN.
∵FG 平面PAB,MN 平面PAB,
∴FG∥平面PAB.
(2)[解]　∵PA⊥平面ABCD,∴以A为原点,AC,AB,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设AD=CD=2,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),D(,-,0),P(0,0,2),
∴=(0,2,0),=(,,0),=(-2,0,2),
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
∴
取x=1,∴y=-1,z=1,∴n=(1,-1,1),
设直线AB与平面PCD所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,n>|===,
即直线AB与平面PCD所成角的正弦值为.
方法总结
利用空间向量求线面角的解题步骤
2.(2026·广东汕头模拟)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,AF⊥平面ABCD,EF∥AB,AD=2,AB=AF=2EF=1,P为DF的中点.
(1)证明:BF∥平面APC;
(2)求直线EC与平面APC所成角的正弦值.
(1)证明:如图,连接BD交AC于点O,连接PO,
易知O为BD的中点.又P为DF的中点,
所以BF∥PO.又PO 平面APC,BF 平面APC,
所以BF∥平面APC.
(2)解:因为AF⊥平面ABCD,AB,AD 平面ABCD,
所以AF⊥AB,AF⊥AD,又AB⊥AD,
所以建系如图,
则A(0,0,0),C(1,2,0),E(,0,1),P(0,1,),
所以=(1,2,0),=(0,1,),=(,2,-1),
设平面APC的法向量为m=(x,y,z),
则取m=(2,-1,2),
设直线EC与平面APC所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,m>|=
==,
即直线EC与平面APC所成角的正弦值为.
考点三　平面与平面的夹角
[例3]　(2024·全国甲卷)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,EF∥AD,BC∥AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=,FB=2,M为AD的中点.
(1)证明:BM∥平面CDE;
(2)求二面角F-BM-E的正弦值.
(1)[证明]　因为BC∥AD,BC=2,AD=4,M为AD的中点,所以BC∥MD,BC=MD,所以四边形BCDM为平行四边形,所以BM∥CD.又因为BM 平面CDE,CD 平面CDE,所以BM∥平面CDE.
(2)[解]　如图,作BO⊥AD,交AD于点O,连接OF.因为四边形ABCD为等腰梯形,BC∥AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,由(1)知四边形BCDM为平行四边形,可得BM=CD=2.又AM=2,所以△ABM为等边三角形,O为AM的中点,所以OB=.又因为四边形ADEF为等腰梯形,M为AD中点,所以EF=MD,EF∥MD,四边形EFMD为平行四边形,FM=ED=AF,所以△AFM为等腰三角形,所以OF⊥AM,则OF==3.因为OB2+OF2=FB2,所以OB⊥OF,所以OB,OD,OF两两垂直.以O为坐标原点,OB为x轴,OD为y轴,OF为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则F(0,0,3),B(,0,0),M(0,1,0),E(0,2,3),=(-,1,0),=(-,0,3),=(-,2,3).设平面BFM的法向量为m=(x1,y1,z1),则令x1=,得y1=3,z1=1,即m=(,3,1).设平面EMB的法向量为n=(x2,y2,z2),则令x2=,得y2=3,z2=-1,即n=(,3,-1),则cos===,则sin=,故二面角F-BM-E的正弦值为.
方法总结
利用向量计算两平面夹角大小的常用方法
3.(2026·浙江金华模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AA1,AC的中点,且AB=BC=1,AA1=AC=.
(1)证明:BE⊥AC1;
(2)求二面角B-CD-A1的正弦值.
(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC.因为BE 平面ABC,所以CC1⊥BE.因为E为AC的中点,且AB=BC,所以BE⊥AC.又因为CC1 平面ACC1,AC 平面ACC1,AC∩CC1=C,所以BE⊥平面ACC1.因为AC1 平面ACC1,所以BE⊥AC1.
(2)解:设E1为A1C1的中点,连接EE1,则EE1∥CC1,所以EE1⊥平面ABC.以EB为x轴,EC为y轴,EE1为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(,0,0),C(0,,0),D(0,-,),所以=(-,,0),=(0,-,).设平面BCD的法向量为m=(x,y,z),
则令y=1,得m=(,1,2).又平面CDA1的一个法向量为n=(1,0,0),所以cos===,所以二面角B-CD-A1的正弦值为=.[A组　基础保分练]
1.在空间直角坐标系中,已知向量m=(1,1,-1)是平面ABC的一个法向量,且=(0,3,4),则直线CD与平面ABC所成角的正弦值是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
答案:B
解析:直线CD与平面ABC所成角的正弦值是|cos|===.
2.(2026·河南郑州模拟)如图,圆柱的轴截面为矩形ABCD,点M,N分别在上、下底面圆上, =,=,AB=2,BC=3,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案:D
解析:连接AN,NB,MN,因为=,=,AB为下底面圆直径,AB=2,所以AN=1,NB=.由已知条件,得MN为圆柱的一条母线,以N为坐标原点,分别以直线NB,NA,NM为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则N(0,0,0),A(0,1,0),M(0,0,3),C(,0,3),
所以=(0,-1,3),=(,0,3),
则cos<,>==,
所以异面直线AM与CN所成角的余弦值为.
3.(2026·黑龙江绥化模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,PA=AB=BC=AD=1,BC∥AD,已知Q是PD的中点,则CQ与平面ABCD所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.2
答案:A
解析:以A为坐标原点,AD所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,
则C(1,1,0),Q(1,0,),=(0,-1,),
取平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1),
则cos==,
即CQ与平面ABCD所成角的正弦值为.
4.(2026·安徽合肥模拟)如图,圆锥PO的底面圆周上有A,B,C三点,AB为底面圆O的直径,C是底面直径AB所对弧的中点,D是母线PA的中点.若AB=PO=2,则直线CD与平面PBC所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案:B
解析:建立空间直角坐标系,如图所示,
则O(0,0,0),P(0,0,2),B(0,1,0),C(1,0,0),D(0,-,1),
可得=(0,1,-2),=(1,0,-2),=(1,,-1),
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
则
令z=1,则x=y=2,可得n=(2,2,1),
设直线CD和平面PBC所成的角为θ,
可得sin θ=|cos<,n>|===,故直线CD与平面PBC所成角的正弦值为.
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则平面A1BC1与平面ABCD夹角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.
答案:A
解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x 轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则D(0,0,0),D1(0,0,2),C1(0,4,2),A1(4,0,2),B(4,4,0),可得=(0,4,-2),=(-4,4,0).设平面A1BC1 的法向量为n=(a,b,c),则 令b=1,则c=2,a=1,可得n=(1,1,2) 是平面A1BC1 的一个法向量.易知平面ABCD 的一个法向量为=(0,0,2),设平面A1BC1 与平面ABCD 的夹角为θ ,θ∈[0,],则cos θ=|cos|===,可得sin θ==,所以平面A1BC1 与平面ABCD 夹角的正切值为tan θ===.
6.(2026·湖北襄阳模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,PA=AC=BC,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,O为PB的中点,则直线CO与平面PAC所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案:B
解析:∵在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴PA⊥AC,PA⊥CB,AC⊥CB,
以C为原点,CB为x轴,CA为y轴,过点C作平面ABC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,
设PA=AC=BC=1,则C(0,0,0),P(0,1,1),B(1,0,0),O(,,),A(0,1,0),
=(,,),=(0,1,0),=(0,1,1),
设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),
则令x=1,则n=(1,0,0),
设直线CO与平面PAC所成角为θ,
则sin θ=|cos|===,
∴cos θ===,
∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为.
7.如图,将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角,E,F分别为AD,BC的中点,O是AC的中点,∠ABC=,则折后二面角E-OF-A的余弦值为(　　)
A. B.-
C. D.-
答案:A
解析:由题意知平面ADC⊥平面ABC,如图,连接OD,OB.
因为四边形ABCD是菱形,O是AC的中点,所以OD⊥AC,OB⊥AC,又平面ADC∩平面ABC=AC,OD 平面ADC,所以OD⊥平面ABC,而OB 平面ABC,所以OD⊥OB,从而OB,OC,OD两两垂直.以O为原点,OB,OC,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
令AB=2,则O(0,0,0),D(0,0,1),E(0,-,),F(,,0),=(0,-,),=(,,0),=(0,0,1).
设平面OEF的法向量为n=(x,y,z),则
令y=1,则n=(-,1,).
易知平面ABC的一个法向量为=(0,0,1),
则cos===.由图知,二面角E-OF-A的平面角为锐角,
所以二面角E-OF-A的余弦值为.
8.(多选)在三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若n1=(1,0,0),n2=(-,0,1),则二面角A-BD-C的大小可能为(　　)
A. B.
C. D.
答案:AD
解析:由已知可得|cos|==,
因此二面角A-BD-C的大小为.
9.(多选)在△ABC中,B=,AB=2,BC=3,E为AC的中点,点F在线段BC上,且CF=2BF,将△ABC以BC边为轴顺时针转一周围成一个圆锥,D为底面圆上一点,满足=π,则(　　)
A.BA⊥BD
B.在上的投影向量是
C.直线EF与直线CD所成角的余弦值为
D.直线EF与平面ACD所成角的正弦值为
答案:ABD
解析:△ABC旋转一周后所得圆锥的顶点为C,底面圆心为B,半径AB=2,
所以底面圆的周长为4π,所以所对的圆心角为∠ABD=,A正确;
因为E是AC的中点,F在线段BC上,所以,B正确;
以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,2,0),D(2,0,0),C(0,0,3),E(0,1,),F(0,0,1),
所以=(0,-1,-),=(2,0,-3),=(0,2,-3),
所以EF与CD所成角的余弦值为|cos<,>|==,C错误;
设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则令z=2,
则n=(3,3,2).设直线EF与平面ACD所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|==,D正确.
10.(2026·河北唐山质检)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=6,点E在线段C1D1上,且2D1E=EC1,M为线段BE的中点.若BE=2,则异面直线AD1与CM所成角的余弦值为　　　　.
答案:
解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设CC1=a(a>0),
则A(6,0,0),B(6,6,0),D1(0,0,a),C(0,6,0),C1(0,6,a),E(0,2,a),M(3,4,),
所以=(-6,-4,a),
||==2,
解得a=2,
所以M(3,4,1),D1(0,0,2),
所以=(-6,0,2),=(3,-2,1),
设AD1与CM所成的角为θ,
则cos θ==,
因此异面直线AD1与CM所成角的余弦值为.
11.(2026·甘肃兰州模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E是BC1的中点.
(1)证明:BC1⊥平面CDE;
(2)求直线BD1与平面BDE所成角的正弦值.
(1)证明:因为DC⊥平面BCC1B1,又BC1 平面BCC1B1,
所以DC⊥BC1.又因为四边形BCC1B1是正方形,E是BC1的中点,
所以CE⊥BC1.又CE∩CD=C,CE,CD 平面CDE,
所以BC1⊥平面CDE.
(2)解:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),B(2,2,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2),E(1,2,1),
所以=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,2,1),
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,得n=(1,-1,1),
设直线BD1与平面BDE所成的角为θ,
所以sin θ=|cos|===,
所以直线BD1与平面BDE所成角的正弦值为.
[B组　能力提升练]
12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角,AB∥CD,AD=CD=2AB=2,E为PC的中点,PA=m(m>0),且二面角E-BD-C的平面角为60°,则m=　　　　　.
答案:
解析:因为PA⊥底面ABCD,AB,AD 底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.
又∠DAB为直角,所以PA,AB,AD两两垂直.
以A为原点,AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,2,0),B(1,0,0),C(2,2,0),P(0,0,m).
因为E为PC的中点,所以E(1,1,),所以=(-1,2,0),=(0,1,).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则
令y=1,得n=(2,1,-).易知,平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1).
由题意,二面角E-BD-C的平面角为60°,则cos 60°===,解得m=.
13.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点M,N分别在棱BC,AB上,且满足AN=BM,当三棱锥D-MNB1的体积最小时,B1M与平面A1MN所成角的正弦值是　　　　.
答案:
解析:设AN=x(0≤x≤2),
则S△DMN=2×2-×2x-(2-x)x-×2(2-x)=2-(2-x)x.
由等体积法,得==×2×S△DMN=-(2-x)x≥-()2=1,
当且仅当2-x=x,即x=1时,等号成立,
所以当最小时,M,N分别是BC,AB的中点.
以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则N(2,1,0),M(1,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),
所以=(1,-1,0),=(-1,2,-2),=(1,0,2).
设平面A1MN的法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,得y=1,z=,则n=(1,1,).设B1M与平面A1MN所成的角为θ,
则sin θ=|cos|===.
14.(2026·山西长治模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1B1B与四边形BB1C1C都是棱长为1的正方形,∠ABC=90°,E,F,G分别是棱AB,BC,BB1上的动点,且==.
(1)证明:A1F⊥C1G;
(2)若平面EGC1与平面AA1B1B的夹角的余弦值为,求BF.
(1)证明:因为四边形AA1B1B与四边形BB1C1C都是棱长为1的正方形,
所以B1B⊥AB,B1B⊥BC,
又∠ABC=90°,所以BA,BB1,BC两两垂直,
故以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB=BC=BB1=1,且==,
所以AE=BF=B1G,
设AE=BF=B1G=m,0≤m≤1,
则A1(1,1,0),F(0,0,m),C1(0,1,1),G(0,1-m,0),
所以=(-1,-1,m),=(0,-m,-1),
所以·=(-1,-1,m)·(0,-m,-1)=m-m=0,
故A1F⊥C1G.
(2)解:由(1)知,E(1-m,0,0),
所以=(m-1,1-m,0),
所以·=(-1,-1,m)·(m-1,1-m,0)=1-m+m-1=0,
即A1F⊥EG.
又C1G∩EG=G,C1G,EG 平面EGC1,
所以A1F⊥平面EGC1,
所以平面EGC1的一个法向量为=(-1,-1,m),
易知平面AA1B1B的一个法向量为n=(0,0,1).
因为平面EGC1与平面AA1B1B的夹角的余弦值为,
所以|cos<,n>|===,解得m=或m=-(舍去),
故BF=.(共34张PPT)
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A组　基础保分练
1.在空间直角坐标系中,已知向量m=(1,1,-1)是平面ABC的一个法向量,且=(0,3,4),则直线CD与平面ABC所成角的正弦值是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析:直线CD与平面ABC所成角的正弦值是|cos|===.
B
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2.(2026·河南郑州模拟)如图,圆柱的轴截面为矩形ABCD,点M,N分别在上、下底面圆上, = , = ,AB=2,BC=3,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
D
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解析:连接AN,NB,MN,因为 = , = ,AB为下底面圆直径,
AB=2,所以AN=1,NB=.由已知条件,得MN为圆柱的一条母线,以N为坐标原点,分别以直线NB,NA,NM为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则N(0,0,0),A(0,1,0),M(0,0,3),C(,0,3),
所以=(0,-1,3),=(,0,3),
则cos<,>==,
所以异面直线AM与CN所成角的余弦值为.
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3.(2026·黑龙江绥化模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,PA=AB=BC=AD=1,BC∥AD,已知Q是PD的中点,则CQ与平面ABCD所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.2
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解析:以A为坐标原点,AD所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,
则C(1,1,0),Q(1,0,),=(0,-1,),
取平面ABCD的一个法向量n=(0,0,1),
则cos==,
即CQ与平面ABCD所成角的正弦值为.
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4.(2026·安徽合肥模拟)如图,圆锥PO的底面圆周上有A,B,C三点,AB为底面圆O的直径,C是底面直径AB所对弧的中点,D是母线PA的中点.若AB=PO=2,则直线CD与平面PBC所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
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解析:建立空间直角坐标系,如图所示,
则O(0,0,0),P(0,0,2),B(0,1,0),C(1,0,0),D(0,-,1),
可得=(0,1,-2),=(1,0,-2),=(1,,-1),
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),
则
令z=1,则x=y=2,可得n=(2,2,1),
设直线CD和平面PBC所成的角为θ,
可得sin θ=|cos<,n>|===,故直线CD与平面PBC所成角的正弦值为.
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5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则平面A1BC1与平面ABCD夹角的正切值为(　　)
A. B.
C. D.
A
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解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x 轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则D(0,0,0),D1(0,0,2),C1(0,4,2),A1(4,0,2),B(4,4,0),可得=(0,4,-2),=(-4,4,0).设平面A1BC1 的法向量为n=(a,b,c),则 令b=1,则c=2,a=1,可得n=(1,1,2) 是平面A1BC1 的一个法向量.易知平面ABCD 的一个法向量为=(0,0,2),设平面A1BC1 与平面ABCD 的夹角为θ ,θ∈[0,],则cos θ=|cos|===,可得sin θ==,所以平面A1BC1 与平面ABCD 夹角的正切值为tan θ===.
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6.(2026·湖北襄阳模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,PA=AC=BC,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,O为PB的中点,则直线CO与平面PAC所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
B
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解析:∵在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴PA⊥AC,PA⊥CB,AC⊥CB,
以C为原点,CB为x轴,CA为y轴,过点C作平面ABC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,
设PA=AC=BC=1,则C(0,0,0),P(0,1,1),B(1,0,0),O(,,),A(0,1,0),
=(,,),=(0,1,0),=(0,1,1),
设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),
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则令x=1,则n=(1,0,0),
设直线CO与平面PAC所成角为θ,
则sin θ=|cos|===,
∴cos θ===,
∴直线CO与平面PAC所成角的余弦值为.
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7.如图,将菱形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角,E,F分别为AD,BC的中点,O是AC的中点,∠ABC=,则折后二面角E-OF-A的余弦值为(　　)
A. B.-
C. D.-
A
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解析:由题意知平面ADC⊥平面ABC,如图,连接OD,OB.
因为四边形ABCD是菱形,O是AC的中点,所以OD⊥AC,OB⊥AC,又平面ADC∩平面ABC=AC,OD 平面ADC,所以OD⊥平面ABC,而OB 平面ABC,所以OD⊥OB,从而OB,OC,OD两两垂直.以O为原点,OB,OC,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
令AB=2,则O(0,0,0),D(0,0,1),E(0,-,),F(,,0),=(0,-,),
=(,,0),=(0,0,1).
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设平面OEF的法向量为n=(x,y,z),则
令y=1,则n=(-,1,).
易知平面ABC的一个法向量为=(0,0,1),
则cos===.由图知,二面角E-OF-A的平面角为锐角,
所以二面角E-OF-A的余弦值为.
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8.(多选)在三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若n1=(1,0,0),n2=(-,0,1),则二面角A-BD-C的大小可能为(　　)
A. B.
C. D.
解析:由已知可得|cos|==,
因此二面角A-BD-C的大小为.
AD
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9.(多选)在△ABC中,B=,AB=2,BC=3,E为AC的中点,点F在线段BC上,且CF=2BF,将△ABC以BC边为轴顺时针转一周围成一个圆锥,D为底面圆上一点,满足 =π,则(　　 )
A.BA⊥BD
B.在上的投影向量是
C.直线EF与直线CD所成角的余弦值为
D.直线EF与平面ACD所成角的正弦值为
ABD
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解析:△ABC旋转一周后所得圆锥的顶点为C,底面圆心为B,半径AB=2,
所以底面圆的周长为4π,所以 所对的圆心角为∠ABD=,A正确;
因为E是AC的中点,F在线段BC上,所以,B正确;
以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,2,0),D(2,0,0),C(0,0,3),E(0,1,),F(0,0,1),
所以=(0,-1,-),=(2,0,-3),=(0,2,-3),
所以EF与CD所成角的余弦值为|cos<,>|==,C错误;
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设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则令z=2,
则n=(3,3,2).设直线EF与平面ACD所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|==,D正确.
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10.(2026·河北唐山质检)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=6,点E在线段C1D1上,且2D1E=EC1,M为线段BE的中点.若BE=2,则异面直
线AD1与CM所成角的余弦值为　　　　.
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解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设CC1=a(a>0),
则A(6,0,0),B(6,6,0),D1(0,0,a),C(0,6,0),C1(0,6,a),E(0,2,a),M(3,4,),
所以=(-6,-4,a),
||==2,
解得a=2,
所以M(3,4,1),D1(0,0,2),
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所以=(-6,0,2),=(3,-2,1),
设AD1与CM所成的角为θ,
则cos θ==,
因此异面直线AD1与CM所成角的余弦值为.
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11.(2026·甘肃兰州模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E是BC1的中点.
(1)证明:BC1⊥平面CDE;
证明:因为DC⊥平面BCC1B1,又BC1 平面BCC1B1,
所以DC⊥BC1.又因为四边形BCC1B1是正方形,E是BC1的中点,
所以CE⊥BC1.又CE∩CD=C,CE,CD 平面CDE,
所以BC1⊥平面CDE.
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(2)求直线BD1与平面BDE所成角的正弦值.
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解:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),B(2,2,0),C1(0,2,2),D1(0,0,2),E(1,2,1),
所以=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,2,1),
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,得n=(1,-1,1),
设直线BD1与平面BDE所成的角为θ,
所以sin θ=|cos|===,
所以直线BD1与平面BDE所成角的正弦值为.
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12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠DAB为直角,
AB∥CD,AD=CD=2AB=2,E为PC的中点,PA=m(m>0),且二面角E-BD-C的
平面角为60°,则m=　　　　　.
B组　能力提升练
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解析:因为PA⊥底面ABCD,AB,AD 底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.
又∠DAB为直角,所以PA,AB,AD两两垂直.
以A为原点,AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,2,0),B(1,0,0),C(2,2,0),P(0,0,m).
因为E为PC的中点,所以E(1,1,),所以=(-1,2,0),=(0,1,).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则
令y=1,得n=(2,1,-).易知,平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1).
由题意,二面角E-BD-C的平面角为60°,则cos 60°===,解得m=.
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13.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,动点M,N分别在棱BC,AB上,且满足AN=BM,当三棱锥D-MNB1的体积最小时,B1M与平面A1MN所成
角的正弦值是　　　　.
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解析:设AN=x(0≤x≤2),
则S△DMN=2×2-×2x-(2-x)x-×2(2-x)=2-(2-x)x.
由等体积法,得==×2×S△DMN=-(2-x)x≥-()2=1,
当且仅当2-x=x,即x=1时,等号成立,
所以当最小时,M,N分别是BC,AB的中点.
以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则N(2,1,0),M(1,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),
所以=(1,-1,0),=(-1,2,-2),=(1,0,2).
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设平面A1MN的法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,得y=1,z=,则n=(1,1,).设B1M与平面A1MN所成的角为θ,
则sin θ=|cos|===.
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14.(2026·山西长治模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1B1B与四边形BB1C1C都是棱长为1的正方形,∠ABC=90°,E,F,G分别是棱AB,BC,BB1上的动点,且==.
(1)证明:A1F⊥C1G;
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证明:因为四边形AA1B1B与四边形BB1C1C都是棱长为1的正方形,
所以B1B⊥AB,B1B⊥BC,
又∠ABC=90°,所以BA,BB1,BC两两垂直,
故以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB=BC=BB1=1,且==,
所以AE=BF=B1G,
设AE=BF=B1G=m,0≤m≤1,
则A1(1,1,0),F(0,0,m),C1(0,1,1),G(0,1-m,0),
所以=(-1,-1,m),=(0,-m,-1),
所以·=(-1,-1,m)·(0,-m,-1)=m-m=0,
故A1F⊥C1G.
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(2)若平面EGC1与平面AA1B1B的夹角的余弦值为,求BF.
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解:由(1)知,E(1-m,0,0),
所以=(m-1,1-m,0),
所以·=(-1,-1,m)·(m-1,1-m,0)=1-m+m-1=0,
即A1F⊥EG.
又C1G∩EG=G,C1G,EG 平面EGC1,
所以A1F⊥平面EGC1,
所以平面EGC1的一个法向量为=(-1,-1,m),
易知平面AA1B1B的一个法向量为n=(0,0,1).
因为平面EGC1与平面AA1B1B的夹角的余弦值为,
所以|cos<,n>|===,解得m=或m=-(舍去),故BF=.(共26张PPT)
第51讲利用空间向量求空间角
考点一　异面直线所成的角
[例1]　(1)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,
∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=1,AB=2,则异面直线AC与PB所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
B
[解析]　由题知AB,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,AD所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),B(0,2,0),则=(1,1,0),=(0,2,-1).设直线AC与PB所成的角为θ,则cos θ===,故异面直线AC与PB所成角的余弦值为.
(2)(2026·广西桂林模拟)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
AB=AD=1,AA1=2,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,则直线DC1,B1C所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
A
[解析]　以{,,}为基底,则==+,==-,
则||=
==,
||=
==,
·=(+)·(-)=·-·+·-
=1×1×cos 60°-1×2×cos 60°+2×1×cos 60°-22=-,
所以cos<,>===-,
则直线DC1,B1C所成角的余弦值为.
方法总结
向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点
1.两种方法
(1)基向量法:利用线性运算.
(2)坐标法:利用坐标运算.
2.一个注意点
注意异面直线所成角与向量夹角的区别,尤其是取值范围.
跟踪训练
1.(2026·安徽合肥模拟)在《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体,该几何体的上、下底面平行,且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的“曲池”,它的高为2,AA1,BB1,
CC1,DD1均与“曲池”的底面ABCD垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90°,则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
A
解析:设上底面圆心为O1,下底面圆心为O,连接OO1,OC,OB,O1B1,O1C1,
以O为坐标原点,分别以OC,OB,OO1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则C(1,0,0),A(0,2,0),B1(0,1,2),D1(2,0,2),
所以=(1,0,2),=(0,-1,2),
cos<,>===,
所以异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为.
考点二　直线与平面所成的角
[例2]　(2025·北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,△ACD与△ABC均为等腰直角三角形,∠ADC=90°,∠BAC=90°,E为BC的中点.
(1)若F,G分别为PD,PE的中点,证明:FG∥平面PAB;
[证明]　取PA的中点N,PB的中点M,连接FN,MN,GM.
∵E,F分别为BC,PD的中点,
∴FN AD,GM BE.
∵△ACD与△ABC为等腰直角三角形,∠ADC=90°,∠BAC=90°,
∴∠DAC=45°,∠ACB=45°,
∴AD∥BC,∴FN∥GM.
又∵BC=AC=2AD,E为BC的中点,
∴FN=GM,∴四边形FGMN为平行四边形,
∴FG∥MN.
∵FG 平面PAB,MN 平面PAB,
∴FG∥平面PAB.
(2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求直线AB与平面PCD所成角的正弦值.
[解]　∵PA⊥平面ABCD,∴以A为原点,AC,AB,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设AD=CD=2,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),D(,-,0),P(0,0,2),
∴=(0,2,0),=(,,0),=(-2,0,2),
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
∴
取x=1,∴y=-1,z=1,∴n=(1,-1,1),
设直线AB与平面PCD所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,n>|===,
即直线AB与平面PCD所成角的正弦值为.
方法总结
利用空间向量求线面角的解题步骤
跟踪训练
2.(2026·广东汕头模拟)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,AF⊥平面ABCD,EF∥AB,AD=2,AB=AF=2EF=1,P为DF的中点.
(1)证明:BF∥平面APC;
证明:如图,连接BD交AC于点O,连接PO,
易知O为BD的中点.又P为DF的中点,
所以BF∥PO.又PO 平面APC,BF 平面APC,
所以BF∥平面APC.
(2)求直线EC与平面APC所成角的正弦值.
解:因为AF⊥平面ABCD,AB,AD 平面ABCD,
所以AF⊥AB,AF⊥AD,又AB⊥AD,
所以建系如图,
则A(0,0,0),C(1,2,0),E(,0,1),P(0,1,),
所以=(1,2,0),=(0,1,),=(,2,-1),
设平面APC的法向量为m=(x,y,z),
则取m=(2,-1,2),
设直线EC与平面APC所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,m>|=
==,
即直线EC与平面APC所成角的正弦值为.
考点三　平面与平面的夹角
[例3]　(2024·全国甲卷)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,EF∥AD,BC∥AD,AD=4,
AB=BC=EF=2,ED=,FB=2,M为AD的中点.
(1)证明:BM∥平面CDE;
[证明]　因为BC∥AD,BC=2,AD=4,M为AD的中点,所以BC∥MD,BC=MD,所以四边形BCDM为平行四边形,所以BM∥CD.又因为BM 平面CDE,CD 平面CDE,所以BM∥平面CDE.
(2)求二面角F-BM-E的正弦值.
[解]　如图,作BO⊥AD,交AD于点O,连接OF.因为四边形ABCD为等腰梯形,BC∥AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,由(1)知四边形BCDM为平行四边形,可得BM=CD=2.又AM=2,所以△ABM为等边三角形,O为AM的中点,所以OB=.又因为四边形ADEF为等腰梯形,M为AD中点,所以EF=MD,EF∥MD,四边形EFMD为平行四边形,FM=ED=AF,所以△AFM为等腰三角形,所以OF⊥AM,则OF==3.因为OB2+OF2=FB2,所以OB⊥OF,所以OB,OD,OF两两垂直.以O为坐标原点,
OB为x轴,OD为y轴,OF为z轴,建立如图所示的空间直角
坐标系,则F(0,0,3),B(,0,0),M(0,1,0),E(0,2,3),=
(-,1,0),=(-,0,3),=(-,2,3).设平面BFM的法向量为m=(x1,y1,z1),则令x1=,得y1=3,z1=1,即m=(,3,1).设平面EMB的法向量为n=(x2,y2,z2),则令x2=,得y2=3,z2=-1,即n=(,3,-1),则cos===,
则sin=,故二面角F-BM-E的正弦值为.
方法总结
利用向量计算两平面夹角大小的常用方法
跟踪训练
3.(2026·浙江金华模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AA1,AC的中点,且AB=BC=1,AA1=AC=.
(1)证明:BE⊥AC1;
证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC.因为BE 平面ABC,所以CC1⊥BE.因为E为AC的中点,且AB=BC,所以BE⊥AC.又因为CC1 平面ACC1,AC 平面ACC1,AC∩CC1=C,所以BE⊥平面ACC1.因为AC1 平面ACC1,所以BE⊥AC1.
(2)求二面角B-CD-A1的正弦值.
解:设E1为A1C1的中点,连接EE1,则EE1∥CC1,所以EE1⊥平面ABC.以EB为x轴,EC为y轴,EE1为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(,0,0),C(0,,0),D(0,-,),所以=(-,,0),=(0,-,).设平面BCD的法向量为m=(x,y,z),
则令y=1,得m=(,1,2).
又平面CDA1的一个法向量为n=(1,0,0),所以cos===,所以二面角B-CD-A1的正弦值为=.

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