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第52讲 利用空间向量研究距离问题
考点一　点到直线的距离
角度1　几何法
[例1]　如图,在四棱锥P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,PB=AB=2BC=4,AB⊥BC,则点C到直线PA的距离为(　　)
A.2　　　　　　　　 B.2
C. D.4
[答案]　A
[解析]　如图,取PA的中点M,连接BM,CM.
因为PB⊥平面ABCD,
BC 平面ABCD,
所以PB⊥BC.
又因为AB⊥BC,PB∩AB=B,PB,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB.
又PA 平面PAB,所以BC⊥PA.
因为M是PA的中点,PB=AB,
所以BM⊥PA.
又BC⊥PA,BM∩BC=B,BM,BC 平面BCM,
所以PA⊥平面BCM.
又CM 平面BCM,所以CM⊥PA,
即CM为点C到直线PA的距离.
在等腰Rt△PAB中,BM=PB=2,
在Rt△BCM中,
CM===2,
故点C到直线PA的距离为2.
角度2　向量法
[例2]　(1)(2026·山东青岛模拟)已知点A(1,1,1),B(0,1,0),C(-1,0,1),则点A到直线BC的距离是(　　)
A.1 B.
C. D.2
[答案]　B
[解析]　由题意可得=(1,0,1),=(-1,-1,1),
则直线BC的单位方向向量为u==(-1,-1,1),
所以=1+0+1=2,·u=×(-1+0+1)=0.
点A到直线BC的距离为==.
(2)(2026·北京模拟)如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　A
[解析]　如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),
则=(-3,0,1),=(-3,4,0),
法一:设点P到直线BD的距离为d,
d===,
所以点P到直线BD的距离为.
法二:cos<,>===,
所以sin<,>=,
所以点P到直线BD的距离为||sin<,>=×=.
方法总结
1.几何法求点线距一般要作出这个距离,然后利用直角三角形或等面积法求解.
2.向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求直线的单位方向向量;
(3)求所求点与直线上某一点所构成的向量;
(4)代入点线距公式求距离.
1.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1C,D1A1的中点,求点A到直线EF的距离.
解:法一:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.
则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),=(1,-2,1),=(1,0,-2),
所以||==,||==,·=1×1+0×(-2)+(-2)×1=-1,
所以= =,
所以点A到直线EF的距离
d= ==.
法二:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,
则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),=(1,-2,1),
设点G(x,y,z),且满足=λ,⊥,则=(x,y-2,z-1)=λ(1,-2,1)=(λ,-2λ,λ),所以G(λ,2-2λ,1+λ),
所以=(λ-2,2-2λ,1+λ),由·=0得,λ=,=(-,,),
||==,
即点A到直线EF的距离为.
考点二　点到平面的距离
角度1　等体积法
[例3]　(2026·山东青岛调研)已知圆柱的高和底面半径均为4,AB为上底面圆的直径, P是上底面圆周上的一点且AP=BP,PC是圆柱的一条母线,则点P到平面ABC的距离为　　　　.
[答案]　2
[解析]　由题可得AB=8,
因为AP=BP,
所以S△ABP=×8×4=16.
因为PC⊥平面ABP,且PC=4,
所以VC-ABP=×16×4=.
因为AP=BP=4,所以AC=BC=4,
所以S△ABC=×8×=16,
设点P到平面ABC的距离为d,
则VP-ABC=VC-ABP,即×16d=,解得d=2.
角度2　向量法
[例4]　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0<λ<2),则点G到平面D1EF的距离为(　　)
A.2 B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则G(2,λ,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),
所以=(-2,0,1),=(0,2,0),=(0,λ,1).
设平面D1EF的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,得n=(1,0,2),
所以点G到平面D1EF的距离为
==.
方法总结
1.几何法求点面距时,若能够确定过点且与平面垂直的直线,即作出点面距,根据条件求解;若不易作出点面距,可借助等体积法求解.
2.向量法求点面距的步骤
2.如图,E是长方体ABCD-A'B'C'D'的棱AB的中点,AB=2,BC=4,AA'=2,求点C'到平面A'ED的距离.
解:建系如图,则C'(0,2,0),A'(4,0,0),D(0,0,2),E(4,1,2),
=(0,1,2),=(-4,0,2),=(0,-2,2),
设平面A'ED的法向量为n=(x,y,z),
所以
令z=2,则x=1,y=-4,所以n=(1,-4,2),
所以点C'到平面A'ED的距离为==.
考点三　直线到平面、两平行平面之间的距离
[例5]　(2026·天津模拟)如图,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2,点M,N分别在CF,EG上.
(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,证明:MN∥平面CDE;
(2)求直线AD到平面EBC的距离.
(1)[证明]　由已知,DG⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD 平面ABCD,CD 平面ABCD,
所以AD,CD,DG相互垂直,则以D为原点,DA,DC,DG分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
如图所示,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),=(0,2,0),=(2,0,2).
又M为CF的中点,N为EG的中点,所以M(0,,1),N(1,0,2),
设n=(x,y,z)为平面CDE的法向量,
所以
令x=-1,则z=1,n=(-1,0,1).
又=(1,-,1),所以n·=-1×1+0×(-)+1×1=0,
即⊥n,而MN 平面CDE,所以MN∥平面CDE.
(2)[解]　由(1)可得=(1,0,0),=(2,-2,2),=(0,-1,2).
设n1=(x1,y1,z1)为平面EBC的法向量,所以令z1=1,则y1=1,n1=(0,1,1).
因为AD∥BC,AD 平面EBC,BC 平面EBC,所以AD∥平面EBC,
所以直线AD到平面EBC的距离即点D到平面EBC的距离.
又由(1)可得=(0,2,0),
所以直线AD到平面EBC的距离为==.
3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,求平面AMN与平面EFBD间的距离.
解:如图所示,建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).
从而=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,0,4),
所以=,=,
所以EF∥MN,AM∥BF.
因为EF 平面AMN,MN 平面AMN,
所以EF∥平面AMN.
同理可得BF∥平面AMN.
又EF∩BF=F,且EF,BF 平面EFBD,
所以平面AMN∥平面EFBD,所以平面AMN与平面EFBD间的距离即点B到平面AMN的距离.
设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,从而
取z=1,得n=(2,-2,1),因为=(0,4,0),所以平面AMN与平面EFBD间的距离为=.(共28张PPT)
第52讲利用空间向量研究距离问题
考点一　点到直线的距离
角度1　几何法
[例1]　如图,在四棱锥P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,
PB=AB=2BC=4,AB⊥BC,则点C到直线PA的距离为(　　)
A.2　　　　　　　　 B.2
C. D.4
A
[解析]　如图,取PA的中点M,连接BM,CM.
因为PB⊥平面ABCD,
BC 平面ABCD,
所以PB⊥BC.
又因为AB⊥BC,PB∩AB=B,PB,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB.
又PA 平面PAB,所以BC⊥PA.
因为M是PA的中点,PB=AB,
所以BM⊥PA.
又BC⊥PA,BM∩BC=B,BM,BC 平面BCM,
所以PA⊥平面BCM.
又CM 平面BCM,所以CM⊥PA,
即CM为点C到直线PA的距离.
在等腰Rt△PAB中,BM=PB=2,
在Rt△BCM中,
CM===2,
故点C到直线PA的距离为2.
角度2　向量法
[例2]　(1)(2026·山东青岛模拟)已知点A(1,1,1),B(0,1,0),C(-1,0,1),则点A到直线BC的距离是(　　)
A.1 B.
C. D.2
B
[解析]　由题意可得=(1,0,1),=(-1,-1,1),
则直线BC的单位方向向量为u==(-1,-1,1),
所以=1+0+1=2,·u=×(-1+0+1)=0.
点A到直线BC的距离为==.
(2)(2026·北京模拟)如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为(　　)
A. B.
C. D.
A
[解析]　如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),
则=(-3,0,1),=(-3,4,0),
法一:设点P到直线BD的距离为d,
d===,
所以点P到直线BD的距离为.
法二:cos<,>===,
所以sin<,>=,
所以点P到直线BD的距离为||sin<,>=×=.
方法总结
1.几何法求点线距一般要作出这个距离,然后利用直角三角形或等面积法求解.
2.向量法求点到直线的距离的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系;
(2)求直线的单位方向向量;
(3)求所求点与直线上某一点所构成的向量;
(4)代入点线距公式求距离.
跟踪训练
1.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1C,D1A1的中点,求点A到直线EF的距离.
解:法一:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.
则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),=(1,-2,1),=(1,0,-2),
所以||==,||==,
·=1×1+0×(-2)+(-2)×1=-1,
所以= =,
所以点A到直线EF的距离
d= ==.
法二:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,
则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),=(1,-2,1),
设点G(x,y,z),且满足=λ,⊥,则=(x,y-2,z-1)=λ(1,-2,1)=(λ,-2λ,λ),所以G(λ,2-2λ,1+λ),
所以=(λ-2,2-2λ,1+λ),由·=0得,λ=,=(-,,),
||==,
即点A到直线EF的距离为.
考点二　点到平面的距离
角度1　等体积法
[例3]　(2026·山东青岛调研)已知圆柱的高和底面半径均为4,AB为上底面圆的直径,P是上底面圆周上的一点且AP=BP,PC是圆柱的一条母线,则点P到平面ABC的距离为　　　　.
2
[解析]　由题可得AB=8,
因为AP=BP,
所以S△ABP=×8×4=16.
因为PC⊥平面ABP,且PC=4,
所以VC-ABP=×16×4=.
因为AP=BP=4,所以AC=BC=4,
所以S△ABC=×8×=16,
设点P到平面ABC的距离为d,
则VP-ABC=VC-ABP,即×16d=,解得d=2.
角度2　向量法
[例4]　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,G为棱A1B1上的一点,且A1G=λ(0<λ<2),则点G到平面D1EF的距离为(　　)
A.2 B.
C. D.
D
[解析]　以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则G(2,λ,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),
所以=(-2,0,1),=(0,2,0),=(0,λ,1).
设平面D1EF的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,得n=(1,0,2),
所以点G到平面D1EF的距离为
==.
方法总结
1.几何法求点面距时,若能够确定过点且与平面垂直的直线,即作出点面距,根据条件求解;若不易作出点面距,可借助等体积法求解.
2.向量法求点面距的步骤
跟踪训练
2.如图,E是长方体ABCD-A'B'C'D'的棱AB的中点,AB=2,BC=4,AA'=2,求点C'到平面A'ED的距离.
解:建系如图,则C'(0,2,0),A'(4,0,0),D(0,0,2),E(4,1,2),
=(0,1,2),=(-4,0,2),=(0,-2,2),
设平面A'ED的法向量为n=(x,y,z),
所以
令z=2,则x=1,y=-4,所以n=(1,-4,2),
所以点C'到平面A'ED的距离为==.
考点三　直线到平面、两平行平面之间的距离
[例5]　(2026·天津模拟)如图,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2,点M,N分别在CF,EG上.
(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,证明:MN∥平面CDE;
[证明]　由已知,DG⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD 平面ABCD,CD 平面ABCD,
所以AD,CD,DG相互垂直,则以D为原点,DA,DC,DG分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
如图所示,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),=(0,2,0),=(2,0,2).
又M为CF的中点,N为EG的中点,所以M(0,,1),N(1,0,2),
设n=(x,y,z)为平面CDE的法向量,
所以
令x=-1,则z=1,n=(-1,0,1).
又=(1,-,1),所以n·=-1×1+0×(-)+1×1=0,
即⊥n,而MN 平面CDE,所以MN∥平面CDE.
(2)求直线AD到平面EBC的距离.
[解]　由(1)可得=(1,0,0),=(2,-2,2),=(0,-1,2).
设n1=(x1,y1,z1)为平面EBC的法向量,所以令z1=1,则y1=1,n1=(0,1,1).
因为AD∥BC,AD 平面EBC,BC 平面EBC,所以AD∥平面EBC,
所以直线AD到平面EBC的距离即点D到平面EBC的距离.
又由(1)可得=(0,2,0),
所以直线AD到平面EBC的距离为==.
跟踪训练
3.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,求平面AMN与平面EFBD间的距离.
解:如图所示,建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4).
从而=(2,2,0),=(2,2,0),=(-2,0,4),=(-2,0,4),
所以=,=,
所以EF∥MN,AM∥BF.
因为EF 平面AMN,MN 平面AMN,
所以EF∥平面AMN.
同理可得BF∥平面AMN.
又EF∩BF=F,且EF,BF 平面EFBD,
所以平面AMN∥平面EFBD,所以平面AMN与平面EFBD间的距离即点B到平面AMN的距离.
设n=(x,y,z)是平面AMN的法向量,从而
取z=1,得n=(2,-2,1),因为=(0,4,0),所以平面AMN与平面EFBD间的距离为=.[A组　基础保分练]
1.已知直线l的方向向量为n=(1,0,2),点A(0,1,1)在直线l上,则点P(1,2,2)到直线l的距离为(　　)
A.2　　　　　　　　 B.
C. D.
答案:D
解析:由已知,得=(-1,-1,-1),因为直线l的方向向量为n=(1,0,2),所以点P(1,2,2)到直线l的距离为==.
2.(2026·江苏镇江模拟)已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C.5 D.10
答案:A
解析:因为A(-1,3,0),P(-2,1,4),
所以=(-1,-2,4).
又平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),
所以点P到平面α的距离d===.
3.(2026·山东潍坊模拟)在《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”,在“堑堵”ABC-A1B1C1中,若AB=BC=AA1=2,且P为线段BA1的中点,则点P到直线B1C的距离为(　　)
A. B.
C. D.
答案:B
解析:由题意可知三棱柱ABC-A1B1C1是底面为直角三角形的直三棱柱,
以B为原点建立空间直角坐标系,如图所示.
则B(0,0,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C(0,2,0),P(1,0,1),
故=(0,2,-2),=(1,0,-1).
法一:cos<,>===,所以sin<,>=,
则点P到直线B1C的距离为
||sin<,>=×=.
法二:点P到直线B1C的距离为
=
=.
4.(2026·江苏徐州模拟)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱AB,AD,BB1的中点,点P在棱C1D1上,且C1P=3PD1,则点G到平面PEF的距离为(　　)
A. B.
C. D.
答案:C
解析:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则F(2,0,0),E(4,2,0),P(0,1,4),G(4,4,2),
所以=(-2,-2,0),=(-2,1,4),=(0,2,2),
设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),
则
即
取x=1,则y=-1,z=,所以n=(1,-1,),
所以点G到平面PEF的距离为d===.
5.(2026·黑龙江哈尔滨模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,G为AA1的中点,则直线BD与平面GB1D1的距离为(　　)
A. B.
C. D.
答案:B
解析:由正方体性质得BD∥B1D1,又B1D1 平面GB1D1,BD 平面GB1D1,所以BD∥平面GB1D1,所以直线BD到平面GB1D1的距离即点D到平面GB1D1的距离,以D为原点,建立空间直角坐标系,则G(2,0,1),D1(0,0,2),B1(2,2,2),
=(0,2,1),=(-2,0,1),=(0,0,2),
设平面GB1D1的法向量n=(x,y,z),
则
取x=1,得n=(1,-1,2),
所以直线BD与平面GB1D1的距离d===.
6.(多选)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.B1C∥平面A1BD
B.平面A1BD⊥平面AA1C1C
C.直线B1C到平面A1BD的距离是
D.点A1到直线BC的距离是
答案:ABD
解析:对于选项A,如图1所示,连接AB1,交A1B于点E,E为AB1的中点,连接DE,又因为D是AC的中点,所以DE∥B1C,又DE 平面A1BD,B1C 平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD,故A正确;
对于选项B,因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC,又AA1⊥平面ABC,BD 平面ABC,所以AA1⊥BD,又AA1,AC 平面AA1C1C,AA1∩AC=A,所以BD⊥平面AA1C1C,又BD 平面A1BD,所以平面A1BD⊥平面AA1C1C,故B正确;
对于选项C,因为B1C∥平面A1BD,所以B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离d,以D为坐标原点,DC,DB分别为x轴,y轴,过点D作平面ABC的垂线为z轴,建立如图2所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),所以=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则得y=0,令z=1,则x=3,得n=(3,0,1),
则d==,故C错误;
对于选项D,由选项C的分析知,C(1,0,0),=(1,-2,0),=(2,0,-3),则点A1到直线BC的距离为==,故D正确.
7.(多选)(2026·河北秦皇岛模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E, F分别为CC1和A1D1的中点,下列说法正确的是(　　)
A.AC1∥平面BDE
B.FC⊥DE
C.点F到平面BDE的距离为
D.异面直线A1C1与BE所成角为30°
答案:AC
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
D(0,0,0),A(1,0,0),C1(0,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0),E(0,1,),F(,0,1),A1(1,0,1),
对于A,=(-1,1,1),=(1,1,0),=(0,1,),设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),
所以令y=1,所以n=(-1,1,-2),
因为n·=1+1-2=0,所以n⊥,又AC1 平面BDE,所以AC1∥平面BDE,A正确;
对于B,=(-,1,-1),·=1-=≠0,所以FC与DE不垂直,B错误;
对于C,=(,0,1),所以点F到平面BDE的距离为==,C正确;
对于D,=(-1,1,0),=(-1,0,),所以异面直线A1C1与BE所成角的余弦值为==,所以所成角不是30°,D错误.
8.(2026·陕西渭南模拟)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=AC=BC=2,PC与平面ABC所成角的大小为60°,则PC=　　　　,点P到平面ABC的距离为　　　　.
答案:　
解析:如图,取AB的中点D,连接PD,CD,过点P作PO⊥CD于点O.
依题意,得PD⊥AB,CD⊥AB,又PD,CD 平面PCD,PD∩CD=D,所以AB⊥平面PCD.又AB 平面ABC,所以平面ABC⊥平面PCD.
易得PO⊥平面ABC,所以∠PCD为PC与平面ABC所成角,即∠PCD=60°,易知PD=CD=,所以△PCD为等边三角形,所以PC=PD=.点P到平面ABC的距离为PO=.
9.(2026·天津模拟)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为3的正方形,P为棱DD1的中点,PC⊥PB1.
(1)求AA1的长度;
(2)求点D到平面PB1C的距离.
解:(1)如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,
建立空间直角坐标系,
设AA1=h(h>0),由已知可得B1(3,3,h),C(0,3,0),P(0,0,),
所以=(0,3,-),=(3,3,).
因为PC⊥PB1,所以·=9-=0,
解得h=6,所以AA1=6.
(2)由(1)可知,=(0,3,-3),=(3,3,3),P(0,0,3),设平面PB1C的法向量为n=(x,y,z),
则由
令z=1,可得平面PB1C的一个法向量n=(-2,1,1).
又=(0,0,3),则点D到平面PB1C的距离为=.
10.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离;
(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
解:以D1为坐标原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,
则A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),
E(1,,0),F(1,,1),
∴=(0,1,0),=(-1,1,-1),
=(0,,-1),=(-1,,0),
=(-1,,0),=(0,,0).
(1)点B到直线AC1的距离为
==.
(2)易知=,∴FC∥EC1,
又FC 平面AEC1,EC1 平面AEC1,∴FC∥平面AEC1,则点F到平面AEC1的距离就是直线FC到平面AEC1的距离.
设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),
则
取y=2,得n=(1,2,1),
∴直线FC到平面AEC1的距离为==.
[B组　能力提升练]
11.(多选)(2026·山东济南模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,O分别是A1B1,A1C1的中点,点P在正方体内部且满足=++,则下列说法正确的是(　　)
A.点A到直线BE的距离是
B.点O到平面ABC1D1的距离为
C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为
D.点P到直线AB的距离为
答案:ABC
解析:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E(,0,1),O(,,1).
选项A,=(-1,0,0),=(-,0,1),设∠ABE=θ,则cos θ==,
所以sin θ==,
故点A到直线BE的距离为||sin θ=1×=,故选项A正确;
选项B,==(-,-,0),
因为AB⊥平面ADD1A1,且A1D 平面ADD1A1,所以AB⊥A1D,
又A1D⊥AD1,AB∩AD1=A,AB,AD1 平面ABC1D1,所以A1D⊥平面ABC1D1,
所以平面ABC1D1的一个法向量为=(0,-1,1),
所以点O到平面ABC1D1的距离为==,故选项B正确;
选项C,=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0),
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则
令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1),
所以点D1到平面A1BD的距离为==,
因为BA1∥CD1,BA1 平面A1BD,CD1 平面A1BD,
所以CD1∥平面A1BD,同理可得B1C∥平面A1BD,
又B1C∩CD1=C,B1C,CD1 平面B1CD1,
所以平面A1BD∥平面B1CD1,
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,即,故选项C正确;
选项D,因为=++,
所以=(,,),
又=(1,0,0),所以=,
所以点P到直线AB的距离为
==,故选项D错误.
12.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=CD=1,E为PC的中点.
(1)证明:BE∥平面PAD;
(2)若AB⊥平面PBC,△PBC是边长为2的正三角形,求点E到平面PAD的距离.
(1)证明:如图1,取PD的中点F,连接AF,EF.
因为E为PC的中点,F为PD的中点,
所以EF∥CD,且EF=CD.
又AB∥CD,且AB=CD,
所以EF∥AB,且EF=AB,故四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.
又BE 平面PAD,AF 平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
(2)解:如图2所示,取BC的中点O,AD的中点M,连接OP,OM,则OM∥AB∥CD.在等边△PBC中,PO=,OP⊥BC.
又AB⊥平面PBC,所以OM⊥平面PBC.
以O为坐标原点,分别以,,为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则P(0,0,),A(-1,1,0),D(1,2,0),C(1,0,0),故E(,0,),所以=(2,1,0),=(-1,1,-),=(,0,-).
设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),
则
即
令x=1,则y=-2,z=-,故n=(1,-2,-).
所以点E到平面PAD的距离为==.(共33张PPT)
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A组　基础保分练
1.已知直线l的方向向量为n=(1,0,2),点A(0,1,1)在直线l上,则点P(1,2,2)到直线l的距离为(　　)
A.2　　　　　　　　 B.
C. D.
解析:由已知,得=(-1,-1,-1),因为直线l的方向向量为n=(1,0,2),所以点P(1,2,2)到直线l的距离为==.
D
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2.(2026·江苏镇江模拟)已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到平面α的距离为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C.5 D.10
解析:因为A(-1,3,0),P(-2,1,4),
所以=(-1,-2,4).
又平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),
所以点P到平面α的距离d===.
A
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3.(2026·山东潍坊模拟)在《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”,在“堑堵”ABC-A1B1C1中,若AB=BC=AA1=2,且P为线段BA1的中点,则点P到直线B1C的距离为(　　)
A. B.
C. D.
B
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解析:由题意可知三棱柱ABC-A1B1C1是底面为直角三角形的直三棱柱,
以B为原点建立空间直角坐标系,如图所示.
则B(0,0,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C(0,2,0),P(1,0,1),
故=(0,2,-2),=(1,0,-1).
法一:cos<,>===,所以sin<,>=,
则点P到直线B1C的距离为
||sin<,>=×=.
法二:点P到直线B1C的距离为==.
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4.(2026·江苏徐州模拟)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱AB,AD,BB1的中点,点P在棱C1D1上,且C1P=3PD1,则点G到平面PEF的距离为(　　)
A. B.
C. D.
C
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解析:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则F(2,0,0),E(4,2,0),P(0,1,4),G(4,4,2),
所以=(-2,-2,0),=(-2,1,4),=(0,2,2),
设平面PEF的法向量为n=(x,y,z),
则
即
取x=1,则y=-1,z=,所以n=(1,-1,),
所以点G到平面PEF的距离为d===.
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5.(2026·黑龙江哈尔滨模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,G为AA1的中点,则直线BD与平面GB1D1的距离为(　　)
A. B.
C. D.
B
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解析:由正方体性质得BD∥B1D1,又B1D1 平面GB1D1,BD 平面GB1D1,所以BD∥平面GB1D1,所以直线BD到平面GB1D1的距离即点D到平面GB1D1的距离,以D为原点,建立空间直角坐标系,则G(2,0,1),D1(0,0,2),B1(2,2,2),
=(0,2,1),=(-2,0,1),=(0,0,2),
设平面GB1D1的法向量n=(x,y,z),
则
取x=1,得n=(1,-1,2),
所以直线BD与平面GB1D1的距离d===.
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6.(多选)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点,则下列结论正确的是(　 　)
A.B1C∥平面A1BD
B.平面A1BD⊥平面AA1C1C
C.直线B1C到平面A1BD的距离是
D.点A1到直线BC的距离是
ABD
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解析:对于选项A,如图1所示,连接AB1,交A1B于点E,E为AB1的中点,连接DE,又因为D是AC的中点,所以DE∥B1C,又DE 平面A1BD,B1C 平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD,故A正确;
对于选项B,因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC,又AA1⊥平面ABC,BD 平面ABC,所以AA1⊥BD,又AA1,AC 平面AA1C1C,AA1∩AC=A,所以BD⊥平面AA1C1C,又BD 平面A1BD,所以平面A1BD⊥平面AA1C1C,故B正确;
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对于选项C,因为B1C∥平面A1BD,所以B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离d,以D为坐标原点,DC,DB分别为x轴,y轴,过点D作平面ABC的垂线为z轴,建立如图2所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),所以=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则得y=0,令z=1,则x=3,得n=(3,0,1),
则d==,故C错误;
对于选项D,由选项C的分析知,C(1,0,0),=(1,-2,0),=
(2,0,-3),则点A1到直线BC的距离为==,故D正确.
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7.(多选)(2026·河北秦皇岛模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E, F分别为CC1和A1D1的中点,下列说法正确的是(　　)
A.AC1∥平面BDE
B.FC⊥DE
C.点F到平面BDE的距离为
D.异面直线A1C1与BE所成角为30°
AC
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解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
D(0,0,0),A(1,0,0),C1(0,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0),E(0,1,),F(,0,1),A1(1,0,1),
对于A,=(-1,1,1),=(1,1,0),=(0,1,),设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),
所以令y=1,所以n=(-1,1,-2),
因为n·=1+1-2=0,所以n⊥,又AC1 平面BDE,所以AC1∥平面BDE,A正确;
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对于B,=(-,1,-1),·=1-=≠0,所以FC与DE不垂直,B错误;
对于C,=(,0,1),所以点F到平面BDE的距离为==,C正确;
对于D,=(-1,1,0),=(-1,0,),所以异面直线A1C1与BE所成角的余弦值为==,所以所成角不是30°,D错误.
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8.(2026·陕西渭南模拟)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=AC=BC=2,PC与平面ABC所成角的大小为60°,则PC=　　　　,点P到平面ABC的距离
为　　　　.
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解析:如图,取AB的中点D,连接PD,CD,过点P作PO⊥CD于点O.
依题意,得PD⊥AB,CD⊥AB,又PD,CD 平面PCD,PD∩CD=D,所以AB⊥平面PCD.又AB 平面ABC,所以平面ABC⊥平面PCD.
易得PO⊥平面ABC,所以∠PCD为PC与平面ABC所成角,即∠PCD=60°,易知PD=CD=,所以△PCD为等边三角形,所以PC=PD=.点P到平面ABC的距离为PO=.
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9.(2026·天津模拟)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为3的正方形,P为棱DD1的中点,PC⊥PB1.
(1)求AA1的长度;
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解:如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,
建立空间直角坐标系,
设AA1=h(h>0),由已知可得B1(3,3,h),C(0,3,0),P(0,0,),
所以=(0,3,-),=(3,3,).
因为PC⊥PB1,所以·=9-=0,
解得h=6,所以AA1=6.
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(2)求点D到平面PB1C的距离.
解:由(1)可知,=(0,3,-3),=(3,3,3),P(0,0,3),设平面PB1C的法向量为n=(x,y,z),
则由
令z=1,可得平面PB1C的一个法向量n=(-2,1,1).
又=(0,0,3),则点D到平面PB1C的距离为=.
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10.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离;
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解:以D1为坐标原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,
则A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),
E(1,,0),F(1,,1),
∴=(0,1,0),=(-1,1,-1),
=(0,,-1),=(-1,,0),
=(-1,,0),=(0,,0).
(1)点B到直线AC1的距离为
==.
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(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
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解:易知=,∴FC∥EC1,
又FC 平面AEC1,EC1 平面AEC1,∴FC∥平面AEC1,则点F到平面AEC1的距离就是直线FC到平面AEC1的距离.
设平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),
则
取y=2,得n=(1,2,1),
∴直线FC到平面AEC1的距离为==.
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11.(多选)(2026·山东济南模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,
E,O分别是A1B1,A1C1的中点,点P在正方体内部且满足=++,则下列说法正确的是(　 　)
A.点A到直线BE的距离是
B.点O到平面ABC1D1的距离为
C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为
D.点P到直线AB的距离为
B组　能力提升练
ABC
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解析:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),
E(,0,1),O(,,1).
选项A,=(-1,0,0),=(-,0,1),设∠ABE=θ,则cos θ==,
所以sin θ==,
故点A到直线BE的距离为||sin θ=1×=,故选项A正确;
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选项B,==(-,-,0),
因为AB⊥平面ADD1A1,且A1D 平面ADD1A1,所以AB⊥A1D,
又A1D⊥AD1,AB∩AD1=A,AB,AD1 平面ABC1D1,所以A1D⊥平面ABC1D1,
所以平面ABC1D1的一个法向量为=(0,-1,1),
所以点O到平面ABC1D1的距离为==,
故选项B正确;
选项C,=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0),
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
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则
令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1),
所以点D1到平面A1BD的距离为==,
因为BA1∥CD1,BA1 平面A1BD,CD1 平面A1BD,
所以CD1∥平面A1BD,同理可得B1C∥平面A1BD,
又B1C∩CD1=C,B1C,CD1 平面B1CD1,
所以平面A1BD∥平面B1CD1,
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,即,故选项C正确;
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选项D,因为=++,
所以=(,,),
又=(1,0,0),所以=,
所以点P到直线AB的距离为
==,故选项D错误.
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12.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=CD=1,E为PC的中点.
(1)证明:BE∥平面PAD;
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证明:如图1,取PD的中点F,连接AF,EF.
因为E为PC的中点,F为PD的中点,
所以EF∥CD,且EF=CD.
又AB∥CD,且AB=CD,
所以EF∥AB,且EF=AB,故四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.
又BE 平面PAD,AF 平面PAD,
所以BE∥平面PAD.
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(2)若AB⊥平面PBC,△PBC是边长为2的正三角形,求点E到平面PAD的距离.
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解:如图2所示,取BC的中点O,AD的中点M,连接OP,OM,则OM∥AB∥CD.在等边△PBC中,PO=,OP⊥BC.
又AB⊥平面PBC,所以OM⊥平面PBC.
以O为坐标原点,分别以,,为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则P(0,0,),A(-1,1,0),D(1,2,0),C(1,0,0),故E(,0,),所以=(2,1,0),=(-1,1,-),=(,0,-).
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设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),
则
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令x=1,则y=-2,z=-,故n=(1,-2,-).
所以点E到平面PAD的距离为==.

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