资源简介

(共14张PPT)
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A组　基础保分练
1.(2026·湖北武汉模拟)已知α,β为两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,则下列命题正确的是(　　)
A.若α∥β,m α,l β,则m∥l
B.若m⊥β,α⊥β,则m∥α
C.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
D.若α∥β,m∥α,则m∥β
C
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解析:若α∥β,m α,l β,则m∥l或m,l异面,故A错误;
若m⊥β,α⊥β,则m∥α或m α,故B错误;
若l⊥α,l⊥β,则α∥β,故C正确;
若α∥β,m∥α,则m∥β或m β,故D错误.
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2.(2026·陕西汉中模拟)下列命题正确的是(　　)
A.圆心和圆上的两点确定一个平面
B.若直线a不平行于平面α且a α,则平面α内不存在与a平行的直线
C.已知直线a,b,平面α,β,且a α,b⊥β,α∥β,则a∥b
D.已知两条相交直线a,b,且a∥平面α,则b与α相交
B
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解析:因为圆的一条直径不能确定一个平面,所以若圆心和圆上的两点在同一条直径上,则无法确定一个平面,故A错误;若直线a不平行于平面α且a α,则a与α相交,所以平面α内不存在与a平行的直线,故B正确;已知直线a,b,平面α,β,且a α,b⊥β,α∥β,则b⊥α,所以b⊥a,故C错误;已知两条相交直线a,b,且a∥平面α,则b∥平面α或b与α相交,故D错误.
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3.已知平面α外一点P和平面内不共线三点A,B,C,A',B',C'分别在PA,PB,PC上,若延长A'B',B'C',A'C',与平面α分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点(　　)
A.成钝角三角形　　　　　 B.成锐角三角形
C.成直角三角形 D.在一条直线上
解析:D,E,F为平面α与平面A'B'C'的公共点,由基本事实知,D,E,F三点共线.
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4.(2026·河南许昌调研)正四棱锥S-ABCD的所有棱长都相等,E为SC的中点,则异面直线BE与SA所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
C
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解析:如图所示,连接AC,取AC的中点为O,连接OB,OE.
因为E为SC的中点,所以SA∥OE,则∠OEB或其补角为异面直线BE与SA所成的角.
设正四棱锥S-ABCD的棱长为2,
则OE=1,BE=,OB=,
则OE2+OB2=BE2,所以OB⊥OE,
所以cos∠OEB===.
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5.(多选)(2026·湖北宜昌模拟)下列命题是真命题的是(　　)
A.若△ABC的三条边所在的直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线
B.若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线
C.若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面
D.对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b
AC
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解析:对于A,设平面α∩平面ABC=l,因为P∈平面α,P∈平面ABC,所以P∈l,同理Q∈l,R∈l,所以P,Q,R三点共线,故A为真命题;
对于B,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取A1D1所在直线为直线a,AB所在直线为直线b,B1C1所在直线为直线c, 满足直线a,b异面,直线b,c异面,而a∥c,故B为假命题;
对于C,经过一组相交直线或一组平行直线,有且仅有一个平面,故C为真命题;
对于D,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取A1D1所在直线为直线a,BB1所在直线为直线b,A1B1所在直线为直线c,满足a⊥c,b⊥c,而直线a,b异面,故D为假命题.
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6.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E,F分别为侧棱PC,PB的中点,则EF与平面PAD的位置关系为　　　　,平面AEF与平面ABCD的交线是　　　　.
解析:由题易知EF∥BC,BC∥AD,所以EF∥AD,又EF 平面PAD,AD 平面PAD,所以EF∥ 平面PAD.因为EF∥AD,所以E,F,A,D四点共面,所以AD 为平面AEF 与平面ABCD 的交线.
平行
AD
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7.(2026·福建泉州模拟)已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,E,M分别为C1D1,ED的中点,N为底面ABCD的中心,若△ECD为等边三角形,则直线EN与BM所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
B组　能力提升练
C
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解析:取DN中点P,连接MP,则MP∥EN,
所以∠BMP(或其补角)为直线EN与BM所成的角.
设AB=4,则BP=3,取CD上靠近D的四等分点Q,连接MQ,PQ,QB.
因为M为ED的中点,Q为CD的四等分点,所以MQ∥CC1.
因为CC1⊥平面ABCD,所以MQ⊥平面ABCD.
又因为PQ,QB 平面ABCD,所以MQ⊥PQ,MQ⊥QB.
因为△ECD为等边三角形,所以MQ=.又由PQ=1,BQ=5,
所以MP==2,BM==2,
在△BMP中,由余弦定理可得cos∠BMP==,
所以直线EN与BM所成角的余弦值为.
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8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,C1C,A1A的中点.
(1)证明:M,N,A1,B四点共面;
证明:如图,连接MN,A1B,CD1.
由已知可得,A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,则A1B∥CD1.
又M,N分别是C1D1,C1C的中点,所以MN∥CD1,且MN=CD1,
所以MN∥A1B,且MN=A1B,
所以M,N,A1,B四点共面.
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(2)求异面直线PD1与MN所成角的余弦值.
解:如图,连接DP,D1P,CP.
因为MN∥CD1,所以∠PD1C(或其补角)为异面直线PD1与MN所成的角.
因为CD⊥平面ADD1A1,DP 平面ADD1A1,所以CD⊥DP.
因为P是AA1的中点,所以PA=PA1=1.
又A1D1⊥A1A,所以PD1==.同理DP=.
在Rt△PDC中,PC==3.又D1C==2,
在△PCD1中,PC=3,D1C=2,PD1=,
由余弦定理可得,cos∠PD1C===,
即异面直线PD1与MN所成角的余弦值为.[A组　基础保分练]
1.(2026·湖北武汉模拟)已知α,β为两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,则下列命题正确的是(　　)
A.若α∥β,m α,l β,则m∥l
B.若m⊥β,α⊥β,则m∥α
C.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
D.若α∥β,m∥α,则m∥β
答案:C
解析:若α∥β,m α,l β,则m∥l或m,l异面,故A错误;
若m⊥β,α⊥β,则m∥α或m α,故B错误;
若l⊥α,l⊥β,则α∥β,故C正确;
若α∥β,m∥α,则m∥β或m β,故D错误.
2.(2026·陕西汉中模拟)下列命题正确的是(　　)
A.圆心和圆上的两点确定一个平面
B.若直线a不平行于平面α且a α,则平面α内不存在与a平行的直线
C.已知直线a,b,平面α,β,且a α,b⊥β,α∥β,则a∥b
D.已知两条相交直线a,b,且a∥平面α,则b与α相交
答案:B
解析:因为圆的一条直径不能确定一个平面,所以若圆心和圆上的两点在同一条直径上,则无法确定一个平面,故A错误;若直线a不平行于平面α且a α,则a与α相交,所以平面α内不存在与a平行的直线,故B正确;已知直线a,b,平面α,β,且a α,b⊥β,α∥β,则b⊥α,所以b⊥a,故C错误;已知两条相交直线a,b,且a∥平面α,则b∥平面α或b与α相交,故D错误.
3.已知平面α外一点P和平面内不共线三点A,B,C,A',B',C'分别在PA,PB,PC上,若延长A'B',B'C',A'C',与平面α分别交于D,E,F三点,则D,E,F三点(　　)
A.成钝角三角形　　　　　 B.成锐角三角形
C.成直角三角形 D.在一条直线上
答案:D
解析:D,E,F为平面α与平面A'B'C'的公共点,由基本事实知,D,E,F三点共线.
4.(2026·河南许昌调研)正四棱锥S-ABCD的所有棱长都相等,E为SC的中点,则异面直线BE与SA所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案:C
解析:如图所示,连接AC,取AC的中点为O,连接OB,OE.
因为E为SC的中点,所以SA∥OE,则∠OEB或其补角为异面直线BE与SA所成的角.
设正四棱锥S-ABCD的棱长为2,
则OE=1,BE=,OB=,
则OE2+OB2=BE2,所以OB⊥OE,
所以cos∠OEB===.
5.(多选)(2026·湖北宜昌模拟)下列命题是真命题的是(　　)
A.若△ABC的三条边所在的直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线
B.若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线
C.若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面
D.对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b
答案:AC
解析:对于A,设平面α∩平面ABC=l,因为P∈平面α,P∈平面ABC,所以P∈l,同理Q∈l,R∈l,所以P,Q,R三点共线,故A为真命题;
对于B,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取A1D1所在直线为直线a,AB所在直线为直线b,B1C1所在直线为直线c, 满足直线a,b异面,直线b,c异面,而a∥c,故B为假命题;
对于C,经过一组相交直线或一组平行直线,有且仅有一个平面,故C为真命题;
对于D,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取A1D1所在直线为直线a,BB1所在直线为直线b,A1B1所在直线为直线c,满足a⊥c,b⊥c,而直线a,b异面,故D为假命题.
6.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E,F分别为侧棱PC,PB的中点,则EF与平面PAD的位置关系为　　　　,平面AEF与平面ABCD的交线是　　　　.
答案:平行　 AD
解析:由题易知EF∥BC,BC∥AD,所以EF∥AD,又EF 平面PAD,AD 平面PAD,所以EF∥ 平面PAD.因为EF∥AD,所以E,F,A,D四点共面,所以AD 为平面AEF 与平面ABCD 的交线.
[B组　能力提升练]
7.(2026·福建泉州模拟)已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,E,M分别为C1D1,ED的中点,N为底面ABCD的中心,若△ECD为等边三角形,则直线EN与BM所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案:C
解析:取DN中点P,连接MP,则MP∥EN,
所以∠BMP(或其补角)为直线EN与BM所成的角.
设AB=4,则BP=3,取CD上靠近D的四等分点Q,连接MQ,PQ,QB.
因为M为ED的中点,Q为CD的四等分点,所以MQ∥CC1.
因为CC1⊥平面ABCD,所以MQ⊥平面ABCD.
又因为PQ,QB 平面ABCD,所以MQ⊥PQ,MQ⊥QB.
因为△ECD为等边三角形,所以MQ=.又由PQ=1,BQ=5,
所以MP==2,BM==2,
在△BMP中,由余弦定理可得cos∠BMP==,
所以直线EN与BM所成角的余弦值为.
8.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,C1C,A1A的中点.
(1)证明:M,N,A1,B四点共面;
(2)求异面直线PD1与MN所成角的余弦值.
(1)证明:如图,连接MN,A1B,CD1.
由已知可得,A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,则A1B∥CD1.
又M,N分别是C1D1,C1C的中点,所以MN∥CD1,且MN=CD1,
所以MN∥A1B,且MN=A1B,
所以M,N,A1,B四点共面.
(2)解:如图,连接DP,D1P,CP.
因为MN∥CD1,所以∠PD1C(或其补角)为异面直线PD1与MN所成的角.
因为CD⊥平面ADD1A1,DP 平面ADD1A1,所以CD⊥DP.
因为P是AA1的中点,所以PA=PA1=1.
又A1D1⊥A1A,所以PD1==.同理DP=.
在Rt△PDC中,PC==3.又D1C==2,
在△PCD1中,PC=3,D1C=2,PD1=,
由余弦定理可得,cos∠PD1C===,
即异面直线PD1与MN所成角的余弦值为.(共21张PPT)
第46讲空间点、直线、平面之间的位置关系
考点一　基本事实及应用
[例1]　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,F,E四点共面;
[证明]　连接B1D1,DE,BF.因为EF是△C1D1B1的中位线,
所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,
所以EF,BD确定平面BDEF,即D,B,F,E四点共面.
(2)若A1C交平面BDEF于点R,则P,Q,R三点共线;
[证明]　设平面A1ACC1为α,平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,
所以Q是α与β的公共点,同理,P是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
(3)DE,BF,CC1三线交于一点.
[证明]　因为EF∥BD且EF同理,M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,
所以M∈CC1,所以DE,BF,CC1三线交于一点.
方法总结
跟踪训练
1.(2026·山东济南模拟)已知α,β是两个不同的平面,下列命题错误的是(　　)
A.若直线a α,直线b β,则a与b为异面直线
B.若A,B,C是平面α内不共线的三点,A∈β,B∈β,则C β
C.若α∩β=l,A∈α且A∈β,则A∈l
D.若A∈α且B∈α,则直线AB α
A
解析:选项A,若直线a α,直线b β,则a与b可能平行、相交或异面,选项A错误,符合题意;
选项B,由A∈β,B∈β,可得AB β,
因为A,B,C不共线,所以确定平面α,若C∈β,则平面α,β重合,与α,β是两个不同的平面矛盾,
故C β,选项B正确,不符合题意;
选项C,根据基本事实,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,所以A∈l,选项C正确,不符合题意;
选项D,根据基本事实,如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内,所以AB α,选项D正确,不符合题意.
考点二　空间位置关系的判断
[例2]　(多选)(2026·浙江湖州模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,下列说法正确的是(　　)
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与MB1是异面直线
D.直线AM与DD1是异面直线
CD
[解析]　因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以直线AM与CC1是异面直线,故A错误;如图,取DD1的中点E,连接AE,则BN∥AE,但AE与AM相交,故B错误;因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内,点M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故C正确;同理D正确.
跟踪训练
2.(2026·陕西西安模拟)已知α,β,γ是三个不同的平面,
α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,且a∩b=O,则下列结论正确的是(　　)
A.直线b与直线c可能是异面直线
B.直线a与直线c可能平行
C.直线a,b,c必然交于一点(即三线共点)
D.直线c与平面α可能平行
C
解析:如图,因为α∩β=a,α∩γ=b,a∩b=O,
所以O∈α,O∈β,O∈γ.
因为β∩γ=c,
所以O∈c,所以直线a,b,c必然交于一点(即三线共点),故A,B错误,C正确;
假设直线c与平面α平行,由O∈c,可知O α,
这与O∈α矛盾,假设不成立,故D错误.
考点三　异面直线所成的角
[例3]　(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
C
[解析]　法一(补形法):如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补一个相同的长方体CDEF-C1D1E1F1,连接DE1,B1E1.易知AD1∥DE1,则∠B1DE1(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成的角.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,所以DE1===2,
DB1==,B1E1===,在△B1DE1中,由余弦定理,得cos∠B1DE1==,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
法二(平移法):如图,连接BD1,交DB1于点O,取AB的中点M,连接DM,OM,易知O为BD1的中点,所以AD1∥OM,则∠MOD(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成的角.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,所以AD1==2,DM==,DB1==
,所以OM=AD1=1,OD=DB1=,于是在△DMO中,由余弦定理,得cos∠MOD==,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值
为.
(2)如图,圆台OO1的上底面半径为O1A1=1,下底面半径为OA=2,母线长AA1=2,在下底面内过OA的中点B作OA的垂线,交圆O于点C,则异面直线OO1与A1C所成角为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
B
[解析]　在直角梯形OO1A1A中,∵B为OA的中点,OA=2,O1A1=1,
∴O1A1=OB=AB=1,连接A1B,易知四边形OO1A1B为矩形,
∴OO1∥A1B,∴∠BA1C(或其补角)为异面直线OO1与A1C所成的角.在Rt△AA1B中,AA1=2,AB=1,∴A1B=.连接OC,在Rt△OBC中,由OB=1,OC=2,得BC=.在Rt△A1BC中,BC=A1B,∴∠BA1C=45°,即异面直线OO1与A1C所成角为45°.
方法总结
异面直线所成角的求法
方法 解读
平移法 将异面直线中的某一条平移,使其与另一条相交,一般采用图中已有的平行线或者作平行线, 形成三角形求解
补形法 在该几何体的某侧补接上一个几何体,在这两个几何体中找异面直线相应的位置,形成三角形求解
跟踪训练
3.(2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A. B.
C. D.
D
解析:如图,连接BC1,PC1.
因为AD1∥BC1,所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角.因为BB1⊥平面A1B1C1D1,PC1 平面A1B1C1D1,所以BB1⊥PC1.又PC1⊥B1D1,BB1,B1D1 平面PBB1,BB1∩B1D1=B1,所以PC1⊥平面PBB1.又PB 平面PBB1,所以PC1⊥PB.设正方体的棱长为2,则BC1=2,PC1=B1D1=,从而sin∠PBC1==,
所以∠PBC1=,即直线PB与AD1所成的角为.
4.(2026·上海模拟)已知底面半径为1的圆柱,O是其上底面圆心,A,B是下底面圆周上两个不同的点,BC是母线.若直线OA与BC所成角的大小为,
则BC=　　　　　　.
解析:如图所示,过点A作母线AD,连接OD,
则∠OAD为直线OA与BC所成的角,
则∠OAD=,
在Rt△OAD中,可得AD==,
即BC=.第46讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
考点一　基本事实及应用
[例1]　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若A1C交平面BDEF于点R,则P,Q,R三点共线;
(3)DE,BF,CC1三线交于一点.
[证明]　(1)连接B1D1,DE,BF.因为EF是△C1D1B1的中位线,所以EF∥B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,
所以EF,BD确定平面BDEF,即D,B,F,E四点共面.
(2)设平面A1ACC1为α,平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,
所以Q是α与β的公共点,同理,P是α与β的公共点,所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
(3)因为EF∥BD且EF同理,M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,
所以M∈CC1,所以DE,BF,CC1三线交于一点.
方法总结
1.(2026·山东济南模拟)已知α,β是两个不同的平面,下列命题错误的是(　　)
A.若直线a α,直线b β,则a与b为异面直线
B.若A,B,C是平面α内不共线的三点,A∈β,B∈β,则C β
C.若α∩β=l,A∈α且A∈β,则A∈l
D.若A∈α且B∈α,则直线AB α
答案:A
解析:选项A,若直线a α,直线b β,则a与b可能平行、相交或异面,选项A错误,符合题意;
选项B,由A∈β,B∈β,可得AB β,
因为A,B,C不共线,所以确定平面α,若C∈β,则平面α,β重合,与α,β是两个不同的平面矛盾,
故C β,选项B正确,不符合题意;
选项C,根据基本事实,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,所以A∈l,选项C正确,不符合题意;
选项D,根据基本事实,如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内,所以AB α,选项D正确,不符合题意.
考点二　空间位置关系的判断
[例2]　(多选)(2026·浙江湖州模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,下列说法正确的是(　　)
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与MB1是异面直线
D.直线AM与DD1是异面直线
[答案]　CD
[解析]　因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以直线AM与CC1是异面直线,故A错误;如图,取DD1的中点E,连接AE,则BN∥AE,但AE与AM相交,故B错误;因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内,点M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线,故C正确;同理D正确.
2.(2026·陕西西安模拟)已知α,β,γ是三个不同的平面,α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,且a∩b=O,则下列结论正确的是(　　)
A.直线b与直线c可能是异面直线
B.直线a与直线c可能平行
C.直线a,b,c必然交于一点(即三线共点)
D.直线c与平面α可能平行
答案:C
解析:如图,因为α∩β=a,α∩γ=b,a∩b=O,
所以O∈α,O∈β,O∈γ.
因为β∩γ=c,
所以O∈c,所以直线a,b,c必然交于一点(即三线共点),故A,B错误,C正确;
假设直线c与平面α平行,由O∈c,可知O α,
这与O∈α矛盾,假设不成立,故D错误.
考点三　异面直线所成的角
[例3]　(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
[答案]　C
[解析]　法一(补形法):如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补一个相同的长方体CDEF-C1D1E1F1,连接DE1,B1E1.易知AD1∥DE1,则∠B1DE1(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成的角.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,所以DE1===2,DB1==,B1E1===,在△B1DE1中,由余弦定理,得cos∠B1DE1==,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
法二(平移法):如图,连接BD1,交DB1于点O,取AB的中点M,连接DM,OM,易知O为BD1的中点,所以AD1∥OM,则∠MOD(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成的角.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,所以AD1==2,DM==,DB1==,所以OM=AD1=1,OD=DB1=,于是在△DMO中,由余弦定理,得cos∠MOD==,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.
(2)如图,圆台OO1的上底面半径为O1A1=1,下底面半径为OA=2,母线长AA1=2,在下底面内过OA的中点B作OA的垂线,交圆O于点C,则异面直线OO1与A1C所成角为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
[答案]　B
[解析]　在直角梯形OO1A1A中,∵B为OA的中点,OA=2,O1A1=1,∴O1A1=OB=AB=1,连接A1B,易知四边形OO1A1B为矩形,∴OO1∥A1B,∴∠BA1C(或其补角)为异面直线OO1与A1C所成的角.在Rt△AA1B中,AA1=2,AB=1,∴A1B=.连接OC,在Rt△OBC中,由OB=1,OC=2,得BC=.在Rt△A1BC中,BC=A1B,∴∠BA1C=45°,即异面直线OO1与A1C所成角为45°.
方法总结
异面直线所成角的求法
方法 解读
平移法 将异面直线中的某一条平移,使其与另一条相交,一般采用图中已有的平行线或者作平行线, 形成三角形求解
补形法 在该几何体的某侧补接上一个几何体,在这两个几何体中找异面直线相应的位置,形成三角形求解
3.(2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　　)
A. B.
C. D.
答案:D
解析:如图,连接BC1,PC1.
因为AD1∥BC1,所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角.因为BB1⊥平面A1B1C1D1,PC1 平面A1B1C1D1,所以BB1⊥PC1.又PC1⊥B1D1,BB1,B1D1 平面PBB1,BB1∩B1D1=B1,所以PC1⊥平面PBB1.又PB 平面PBB1,所以PC1⊥PB.设正方体的棱长为2,则BC1=2,PC1=B1D1=,从而sin∠PBC1==,所以∠PBC1=,即直线PB与AD1所成的角为.
4.(2026·上海模拟)已知底面半径为1的圆柱,O是其上底面圆心,A,B是下底面圆周上两个不同的点,BC是母线.若直线OA与BC所成角的大小为,则BC=　　　　　　.
答案:
解析:如图所示,过点A作母线AD,连接OD,
则∠OAD为直线OA与BC所成的角,
则∠OAD=,
在Rt△OAD中,可得AD==,
即BC=.

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