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第十一章 《不等式与不等式组》单元自测卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有（　　）
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若a＜b，则下列式子中正确的是（　　）
A．a+3＞b+3 B．a﹣3＞b﹣3 C．﹣3a＞﹣3b D．
3．下面列出的不等式中，正确的是（　　）
A．“m不是负数”表示为m＞0
B．“m不大于5”表示为m＜5
C．“n与4的差是正数”表示为n﹣4＞0
D．“n不等于4”表示为n＞4
4．一个不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集为（　　）
A．x＞1 B．x≤3 C．﹣1≤x＜3 D．﹣1＜x≤3
5．某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，小明妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为0.8×（2x﹣100）＜900，那么小明告诉妈妈的信息是（　　）
A．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不超过900元
B．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不超过900元
C．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元
D．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元
6．某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　）
A． B．
C． D．
7．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为（　　）
A．a＞5 B．a＜5 C．a≥5 D．a≤5
8．定义一种运算：a#b＝b﹣a（a≥b），现有两个满足该运算条件的式子：a＝2x﹣1和b＝1﹣x，则不等式（2x﹣1）#（1﹣x）＞﹣1的解集是（　　）
A． B．x＞1 C． D．
9．某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料9kg，乙种原料3kg；生产一件B产品需要甲种原料4kg，乙种原料10kg．则符合题意的生产方案共有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
10．若关于x的不等式组的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A．10＜a≤12 B．10≤a＜12 C．9≤a＜10 D．9＜a≤10
11．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且a≠0）．例如：点P（1，4）的“2阶派生点”为点Q（2×1+4，1+2×4），即点Q（6，9）．若点A（m+1，1﹣2m）的“3阶派生点”在第四象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣4 B．m＜﹣4 C．m D．m
12．已知实数m，n满足2m﹣n﹣3＝0，1＜3m+2n﹣5＜3，则下列判断有误的是（　　）
A． B．
C． D．7
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若不等式（k﹣2）x|k|﹣1+3＜5是关于x的一元一次不等式，则k的值是　 　 ．
14．已知关于x的不等式（2a+1）x＜﹣3，两边同时除以（2a+1），得，则a的取值范围为　 　 ．
15．在读书节活动中，老师把一些图书分给双语智慧小组的同学们，如果每人分5本，那么剩余12本，如果每人分8本，那么最后一人分到了书但不足8本，则双语智慧小组一共　 　 人．
16．我们定义：ad﹣bc，例如2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2，若x，y为不同的整数，且满足14，则x+y的值是　 　 ．
17．若关于x、y的方程组的解满足2x﹣y≥0，则m的取值范围是　 　 ．
18．已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a＜1，给出下列说法：①当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；②是方程组的解；③方程组的解也是方程x+y＝a+2的解；④若x＜0，则．其中说法正确的有　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
19．（8分）解不等式（组），然后把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解．
（1）x﹣3（x﹣2）＞2（2x﹣3）； （2）．
20．（8分）分式的定义告诉我们：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式．我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负．请运用这些知识解决下列问题：
（1）如果，求x的取值范围；
（2）如果，求x的取值范围．
21．（8分）为培养学生科学素养，某校科技社团计划分批采购四款机器人套件：巡线机器人、机械臂、无人机、智能小车．第一次采购巡线机器人2套，机械臂3套，共花费3800元；第二次采购巡线机器人15套，机械臂25套，共花费29000元．
（1）求巡线机器人和机械臂每套的售价分别是多少元；
（2）科技社团决定再次购买上述四款机器人套件，总费用不超过98000元，已知巡线机器人比无人机每套售价多400元，机械臂比智能小车每套售价少100元．若要使所有采购的套件能配套（四款机器人各一套为一组），那么这次最多能购买巡线机器人多少套？
22．（8分）请阅读下面求含绝对值的不等式|x|＜3和|x|＞3的解集过程．
对于含绝对值的不等式|x|＜3，从图1的数轴上看：大于﹣3而小于3的数的绝对值小于3，所以|x|＜3的解集为﹣3＜x＜3；对于含绝对值的不等式|x|＞3；从图2的数轴上看：小于﹣3或大于3的数的绝对值大于3，所以|x|＞3的解集为x＜﹣3或x＞3．
（1）求含绝对值的不等式|x|＞2的解集；
（2）已知含绝对值的不等式|x﹣1|＜a的解集为b＜x＜3，求a，b的值．
23．（10分）我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ad﹣bc，如2×5﹣3×4＝﹣2．
（1）求不等式0的解集．
（2）若关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值．
（3）若关于x的不等式0的解都是（1）中的不等式的解，求n的取值范围．
24．（10分）阅读下列材料：
数学问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．
问题解法：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2．
又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．
又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0．①
同理得1＜x＜2．②
由②+①得﹣1+1＜y+x＜0+2，
∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．
完成任务：
（1）在数学问题中的条件下，写出2x+3y的取值范围是 　 　 ；
（2）已知x+y＝3，且x＞2，y＞0，试确定x﹣y的取值范围；
（3）已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y＝a成立，试确定x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）．
25．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
【材料准备】
素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm．
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3：1，其余每块木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），可制作成两个盒盖，所有盒盖与无盖收纳盒组合成有盖收纳盒．
素材3 义卖时的售价如标签所示：
【问题解决】
任务（1） 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度．
任务（2） 确定分配方案1 ①设用x块木板制作盒盖，则制作盒子的木板数量为 　 　 ；制成的有盖收纳盒的数量为 　 　 ；制成的无盖收纳盒的数量为 　 　 ； ②若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案．
任务（3） 确定分配方案2 在方案1的基础上，为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润．
26．（10分）解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式|x﹣5|＞3．解：
①当x﹣5≥0，即x≥5时，原式化为：x﹣5＞3，解得x＞8，此时，不等式|x﹣5|＞3的解集为x＞8；②当x﹣5＜0，即x＜5时，原式化为：5﹣x＞3，解得x＜2，此时，不等式|x﹣5|＞3的解集为x＜2；综上可知，原不等式的解集为x＞8或x＜2．
（1）请用以上方法解不等式关于x的不等式：|5x﹣8|≥10；
（2）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足|x+2y|≤16，求整数m的和；
（3）已知关于x，y的方程组满足方程组的未知数x的值为整数，系数n也为整数且n≠0．求满足条件的n和x的值．
参考答案
一、选择题
1．B
解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组，
故选：B．
2．C
解：若a＜b，
两边同时加上3得a+3＜b+3，则A不符合题意，
两边同时减去3得a﹣3＜b﹣3，则B不符合题意，
两边同时乘以﹣3得﹣3a＞﹣3b，则C符合题意，
两边同时除以3得，则D不符合题意，
故选：C．
3．C
解：A．“m不是负数”表示为m≥0，所以A选项不符合题意；
B．“m不大于5”，可表示成m≤5，所以B选项不符合题意；
C．“n与4的差是正数”表示为n﹣4＞0，所以C选项符合题意；
D．“n不等于4”，可表示成n≠4，所以D选项不符合题意；
故选：C．
4．C
解：数轴上，实心点为包含此点，空心点为不包含此点，即：﹣1≤x＜3．
故选：C．
5．C
【解答】解：∵小明妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为0.8×（2x﹣100）＜900，
∴由2x﹣100得出两件商品减100元，以及由0.8×（2x﹣100）得出买两件打8折，
故可以理解为：买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元．
故选：C．
6．A
解：由题意可得，
，
故选：A．
7．D
解：由得，x＞5，
因为所给不等式组无解，
所以a≤5．
故选：D．
8．D
解：∵a#b＝b﹣a（a≥b），不等式（2x﹣1）#（1﹣x）＞﹣1，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：x＜1，
则不等式组的解集是．
故答案为：D．
9．B
解：设A种产x件，B种产品（50﹣x）件，
，
30≤x≤32，
∴x＝30，31，32，
方案1，A产品30件，B产品20件；
方案2，A产品31件，B产品19件；
方案3，A产品32件，B产品18件．
故选：B．
10．A
解：，
解不等式①，得x，
解不等式②，得x≥3，
∵关于x的不等式组的解集只有3个整数解，（3个整数解是3，4，5），
∴56，
∴10＜a≤12，
故选：A．
11．C
解：∵3（m+1）+（1﹣2m）＝m+4，（m+1）+3（1﹣2m）＝﹣5m+4，
∴点A（m+1，1﹣2m）的“3阶派生点”为（m+4，﹣5m+4），
∵在第四象限，
∴，
解得：m，
故选：C．
12．D
解：A．∵2m﹣n﹣3＝0，
∴n＝2m﹣3，
∵1＜3m+2n﹣5＜3，
∴1＜3m+2（2m﹣3）﹣5＜3，
∴1＜3m+4m﹣6﹣5＜3，
∴1＜7m﹣11＜3，
∴12＜7m＜14，
∴m＜2，故本选项不符合题意；
B．∵2m﹣n﹣3＝0，
∴m，
∵1＜3m+2n﹣5＜3，
∴1＜32n﹣5＜3，
∴13，
∴2＜7n﹣1＜6，
∴3＜7n＜7，
∴n＜1，故本选项不符合题意；
C．由B、A可得m＜2，n＜1，
两式相加得m+n＜3，故本选项不符合题意；
D．由B、A可得m＜2，n＜1，
则2m＜4，3n＜3，
∴2m+3n＜4+3，
∴2m+3n＜7，，故本选项符合题意．
故选：D．
二、填空题
13．﹣2．
解：由题意得，|k|﹣1＝1且k﹣2≠0，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．a．
解：关于x的不等式（2a+1）x＜﹣3，两边同时除以（2a+1），得，则2a+1＜0，
解得a．
故答案为：a．
15．5或6．
解：设双语智慧一共有x人，
∵如果每人分5本，那么剩余 12本，
∴这些图书的总数为：5x+12，
∵如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，
∴0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8，即，
由①得：x，
由②得：x＞4，
∴不等式组的解集为：4，
∵x为正整数，
∴x＝5或x＝6，
∴勤奋小组一共有5人或6人，
故答案为：5或6．
16．±3．
解：我们定义：ad﹣bc，
由题意得，1＜1×4﹣xy＜4，即1＜4﹣xy＜4，
∴0＜xy＜3，
∵x，y为不同的整数，
∴xy＝2或xy＝1，
当xy＝1时，x＝1，y＝1或x＝﹣1，y＝﹣1，不符合题意，舍去；
当xy＝2时，x＝1，y＝2或x＝﹣1，y＝﹣2或x＝2，y＝1或x＝﹣2，y＝﹣1，
∴x+y＝3或﹣3，
∴x+y的值是±3．
故答案为：±3．
17．m≥﹣10．
解：，
①﹣②得：2x﹣y＝m+10，
∵2x﹣y≥0，
∴m+10≥0，
∴m≥﹣10．
故答案为：m≥﹣10．
18．①③④．
【解答】解：，
①﹣②解得：y＝1﹣a，
将y＝1﹣a代入②得：x＝1+2a，
因此方程组的解为，其中﹣3≤a＜1．
①当a＝﹣2时，x＝1+2×（﹣2）＝﹣3，y＝1﹣（﹣2）＝3，
x+y＝0，则x，y互为相反数，故①正确，符合题意；
②将代入解，得1+2a＝5，1﹣a＝﹣1，
解得：a＝2，不满足﹣3≤a＜1，故②错误，不符合题意；
③∵，
∴x+y＝a+2，
故方程组的解也是方程x+y＝a+2的解；故③正确，符合题意；
④若x＜0，则1+2a＜0，解得，
结合﹣3≤a＜1，得，
不等式两边同乘﹣1，不等号方向改变，得，
不等式两边同时加1，得，即，故④正确，符合题意；
故答案为：①③④．
三、解答题
19．解：（1）x﹣3（x﹣2）＞2（2x﹣3），
去括号得：x﹣3x+6＞4x﹣6，
移项得：x﹣3x﹣4x＞﹣6﹣6，
合并同类项得：﹣6x＞﹣12，
系数化为1得：x＜2，
数轴表示如图1所示：
（2），
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0；
数轴表示如图2所示：
20．解：（1）∵x2≥0，
∴x2+1＞0，
∴时，x+1＞0，
解得：x＞﹣1；
（2）由得：或，
解第一个不等式组得：，
解第二个不等式组得：该不等式组无解集，
∴当时，．
21．解：（1）设巡线机器人每套的售价为x元，机械臂每套的售价为y元，
依题意列二元一次方程组得，，
解得，
即巡线机器人每套的售价为1600元，机械臂每套的售价为200元，
答：巡线机器人每套的售价为1600元，机械臂每套的售价为200元；
（2）无人机每套售价为1600﹣400＝1200（元），
智能小车每套售价为200+100＝300（元），
设这次购买巡线机器人m套，
∴根据题意列一元一次不等式得，1600m+1200m+300m+200m≤98000，
解得，
又∵m为整数，
∴m可以取的最大值为29，
答：这次最多能购买巡线机器人29套．
22．解：（1）根据绝对值的定义得：x＞2或x＜﹣2，
故答案为：x＞2或x＜﹣2．
（2）由题意，∵|x﹣1|＜a，
∴﹣a＜x﹣1＜a．
∴1﹣a＜x＜1+a．
∵解集为b＜x＜3，
∴，
∴．
23．解：（1）根据题意得式2x﹣1×（3﹣x）＞0，
解不等式得：x＞1；
（2）∵0，即3m﹣4x＜0，
∴x，
∵解集与（1）中的不等式解集相同，
∴，
∴m；
（3）∵0，即n﹣2x＜0，
∴x，
∵关于x的不等式0的解都是（1）中的不等式的解，
∴1，
∴n≥2．
24．解：（1）∵x﹣y＝2，
∴x＝y+2，
∵x＞1，
∴y+2＞1，
∴y＞﹣1，
∵y＜0，
∴﹣1＜y＜0，
∵x﹣y＝2，
∴y＝x﹣2，
∵y＜0，
∴x﹣2＜0，
x＜2，
∵x＞1，
∴1＜x＜2，
∴2＜2x＜4，﹣3＜3y＜0，
∴2﹣3＜2x+3y＜4+0，即﹣1＜2x+3y＜4，
故答案为：﹣1＜2x+3y＜4；
（2）∵x+y＝3，
∴x＝3﹣y，
∵x＞2，
∴3﹣y＞2，
﹣y＞﹣1，
y＜1，
∵y＞0，
∴0＜y＜1，
∴﹣1＜﹣y＜0，
∵x+y＝3，
∴y＝3﹣x，
∵y＞0，
∴3﹣x＞0，
﹣x＞﹣3，
x＜3，
∵x＞2，
∴2＜x＜3，
∴﹣1+2＜x﹣y＜0+3，即1＜x﹣y＜3；
（3）∵x﹣y＝a，
∴x＝a+y，
∵x＜﹣1，
∴a+y＜﹣1，
y＜﹣a﹣1，
∵y＞1，
∴1＜y＜﹣a﹣1，
同理得：1+a＜x＜﹣1，
∴2+a＜x+y＜﹣a﹣2，
∴当a＜﹣2时，x+y的取值范围为：2+a＜x+y＜﹣a﹣2．
25．解：任务1：设长方体的高度为acm，
则根据题意列一元一次方程得：80﹣2a＝3（40﹣2a），
整理得，4a＝40，
解得a＝10，
答：长方体的高度为10cm；
任务2：①设用x块木板制作盒盖，则制作盒子的木板数量为（100﹣x）块；制成的有盖收纳盒的数量为2x；制成的无盖收纳盒的数量为100﹣3x；
故答案为：（100﹣x）；2x；100﹣3x；
②设x张木板制作无盖的收纳盒，
则根据题意列一元一次不等式组得：，
解得：75＜x＜80，
∴x的整数解有：76，77，78，79，
∴共有4种方案：
①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；
②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；
③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；
④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖；
任务3：设：m张木板制作无盖的收纳盒，则（100﹣m）张制作盒盖，利润为y元，
由题意得一次函数：y＝28×2（100﹣m）+5（100﹣m）+20×[m﹣2（100﹣m）]﹣1500，
整理得，y＝﹣m+600，
∵x的值有：76，77，78，79，
∴当m＝76时，y有最大值，所以：﹣76+600＝524（元），
答：76张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖，利润最大，最大值为524元．
26．解：（1）①当5x﹣8≥0时，即时，
原式化为：5x﹣8≥10，
解得：，此时，不等式|5x﹣8|≥10的解集为；
②当5x﹣8＜0时，即时，
原式化为：8﹣5x≥10，
解得：，此时，不等式|5x﹣8|≥10的解集为；
综上可知，原不等式的解集为或；
（2），
①+②×2得，x+2y＝6m+3，
∵|x+2y|≤16，
∴|6m+3|≤16，
①当6m+3≥0时，即时，
原式化为：6m+3≤16，
解得：，此时，不等式|6m+3|≤16的解集为；
②当6m+3＜0时，即时，
原式化为：﹣6m﹣3≤16，
解得：，此时，不等式|6m+3|≤16的解集为；
综上可知，原不等式的解集为，
∵m为整数，
∴m＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
它们的和为（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0+1+2＝﹣3．
（3）解：，
①﹣②得，，
∴，
∴，
∵未知数x的值为整数，系数n也为整数且n≠0，
∴|x﹣4|﹣9＝3，n2＝4，
∴x＝16或x＝﹣8，n＝±2．

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