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第十一章《不等式与不等式组》单元测试卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图1，图2，对a，b，c三种物体的质量判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．一个工程队原定在10天内至少要挖土，前两天一共完成了，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．问：后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？设后6天内平均每天要挖土，根据题意可列不等式（　　）
A． B．
C． D．
4．若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．已知关于x，y的方程组，若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设的最大值为m，最小值为n，则的值是（ ）
A．13 B．16 C．19 D．22
9．关于的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集．甲同学看完之后说：“老师，这道题无解，不能在数轴上表示．”乙同学看了甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”根据甲、乙两人的对话可知，甲可能将数字3抄成了数字（　　　）
A．1 B．2 C．4 D．5
10．图中是李刚同学设计的一个计算程序，规定从“输入 x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就输出，那么的取值范围是（　　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．不等式的解集为__________．
12．根据“x的3倍与8的和不小于x的4倍”，可列不等式为_________．
13．某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度是，人跑步的速度是．导火线必须超过______才能保证操作人员的安全．
14．定义一种新运算：，则关于的不等式组的负整数解共有_____个．
三、解答题（本题共7小题，共58分）
15．（8分）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．
16．（8分）某物流公司要运输一批70吨的货物，现有两种运输车辆可供选择：①甲型货车每辆可运货物8吨，运费400元；②乙型货车每辆可运货物6吨，运费360元．若计划用两种货车共10辆，一次性运完所有货物，且总运费不超过3800元，问有几种运输方案？哪种方案总运费最低？最低运费是多少元？
17．（8分）对于有理数，定义一种新运算：．
例：．
(1)计算：___________；
(2)若，求的值；
(3)若，则的正整数解为___________．
18．（8分）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船顺利与“天宫”空间站对接．航模店看准商机，计划购进“神舟”和“天宫”模型进行销售．已知购进10个“神舟”模型和20个“天宫”模型共需要1600元；购进20个“神舟”模型和30个“天宫”模型共需要2700元．
(1)求购进“神舟”和“天宫”模型的单价分别是多少元？
(2)若航模店计划购进“神舟”和“天宫”模型共100个，并将“神舟”和“天宫”模型分别以80
元/个，75元/个售出，为了保证全部售完后的总利润不低于2200元，最多购进“神舟”模型多少个？
19．（8分）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足．
(1)求该方程组的解；（用含的式子表示）
(2)求的取值范围；
(3)若关于的不等式的解集为，且为整数，求的值．
20．（8分）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的卡：甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元．
(1)甲型、乙型单价各是多少万元？
(2)若需要购买卡70块，预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，有几种采购方案？
(3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？
21．（10分）综合与实践
【课题背景】
某连锁超市响应商务部 2026 “乐购新春” 春节特别活动号召，为迎接年货消费高峰，提前采购了一批统一规格的手推车，保障顾客购物体验．为节省仓储空间，管理员将手推车依次叠放，叠放后总长度与叠放数量之间存在一定规律．同时，为高效调配运力，超市需通过内部电梯将部分手推车从仓库运至卖场，应对客流高峰．
【课题素材】
手推车叠放示意图如下：
如图1所示，一辆手推车的长度为；如图2所示，每叠放一辆手推车，总长度增加．
【任务一：规律探究】
(1)若管理员把6辆车叠放在一起，其总长度为_______ m；
(2)设叠放的车辆总数为n，其总长度为L，则L 与n之间的表达式为_________；
(3)若叠放后的总长度不能超过，则最多可叠放_______辆手推车．
【任务二：运输应用】
超市有两部电梯可用于运输手推车：
直梯：纵深长度为，每次可运输两列叠放的手推车．
扶梯：每次只能运输一列叠放的手推车，长度不限．
(4)若管理员使用直梯运输，其中一列的长度被管理员占用，则这位管理员一次最多可运输_______辆手推车．
【任务三：方案设计】
超市现需从仓库运输 80 辆手推车到卖场，运输次数不超过 5 次．
电梯使用规则如下：
直梯：在（4）的基础上，每次可运两列，两列车辆数可不同，但需同时满足：①每列叠放长度不超过（安全限制）； ②两列车辆数之和不低于10（满载率要求）．
扶梯：每次只能运一列，最多运 25 辆．运输时直梯与扶梯可混合使用．
(5)若使用直梯的次数比扶梯多 1 次，在满足所有条件的情况下，直梯至少要运输______次．
参考答案
一、单项选择题
1．A
解：不等式的解集在数轴上表示为：
2．C
解：由图1可知，，
，
∴，
由图2可知，，
，
∴，
∴．
3．C
解：设后6天平均每天挖土，
则可得不等式：．
4．C
解：根据不等式的基本性质判断：
由于，则不等式，
故A选项错误；
由于，，则，
故B选项错误.
由于，不等式两边同时加，不等号方向不变，则，即，
故C选项正确.
对于D选项，举反例：当，时，满足，但，
故D选项错误．
5.B
解：不等式，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
由于不等式组的解集为，
则．
6．B
解：方程组，
解得：，
∵，
∴，
解得：．
7．B
解∵不等式组恰有3个整数解，
∴不等式组的解集为，这3个整数解为2，1，0，
∴．
8．B
解：，，
，，
，
，
，，是三个非负数，
，
解得，
∴
∴
∴
∴的最大值，最小值为
∴．
9．D
解：设甲将数字3抄成了，得到甲所用的不等式组为
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∵不等式组无解，
∴，
解得，
选项中只有满足，因此甲将3抄成了5．
10．A
解：由题可得
解得：．
二、填空题
11．
解： ，
移项得，
合并同类项得，
解得．
12．
解：由题意，可列不等式为．
13．64
解：设导火线长度为，保证安全的核心条件：导火线燃烧时间 > 人跑到安全区域的时间．
导火线燃烧速度为，燃烧时间为；
人需要跑，跑步速度为，跑到安全区的时间为．
∴ ，
解得，
因此导火线必须超过．
14．3
解：，
将不等式组按新定义展开得，
化简得，
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为，
不等式组的负整数解为，共个．
三、解答题
15．解:，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为．
将解集在数轴上表示如解图：
16．解：设安排甲型货车辆，则乙型货车为辆，根据题意列不等式组：
，
解不等式①得；
解不等式②得；
，
则只有1种运输方案：甲型货车辆，乙型货车辆；
总运费为：（元），
答：有种运输方案，该方案为最低运费方案，最低运费3800元．
17．（1）解：根据题意；
（2）解：∵，
则，
解得；
（3）解：∵，
若，
则，
∴得，
∴的正整数解为或．
18．（1）解：设购进“神舟”模型单价为x元，“天宫”模型单价为y元，
由题意得，
解得，
答：购进“神舟”模型的单价为60元，“天宫”模型的单价为50元；
（2）解：设购进“神舟”模型个，则“天宫”模型个，
由题意得，
解得，
∴m的最大值为60，
答：最多购进“神舟”模型60个．
19．（1）解：，
，得，
解得，
，得，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
即a的取值范围为；
（3）解：，
，
∵不等式的解集为，
，解得，
由（2）可知，
∴满足条件的的取值范围是，
又是整数，
满足条件的的值为．
20．（1）解：设甲型、乙型单价各是万元，万元，依题意，得
，
解得．
答：甲型、乙型单价各是15万元，10万元．
（2）解：设购买甲型a块，依题意，得
解①，得，
解②，得，
解③，得，
∴不等式组的解集为，
∵a为整数
∴a的取值为59，60，共2种采购方案．
（3）解：当时，（万元），
当时，（万元），
∵，（块）
∴采购甲型60块、乙型10块时商家获得利润最大，最大利润是340万元．
21．（1）解：；
（2）解：；
（3）解：，
解得，
∴，
∴最多可叠放22辆手推车；
（4）解：，
解得，
∴；
，
解得，
∴，
∴（辆），
∴一次最多可运输19辆手推车；
（5）解：直梯一次最多运输的车辆为：
第一列管理员不占用：
，
解得，
∴；
另一列管理员占用：
，
解得，
∴，
∴（辆）；
设扶梯用了次，则直梯用了次，根据题意得，
，
解得，
∴，
则（次），符合要求；
∴直梯至少要运输3次．

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