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第11章《不等式与不等式组》单元自测卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下列各式中，是不等式的是（　　）
A．x+2 B．x＝2 C．2x＝6 D．x+y＜1
2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过40千米/时，则限速标志允许的车速v（千米/时）的范围表示为（　　）
A．v≥40 B．v＞40 C．0＜v≤40 D．0＜v＜40
3．下列式子的变形错误的是（　　）
A．若a＝b，则2a+b＝2b+a
B．若，则a＝b
C．若m＞n，则
D．若x＜y，则a2x＜a2y
4．下列不等式中，与﹣x＜1组成的不等式组无解的是（　　）
A．x＞2 B．x＜0 C．x＜﹣2 D．x＞﹣3
5．在平面直角坐标系中，若点P（1﹣2x，x﹣1）在第四象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．按如图所示的程序进行计算，若输入整数x后，程序运行了两次后输出结果，则输入的整数x的值可以是（　　）
A．1 B．4 C．7 D．10
7．关于x的不等式解集在数轴上表示如图，设，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m≤4 B．0≤m≤4 C．m＜0或m≥4 D．m≤0或m≥4
8．若关于x的不等式3（x﹣1）+5≥5x+2（m+x）与不等式的解集相同，则m满足（　　）
A． B． C． D．
9．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组（　　）
A． B．
C． D．
10．合肥市在“2026年央视春晚合肥分会场”活动期间，组织义卖以春晚分会场元素为主题的明信片．每套售价15元，成本为4元．活动主办方希望总利润不低于8000元，且预计销售过程中会有不超过10%的损耗（无法售出）．若已印制2000套，问至少需要卖出（　　）套才能达标？
A．727 B．728 C．1800 D．1801
11．已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：﹣1，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对（a，b）的个数有（　　）
A．1 B．2 C．4 D．6
12．关于x、y的二元一次方程组，则下列四个结论正确的个数是（　　）
①若k＝3，则上述方程组的解为；
②若x+y＞0，则k＜6；
③若x≥﹣2，y＞2，则k的最小值为﹣9；
④若x≤m，则A＝4x﹣3y的最大值为10m+9．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．若（m﹣2）x|m﹣1|+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为　 　 ．
14．若不等式（m﹣1）x＞（m﹣1）两边同除以（m﹣1），得x＜1，则m的取值范围为 　 　 ．
15．小明用天平称量一个物体的质量，他将2个该物体放在天平的左边，右边分别放1个、2个20g的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的取值范围是　 　 ．
16．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是　 　 ．
17．已知和是关于x，y的方程mx+ny＝5的两个解，当y取不小于﹣2的负数时，x的取值范围是　 　 ．
18．已知实数x，y满足x+y+1＝0，0＜x﹣y+3＜2，设t＝x﹣2y，则t的取值范围为：　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
19．（8分）解不等式（组）：
（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解不等式组，并写出它的所有整数解．
20．（8分）先阅读下面的材料，再解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如等，怎样求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得负．
（1）若，则，或　 　 ；若，则　 　 或　 　 ．
（2）根据上述信息，求不等式和的解集．
21．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式组．
（1）试求出m的取值范围；
（2）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2x﹣mx＜2﹣m的解集为x＞1．
22．（8分）学校计划在科技节举办模型展示活动，准备采购两种科技模型：“智能小车”模型和“简易飞机”模型．“智能小车”模型每套99元，“简易飞机”模型每套29元，这两种模型均需购买，用于学生分组实践与展示．
（1）若学校计划购买这两种模型共200套，采购总费用恰好为9300元．请问“智能小车”模型和“简易飞机”模型各购买了多少套？
（2）若学校采购这两种模型的总预算资金只有8000元，且仍需购买200套模型．那么，在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型多少套？
23．（10分）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，恰好x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题：
（1）在方程①3（x+1）﹣x＝9；②4x﹣7＝0；③中，不等式组的“关联方程”是　 　 ；（只填序号）
（2）若关于x的方程2x+k＝5是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围．
24．（10分）阅读理解：对于绝对值不等式|x|＞1，甲同学根据绝对值的几何意义给出求解方法，|x|＞1表示的意义：数轴上，数x表示的点与原点的距离大于1．
观察数轴，得到不等式的解集为：x＜﹣1或x＞1．
（1）根据甲同学提供的方法，不等式|x|＜1表示的意义；数轴上，数x表示的点与原点的距离 　 　 1（填“大于”或“小于”），观察数轴，得到不等式的解集为 　 　 ；
（2）不等式|2x|＞1的解集为 　 　 ；
（3）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足|x+y|＜4，若m是整数，求m的最小值．
25．（10分）下面是一道残缺的试题及其部分解析．
排球是2026年河南体育中考的一个选考项目．某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元，已知A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价____？30元，求A、B两种品牌排球的单价． 解：设A种品牌排球的单价为x元， 则列出一元一次方程：25x+50（x﹣30）＝4500…
（1）横线处的内容为　 　 ；（填“高”或“低”）
（2）本题也可用二元一次方程组来求解，设A，B两种品牌排球的单价分别为m，n元，请你据此列出方程组并求A，B两种品牌排球的单价；
（3）根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，若排球的单价保持不变，学校共有哪几种购买方案？
26．（10分）【教材方法】在学习“用加减消元法解二元一次方程组”时，我们知道，可以用两个方程的左边与左边相加（减）、右边与右边相加减，从而消去某个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解．
【迁移探究】某校数学兴趣小组基于教材的方法，开展了迁移探究的讨论，讨论问题为“对于不等号方向相同的不等式组，若也将左右两边分别相加减会怎样”．
（1）经过对“相加”的探究，得到结论：如果，那么a+c＞b+d一定成立．
请你证明上述结论．
（2）经过对“相减”的探究，得到结论：如果，那么a﹣c＞b﹣d不一定成立．
例如：对于，请你举出一组反例，说明10﹣c不一定大于4﹣d．
【结论应用】
（3）应用1：已知，求x+y的取值范围．
（4）应用2：已知，直接写出3x﹣2y的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．D
解：用不等号连接而成的式子是不等式，
∴只有x+y＜1是不等式，
故选：D．
2．C
解：交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过40千米/时，则限速标志允许的车速v（千米/时）的范围表示为0＜v≤40，
故选：C．
3．D
解：根据不等式的性质逐项分析判断如下：
A、a＝b，两边同时加（a+b）得2a+b＝2b+a，变形正确，不符合题意；
B、等式中，分母m不为0，两边同乘m得a＝b，变形正确，不符合题意；
C、∵x2≥0，
∴x2+1＞0，
∵m＞n，
∴，变形正确，不符合题意；
D、当a＝0时，a2＝0，此时a2x＝a2y＝0
∴x＜y不能推出a2x＜a2y，变形错误，符合题意；
故选：D．
4．C
解：A.，
解不等式①，得x＞﹣1，
∴不等式组的解集为x＞2，故选项A不符合题意；
B.，
解不等式①，得x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜0，故选项B不符合题意；
C.，
解不等式①，得x＞﹣1，
∴不等式组无解，故选项C符合题意；
D.，
解不等式①，得x＞﹣1，
∴不等式组的解集为x＞﹣1，故选项D不符合题意．
故选：C．
5．A
解：根据题意，得：，
解不等式①，得：x，
解不等式②，得：x＜1，
则不等式组的解集为x，
故选：A．
6．B
解：由题意可知，第一次输出：3x﹣2，
第二次输出：3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8，
∵程序运行了两次后输出结果，
∴，
解得：，
观察4个选项，只有4符合题意，
故选：B．
7．C
【解答】解：由数轴可知关于x的不等式解集为﹣3＜x≤1，
∵中x≠0，
∴分段讨论：
①当﹣3＜x＜0时，，
∴，
∴，即m＜0；
②当0＜x≤1时，，
∴，
∴，即m≥4，
综上所述，m的取值范围是m＜0或m≥4．
故选：C．
8．C
解：解不等式3（x﹣1）+5≥5x+2（m+x），
得，
解不等式，
得，
∵两个不等式的解集相同，
∴，
解得．
故选：C．
9．C
解：设购买篮球x个，则购买足球（50﹣x）个，
由题意，得．
故选：C．
10．B
解：设需要卖出x套，
由题意，得（15﹣4）x≥8000，
解得，
∵x是正整数，
∴x最小为728，
由题意，可以出售的明信片的套数至少为2000（1﹣10%）＝1800（套）；
728＜1800，
故若已印制2000套，至少需要卖出728套才能达标．
故选：B．
11．D
解：，
由①解得：x，
由②解得：，
∵不等式组的整数解有且仅有4个：﹣1，0，1，2，故，
则﹣21，b＝5或6时符合题意．
故a＝﹣3或﹣4或﹣5，b＝5或者b＝6时符合题意．
因此整数对（a，b）有6个，
故选：D．
12．C
解：已知关于x、y的二元一次方程组，
解得：，
当k＝3时，该方程组的解为，则①正确，
若x+y＞0，则，解得k＜6，则②正确，
若x≥﹣2，y＞2，则，解得﹣9≤k＜﹣1.5，那么k的最小值为﹣9，则③正确，
若x≤m，那么m，即k≤3m﹣3，A＝4x﹣3y，即A≤10m﹣9，那么其最大值为10m﹣9，则④错误，
综上，结论正确的个数是3个，
故选：C．
二、填空题
13．0．
解：∵（m﹣2）x|m﹣1|+3＞0是关于x的一元一次不等式，
∵|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，
解|m﹣1|＝1，得m＝2或m＝0，
当m＝2时，m﹣2＝0，不符合题意；
当m＝0时，m﹣2≠0，符合题意．
故答案为：0．
14．m＜1．
解：不等式（m﹣1）x＞（m﹣1）两边同除以（m﹣1），得x＜1，
∴m﹣1＜0，
解得：m＜1，
故答案为：m＜1．
15．10＜m＜20．
解：由题意，得，
解得：10＜m＜20．
故答案为：10＜m＜20．
16．．
解：由mx﹣n＞0得，
mx＞n，
因为该不等式的解集是，
所以m＜0且，
所以n＜0，
则m+n＜0．
由（m+n）x＜n﹣m得，
x．
因为，即m＝4n，
所以x，
即关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是．
故答案为：．
17．．
解：由条件可得方程组为，
①×3﹣②，得m＝10，
把m＝10代入①，得10+n＝5，
解得：n＝﹣5，
∴10x﹣5y＝5，
∴y＝2x﹣1，
当y取不小于﹣2的负数时，，
解得：，
故答案为：．
18．﹣4＜t＜﹣1．
解：∵0＜x﹣y+3＜2，
∴﹣3＜x﹣y＜﹣1，
∵x+y+1＝0，
∴x＝﹣y﹣1，
∴﹣3＜﹣y﹣1﹣y＜﹣1，
∴﹣1＜﹣y＜0，
∵t＝x﹣2y，
∴t＝x﹣y﹣y，
∴﹣4＜x﹣y﹣y＜﹣1，
即﹣4＜t＜﹣1，
故答案为：﹣4＜t＜﹣1．
三、解答题
19．解：（1）去分母，得：2（2x﹣1）＞x﹣1，
去括号，得：4x﹣2＞x﹣1，
移项，得：4x﹣x＞﹣1+2，
合并同类项，得：3x＞1，
系数化为1，得：x，
将解集表示在数轴上如下：
（2）解不等式1，得：x≥﹣1，
解不等式5x﹣1＜3（x+1），得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
所以不等式组的整数解为﹣1、0、1．
20．解：（1）根据有理数除法法则可得：
若，则，或；
若，则，或．
故答案为：；；．
（2）由条件可知或，
解得x＞2或者x＜﹣1；
由条件可知或，
解得．
21．解：（1），
①+②得：3x+3y＝3+m，即x+y，
①﹣②得：x﹣y＝3m﹣1，
代入得：，
解得：0＜m≤3；
（2）∵2x﹣mx＜2﹣m的解集为x＞1，
∴2﹣m＜0，
解得：m＞2，
∵0＜m≤3，
∴2＜m≤3，
则整数m＝3．
22．解：（1）设购买“智能小车”模型x套，“简易飞机”模型y套，
由题意可得，，
解得，
即购买“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套，
答：购买“智能小车”模型50套，“简易飞机”模型150套；
（2）设在预算范围内，可以购买“智能小车”模型m套，则购买“简易飞机”模型（200﹣m）套，
由题意可得，99m+29（200﹣m）≤8000，
整理得，70m≤2200，
解得，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为31，
答：在预算范围内，最多可以购买“智能小车”模型31套．
23．解：（1）①3（x+1）﹣x＝9，解得x＝3；
②4x﹣7＝0，解得；
③，解得x＝1；
，
解不等式①得x＞1；
解不等式②得x≤5；
∴原不等式组的解集为1＜x≤5；
∵x＝3、在1＜x≤5范围内；x＝1不在1＜x≤5范围内，
∴不等式组的“关联方程”是①②，
故答案为：①②；
（2）2x+k＝5，解得；
，
解不等式①得x≥﹣1；
解不等式②得x≤7；
∴不等式组的解集为﹣1≤x≤7；
∵关于x的方程2x+k＝5是不等式组的“关联方程”，
∴，解得﹣9≤k≤7．
24．解：（1）不等式|x|＜1表示的意义：数轴上，数x表示的点与原点的距离小于1，
不等式的解集为：﹣1＜x＜1．
故答案为：小于，﹣1＜x＜1；
（2）|2x|＞1表示的意义：数轴上，数2x表示的点与原点的距离大于1，
得到不等式的解集为：2x＜﹣1或2x＞1，即或．
故答案为：或；
（3）由条件可得3x+3y＝﹣3m﹣3，即：x+y＝﹣m﹣1，
∵|x+y|＜4，
∴|﹣m﹣1|＜4，即|m﹣（﹣1）|＜4，表示的意义：数轴上，数m表示的点与数﹣1表示的点的距离小于4，
不等式的解集为：﹣5＜m＜3，
∵m是整数，
∴m的最小值为﹣4．
25．解：（1）根据所列方程得：x﹣30是B排球的单价，
∴A种品牌排球的单价比B种品牌排球的高30元，
故答案为：高；
（2）根据题意得：，
解得：，
答：A种品牌排球的单价为80元，B种品牌排球的单价为50元；
（3）设购买A种品牌的排球a个，则购买B种品牌的排球（50﹣a）个，
依题意得：，
解得：23≤a≤25，
又∵a为正整数，
∴a＝23或24或25，
∴共有3种购买方案：
①购买A种品牌的排球23个，B种品牌的排球27个；
②购买A种品牌的排球24个，B种品牌的排球26个；
③购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球25个．
26．解：（1）∵a＞b，
∴a﹣b＞0，①
∵c＞d，
∴c﹣d＞0，②
①+②得a﹣b+c﹣d＞0，
故a+c＞b+d；
（2）如果那么a﹣c＞b﹣d不一定成立．例如：对于
设c＝1，d＝﹣5，
∴10﹣c＝9，4﹣d＝9，
即10﹣c＝4﹣d，
∴10﹣c不一定大于4﹣d．
（3）由条件可知﹣2+3＜x+y＜2+7即1＜x+y＜9；
（4）由条件可知﹣6＜3x＜6，﹣14＜﹣2y＜﹣6，
∴﹣6﹣14＜3x﹣2y＜6﹣6即﹣20＜3x﹣2y＜0．

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