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(共24张PPT)
阅读理解
【命题解读】此题型是2025年浙江新增题型，考查形式为解答题，分值为8分，文字阅读量大，融合数学知识与信息提取能力，侧重考查理解－转化－应用的综合思维，常见类型有：类型一 新定义，新运算理解与应用，类型二 解题方法型(浙江2025.21)．
类型一
典例精析
例1
新定义，新运算理解与应用　
【阅读感悟】
对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值．如：已知实数a，b满足求a－4b和7a＋5b的值．方法一：解方程组，分别求出a，b的值，代入代数式求值；方法二：仔细观察两个方程中未知数的系数之间的关系，通过适当变形整体求代数式的值．解法如下：①－②，得a－4b＝－2，①＋②×2，得7a＋5b＝19．比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组则x－y＝ ，x＋y＝ ；
5
1
(2)对于实数x，y，定义新运算：x※y＝ax－by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知3※5＝15，4※7＝28，求1※1的值．
根据定义的新运算可得
1※1＝a－b＋c，结合题中所用的“整体思想”，利用①×3－②×2即可求解．
思路点拨
【解答】根据题意，得
∵1※1＝a－b＋c，
∴由①×3－②×2得(9a－15b＋3c)－(8a－14b＋2c)＝15×3－28×2，
整理，得a－b＋c＝－11，
∴1※1的值为－11．
对点训练
1．(2025·衢州江山模拟改编)概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来的三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”．
理解概念
(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”；
①
解：△ABC与△ACD，△ABC与△CBD，△ACD与△CBD是“等角三角形”．(写出其中两对即可)
概念应用
(2)如图②，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的“等角分割线”；
②
证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝80°．
∵CD为∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，
∴CD＝DA，∴△ACD为等腰三角形．
∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，
∴∠BDC＝180°－∠DCB－∠B＝80°，∴∠BDC＝∠ACB．
又∵∠B＝∠B，
∴△BCD和△BAC是“等角三角形”，
∴CD为△ABC的“等角分割线”．
动手操作
(3)在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的“等角分割线”，请求出所有可能的∠ACB的度数．
解：当△ACD是等腰三角形，DA＝DC时，如答图①，∠ACD＝∠A＝50°．
∵CD是△ABC的“等角分割线”，
∴△BCD和△BAC是“等角三角形”，
∴∠ACB＝∠BDC＝50°＋50°＝100°．
答图①
当△ACD是等腰三角形，AD＝AC时，如答图②，∠ACD＝∠ADC＝65°．
∵CD是△ABC的“等角分割线”，
∴△BCD和△BAC是“等角三角形”，
∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝50°＋65°＝115°．
当△ACD是等腰三角形，CD＝AC时情况不存在．
答图②
当△BCD是等腰三角形，DC＝BD时，如答图③．
∵CD是△ABC的“等角分割线”，
∴△ACD和△ABC是“等角三角形”，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠B＝，
∴∠ACB＝．
答图③
当△BCD是等腰三角形，DB＝BC时，如答图④，∠BDC＝∠BCD，设∠BDC＝∠BCD＝x，则∠B＝180°－2x．
∵CD是△ABC的“等角分割线”，
∴△ACD和△ABC是“等角三角形”，
∴∠ACD＝∠B＝180°－2x．
由∠ACD＋∠A＝∠CDB得180°－2x＋50°＝x，

答图④
解得x＝，∴∠ACD＝，∴∠ACB＝．
当△BCD是等腰三角形，CD＝BC时情况不存在．
综上所述，∠ACB的度数为100°或115°或．
类型二
典例精析
例2
解题方法型(浙江2025.21)　
(2025·浙江21题8分)【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2近似计算算术平方根的方法．例如：求的近似值．因为64＜67＜81，所以8＜＜9，则可以设成以下两种形式：①＝8＋s，其中0＜s＜1；②＝9－t，其中0＜t＜1．小明以①的形式求的近似值的过程如下．
因为＝8＋s，所以67＝(8＋s)2，即67＝64＋16s＋s2．
因为s2比较小，将s2忽略不计，所以67≈64＋16s，即16s≈67－64，
得s≈，故≈8＋≈8.19．
【尝试探究】
(1)请用②的形式求的近似值(结果保留2位小数)；
∵＝9－t，其中0＜t＜1，则仿照题意可得67＝81－18t＋t2，t2比较小，将t2忽略不计，据此可得t的近似值，从而求解．
思路点拨
【解答】∵＝9－t，其中0＜t＜1，
∴()2＝(9－t)2，∴67＝81－18t＋t2．
∵t2比较小，将t2忽略不计，
∴67≈81－18t，∴t≈，
∴≈9－≈8.22．
【解答】用①的形式得出的的近似值的精确度更高．理由如下：
∵8.18×8.18＝66.912 4，8.19×8.19＝67.076 1，，∴8.18＜＜8.19＜8.22，
∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高．
【比较分析】
(2)你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由．
思路点拨
可求出8.18＜＜8.19＜8.22，据此可得出结论．
对点训练
2．(2025·福建)阅读材料，回答问题．
【主题】
两个正数的积与商的位数探究．
【提出问题】
小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“46×2＝92；35×21＝735；663×11＝7 293；186×362＝67 332”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个(m＋n－1)位的正整数．
【分析探究】
问题1：小明的猜想是否正确 若正确，请给予证明；否则，请举出反例．
(1)解决问题1；
解：小明的猜想不正确.
反例：3×4＝12(反例不唯一).
【推广延伸】
小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为a×10n，则称这个数的位数是n＋1，数字是a．借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且A×B＝C，则必有c≥a且c≥b，或c＜a且c＜b．并且，当c≥a且c≥b时，p＝m＋n－1；当c＜a且c＜b时，p＝m＋n．
证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为a×10m－1，b×10n－1，c×10p－1，其中a，b，c均为正数．由A×B＝C，得ab×10m＋n－2＝c×10p－1，即＝10p－m－n＋1．(*)当c≥a且c≥b时，≤1，所以≤b＜10．又，所以＜10．由(*)知，＝1，所以p＝m＋n－1；当c≥a且c＜b时，所以所以1＜＜10，与(*)矛盾，不合题意；当c＜a且c≥b时，① 　　　　．当c＜a且c＜b时，② 　　　　．综上所述，命题成立．
(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；
解：①所以
所以1＜＜10，与(*)矛盾，不合题意；
②＞1，所以＞b＞1.
又≤ab＜100，所以1＜＜100，
由(*)知＝10，所以p＝m＋n.
【拓展迁移】问题2：若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少 证明你的结论．
(3)解决问题2．
解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m－n＋1，当A的数字小于B的数字时，的位数是m－n.
证明如下：由已知，A，B的位数分别为m，n，
设＝C，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则B×C＝A，
由小华的命题知，当a≥b时，必有a≥c，此时，m＝n＋x－1，所以x＝m－n＋1；
当a＜b时，必有a＜c，此时，m＝n＋x，所以x＝m－n.
综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是m－n＋1，当A的数字小于B的数字时，的位数是m－n.

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