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三模九年级数学评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B D C B B A
题号 9 10 11 12 13
105
答案 x>2 6 4.2 ﹣3
3
1
14. 解： 18 ( 1)0 2cos 45 1
2
3 2 1 2 2 2 ......................................4 分
2
3 2 1 2 2
1 2 2． ......................................5分
1 a2 6a 9
15. 解： 1
a 2 a2 4
a 2 1 a
2 4
2 ......................................1分 a 2 a 2 a 6a 9
a 3 a 2 a 2

a 2 2 ....................................3分a 3
a 2
； ......................................4分
a 3
1 2 3
当 a 1时，原式= ； ......................................6分
1 3 2
除法转换乘法 1分，通分 1分，因式分解 1分，结果 1分，代值 2分
84 86
16. 解：（1） a 85，b 87，c 95.2 ......................................3分
2
（2）农村学校 95分以上学生有 2人，分别记为 A1， A2，城区学校 95分以上学生有 2人，
分别记为B1， B2，画树状图如下：
......................................5分
总共有 12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学
生的结果有 2种，......................................6分
2 1
∴P（所选两名学生恰好都是城区学生） ．......................................7分
12 6
（3）例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质
均衡发展；
从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学；
从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平；
从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动
较大，建议减小两极分化．
必须要用平均数、中位数、众数、方差中的其中一个数据，建议言之有理即可...........9分
17. 解：设 B型号纪念品的单价为 x元，则 A型号纪念品的单价为 x 20 元，
1000 400
依题意，得 2， ......................................2分
x 20 x
解得 x 80，
经检验， x 80是原分式方程的解，......................................3分
x 20 100，
答：A型号纪念品的单价为 100元，B型号纪念品的单价为 80元；................................4分
（2）解：设购买 A型号纪念品 m个，则 B型号纪念品 70 m 个，
m 1.5 70 m
依题意，得 100m 80 70 m 6480 ......................................6分
解得： 42 m 44， ......................................7分
∵m为整数，
∴m可取 42，43，44，
故共有三种购买方案：
方案 1：购买 42个 A型号纪念品， 28个 B型号纪念品；
方案 2：购买 43个 A型号纪念品， 27个 B型号纪念品；
方案 3：购买 44个 A型号纪念品， 26个 B型号纪念品．......................................8分
18. 【详解】（1）证明：如图，连接OC，OD，
∵ BC CD，
∴ BOC COD
1
BOD ，......................................1分
2
又∵ BAH
1
BOD ，
2
∴ BAH BOC ，
∴ AH OC ，......................................2分
∵ AH CH，
∴OC CH，
∵OC是 O的半径，
∴CH是 O的切线；......................................3分
（2）证明：如图，连接 AC，
∵ BC CD，
∴ B C C D，
∴ BAC CAH ， ......................................4分
又∵CE AB，CH AH ，
∴CE CH，
∵ BC CD，
∴Rt CEB≌Rt CHD（HL），.....................................5分
∴ BE DH，
∵点 D为 AH的中点，
∴ AD DH ，
∴ AD BE；......................................6分
（3）解：如图，延长CE交 O于点 F，
∵ AB是 O的直径，CF AB，
∴ B F B C C D，
∴ BCE CBD， ......................................7分
∴GB GC 10 ，
BE 4
在Rt△GEB中， cos DBA ，
BG 5
∴ BE 8，GE 6，
∴CE CG GE 10 6 16 ， ......................................8分
∵ EAC CAD CBD BCE ， AEC CEB 90 ，
∴ AEC∽ CEB，
AE CE AE 16
∴ ，即 ，
CE BE 16 8
∴ AE 32， ......................................9分
∴ AB AE BE 32 8 40 ，在Rt△ADB中， cos DBA
BD 4
，
AB 5
BD 4 AB 4∴ 40 32 ． .....................................10分
5 5
19. 解：（1）顶点坐标为 80,60 ，......................................1分
设抛物线的函数解析式为： y a(x 80)2 60，......................................2分
∵图象过原点，
∴ a(0 80)2 60 0，......................................3分
3
解： a ，
320
3
∴ y (x 80)2 60；......................................4分
320
（2）∵抛物线的形状不变，点 (0,75)， ......................................5分
故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移 75个单位长度，得到的，
∴新的抛物线的解析式为：
y 3 (x 80)2 60 3 75 (x 80)2 135， ......................................6分
320 320
当 y 0
3
时， (x 80)2 135 0， ......................................7分
320
解得： x1 200， x2 40（舍去）；
故起跳点 P与落地点 Q的水平距离OQ的长为200cm； ......................................8分
（3）该平台的高度为6cm．（没有单位扣 1分） ......................................11分
20. （1）证明：∵△ABE绕点 E旋转得到△FGE，
∴△ABE≌△FGE，
∴AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝180°﹣2∠EAF， ......................................1分
在矩形 ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠BAE+∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝90°﹣∠BAE，
∴∠AEF＝180°﹣2∠EAF＝180°﹣2（90°﹣∠BAE）＝2∠BAE； ........................3分
（2）①证明：如图，设 AC交 EF于点 O，
∵四边形 ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，
∴∠B＝90°，
= 2 + 2 = 5，
∵△ABE≌△FGE，
∴∠AEB＝∠AEO，EF＝AE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠OAE，
在△ABE和△AOE中，
∠ = ∠
= ，
∠ = ∠
∴△ABE≌△AOE（ASA），
∴OE＝BE，∠AOE＝∠B＝90°，
∴AC⊥EF； ...........................................................................................................6分
②解：∵AC⊥EF
∴∠EOC＝∠B＝90°，
在△EOC和△ABC中，
∠ = ∠ = 90°
∠ = ∠ ，
∴△EOC∽△ABC，
4
∴ = = = ，即 = ，
3 5
∴ = 32，
= 3∴ 2，
3
在直角三角形 ABE中，由勾股定理得： = = 2 + 2 = 2 5，
∴四边形 AECF的面积为：
S△AEF+S△CEF
= 1 + 12 2
= 12 ( + )
= 1 = 12 2 × 5 ×
3
2 5
= 154 5；...............................................................................................................9分
2 4
（3）解：DF的长为 85或 10．理由如下：..........................................................12分
5 5
点 G在矩形 ABCD的对角线上时，分两种情况讨论：
如图，若点 G在对角线 BD上时，过点 F作 FM⊥BD于 M，过点 E作 EN⊥BD于 N，
在矩形 ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，∠BCD＝90°，
由勾股定理得： = 32 + 42 = 5，
由（1）② = = 3得： 2，
= = 1∴ 2 (等腰三角形的三线合一），
在 Rt△BCD中， ∠ = =
4
5，
∴在 Rt△BEN中， = ∠ = 65，
∴ = 65， =
12
5 ， =
2 2 = 910，
由旋转的性质得：FG＝AB＝3，∠EGF＝∠ABE＝90°，
∴∠NGE+∠FGM＝90°，
∵FM⊥BD，EN⊥BD，
∴∠ENG＝∠GMF＝90°，
∴∠NGE+∠GEN＝90°，
∴∠FGM＝∠GEN，
在△FGM和△GEN中，
∠ = ∠
∠ = ∠ = 90°，
∴△FGM∽△GEN，

∴ = = ，

3× 9 3×6
∴ = = 10 = 9 = 3 5， =
5
3 =
12
5 ，
2 2
∴ = = 5 125
9
5 =
4
5，
由勾股定理得： = 2 + 2 = 45 10；
如图，若点 G在对角线 AC上时，过点 D作 DH⊥AC于 H．
∵AE平分∠BAC，
∴点 E到 AC的距离等于 BE的长度，
由旋转的性质得：BE＝GE，GF＝AB＝3，∠EGF＝∠ABC＝90°，
∴GE⊥AC，
∴∠AGE＝90°，
∴∠AGE+∠EGF＝180°，
∴点 A，G，C，F在同一条直线上，
在 Rt△ABE和 Rt△AGE中，
=
= ，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴AG＝AB＝3，
∴AF＝AG+GF＝6，
在矩形 ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，
由勾股定理得： = 32 + 42 = 5，
= 1 = 1∵ △ 2 2 ，
= ∴ =
12
5 ，
由勾股定理得： = 2 2 = 165 ，
∴ = = 6 16 = 145 5 ，
由勾股定理得： = 2 + 2 = 25 85；
2 4
综上所述，DF的长为 85或 10．
5 52025-2026 学年第二学期九年级测试 数学试卷
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分 100 分，考试时间 90 分钟。
第一部分 选择题
一、单选题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）
1． 2026的绝对值是（ ）
1 1
A．2026 B． 2026 C． D．
2026 2026
2．如图是某太空金属 3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，转盘分为灰、白两种扇形。山山进行多次重复转盘试验后，记录到指针指向灰色区域的频率稳定在 0.4 左
右，由此估算白色扇形区域的圆心角度数是（ ）．
A．226 B．216 C．206 D．144
4．下列计算正确的是（ ）
A． (2a)3 6a3 B． a b a b
C． (a b)2 a2 b2 D． a2 a3 a5
5．下列命题，是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的角是对顶角
C．同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行
D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
1 a 2
6．关于 x 的分式方程 1的解为正数，则 a 的取值范围是（ ）
x 2 2 x
A． a 5且 a 3 B． a 5且 a 3 C．a 5且 a 2 D． a 5且 a 2
7. 如图，已知△ （ AC AB），用尺规作图的方法在 BC边上确定一点 P，连接 AP，能判断 ABP一定是等腰
三角形的图形有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8. 某商场促销方案规定：单笔消费金额每满 100 元立减 10 元．例如，单笔消费金额为 208 元时，立减 20 元．甲在
该商场单笔购买 2 件 A商品，立减了 20 元；乙在该商场单笔购买 2 件 A商品与 1 件 B商品，立减了 30 元．若 B商
品的单价是整数元，则它的最小值是（ ）
A．1 元 B．99 元 C．101 元 D．199 元
试卷第 1页，共 6页
第二部分 非选择题
二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分）
2
9. 代数式 中 x的取值范围是_____．
x 2
10. 若最简二次根式 2 3与 5 + 3是同类二次根式，则 m＝ ．
11. 小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高 1 米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆
靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长 BC为 2.7米，又测得墙上影高CD
为1.2米，旗杆 AB的高度为_____米．
12. 如图，经过原点 O的直线与反比例函数 y= （a＞0）的图象交于 A，D两点（点 A在第一象限），点 B，C，E
在反比例函数 y= （b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形 ABCDE的面积为 56，四边形 ABCD的面

积为 32，则 的值为 ．

13.如图，四边形 ABCD是平行四边形，AD沿着过点 A的直线 AE翻折 ABCD，使得点 D的对应点 G落在 CB延长
线上，折痕与 BD相交于点 F，连接 FG，若 FG⊥AB，且 GB：BE＝1：3，求 tan∠EFB＝ ．
试卷第 2页，共 6页
三．解答题（共 7 小题，满分 61 分）
1
14.（5 分） 18 (π 1)0 2cos 45 1 ° 2
；

1 a2 6a 915.（6 分）先化简，再求值： 1 2 ，并从 1 , 2 , 3三个数中选一个合适的数代入求值. a 2 a 4
16.（9 分）各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽
取 1 所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了 10 名学生，数据分析如下．
（一）收集与整理
农村学校 10 名学生的艺术成绩（单位：分）：64，74，78，82，84，86，86，92，96，98；
城区学校 10 名学生的艺术成绩（单位：分）：62，70，79，83，85，87，87，90，97，100．
（二）描述与分析
城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
农村 84 a 86 c
城区 84 86 b 118.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出表格中 a、b、c的值， a ________，b __________，c ________；
（三）迁移与应用
（2）若从本次艺术成绩在 95 分以上的 4 名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方
法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；
（3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化
建议．
试卷第 3页，共 6页
17.（8 分）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于 2025 年 11 月 9 日在
广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原
型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传
递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中 A 型号纪念品比 B
型号纪念品的单价多 20 元，用 1000 元购买 A 型号纪念品的数量是用 400 元购买 B 型
号纪念品数量的 2 倍．
(1)求 A，B 两种型号纪念品的单价分别是多少元？
(2)若计划购买 A，B 两种型号的纪念品共 70 个，要求购进 A 型号纪念品的数量不少于 B 型号纪念品数量的1.5倍，且
所花费用不超过 6480 元，请求出所有满足条件的购买方案．
18．（10 分）如图，四边形 ABCD内接于 O，AB为直径，BC CD，过点 C作CE AB于点 E，CH AD交 AD
的延长线于点 H，连接BD交CE于点 G．
(1)求证：CH 是 O的切线；
(2)若点 D为 AH 的中点，求证： AD BE；
4
(3)若 cos DBA ，CG 10，求 BD的长．
5
19. （11 分）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青
蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点
的距离为160cm．
试卷第 4页，共 6页
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为 N，对称轴为直线 l，仿青蛙机器人在水平地
面上的起跳点为 O，落地点为 M．以 O为原点，OM 所在直线为 x轴，过点 O与OM 所在水平地面垂直的直线为 y
轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点 N的坐标： ，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图 1，若仿青蛙机器人从点 O正上方的点 P处起跳，落地点为 Q，点 P的坐标为 (0,75)，点 Q在 x轴的正半
轴上．求起跳点 P与落地点 Q的水平距离OQ的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安
全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形 ABCD，其中 ABC BCD 90 ，
AB 57cm,BC 40cm,CD 48cm．仿青蛙机器人从距离 AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍
物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平
台的高度： （平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
试卷第 5页，共 6页
20. （12 分）问题情境：
矩形 ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠BAC的平分线交 BC于点 E．将△ABE绕点 E顺时针旋转，得到△FGE点 A，
B的对应点分别为点 F，G（点 G与点 B不重合）．
深入探究：
（1）如图 1，当点 F在边 AD上时，求证：∠AEF＝2∠BAE；
（2）如图 2，当点 G在线段 AE上时，连接 AF，CF，
①求证：AC⊥EF；
②求四边形 AECF的面积；
（3）当点 G在矩形 ABCD的对角线上时，连接 DF，直接写出 DF的长．
试卷第 6页，共 6页

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