资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省26届中考数学精准预测卷六
（精选浙江省中考模拟经典题型，必考题型，最新题型）
一．选择题（共10小题）
1．将实数，﹣2，，0表示在数轴上，数对应的点在最左边的是（　　）
A． B．﹣2 C． D．0
2．生活中，我们常用的五号电池整体可以近似看作一个圆柱体叠上一个圆柱体．如图，这是五号电池的示意图，则该电池的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．不等式x+1≥1的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．1﹣（x﹣1）＝﹣x B．（x﹣1）2＝x2﹣1
C． D．x（x﹣1）＝x2﹣x
5．对于命题“若a2＞a，则a＞1”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．a＝3 B．a＝2 C．a＝0 D．a＝﹣1
6．某初中2026年共16个班约有800名学生参加中考复习教学质量检测．考试后为了解数学考试情况，需从中抽取80份试卷答案，统计分析每道题的解答情况．为了使所了解的数据具有代表性，则下列抽样方案最合适的是（　　）
A．每班中随机挑选5份试卷
B．全校男、女生中各随机挑选40份试卷
C．相邻2个班作为一个组合，从8个组合中随机挑选10份
D．按照成绩分成优、良、合格、待合格4组，每个组中随机挑选20份
7．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成．若AE＝3，GH＝1，则tan∠EAB的值为（　　）
A．3 B． C． D．
8．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）
A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3
C． D．
9．如图，在 ABCD中，AB＝8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若∠BCE＝∠DCE，BC＝5，则四边形BCDE的周长是（　　）
A．22 B．21 C．20 D．18
10．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，D是边BC上一点（0＜BD＜1），F在边AB上，连结AD，CF交于点E，且满足CF⊥AD．设BD＝x，BF＝y，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．（2﹣x）（2﹣y） B．
C．（4﹣x）（4﹣y） D．
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：x2﹣4＝　 　 ．
12．若，则x＝　 　 ．
13．如图所示，塔底B与观测点A在同一水平面上．为了测量铁塔的高度，测得塔底B与观测点A的距离为100米，在A处测得塔顶C的仰角为α，tanα＝0.9，则铁塔的高BC为　 　 米．
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝36°，D是AB的中点，E是BC上一点，已知AB＝6，BE＝2，EC＝7，则∠BDE＝　 　 ．
15．小江将（2023x+2025）2展开后得到，小华将（2023x﹣2025）2展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为　 　 ．
16．如图，⊙O的直径AC＝4，四边形ABCD内接于⊙O．若BD＝CD，AB＝2AD，则AD＝ 　 　 ．
三．解答题（共8小题）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中x＝﹣3．
19．如图，在四边形ABCD中，E是边AB的中点，DB，CE交于点F，且满足DF＝FB，AF∥DC．
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形．
（2）若∠EFB＝90°，BF＝5，EF＝2，求BC的长．
20．考拉兹猜想（又称3n+1猜想）是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数n，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当n＝10时，分步进行考拉兹运算：第1步：10÷2＝5；第2步：5×3+1＝16；第3步：16÷2＝8；第4步：8÷2＝4；第5步：4÷2＝2；第6步：2÷2＝1．
（1）若从某正整数n出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数n；
（2）小杭同学说：若3n+1（n为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，则2m（m为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想．
∵2m为偶数，
∴2m÷2＝m，
若m为奇数，则下一步考拉兹运算后为3m+1，
若m为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数p，则下一步考拉兹运算得到3p+1，
∴2m可以多次考拉兹运算为3n+1的形式，
∴2m一定也符合考拉兹猜想．
若3n+1（n为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明4k+1（k为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想．
21．2026年“浙BA”系列篮球赛之超冠赛于4月24日开赛，下面是杭州代表队甲、乙两名球员在赛前10场热身赛中，每场比赛统计的篮板数据（单位：个）．
材料一：甲、乙两名球员10场比赛的篮板数据（按照从小到大排序）．
甲 3 4 4 5 5 5 5 6 6 7
乙 4 6 6 6 7 8 8 8 8 9
材料二：甲、乙两名球员10场比赛的篮板相关统计数据．
平均数 中位数 众数 方差
甲 a 5 c 1.2
乙 7 b 8 d
根据以上信息，解决下列问题：
（1）写出a，b，c，d的值．
（2）请根据统计数据，对甲、乙两名球员的篮板能力进行评价分析．
22．如图，OD是⊙O的半径，弦AB垂直平分OD，以AB为边向圆外作等边△ABC，连结OA．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，求图中阴影部分的面积．
23．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离x米和飞行高度y米的数据，记录数据如表：
照相机频闪时间t/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
水平距离x/米 0 5 10 15 20 25 30 …
飞行高度y米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 …
（1）根据表格中的数据描点，连线，发现y与x近似地满足二次函数关系，请写出y与x之间的函数表达式；
（2）根据表格数据，可知水平距离x与时间t满足关系式x＝10t．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间；
（3）乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度y（米）与水平距离x（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？
24．如图1，在△ABC中，D，E是线段AB（不含端点）上两点，且点D在点E的左侧，过E作MF∥AC交BC于点M，交CD的延长线于点F．在线段CD上取点P，使得DP＝DF．连接并延长EP交AC于点N．
（1）若CP＝PD，EF＝2，求AC的长．
（2）若D是AB的中点．
①求证：△DPE∽△DCB．
②如图2，连接AF，MN，求证：四边形AFMN是平行四边形．
浙江省26届中考数学精准预测卷六（精选浙江省中考模拟经典题型，必考题型，最新题型）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．将实数，﹣2，，0表示在数轴上，数对应的点在最左边的是（　　）
A． B．﹣2 C． D．0
【分析】根据数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
【解答】解：由题知，
数轴上的点表示的数，越在左边的点表示的数越小．
因为﹣2是所给四个数中最小的数，
所以数对应的点在最左边的是﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数与数轴及算术平方根，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键
2．生活中，我们常用的五号电池整体可以近似看作一个圆柱体叠上一个圆柱体．如图，这是五号电池的示意图，则该电池的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，是两个同心圆（里面的圆画成实线）．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握俯视图的定义是解题的关键．
3．不等式x+1≥1的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案．
【解答】解：解不等式得x≥0，
数轴表示如下所示：
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握以上知识点是关键．
4．下列计算正确的是（　　）
A．1﹣（x﹣1）＝﹣x B．（x﹣1）2＝x2﹣1
C． D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【分析】根据整式及分式的运算法则逐项计算即可．
【解答】解：A．原式＝1﹣x+1＝2﹣x，故本选项不符合题意；
B．原式＝x2﹣2x+1，故本选项不符合题意；
C．原式，故本选项不符合题意；
D．原式＝x2﹣1，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的加减法、单项式乘多项式及完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．对于命题“若a2＞a，则a＞1”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．a＝3 B．a＝2 C．a＝0 D．a＝﹣1
【分析】根据实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念判断．
【解答】解：A、当a＝3时，a2＝4，
不能说明命题“若a2＞a，则a＞1”是假命题，不符合题意；
B、当a＝2时，a2＝4，a＞1，不能说明命题“若a2＞a，则a＞1”是假命题，不符合题意；
C、当a＝0时，a2＝0，
不能说明命题“若a2＞a，则a＞1”是假命题，不符合题意；
D、当a＝13时，a2＝1，而a＜1，
说明命题“若a2＞a，则a＞1”是假命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6．某初中2026年共16个班约有800名学生参加中考复习教学质量检测．考试后为了解数学考试情况，需从中抽取80份试卷答案，统计分析每道题的解答情况．为了使所了解的数据具有代表性，则下列抽样方案最合适的是（　　）
A．每班中随机挑选5份试卷
B．全校男、女生中各随机挑选40份试卷
C．相邻2个班作为一个组合，从8个组合中随机挑选10份
D．按照成绩分成优、良、合格、待合格4组，每个组中随机挑选20份
【分析】根据用样本估计总体逐一分析各选项．
【解答】解：选项A：全校共16个班，每班随机抽取5份，16×5＝80（份），每班都参与抽样，覆盖所有班级学生，样本具有代表性；
选项B：仅按男女生抽样，未兼顾班级和成绩层次，样本片面，不具代表性；
选项C：只抽取部分班级组合，遗漏部分班级，样本不全面；
选项D：预先按成绩分层，不能客观反映整体真实考试情况，抽样不合理，
故选：A．
【点评】本题考查了抽样调查，总体、个体、样本等知识，熟练掌握抽样调查，总体、个体、样本是解题的关键．
7．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成．若AE＝3，GH＝1，则tan∠EAB的值为（　　）
A．3 B． C． D．
【分析】根据四边形EFGH是正方形得HE＝GH＝1，∠HEF＝90°，由此得△AEB是直角三角形，AH＝AE﹣HE＝2，再由全等三角形的性质得BE＝AH＝2，然后在Rt△AEB中，根据正切函数的定义可得tan∠EAB的值．
【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，且GH＝1，
∴HE＝GH＝1，∠HEF＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣∠HEF＝90°，
∴△AEB是直角三角形，
∵AE＝3，
∴AH＝AE﹣HE＝2，
由全等三角形的性质得：BE＝AH＝2，
在Rt△AEB中，tan∠EAB．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，熟练掌握正方形的性质，正切函数的定义是解决问题的关键．
8．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）
A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3
C． D．
【分析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设合伙人数为x人，
依题意，得：5x+45＝7x+3．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．如图，在 ABCD中，AB＝8，以点D为圆心作弧，交AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点F，作直线DF交AB于点E，若∠BCE＝∠DCE，BC＝5，则四边形BCDE的周长是（　　）
A．22 B．21 C．20 D．18
【分析】证明BC＝BE＝5，利用勾股定理求出DE可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，CD∥AB，BC＝AD＝5，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵∠DCE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠CEB，
∴BC＝BE＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴DE4，
∴四边形BCDE的周长＝BC+CD+DE+BE＝5+8+4+5＝22．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
10．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，D是边BC上一点（0＜BD＜1），F在边AB上，连结AD，CF交于点E，且满足CF⊥AD．设BD＝x，BF＝y，则下列代数式的值不变的是（　　）
A．（2﹣x）（2﹣y） B．
C．（4﹣x）（4﹣y） D．
【分析】过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，由等边三角形的性质得到AB＝BC＝2，∠B＝60°，，则由勾股定理得到，可求出DG＝1﹣x，y，，证明△GAD∽△HCF，得到，则可推出4x+4y﹣xy＝4，而 （4﹣x）（4﹣y）＝16﹣4x﹣4y+xy＝16﹣（4x+4y﹣xy），则可得到代数式 （4﹣x）（4﹣y） 的值为定值．
【解答】解：如图所示，过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，
∴∠AGB＝∠FHC＝∠FHB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝2，∠B＝60°，
∵AG⊥BC，
∴，
∴，
∵0＜BD＜1，
∴点G在点D右侧，
∴DG＝BG﹣BD＝1﹣x；
在Rt△BHF中，∠BFH＝90°﹣60°＝30°，
∴，
∴，
∵CF⊥AD，即∠CED＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，
又∵∠GAD+∠GDA＝90°，
∴∠GAD＝∠HCF，
∴△GAD∽△HCF，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴4x+4y﹣xy＝4，
∴（4﹣x）（4﹣y）＝16﹣4x﹣4y+xy＝16﹣（4x+4y﹣xy）＝16﹣4＝12，
故代数式 （4﹣x）（4﹣y） 的值为定值，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，多项式乘多项式，掌握其相关知识点是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：x2﹣4＝　（x+2）（x﹣2）　 ．
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
12．若，则x＝　2　 ．
【分析】把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可．
【解答】解：方程两边同时乘（x﹣3），得﹣x+1＝x﹣3，
移项、合并同类项，得﹣2x＝﹣4，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入x﹣3≠0，
∴分式方程的解为x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
13．如图所示，塔底B与观测点A在同一水平面上．为了测量铁塔的高度，测得塔底B与观测点A的距离为100米，在A处测得塔顶C的仰角为α，tanα＝0.9，则铁塔的高BC为　90　 米．
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝100米，∠CAB＝α，
∴BC＝AB tanα＝100×0.9＝90（米），
∴铁塔的高BC为90米，
故答案为：90．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝36°，D是AB的中点，E是BC上一点，已知AB＝6，BE＝2，EC＝7，则∠BDE＝　54°　 ．
【分析】证明△BED∽△BAC，推出∠BDE＝∠C＝54°．
【解答】解：∵∠A＝90°，∠B＝36°，
∴∠C＝90°﹣36°＝54°，
∵D是AB的中点，AB＝6，
∴BDAB＝3，
∵BE＝2，EC＝7，
∴BC＝BE+EC＝9，
∴，，
∴，
∵∠B＝∠B，
∴△BED∽△BAC，
∴∠BDE＝∠C＝54°．
故答案为：54°．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
15．小江将（2023x+2025）2展开后得到，小华将（2023x﹣2025）2展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为　﹣4　 ．
【分析】将两式展开分别求得a1，b1，c1，a2，b2，c2，然后代入原式计算即可．
【解答】解：（2023x+2025）2＝20232x2+2×2023×2025x+20252，
（2023x﹣2025）2＝20232x2﹣2×2023×2025x+20252，
则a1＝a2＝20232，b1＝2×2023×2025，b2＝﹣2×2023×2025，c1＝c2＝20252，
原式＝a1+b1+c1﹣a2﹣b2﹣c2﹣4×20242
＝b1﹣b2﹣4×20242
＝2×2023×2025+2×2023×2025﹣4×20242
＝4×2023×2025﹣4×20242
＝4×（2023×2025﹣20242）
＝4×[（2024﹣1）×（2024+1）﹣20242]
＝4×（20242﹣1﹣20242）
＝4×（﹣1）
＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键．
16．如图，⊙O的直径AC＝4，四边形ABCD内接于⊙O．若BD＝CD，AB＝2AD，则AD＝ 　　 ．
【分析】根据题意，设AD＝x，据此用x分别表示出BD2和CD2，再建立方程即可解决问题．
【解答】解：连接DO并延长，交BC于点M，连接OB，
∵BD＝CD，BO＝OC，
∴DM垂直平分BC．
设AD＝x，
则AB＝2x．
在Rt△ADC中，
CD2＝42﹣x2．
在Rt△ABC中，
BC，
∴BM，
∴OM，
∴DM＝x+2．
在Rt△DBM中，
BD2＝（）2+（x+2）2．
∵BD＝CD，
∴42﹣x2＝（）2+（x+2）2，
解得x（舍负），
∴AD．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟知圆心角、弧、弦的关系及巧用勾股定理是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：原式＝﹣2+1+2
＝1．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．先化简，再求值：，其中x＝﹣3．
【分析】根据分式的加法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝x+2，
当x＝﹣3时，原式＝﹣3+2＝﹣1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．如图，在四边形ABCD中，E是边AB的中点，DB，CE交于点F，且满足DF＝FB，AF∥DC．
（1）求证：四边形AFCD为平行四边形．
（2）若∠EFB＝90°，BF＝5，EF＝2，求BC的长．
【分析】（1）因为DF＝FB，所以F是DB的中点，而E是AB的中点，根据三角形中位线定理得EF∥AD，即CF∥AD，因为AF∥CD，所以四边形AFCD是平行四边形；
（2）由F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝2，根据三角形中位线定理AD＝2EF＝4，由平行四边形的性质昨CF＝AD＝4，而∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝5，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵DB，CE交于点F，DF＝FB，
∴F是DB的中点，
∵E是AB的中点，
∴EF∥AD，
∴CF∥AD，
∵AF∥CD，
∴四边形AFCD是平行四边形．
（2）解：∵F是DB的中点，E是AB的中点，EF＝2，
∴AD＝2EF＝4，
∵四边形AFCD是平行四边形，
∴CF＝AD＝4，
∵∠CFB＝∠EFB＝90°，BF＝5，
∴BC，
∴BC的长是．
【点评】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，推导出CF∥AD，进而证明四边形AFCD是平行四边形是解题的关键．
20．考拉兹猜想（又称3n+1猜想）是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数n，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当n＝10时，分步进行考拉兹运算：第1步：10÷2＝5；第2步：5×3+1＝16；第3步：16÷2＝8；第4步：8÷2＝4；第5步：4÷2＝2；第6步：2÷2＝1．
（1）若从某正整数n出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数n；
（2）小杭同学说：若3n+1（n为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，则2m（m为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想．
∵2m为偶数，
∴2m÷2＝m，
若m为奇数，则下一步考拉兹运算后为3m+1，
若m为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数p，则下一步考拉兹运算得到3p+1，
∴2m可以多次考拉兹运算为3n+1的形式，
∴2m一定也符合考拉兹猜想．
若3n+1（n为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明4k+1（k为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想．
【分析】（1）分两种情况讨论：当n是偶数时，n＝32；当n是奇数时，n＝5；
（2）4k+1经过三步考拉兹运算后得到3k+1，由此证明即可．
【解答】（1）解：当n是偶数时，n÷2＝16，解得n＝32；
当n是奇数时，3n+1＝16，解得n＝5；
综上所述：n的值为5或32；
（2）证明：∵4k+1是奇数，第一步运算为（4k+1）×3+1＝12k+4，
∵12k+4是偶数，第二步运算为（12k+4）÷2＝6k+2；
∵6k+2是偶数，第三步运算为（6k+2）÷2＝3k+1；
∵3n+1（n为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，此时k＝n，
∴3k+1经过有限次考拉兹运算后最终得到1，
由于4k+1经过三步考拉兹运算后得到3k+1，
∴4k+1（k为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想．
【点评】本题考查实数的混合运算，根据所提供的证明方法和定义，推导出新的猜想是解题的关键．
21．2026年“浙BA”系列篮球赛之超冠赛于4月24日开赛，下面是杭州代表队甲、乙两名球员在赛前10场热身赛中，每场比赛统计的篮板数据（单位：个）．
材料一：甲、乙两名球员10场比赛的篮板数据（按照从小到大排序）．
甲 3 4 4 5 5 5 5 6 6 7
乙 4 6 6 6 7 8 8 8 8 9
材料二：甲、乙两名球员10场比赛的篮板相关统计数据．
平均数 中位数 众数 方差
甲 a 5 c 1.2
乙 7 b 8 d
根据以上信息，解决下列问题：
（1）写出a，b，c，d的值．
（2）请根据统计数据，对甲、乙两名球员的篮板能力进行评价分析．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数和方差的定义求解即可；
（2）根据平均数、中位数和方差的意义解答即可．
【解答】解：（1）由题意得，甲的平均数a5，
乙的中位数b7.5，
甲的众数c＝5，
乙的方差d2；
（2）乙的篮板能力更强，因为乙的平均数、中位数和众数均大于甲，甲的篮板能力比乙稳定，因为甲的方差比乙小．
【点评】本题考查了众数、中位数以及方差的计算，解题的关键是掌握众数、中位数的确定方法以及方差的计算公式．
22．如图，OD是⊙O的半径，弦AB垂直平分OD，以AB为边向圆外作等边△ABC，连结OA．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OB，DB，由AB垂直平分OD，得DB＝OB＝OD，则∠OBD＝60°，所∠ABO＝∠ABD∠OBD＝30°，因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC＝60°，则∠OBC＝∠ABO+∠ABC＝90°，即可证明BC是⊙O的切线．
（2）设AB交OD于点E，由OD⊥AB于点E，且AB＝6，得∠AEO＝90°，AE＝BE＝3，，所以∠AOD＝∠BOD＝60°，则∠AOB＝2∠AOD＝120°，因为OA＝OD＝2OE，所以AEOE＝3，求得OE，则OA＝2，即可由S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB，求得S阴影＝4π﹣3．
【解答】（1）证明：连接OB，DB，
∵OD是⊙O的半径，弦AB垂直平分OD，
∴DB＝OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∴∠ABO＝∠ABD∠OBD＝30°，
∵以AB为边向圆外作等边△ABC，
∴∠ABC＝60°，
∴∠OBC＝∠ABO+∠ABC＝90°，
∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：设AB交OD于点E，
∵OD⊥AB于点E，且AB＝6，
∴∠AEO＝90°，AE＝BEAB＝3，，
∵△BOD是等边三角形，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∵AB垂直平分OD，
∴OE＝DE，
∴OA＝OD＝2OE，
∵AEOE＝3，
∴OE，
∴OA＝2，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB64π﹣3，
∴阴影部分的面积为4π﹣3．
【点评】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、切线的判定、垂径定理、勾股定理、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
23．某校物理兴趣小组举办“水火箭”发射距离比赛，如图是甲组的水火箭实物图．王老师用频闪照相机记录并测量甲组的水火箭的飞行水平距离x米和飞行高度y米的数据，记录数据如表：
照相机频闪时间t/s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
水平距离x/米 0 5 10 15 20 25 30 …
飞行高度y米 0 4.5 8 10.5 12 12.5 12 …
（1）根据表格中的数据描点，连线，发现y与x近似地满足二次函数关系，请写出y与x之间的函数表达式；
（2）根据表格数据，可知水平距离x与时间t满足关系式x＝10t．根据比赛规定，在水平距离相同的情况下，飞行高度不低于8米的持续时间越长成绩越好．求甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间；
（3）乙组的水火箭与甲组的水火箭同时从同一高度发射，已知乙组水火箭的飞行高度y（米）与水平距离x（米）满足函数关系，当水平距离为多少米时，两组水火箭的高度差最大？最大高度差是多少？
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）令y＝8，解出x的值求解即可；
（3）设高度差为h，hx2+x﹣（x2x），根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+c，
把（0，0），（10，8），（20，12）代入，
得，
解得，
∴yx2+x；
（2）令y＝8，得8x2+x，
解得x＝10或x＝40，
将x＝10或x＝40代入x＝10t，
解得t＝1或t＝4，
∴持续时间为4﹣1＝3（秒），
故甲组水火箭飞行高度不低于8米的持续时间为3秒；
（3）设高度差为h，
hx2+x﹣（x2x）
x2x
（x﹣20）2+4，
当水平距离为20米时，两组水火箭的高度差最大，最大高度差是4米．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
24．如图1，在△ABC中，D，E是线段AB（不含端点）上两点，且点D在点E的左侧，过E作MF∥AC交BC于点M，交CD的延长线于点F．在线段CD上取点P，使得DP＝DF．连接并延长EP交AC于点N．
（1）若CP＝PD，EF＝2，求AC的长．
（2）若D是AB的中点．
①求证：△DPE∽△DCB．
②如图2，连接AF，MN，求证：四边形AFMN是平行四边形．
【分析】（1）根据题意可得CP＝DP＝DF，则有CD＝2DF，再证明△ACD∽△EFD得到，即可求解；
（2）①根据中点的定义得到AD＝BD，证明△EFD∽△ACD，得到，等量代换可得，再利用两边对应成比例及其夹角相等即可判定相似；
②连接AP、BF，先证明△ADP≌△BDF（SAS），得到AP＝BF，∠DAP＝∠DBF，再证明△FMB≌△ANP（AAS），得到FM＝AN，最后利用平行四边形的判定即可证明．
【解答】（1）解：∵DP＝DF，CP＝PD，
∴CP＝DP＝DF，
∴CD＝2DF，
∵MF∥AC，
∴△ACD∽△EFD，
∴，
∴AC＝2EF＝2×2＝4；
（2）证明：①∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵MF∥AC，
∴△EFD∽△ACD，
∴，
∵DP＝DF，AD＝BD，
∴，
又∵∠PDE＝∠CDB，
∴△DPE∽△DCB；
②如图2，连接AP、BF，
在△ADP和△BDF中，
，
∴△ADP≌△BDF（SAS），
∴AP＝BF，∠DAP＝∠DBF，
由①得，△DPE∽△DCB，
∴∠DEP＝∠DBC，
∴EN∥BC，
∴∠ANP＝∠ACB，
∵MF∥AC，
∴∠FMB＝∠ACB，
∴∠FMB＝∠ANP，
∵∠DAP＝∠DBF，∠DEP＝∠DBC，
∴∠DBF+∠DBC＝∠DAP+∠DEP，
∴∠FBM＝∠APN，
在△FMB和△ANP中，
，
∴△FMB≌△ANP（AAS），
∴FM＝AN，
又∵MF∥AN，
∴四边形AFMN是平行四边形．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，中点的定义，全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定定理，熟练掌握相似三角形或全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑