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浙江省26届中考数学精准预测卷五
（精选浙江中考，模拟经典真题，必考题型，最新变式题型）
一．选择题（共10小题）
1．在数﹣3、﹣2、0、3中，最小的数是（　　）
A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣3
2．据统计，2025年1月至12月，位列“三山五岳”的雁荡山风景区接待游客15000000余人次，数据15000000用科学记数法表示为（　　）
A．15×106 B．1.5×107 C．1.5×108 D．0.15×108
3．一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（　　）
A．﹣4≤x≤﹣1 B．﹣4＜x＜﹣1 C．﹣4＜x≤﹣1 D．﹣4≤x＜﹣1
4．如图是7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，若拿走图中一块积木后图形的主视图保持不变，则拿走的是（　　）
A．积木甲 B．积木乙 C．积木丙 D．积木丁
5．某商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表：
牙膏品牌 A B C D E 合计
售出支数 8 7 16 34 15 80
下列关于品牌C牙膏销售量的说法中，错误的是（　　）
A．频数是16
B．频率是0.2
C．品牌C的销售量占总销售量的16%
D．每卖出100支牙膏，估计有20支是品牌C
6．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）
A．x＝﹣3 B．x≠0 C．x＞﹣3 D．x≠﹣3
7．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（　　）
A．x2﹣12x﹣864＝0 B．x2﹣12x+864＝0
C．x2+12x﹣864＝0 D．x2+12x+864＝0
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A′B′C'D′是以原点O为位似中心的位似图形．若点A（﹣4，﹣3）的对应点为，则点的对应点B的坐标为（　　）
A．（3，﹣2） B． C．（﹣3，2） D．
9．如图，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于为半径作圆弧，两弧交于点P，射线BP交AD于点E，若∠C＝100°，则∠AEB的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝14，点G，H在BD上，E为GH上一点，过点E作EF⊥CD于点F，连结AE，记，若，则GH的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
二．填空题（共7小题）
11．计算：的值为　 　 ．
12．分式方程的解是　 　 ．
13．如图，∠1＝∠2，∠3＝120°，则∠4的度数是　 　 ．
14．一个袋中装有6个红球、4个黑球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是　 　 ．
15．如图所示，Rt△ABC的三个顶点都在反比例函数的图象上，点A在点C的右侧，∠ACB＝90°，CA＝CB，且CB过原点O．若C的横坐标为1，则k的值为　 　 ．
16．如图1，在菱形ABCD中，点O是AC上的动点，过点O分别作BC，AB的平行线，交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．连接EH，GF．设AO为x，△EOH与△GOF的面积之和为y，y关于x的函数图象如图2，图象经过（2，13），且最低点M（6，m）．当△GOF的面积是△EOH的4倍时，则y的值为　 　 ．
三．解答题（共7小题）
17．解方程组：．
18．设A＝3x，B＝2（x﹣1）．
（1）当x＝﹣3时，求A+B的值；
（2）当A＞3，且B＜4时，求x的取值范围．
19．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE，CE．
（1）求证：△ADE≌△BCE．
（2）若AB＝4，AD＝3，求△CDE的周长．
20．若一个整式能表示成a2﹣b2（a，b都是整式），则称这个式子为“平方差式”，若a，b为整数，称“平方差数”则．如3＝22﹣12；2a+1＝（a+1）2﹣a2等．
（1）写出一个大于30且小于40的“平方差数”；
（2）已知T＝x2﹣4y2+6x+8y+k（k是常数）是“平方差式”，求出符合条件的一个k值，并说明理由．
21．（9分）尺规作图问题：
已知△ABC，∠ABC是钝角，AB＞BC，请用尺规作AC的中点P．
小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连结BQ交AC于点P，则点P为AC的中点．
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点．
小聪：小明，你的作法有问题．
小明：哦…我明白了．
（1）证明：小聪的作法是正确的．
（2）指出小明作法中存在的问题．
22．《圆锥曲线论》是最早统一圆锥曲线关系的著作．如图1，圆锥的截面三角形ABC中，AB＝AC，点O为底面圆心，直径BC为6，高AO为．过点O作OD∥AB交AC于点D，沿OD的方向切割圆锥会得到形状为抛物线的截线，该截线交底面于EF，D为抛物线顶点．
（1）求OD的长．
（2）正方形GHMN的顶点G，H在该抛物线上，点M，N在EF上，在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式与正方形GHMN的面积．
23．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a，b，c是常数，a＞0）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值和最小值的差为4，求a的值；
（3）已知点P（m，y1），Q（﹣3，y2）都在二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象上，若c＜y1＜y2，求m的取值范围．
24．已知，如图①，AB是⊙O的直径，，点E是上一动点（点E与点C在直径AB的两侧，且点E不与A，B重合），连结BC，连结EC交AB于点F，连结ED分别交AB，BC于点G，H．
（1）求证：△CEH∽△CBF；
（2）试问：在点E在运动过程中，CF：DH的值会不会变？若不变，请求出它的比值；若会变，请说明理由；
（3）如图②，连结EA，EB，求证：．
浙江省26届中考数学精准预测卷五（精选浙江中考，模拟经典真题，必考题型，最新变式题型）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在数﹣3、﹣2、0、3中，最小的数是（　　）
A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣3
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣3＜﹣2＜0＜3，
∴在数﹣3、﹣2、0、3中，最小的数是﹣3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．据统计，2025年1月至12月，位列“三山五岳”的雁荡山风景区接待游客15000000余人次，数据15000000用科学记数法表示为（　　）
A．15×106 B．1.5×107 C．1.5×108 D．0.15×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：15000000＝1.5×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（　　）
A．﹣4≤x≤﹣1 B．﹣4＜x＜﹣1 C．﹣4＜x≤﹣1 D．﹣4≤x＜﹣1
【分析】根据＞，≥向右画；＜，≤向左画判断即可．
【解答】解：由数轴得不等式组的解集是﹣4≤x＜﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集，有几个就要几个，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．如图是7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，若拿走图中一块积木后图形的主视图保持不变，则拿走的是（　　）
A．积木甲 B．积木乙 C．积木丙 D．积木丁
【分析】找到从几何体的正面看所得到的图形即可．
【解答】解：拿走图中的“甲”一个积木后，此图形主视图的形状不变，即前后的主视图依然为：
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，解答本题的关键要掌握画物体的三视图的口诀：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
5．某商店一周五种不同品牌牙膏的销售量如下表：
牙膏品牌 A B C D E 合计
售出支数 8 7 16 34 15 80
下列关于品牌C牙膏销售量的说法中，错误的是（　　）
A．频数是16
B．频率是0.2
C．品牌C的销售量占总销售量的16%
D．每卖出100支牙膏，估计有20支是品牌C
【分析】利用频率＝频数÷总数量计算，再逐一判断选项即可．
【解答】解：A选项，C牙膏的频数是16，故A选项说法正确；
B选项，C牙膏的频数是16，总销售量为80，频率为，故B选项说法正确；
C选项，C牙膏的频率为，即销售量占总销售量的20%，故C选项说法错误；
D选项，C牙膏的频率为，可得每卖出100支牙膏，估计有100×0.2＝20支，故D选项说法正确．
故选：C．
【点评】本题考查频数与频率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
6．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）
A．x＝﹣3 B．x≠0 C．x＞﹣3 D．x≠﹣3
【分析】根据分式有意义，得出x+3≠0，即可作答．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x+3≠0，
∴x≠﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了分式有意义，即分母不为 0，熟练掌握该知识点是关键．
7．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长和宽各多少步？设长为x步，则下列所列方程中，正确的是（　　）
A．x2﹣12x﹣864＝0 B．x2﹣12x+864＝0
C．x2+12x﹣864＝0 D．x2+12x+864＝0
【分析】根据矩形面积公式和长宽关系，长为x步，则宽为（x﹣12）步，利用面积公式列方程即可．
【解答】解：∵宽比长小12步，长为x步，
∴宽为（x﹣12）步，
∵一块长方形田地的面积为864平方步，
∴x（x﹣12）＝864，即x2﹣12x﹣864＝0，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A′B′C'D′是以原点O为位似中心的位似图形．若点A（﹣4，﹣3）的对应点为，则点的对应点B的坐标为（　　）
A．（3，﹣2） B． C．（﹣3，2） D．
【分析】根据点A与其对应点A′的坐标求出四边形ABCD与四边形A′B′C'D′的相似比，再根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C'D′是以原点O为位似中心的位似图形，点A（﹣4，﹣3）的对应点A′的坐标为（﹣2，），
∴四边形ABCD与四边形A′B′C'D′的相似比为2：1，
∵点B′的坐标为（，﹣1），
∴点B的坐标为（2，﹣1×2），既（3，﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
9．如图，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于为半径作圆弧，两弧交于点P，射线BP交AD于点E，若∠C＝100°，则∠AEB的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝80°，AD∥BC，结合作图得到BE是∠ABC的角平分线，则，由此即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝100°，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°，
根据题意，BE是∠ABC的角平分线，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE＝40°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了作图—基本作图，平行四边形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝14，点G，H在BD上，E为GH上一点，过点E作EF⊥CD于点F，连结AE，记，若，则GH的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【分析】当时，此时记为点E1过点E1作E1M⊥AD于点M，可得四边形E1F1DM为正方形，设E1F＝E1M＝3x，AE1＝5x，则由勾股定理得AM＝4x，则3x+4x＝14，解得：x＝2，那么，同理可求，则，即．
【解答】解：当时，此时记为点E1过点E1作乍E1M⊥AD于点M，
∵正方形ABCD，
∴DB平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴ E1F⊥CD，
∴E1F＝E1M，∠ADC＝∠E1MD＝∠E1F1D＝90°，
∴四边形E1F1DM为正方形，
∴E1F＝E1M＝DM，
∵，
设E1F＝E1M＝3x，AE1＝5x，则由勾股定理得AM＝4x，
∴3x+4x＝14，解得：x＝2，
∴DE13x＝6，
当时，此时记为点E2，过点E2作E2N⊥AD于点N，
同理四边形E2F2DN为正方形，E2F＝E2N＝DN，
∵，设E2F＝NE2＝4x，AE2＝5x，则由勾股定理得AN＝3x，
∴3x+4x＝14，
解得：x＝2，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形判定与性质，角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
11．计算：的值为　4　 ．
【分析】先根据有理数的乘方法则、算术平方根的定义计算，再根据有理数的减法法则计算即可．
【解答】解：9﹣5＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12．分式方程的解是x＝6　 ．
【分析】方程两边同乘x﹣3，将分式方程化为整式方程求解即可．
【解答】解：，
方程两边同乘x﹣3，得x＝2（x﹣3），
解得x＝6，
检验：当x＝6时，x﹣3≠0，
所以分式方程的解是x＝6，
故答案为：x＝6．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
13．如图，∠1＝∠2，∠3＝120°，则∠4的度数是　120°　 ．
【分析】结合对顶角的性质，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解答】解：如图，
∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠4＝∠5，
∵∠3＝∠5＝120°，
∴∠4＝120°，
故答案为：120°．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
14．一个袋中装有6个红球、4个黑球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是　　 ．
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【解答】解：从袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
15．如图所示，Rt△ABC的三个顶点都在反比例函数的图象上，点A在点C的右侧，∠ACB＝90°，CA＝CB，且CB过原点O．若C的横坐标为1，则k的值为　1　 ．
【分析】过点C作DE∥x轴，作BD⊥DE于D，AE⊥DE于E，易证得△ACE≌△BCD（AAS），即可得到CD＝AE＝2，BD＝CE＝k，进一步得出A（1+2k，k﹣2），代入即可求解．
【解答】解：过点C作DE∥x轴，作BD⊥DE于D，AE⊥DE于E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACE＝90°，
∵∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCD＝∠CAE，
∵∠BDC＝∠CEA＝90°，CA＝CB，
∴△ACE≌△BCD（AAS），
∴CD＝AE，BD＝CE，
∵C的横坐标为1，
∴C（1，k），
∵CB过原点O，
∴B（﹣1，﹣k），
∴CD＝2，BD＝2k，
∴AE＝CD＝2，CE＝BD＝2k，
∴A（1+2k，k﹣2），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴（1+2k）（k﹣2）＝k，
整理得（k﹣1）2＝2，
解得k﹣1，
∵k＞0，
∴k＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，正确表示出A的坐标是解题的关键．
16．如图1，在菱形ABCD中，点O是AC上的动点，过点O分别作BC，AB的平行线，交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．连接EH，GF．设AO为x，△EOH与△GOF的面积之和为y，y关于x的函数图象如图2，图象经过（2，13），且最低点M（6，m）．当△GOF的面积是△EOH的4倍时，则y的值为　10　 ．
【分析】如图1所示，设HE，OA交于点P，GF，OC交于点Q，AC＝t，可证明四边形AHOE是菱形，四边形CHOF是菱形，且∠GOC＝∠GCO＝∠HOA，则，HE＝2PH，，FG＝2QG，求出OC＝t﹣x；设tan∠GOC＝tan∠GCO＝tan∠HOA＝n，则解直角三角形可推出HE＝nx，FG＝n（t﹣x），则可得到，由二次函数的性质可得当时，y有最小值，据此可求出t＝12，根据图象经过（2，13），可得；则，，当△GOF的面积是△EOH的4倍时，则，解得x＝4或x＝﹣12（舍去），据此求出y的值即可得到答案．
【解答】解：如图1所示，设HE，OA交于点P，GF，OC交于点Q，AC＝t，
在菱形ABCD中，点O是AC上的动点，过点O分别作BC，AB的平行线，交AB，BC，CD，AD于点E，F，G，H．
∴AD＝CD，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵HF∥AB，
∴HF∥CD，
∴∠HOA＝∠DCA＝∠HAO，
∴AH＝OH；
∵EG∥BC，AD∥BC，
∴EG∥AD，
∴四边形AHOE是平行四边形，
又∵AH＝OH，
∴平行四边形AHOE是菱形，
∴，HE＝2PH，
同理可证明四边形CHOF是菱形，且∠GOC＝∠GCO＝∠HOA，
∴，FG＝2QG
∵AC＝OA+OC＝t，
∴OC＝t﹣x，
设tan∠GOC＝tan∠GCO＝tan∠HOA＝n，
∴，，
∴HE＝nx，FG＝n（t﹣x），
∴
，
∵，
∴当时，y有最小值，
∵最低点为M（6，m），
∴，
∴t＝12，
∴，
∵图象经过（2，13），
∴，
解得；
∴，
，
当△GOF的面积是△EOH的4倍时，
由题意可得：，
解得x＝4或x＝﹣12（舍去），
∴．
故答案为：10．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，正确进行计算是解题关键．
三．解答题（共7小题）
17．解方程组：．
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：，
①+②，得6x＝12，
解得x＝2，
把x＝2代入①，得2×2+y＝3，
解得y＝﹣1，
所以方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
18．设A＝3x，B＝2（x﹣1）．
（1）当x＝﹣3时，求A+B的值；
（2）当A＞3，且B＜4时，求x的取值范围．
【分析】（1）先化简再代入即可；
（2）根据题意列不等式组，再求解即可．
【解答】解：（1）A+B＝3x+2（x﹣1）
＝3x+2x﹣2
＝5x﹣2，
当x＝﹣3时，原式＝5×（﹣3）﹣2
＝﹣15﹣2
＝﹣17．
（2）根据题意可得，
解得：，
∴1＜x＜3．
【点评】本题主要考查不等式的性质，理解题意是解题的关键．
19．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE，CE．
（1）求证：△ADE≌△BCE．
（2）若AB＝4，AD＝3，求△CDE的周长．
【分析】（1）根据矩形的性质得到AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，根据E是AB的中点得到AE＝BE，可知△ADE≌△BCE（SAS）；
（2）根据E是AB的中点得到AE＝2，根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得到，即可求出△CDE的周长．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°．
∵E为AB中点，
∴AE＝BE．
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
（2）解：∵AB＝4，
∴AE＝2．
∵AD＝3，∠A＝90°．
∴．
∵△ADE≌△BCE，
∴．
∴△CDE的周长为．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
20．若一个整式能表示成a2﹣b2（a，b都是整式），则称这个式子为“平方差式”，若a，b为整数，称“平方差数”则．如3＝22﹣12；2a+1＝（a+1）2﹣a2等．
（1）写出一个大于30且小于40的“平方差数”；
（2）已知T＝x2﹣4y2+6x+8y+k（k是常数）是“平方差式”，求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【分析】（1）根据平方差数定义，尝试不同整数组合a2﹣b2，找到结果在30到40之间的数；
（2）对T＝x2﹣4y2+6x+8y+k分组配方，将含x和y的项分别配成完全平方形式，使剩余常数项为0，从而确定k的值．
【解答】解：（1）设平方差数为a2﹣b2（a、b为整数），
尝试不同整数组合：
当a＝7，b＝1时，72﹣12＝49﹣1＝48（大于40，不符合）；
当a＝6，b＝2时，62﹣22＝36﹣4＝32（30＜32＜40，符合）；
当a＝6，b＝1时，62﹣12＝36﹣1＝35（30＜35＜40，符合）；
（2）将T＝x2﹣4y2+6x+8y+k分组配方：
T＝（x2+6x）﹣（4y2﹣8y）+k
＝（x2+6x+9）﹣9﹣（4y2﹣8y+4）+4+k
＝（x+3）2﹣（2y﹣2）2+（k﹣5），
因为T是平方差式，所以常数项需为0，
即k﹣5＝0，
解得k＝5．
此时T＝（x+3）2﹣（2y﹣2）2，符合平方差式定义．
【点评】本题考查因式分解的应用，解决本题的关键是通过平方差公式的变形和配方法将给定整式转化为平方差形式求解．
21．（9分）尺规作图问题：
已知△ABC，∠ABC是钝角，AB＞BC，请用尺规作AC的中点P．
小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连结BQ交AC于点P，则点P为AC的中点．
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点．
小聪：小明，你的作法有问题．
小明：哦…我明白了．
（1）证明：小聪的作法是正确的．
（2）指出小明作法中存在的问题．
【答案】（1）见解答．
（2）以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点．
【分析】（1）由作图可得，AQ＝BC，AB＝CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点．
（2）以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案．
【解答】（1）证明：由作图可得，AQ＝BC，AB＝CQ，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵点P为AC与BQ的交点，
∴点P为AC的中点．
（2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图所示．
【点评】本题考查作图—基本作图、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．《圆锥曲线论》是最早统一圆锥曲线关系的著作．如图1，圆锥的截面三角形ABC中，AB＝AC，点O为底面圆心，直径BC为6，高AO为．过点O作OD∥AB交AC于点D，沿OD的方向切割圆锥会得到形状为抛物线的截线，该截线交底面于EF，D为抛物线顶点．
（1）求OD的长．
（2）正方形GHMN的顶点G，H在该抛物线上，点M，N在EF上，在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式与正方形GHMN的面积．
【分析】（1）根据题意可得，，AO⊥BC，勾股定理求出AB＝8＝AC，证明△CAB∽△CDO，即可得OD＝4．
（2）以EF的中点O为原点，EF为x轴，垂直EF的直线为y轴，建立直角坐标系，则顶点D（0，4），求出抛物线的表达式，设MN＝2m，则点G（﹣m，2m），代入抛物线表达式中，求出m＝1.5，即可解答．
【解答】解：（1）根据题意可得，AO⊥BC，，
∴，
∵OB＝OC，OD∥AB，
∴△CAB∽△CDO，
∴，
∴OD＝4．
（2）以EF的中点O为原点，EF为x轴，垂直EF的直线DO为y轴，建立直角坐标系，
∵OD＝4，
∴顶点D（0，4），
设抛物线的表达式为y＝ax2+4，
将点E（﹣3，0）代入得，0＝a（﹣3）2+4，
解得，
∴．
设MN＝2m，则点G（﹣m，2m），代入抛物线表达式中，得，
解得m＝1.5（舍去负值），
∴MN＝3，GN＝3，
∴正方形GHMN的面积为9．
【点评】本题考查切线的性质，掌握切线的性质，二次函数的解析式是解题的关键．
23．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a，b，c是常数，a＞0）．
（1）求该函数图象的对称轴；
（2）当﹣2≤x≤3时，y的最大值和最小值的差为4，求a的值；
（3）已知点P（m，y1），Q（﹣3，y2）都在二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象上，若c＜y1＜y2，求m的取值范围．
【分析】（1）由对称轴是直线x，可求解；
（2）求出y的最大值和最小值，即可求解；
（3）根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征得到﹣3＜m＜0或﹣3＜4﹣m＜0，解不等式组即可．
【解答】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x2；
（2）∵a＞0，
∴二次函数y＝ax2﹣4ax+c图象开口向上，
∵对称轴为直线x＝2，
∴在﹣2≤x≤3内，
当x＝2时，y有最小值为y＝4a﹣8a+c＝﹣4a+c，
当x＝﹣2时，y有最大值为y＝4a+8a+c＝12a+c，
∵当﹣2≤x≤3时，y的最大值和最小值的差为4，
∴12a+c﹣（﹣4a+c）＝4．
∴a；
（3）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，与y轴的交点为（0，c），
∴（0，c）关于对称轴的对称点为（4，c），
∵点P（m，y1），Q（﹣3，y2）都在二次函数y＝ax2﹣4ax+c的图象上，且c＜y1＜y2，
∴﹣3＜m＜0或﹣3＜4﹣m＜0，
∴﹣3＜m＜0或4＜m＜7．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二函数的性质是解答此题的关键．
24．已知，如图①，AB是⊙O的直径，，点E是上一动点（点E与点C在直径AB的两侧，且点E不与A，B重合），连结BC，连结EC交AB于点F，连结ED分别交AB，BC于点G，H．
（1）求证：△CEH∽△CBF；
（2）试问：在点E在运动过程中，CF：DH的值会不会变？若不变，请求出它的比值；若会变，请说明理由；
（3）如图②，连结EA，EB，求证：．
【分析】（1）利用圆周角定理和相似三角形的判定定理解答即可；
（2）连接AC，BD，利用圆周角定理，相似三角形的判定与性质得到，再利用直角三角形的边角关系定理得到BC：BD，则结论可得；
（3）过点A作AM⊥EC于点M，过点B作BN⊥DE于点N，连接AC，BD，OE，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理得到EM＝AE cos30°AE，BN＝BE sin30°BE；利用全等三角形的判定与性质得到CM＝BN，将结论代入，化简即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，，
∴∠E＝∠B＝30°，
∵∠C＝∠C，
∴△CEH∽△CBF；
（2）解：在点E在运动过程中，CF：DH的值不会变，它的比值为，理由：
连接AC，BD，如图，
∵AB是⊙O的直径，，
∴∠ABC＝∠DBC＝30°，AC＝BD，
∵∠FCB＝∠D，
∴△BCF∽△BDH，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴tan∠ABC＝tan30°，
∴BC：BD，
∴CF：DH．
∴在点E在运动过程中，CF：DH的值不会变，它的比值为．
（3）证明：过点A作AM⊥EC于点M，过点B作BN⊥DE于点N，连接AC，BD，OE，如图，
∵AB是⊙O的直径，，
∴∠AEC＝∠DEB＝30°，AC＝BD，
∵AM⊥EC，BN⊥DE，
∴EM＝AE cos30°AE，BN＝BE sin30°BE．
∵∠ACEAOE，∠DBOE，∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠ACE+∠BDE＝90°，
∵∠MAC+∠ACE＝90°，
∴∠MAC＝∠D．
在△ACM和△DBN中，
，
∴△ACM≌△DBN（AAS），
∴CM＝BN，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
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