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2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题
1．若，则（ ）
A．3 B． C．6 D．
2．已知等比数列的公比不为1，且成等差数列，则数列的公比为（ ）
A． B． C． D．2
3．记等差数列的前项和为，则（ ）
A．140 B．150 C．160 D．170
4．若数列的前项和为，且满足，，，则的值为( )
A．0 B．3 C．4 D．5
5．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）
A．B．C． D．
6．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
8．已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下面结论正确的是( )
A． B．
C．与均为的最大值 D．满足的的最小值为14
10．记为数列的前项和．已知，则（ ）
A． B．数列为等比数列
C． D．
11．已知函数，对，使得成立．下列结论正确的是（ ）
A．，使得 B．函数的最小值为0
C．的取值范围为 D．过作的切线，有且只有一条
三、填空题
12．数列满足，则___________．
13．已知函数在处取得极小值，则___________．
14．已知函数，若对任意，且，都有恒成立，则实数的取值范围是________.
四、解答题
15．某影视数据平台对最近上映的电影《飞驰人生3》进行票房调研，记录了其上映后的累计票房情况．累计票房（单位：千万元）与上映天数（单位：天）的数据如下表所示：
上映天数 4 7 9 10 15
累计票房 20 40 60 80 100
(1)利用表中的数据，计算相关系数（结果精确到0.01），并推断两个变量的线性相关程度；
(2)求关于的经验回归方程，并预测上映40天时的累计票房（结果精确到0.01）．
参考公式：经验回归方程，其中，，相关系数．参考数据：，，，．
16．已知等差数列的前项和为，且．是正项等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
17．已知函数
(1)求函数的图象在点处的切线方程；
(2)求函数在区间的最大值和最小值；
(3)若曲线与直线有3个不同的交点，求实数的取值范围．
18．已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：；
(3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．
19．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，为的导函数.
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C C D C A ACD BC
题号 11
答案 ABD
1．B
借助导数定义计算即可得.
【详解】.
2．A
设等比数列的公比为，根据题意，列出方程，得到，即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，其中且，
因为成等差数列，可得，所以，
又因为，可得，解得或（舍去），
所以等比数列的公比为.
3．B
根据等差数列的性质，求得，得到，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】因为，可得，可得，
又因为，由等差数列的性质，可得，
所以.
4．C
根据题意，求得数列前7项的值，得到数列是周期为6的数列，结合前六项的和为0，即可求解.
【详解】方法一：
数列的前项和为，且满足，，，可得
，，，，
，，，
所以数列是周期为6的数列，其中，
所以. 故C选项正确.
方法二：
由可得，则数列前项和满足：
所以.
又因为，即.
所以数列是周期为6的数列，故. 故C选项正确.
5．C
【详解】由导数与单调性的关系判断即可．
由函数的图象可知：
当时，，，此时单调递增；
当时，，，此时单调递减；
当时，，，此时单调递减；
当时，，，此时单调递增．
6．D
根据题意及等差数列的片段和性质，设，从而求出，，进而即可得到答案．
【详解】由等差数列的片段和性质知，，，，···是等差数列，
由，不妨设，则，
所以，，，，···，依次为，，，，···，
所以，
所以．
7．C
根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
8．A
令，由题意可知：对任意恒成立，且，可得，解得，并代入检验即可.
【详解】令，则，
由题意可知：对任意恒成立，且，
可得，解得，
若，令，
则，
则在上递增，可得，
即对任意恒成立，
则在上递增，可得，
综上所述：符合题意，即实数的取值范围为.
故选：A.
9．ACD
【详解】A选项：因为，所以A正确；
B选项：因为，，所以，所以B错误；
C选项：因为，是一个递减等差数列，当时，，所以当时，，故与均为的最大值，故C选项正确；
D选项：因为，，所以，而，所以满足的的最小值为14,故D选项正确.
10．BC
令代入可得A；利用与关系，结合等比数列定义可得B；求出数列的通项公式后，代入计算即可得C；借助作差法即可得D.
【详解】对A：当时，，故，故A错误；
对B：当时，，
则 ，
即，即有，又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
对C：由B得：，故，
则，故C正确；
对D： ，故，故D错误.
11．ABD
A：通过求导利用函数的单调性来判断；
B：通过求导从而找出函数的最值；
C：通过将不等式转化为小于一个定值，在根据函数的性质进行求解；
D：通过求导得到切线方程，构建辅助函数，通过求辅助函数的零点来解答.
【详解】选项A：，求导可得，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
当时，，所以，使得，即A正确；
选项B：由A可知，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得最小值，即B正确；
选项C：由B可知，，由题意可知，，，使得，
等价于的最小值大于或等于的最小值，
对于函数，当时，，
因此无论取什么值，都，使得，所以的取值范围为，即C错误；
选项D：设切点坐标为，切线斜率为，
切线方程为，
因为切线经过，所以代入可得，
化简可得，
设函数，
求导可得，
因为当时，恒成立，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因为当时，取到极小值，
所以只有一个零点，即只有时，成立，
因此过点作的切线，有且只有一条，D正确.
12．21
【详解】试题分析：由可得，，
以上各式相加可得，
所以，所以．
考点：1累加法求数列通项公式；2等差数列的前项和．
13．1
求导，令，求出的值，再将的值代回中，再根据的符号判断在处是否取得极小值即可得到答案．
【详解】由，则，
又在处取得极小值，则，解得或，
当时，，
则若时，，此时单调递增；若时，，此时单调递减，
此时在处取得极大值，不满足条件；
当时，，
则若时，，此时单调递减；若时，，此时单调递增，
此时在处取得极小值，满足条件．
综上所述，．
14．
令，由题意可得函数在上单调递增，即在上恒成立，令，可化为，根据的单调性得到，令，求出的最小值即可求出答案.
【详解】可化为，
令，则不等式可化为，
所以函数在上单调递增，
，
所以在上恒成立，
令，则在上恒成立，
易知在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
令，，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，最小值为，
所以，
所以实数的取值范围是.
15．(1)，两个变量具有很强的线性相关程度
(2)，预测上映40天时的累计票房为千万元
（1）先计算，代入相关系数公式计算即可；
（2）先计算和，进而得经验回归方程，令，代入回归方程即可求解．
【详解】（1）由题意得，，，
，，，
则
，
所以两个变量具有很强的线性相关程度．
（2）由题意得，，
，
所以经验回归方程为，
令，得（千万元），
所以预测上映40天时的累计票房为千万元．
16．(1)，
(2)
（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程求解可得数列的通项公式，利用等比数列通项公式可得，
（2）利用等差数列和等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
所以；
，所以，又，所以．
（2）
17．(1)
(2)最大值为5，最小值为．
(3)
【详解】（1），求导可得，
当时，，，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即．
（2），
令，解得或，
当在区间上变化时，的变化情况如表所示：
0 2 3
-12 0 24
5 单调递减 单调递增
所以当时，在区间上取得最大值，
当时，在区间上取得最小值．
（3）由（2）可知，当时，，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在处取得极大值，
在处取得极小值，
因为当时，，当时，，
所以若曲线与直线有3个不同的交点，则需介于极大值和极小值之间，
因此的取值范围为.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
（1）由等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解，进而可得通项公式；
（2）设，求导，可得的单调性，进而可得结论；
（3）由题意需证，由（2）可得，利用放缩法与裂项相消法可证结论.
【详解】（1）设等差数列公差为成等比数列，则，
所以，解得或（舍去），所以；
（2）设，当时，单调递减，
，所以，由（1）可知，
则有，所以不等式恒立．
（3）因为，所以要证，
只需证：，
根据（2）可知，那么，
，
所以.
19．(1)答案见解析
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）函数的定义域为，，
①当时，，函数在单调递减；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上所述，当时，函数在单调递减；
当时，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）（i）若，由（1）知，至多有一个零点；
若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
因为当时，；
当时，，
所以函数有两个零点当且仅当.
设，函数在单调递增.
因为，的解集为.
综上所述，的取值范围是.
（ii）因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，，不等式恒成立；
当时，由得.
即证.
即证.
即证.
设，，由，
所以在单调递增.所以，故原不等式成立.
所以.

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