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第25课时　万有引力定律及应用
[学习目标]　1．理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2．掌握计算天体质量和密度的方法。3．初步了解相对论时空观。
开普勒三定律的理解和应用
定律 内容 图示或公式
开普勒第 一定律 (轨道 定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是____________，太阳处在________的一个焦点上
开普勒第 二定律 (面积定 律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的________相等
开普勒第 三定律 (周期 定律) 所有行星轨道的半长轴的________跟它的公转周期的________的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
山西陶寺遗址考古发现，早在四千年前陶寺先民通过观象台夯土墙间的12道缝隙，观测日月星辰，划分了节气。地球绕太阳运行的轨道如图所示，则地球在夏至时，判断下列说法的正误：
(1)夏至时离太阳越远，运行速率越大。 (　　)
(2)与太阳连线单位时间内扫过的面积与立夏时的相同。 (　　)
(3)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。 (　　)
[典例1]　(2025·云南卷)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王 星 海王 星
轨道半 径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星与地球的公转轨道之间
B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间
D．天王星与海王星的公转轨道之间
[典例2]　(2025·浙江杭州一模)如图所示，地球公转所处的四个位置A、B、C、D分别大致对应四个节气。夏至和冬至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，地球在相同时间内的路程分别为s1、s2且有s1A．太阳处于F1处
B．从春分到夏至的过程中地球做加速运动
C．在夏至和冬至时太阳对地球的引力之比为∶
D．根据题目和图中信息可以求出地球质量
归纳总结：(1)开普勒三定律除了适用于行星绕太阳的运动，同样适用于月球(人造卫星)绕地球的运动。
(2)如图所示，由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，即v1·Δtr1＝v2·Δtr2，解得＝，可知行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，则近日点的速度最大，远日点的速度最小。
(3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
万有引力定律
1．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成________，与它们之间距离r的二次方成________。
(2)表达式：F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，通常取G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
(3)适用条件
①公式适用于________间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是________间的距离。
2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：由mg＝G，得g＝。
(2)地球上空的重力加速度大小g'
地球上空距离地球中心r＝R＋h处由mg'＝，得g'＝。
(1)地球对人的万有引力大于人对地球的万有引力。 (　　)
(2)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。 (　　)
(3)两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。 (　　)
　对万有引力定律的理解和简单计算
[典例3]　(2024·全国甲卷)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是(　　)
A．在环月飞行时，样品所受合力为0
B．若将样品放置在月球背面，它对月球表面压力等于0
C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
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　重力和万有引力的关系
[典例4]　(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)将一质量为m的物体放在月球“赤道上”，受到的“重力”为mg0；而将该物体放在月球的“北极点”，物体受到的“重力”为mg。月球可视为质量分布均匀的球体，其半径为R，引力常量为G。则月球的(　　)
A．质量为
B．质量为
C．自转周期为2π
D．自转周期为2π
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归纳总结：万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G＝mg＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg。
中心天体质量及密度的计算
估算中心天体质量和密度的两种方法
1．“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg，得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝mr，得天体质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
注意：若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体的密度ρ＝。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
　利用“g、R”法计算中心天体的质量和密度
[典例5]　(2025·河北保定一模)某星球的半径约为地球半径的10倍，同一物体在该星球表面的重力约为在地球表面重力的3倍，不考虑自转的影响，则该星球质量约为地球质量的(　　)
A．10倍　 B．30倍
C．100倍　 D．300倍
　利用“T、r”法计算中心天体的质量和密度
[典例6]　(2025·湖南卷)我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为T0的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为T1。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到R＝h，M＝。下列选项中正确的是(　　)
A．a为T1，b为T0，c为T1
B．a为T1，b为T0，c为T0
C．a为T0，b为T1，c为T1
D．a为T0，b为T1，c为T0
拓展思考　根据[典例6]中的信息能否求出“天问二号”的质量 若能，请写出表达式。
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第25课时
考点1
椭圆　椭圆　面积　三次方　二次方　
情境辨析　(1)×　(2)√　(3)√
典例1　C　[由开普勒第三定律＝得R行＝R地，代入数据解得R行≈3.2 AU，结合题图表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间，C正确。]
典例2　C　[由于地球在相同时间内的路程分别为s1、s2且有s1考点2
1．(1)正比　反比　(3)质点　两球心　
判断正误　(1)×　(2)√　(3)×
典例3　D　[在环月飞行时，样品所受的合力提供向心力，不为0，A错误；若将样品放置在月球背面，根据牛顿第三定律可知，它对月球表面的压力等于月球对它的支持力，根据力的平衡条件可知，月球对它的支持力等于它在月球上的重力，不为0，故它对月球表面的压力不为0，B错误；质量是物体的固有属性，不会随受到的引力的变化而变化，C错误；由于月球表面重力加速度较地球表面的小，则样品在月球表面所受重力较在地球表面的小，结合B项分析可知，样品放置在月球背面时对月球的压力较其放在地球表面时对地球的压力小，D正确。]
典例4　AD　[在月球北极点时，物体受到的“重力”与万有引力大小相等，有mg＝G，解得M＝，故A正确，B错误；由于在月球赤道上该物体的“重力”为mg0，则有mg－mg0＝mR，解得月球自转的周期T＝2π，故C错误，D正确。故选AD。]
考点3
典例5　D　[设中心天体质量为M，在星球表面，万有引力近似等于重力，则有G＝mg，解得M＝，由于该星球表面重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，该星球的半径约为地球半径的10倍，则有＝＝300，即该星球质量约为地球质量的300倍。故选D。]
典例6　A　[由开普勒第三定律有＝，得R＝h，所以a＝T1，b＝T0，C、D错误；该卫星在该小行星表面附近做匀速圆周运动时，有＝mR，得M＝，故c为T1，A正确，B错误。]
拓展思考　不能
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第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行
第25课时　万有引力定律及应用
[学习目标]　1．理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2．掌握计算天体质量和密度的方法。3．初步了解相对论时空观。
考点1　开普勒三定律的理解和应用
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律 (轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在______的一个焦点上

椭圆
椭圆
定律 内容 图示或公式
开普勒第 二定律 (面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的______相等
开普勒第 三定律 (周期定律) 所有行星轨道的半长轴的________跟它的公转周期的________的比值都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
面积
三次方　
二次方　
山西陶寺遗址考古发现，早在四千年前陶寺先民通过观象台夯土墙间的12道缝隙，观测日月星辰，划分了节气。地球绕太阳运行的轨道如图所示，则地球在夏至时，判断下列说法的正误：
(1)夏至时离太阳越远，运行速率越大。 (　　)
(2)与太阳连线单位时间内扫过的面积与立夏时的相同。 (　　)
(3)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。 (　　)
×　
√　
√
[典例1]　(2025·云南卷)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　　)
A．金星与地球的公转轨道之间
B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间
D．天王星与海王星的公转轨道之间
√
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王 星 海王
星
轨道半径 R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
C　[由开普勒第三定律＝得R行＝R地，代入数据解得R行≈3.2 AU，结合题图表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间，C正确。]
[典例2]　(2025·浙江杭州一模)如图所示，地球公转所处的四个位置A、B、C、D分别大致对应四个节气。夏至和冬至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，地球在相同时间内的路程分别为s1、s2且有s1A．太阳处于F1处
B．从春分到夏至的过程中地球做加速运动
C．在夏至和冬至时太阳对地球的引力之比为∶
D．根据题目和图中信息可以求出地球质量
√
C　[由于地球在相同时间内的路程分别为s1、s2且有s1归纳总结：(1)开普勒三定律除了适用于行星绕太阳的运动，同样适用于月球(人造卫星)绕地球的运动。
(2)如图所示，由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，即v1·Δtr1＝v2·Δtr2，解得＝，可知行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，则近日点的速度最大，
远日点的速度最小。
(3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
【教师备选资源】
(人教版必修第二册习题改编)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道是一个非常扁的圆，如图所示。近日点与太阳中心的距离为r1，远日点到太阳的距离为r2，天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。下列说法正确的是(　　)
A．哈雷彗星椭圆轨道的半长轴约为地球公转轨道半径的倍
B．哈雷彗星椭圆轨道的半长轴约为地球公转轨道半径的倍
C．哈雷彗星在近日点运动的速率v1与在远日点运动的速率v2之比为1∶1
D．哈雷彗星在近日点运动的速率v1与在远日点运动的速率v2之比为r1∶r2
√
A　[地球绕太阳公转的周期为1年，哈雷彗星的周期约为2061年－1986年＝75年，根据开普勒第三定律得＝，解得＝＝＝，故A正确，B错误；根据开普勒第二定律，取时间微元Δt，结合扇形面积公式S＝·r，可知v1·Δtr1＝v2·Δtr2，解得＝，故C、D错误。]
1．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成______，与它们之间距离r的二次方成______。
(2)表达式：F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，通常取G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
(3)适用条件
①公式适用于______间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是________间的距离。
考点2　万有引力定律
正比
反比
质点
两球心　
2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：由mg＝G，得g＝。
(2)地球上空的重力加速度大小g'
地球上空距离地球中心r＝R＋h处由mg'＝，得g'＝。
(1)地球对人的万有引力大于人对地球的万有引力。 (　　)
(2)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。 (　　)
(3)两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。 (　　)
×　
√　
×
角度1　对万有引力定律的理解和简单计算
[典例3]　(2024·全国甲卷)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的。下列说法正确的是(　　)
A．在环月飞行时，样品所受合力为0
B．若将样品放置在月球背面，它对月球表面压力等于0
C．样品在不同过程中受到的引力不同，所以质量也不同
D．样品放置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面时对地球的压力小
√
D　[在环月飞行时，样品所受的合力提供向心力，不为0，A错误；若将样品放置在月球背面，根据牛顿第三定律可知，它对月球表面的压力等于月球对它的支持力，根据力的平衡条件可知，月球对它的支持力等于它在月球上的重力，不为0，故它对月球表面的压力不为0，B错误；质量是物体的固有属性，不会随受到的引力的变化而变化，C错误；由于月球表面重力加速度较地球表面的小，则样品在月球表面所受重力较在地球表面的小，结合B项分析可知，样品放置在月球背面时对月球的压力较其放在地球表面时对地球的压力小，D正确。]
角度2　重力和万有引力的关系
[典例4]　(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)将一质量为m的物体放在月球“赤道上”，受到的“重力”为mg0；而将该物体放在月球的“北极点”，物体受到的“重力”为mg。月球可视为质量分布均匀的球体，其半径为R，引力常量为G。则月球的(　　)
A．质量为 B．质量为
C．自转周期为2π D．自转周期为2π
√
√
AD　[在月球北极点时，物体受到的“重力”与万有引力大小相等，有mg＝G，解得M＝，故A正确，B错误；由于在月球赤道上该物体的“重力”为mg0，则有mg－mg0＝mR，解得月球自转的周期T＝2π，故C错误，D正确。故选AD。]
归纳总结：万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：G ＝mg＋mω2R。
(2)在两极上：G ＝mg。
【教师备选资源】
(2025·江苏南通市开学考)如图所示，一半径为R、质量均匀分布的球体，从中挖去直径为R的球体，虚线过两球的球心，一质点分别位于图中的1、2、3点时，受到的万有引力分别为F1、F2、F3，则有(　　)

A．F1C．F1＝F2＝F3　　　 D．F1＝F2√
D　[设球体的密度为ρ，则没有挖去小球体前的质量为M＝ρ·πR3，被挖去的小球体质量为M'＝ρ·π＝M，设质点的质量为m，根据万有引力定律可得F1＝－＝，F3＝－＝，采用填补法，可知剩余部分对质点在位置“2”的万有引力大小等于挖掉的部分对质点在位置“2”的万有引力大小，即F2＝＝，则有F1＝F2考点3　中心天体质量及密度的计算
估算中心天体质量和密度的两种方法
1．“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G ＝mg，得天体质量M＝。
(2)天体密度ρ＝＝＝。
2．“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G ＝mr，得天体质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
注意： 若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体的密度ρ＝。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
角度1　利用“g、R”法计算中心天体的质量和密度
[典例5]　(2025·河北保定一模)某星球的半径约为地球半径的10倍，同一物体在该星球表面的重力约为在地球表面重力的3倍，不考虑自转的影响，则该星球质量约为地球质量的(　　)
A．10倍　 B．30倍
C．100倍　 D．300倍
√
D　[设中心天体质量为M，在星球表面，万有引力近似等于重力，则有G＝mg，解得M＝，由于该星球表面重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，该星球的半径约为地球半径的10倍，则有＝＝300，即该星球质量约为地球质量的300倍。故选D。]
角度2　利用“T、r”法计算中心天体的质量和密度
[典例6]　(2025·湖南卷)我国研制的“天问二号”探测器，任务是对伴地小行星及彗星交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案，通过释放卫星绕小行星进行圆周运动，可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为T0的小行星，卫星先在其同步轨道上运行，测得距离小行星表面高度为h，接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周运动，测得周期为T1。已知引力常量为G，不考虑其他天体对卫星的引力，可根据以上物理量得到R＝h，M＝。下列选项中正确的是(　　)
A．a为T1，b为T0，c为T1 B．a为T1，b为T0，c为T0
C．a为T0，b为T1，c为T1 D．a为T0，b为T1，c为T0
√
A　[由开普勒第三定律有＝，得R＝h，所以a＝T1，b＝T0，C、D错误；该卫星在该小行星表面附近做匀速圆周运动时，有＝mR，得M＝，故c为T1，A正确，B错误。]
拓展思考　根据[典例6]中的信息能否求出“天问二号”的质量 若能，请写出表达式。
[答案]　不能
课时作业(二十五)　万有引力定律及应用
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
1．(2024·广西卷)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(　　)
A．a处最大　 B．b处最大
C．c处最大　 D．a、c处相等，b处最小
√
A　[根据万有引力公式F＝G，可知题图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，故选A。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
2．(人教版必修第二册习题改编)一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H，若已知地球表面重力加速度大小为g，地球半径为R。则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
C　[忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力，则在地球表面，有＝mg，在离地面的高度为H处，有＝mg'，解得g'＝，选项C正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
3．(2025·陕晋青宁卷)我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3 750 km，轨道周期约2 h，引力常量G取6.67×10-11 N·m2/kg2。根据以上数据可推算出火星的(　　)
A．质量　 B．体积
C．逃逸速度　 D．自转周期
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
A　[轨道器环绕火星做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力有＝mr，解得M＝，由题中条件可知火星的质量M可推算出，A正确；火星的半径未知，由球的体积公式V＝πR3可知火星的体积无法推算出，B错误；对于在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的行星，由万有引力提供向心力有＝m'，解得火星的第一宇宙速度为v＝，则火星的逃逸速度(第二宇宙速度)v逃＝v＝，由于火星的半径未知，所以火星的逃逸速度无法推算出，C错误；自转周期与已知量无关，所以无法推算出自转周期，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
4．(2024·新课标卷)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ 1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　)
A．0.001　B．0.1　C．10倍　D．1 000倍
√
B　[由＝mr可得M＝，故＝＝≈0.1，B正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
5．(2024·海南卷)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A．　B．　C．　D．
√
D　[由万有引力提供向心力有＝m(R＋h)，密度ρ＝，月球体积V＝πR3，已知h∶R＝k，联立解得ρ＝，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
6．(多选)(2025·安徽卷)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，运行周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则(　　)
A．r＝　 B．r＝＋R
C．M＝　 D．M＝
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
BC　[根据开普勒第三定律可知，卫星甲在环月椭圆轨道上运行的半长轴等于卫星乙在环月圆轨道上运行的半径，则有2r＝a＋b＋2R，解得r＝，A错误，B正确；对卫星乙，根据万有引力提供向心力有G＝mr，解得M＝，C正确，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
7．在万有引力定律建立的过程中，“月—地检验”证明了维持月球绕地球运动的力与地球对苹果的力是同一种力。完成“月—地检验”必须知道下列哪组物理量(　　)
A．月球和地球的质量、引力常量G和月球公转周期
B．月球和地球的质量、月球公转周期和地球表面重力加速度
C．地球半径和“月—地”中心距离、引力常量G和月球公转周期
D．地球半径和“月—地”中心距离、月球公转周期和地球表面重力加速度g
√
题号
1
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D　[设月球的转动半径为r，对月球绕地球转动，根据万有引力提供向心力得G＝mr，对苹果有G＝m0g，联立解得＝gR2，若要证明两力为同一种力，由上式可知，需要知道地球半径R、“月—地”中心距离r、月球公转周期T、地球表面重力加速度g，故D正确，A、B、C错误。故选D。]
题号
1
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8．(2025·江西南昌一模)我国“天问一号”成功探测火星。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的。若在火星和地球表面让小球做自由落体运动，从相同高度下落，小球在火星上的落地时间与在地球上的落地时间之比约为(　　)
A．　B．　C．　D．
√
D　[根据G＝mg，可得＝＝×22＝，根据h＝gt2，可得t＝，则＝＝，故选D。]
题号
1
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9．卫星通信系统由卫星和地球站两部分组成，卫星通信具有通信范围大、可靠性高等优点。已知地球自转周期为T，卫星高度与地球半径相等，北极地面的重力加速度大小为g，赤道地面的重力加速度大小为g1，引力常量为G，则地球的质量为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
√
题号
1
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B　[赤道处有向心加速度，则赤道的重力加速度小于两极的重力加速度，有g－g1＝R，解得地球半径R＝，又＝mg，解得地球质量M＝。故选B。]
题号
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10．如图所示，在一半径为R、质量分布均匀的大球内部挖去一半径为的小球，两球相切于P点，O1、O2分别是大球和小球的球心。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为0，大球密度为ρ，引力常量为G。现将一质量为m的物体N(可视为质点)置于O1处，则大球剩余部分对N的万有引力大小为(　　)
A．πρGmR　 B．πρGmR
C．πρGmR　 D．πρGmR
√
题号
1
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B　[物体N受到的大球剩余部分的引力为大球对物体N的引力减去小球对物体N的引力，未挖去前，大球对物体N引力为0，所以大球剩余部分对N的引力大小等于小球对物体N的引力大小，根据万有引力定律可得F＝G，m'＝ρ·π，联立可得F＝πρGmR。故选B。]
题号
1
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11．(2025·河北唐山模拟)假设月球表面下存在一条贯穿月球球心的熔岩管隧道，隧道的两端开口，内部为真空，长度为月球直径，航天员在隧道内进行重力加速度的测量。已知月球质量为地球质量的，月球半径约为地球半径的，地球表面的重力加速度为g。假设月球为质量分布均匀的球体，且质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为0，忽略月球自转的影响。则(　　)
A．月球表面的重力加速度约为g
B．可以在隧道内找到一个位置，其重力加速度等于地球重力加速度
C．隧道内某处的重力加速度与该处到月球球心的距离成正比
D．距月球表面高为h处的重力加速度与该处到月球球心的距离成正比
√
题号
1
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C　[由＝mg，可得g＝，则有g月＝g＝g，故A错误；质量分布均匀的球壳对球壳内部任意位置质点的万有引力都为0，则隧道内任一点(到球心的距离为r)的重力加速度为g'＝＝＝，可知g'与r成正比，则隧道内任一位置的重力加速度均小于g，故B错误，C正确；距月球表面高为h处，由＝mg″，可得g″＝，可知距月球表面高为h处的重力加速度g″与(R＋h)2成反比，故D错误。故选C。]
谢谢！课时作业(二十五)　万有引力定律及应用
说明：单选题每小题4分；多选题每小题6分；本试卷共46分。
1．(2024·广西卷)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(　　)
A．a处最大　 B．b处最大
C．c处最大　 D．a、c处相等，b处最小
2．(人教版必修第二册习题改编)一飞船围绕地球做匀速圆周运动，其离地面的高度为H，若已知地球表面重力加速度大小为g，地球半径为R。则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
3．(2025·陕晋青宁卷)我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3 750 km，轨道周期约2 h，引力常量G取6.67×10-11 N·m2/kg2。根据以上数据可推算出火星的(　　)
A．质量　 B．体积
C．逃逸速度　 D．自转周期
4．(2024·新课标卷)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ 1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　)
A．0.001　 B．0.1
C．10倍　 D．1 000倍
5．(2024·海南卷)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
6．(多选)(2025·安徽卷)2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，进行周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则(　　)
A．r＝　 B．r＝＋R
C．M＝　 D．M＝
7．在万有引力定律建立的过程中，“月—地检验”证明了维持月球绕地球运动的力与地球对苹果的力是同一种力。完成“月—地检验”必须知道下列哪组物理量(　　)
A．月球和地球的质量、引力常量G和月球公转周期
B．月球和地球的质量、月球公转周期和地球表面重力加速度
C．地球半径和“月—地”中心距离、引力常量G和月球公转周期
D．地球半径和“月—地”中心距离、月球公转周期和地球表面重力加速度g
8．(2025·江西南昌一模)我国“天问一号”成功探测火星。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的。若在火星和地球表面让小球做自由落体运动，从相同高度下落，小球在火星上的落地时间与在地球上的落地时间之比约为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
9．卫星通信系统由卫星和地球站两部分组成，卫星通信具有通信范围大、可靠性高等优点。已知地球自转周期为T，卫星高度与地球半径相等，北极地面的重力加速度大小为g，赤道地面的重力加速度大小为g1，引力常量为G，则地球的质量为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
10．如图所示，在一半径为R、质量分布均匀的大球内部挖去一半径为的小球，两球相切于P点，O1、O2分别是大球和小球的球心。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为0，大球密度为ρ，引力常量为G。现将一质量为m的物体N(可视为质点)置于O1处，则大球剩余部分对N的万有引力大小为(　　)
A．πρGmR　 B．πρGmR
C．πρGmR　 D．πρGmR
11．(2025·河北唐山模拟)假设月球表面下存在一条贯穿月球球心的熔岩管隧道，隧道的两端开口，内部为真空，长度为月球直径，航天员在隧道内进行重力加速度的测量。已知月球质量为地球质量的，月球半径约为地球半径的，地球表面的重力加速度为g。假设月球为质量分布均匀的球体，且质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为0，忽略月球自转的影响。则(　　)
A．月球表面的重力加速度约为g
B．可以在隧道内找到一个位置，其重力加速度等于地球重力加速度
C．隧道内某处的重力加速度与该处到月球球心的距离成正比
D．距月球表面高为h处的重力加速度与该处到月球球心的距离成正比
课时作业(二十五)
1．A　[根据万有引力公式F＝G，可知题图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大，故选A。]
2．C　[忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力，则在地球表面，有＝mg，在离地面的高度为H处，有＝mg'，解得g'＝，选项C正确。]
3．A　[轨道器环绕火星做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力有＝mr，解得M＝，由题中条件可知火星的质量M可推算出，A正确；火星的半径未知，由球的体积公式V＝πR3可知火星的体积无法推算出，B错误；对于在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的行星，由万有引力提供向心力有＝m'，解得火星的第一宇宙速度为v＝，则火星的逃逸速度(第二宇宙速度)v逃＝v＝，由于火星的半径未知，所以火星的逃逸速度无法推算出，C错误；自转周期与已知量无关，所以无法推算出自转周期，D错误。]
4．B　[由＝mr可得M＝，故＝＝≈0.1，B正确。]
5．D　[由万有引力提供向心力有＝m(R＋h)，密度ρ＝，月球体积V＝πR3，已知h∶R＝k，联立解得ρ＝，D正确。]
6．BC　[根据开普勒第三定律可知，卫星甲在环月椭圆轨道上运行的半长轴等于卫星乙在环月圆轨道上运行的半径，则有2r＝a＋b＋2R，解得r＝，A错误，B正确；对卫星乙，根据万有引力提供向心力有G＝mr，解得M＝，C正确，D错误。]
7．D　[设月球的转动半径为r，对月球绕地球转动，根据万有引力提供向心力得G＝mr，对苹果有G＝m0g，联立解得＝gR2，若要证明两力为同一种力，由上式可知，需要知道地球半径R、“月—地”中心距离r、月球公转周期T、地球表面重力加速度g，故D正确，A、B、C错误。故选D。]
8．D　[根据G＝mg，可得＝＝×22＝，根据h＝gt2，可得t＝，则＝＝，故选D。]
9．B　[赤道处有向心加速度，则赤道的重力加速度小于两极的重力加速度，有g－g1＝R，解得地球半径R＝，又＝mg，解得地球质量M＝。故选B。]
10．B　[物体N受到的大球剩余部分的引力为大球对物体N的引力减去小球对物体N的引力，未挖去前，大球对物体N引力为0，所以大球剩余部分对N的引力大小等于小球对物体N的引力大小，根据万有引力定律可得F＝G，m'＝ρ·π，联立可得F＝πρGmR。故选B。]
11．C　[由＝mg，可得g＝，则有g月＝g＝g，故A错误；质量分布均匀的球壳对球壳内部任意位置质点的万有引力都为0，则隧道内任一点(到球心的距离为r)的重力加速度为g'＝＝＝，可知g'与r成正比，则隧道内任一位置的重力加速度均小于g，故B错误，C正确；距月球表面高为h处，由＝mg″，可得g″＝，可知距月球表面高为h处的重力加速度g″与(R＋h)2成反比，故D错误。故选C。]
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