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第26课时　人造卫星　宇宙速度　相对论时空观
[学习目标]　1．会比较卫星运行的各物理量之间的关系。2．理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。3．初步了解相对论时空观。
人造卫星
1．人造卫星轨道及特点
(1)轨道：赤道轨道、极地轨道及其他轨道，如图所示。
(2)轨道特点：轨道的圆心是地球的________。
2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
规律
3．常见的几种人造卫星
(1)地球同步卫星：离地高度约36 000 km，周期与________________，即T＝________。
(2)静止卫星：地球同步卫星中轨道平面与______________共面，且与地球自转方向相同的卫星。
(3)极地卫星：运行时每圈都经过南北两极。由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(4)近地卫星：轨道在________附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大环绕速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)。
　巡天号距地表400 km，哈勃号距地表550 km。
判断下列说法的正误：
(1)巡天号的角速度比哈勃号的小。 (　　)
(2)巡天号的线速度比哈勃号的小。 (　　)
(3)巡天号的周期比哈勃号的小。 (　　)
(4)巡天号的加速度比哈勃号的大。 (　　)
[典例1]　(2025·湖北卷)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是(　　)
A．甲运动的周期比乙的小
B．甲运动的线速度比乙的小
C．甲运动的角速度比乙的小
D．甲运动的向心加速度比乙的小
[典例2]　(2025·重庆卷)“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的(　　)
A．轨道半径之比为
B．周期之比为
C．线速度大小之比为
D．向心加速度大小之比为
方法技巧：利用万有引力定律解决卫星运动的技巧
(1)一个模型：天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G＝ma。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、天体表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换公式”。
宇宙速度
1．第一宇宙速度(环绕速度)：指人造卫星近地环绕速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，是人造卫星的________发射速度，也是________的环绕速度，其大小为v1＝________ km/s。
2．第二宇宙速度(逃逸速度)：在地面上发射飞行器，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度，其大小为v2＝________ km/s。
3．第三宇宙速度：在地面上发射飞行器，使之能够脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，其大小为v3＝________ km/s。
(1)第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。 (　　)
(2)由地球的第一宇宙速度公式v1＝可知其大小与地球质量无关。 (　　)
(3)若物体的发射速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，则物体绕地球做椭圆运行。 (　　)
(4)若卫星发射速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则卫星可绕太阳运行。 (　　)
【思考】　试推导地球第一宇宙速度 (已知地球质量为M，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，其中M＝5.98×1024 kg，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，R＝6.4×103 km，g取9.8 m/s2)
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
[典例3]　(多选)2025年10月3日，我国天问一号环绕器利用高分辨率相机拍摄到阿特拉斯。阿特拉斯沿双曲线轨道穿越太阳系，与火星轨道的关系如图所示。设火星轨道为圆形，轨道半径为r0，两轨道在同一平面上，两轨道交点为a、c，阿特拉斯的近日点b到太阳的距离为r。设太阳质量为M，阿特拉斯质量为m，在a处时速度为v。太阳和阿特拉斯间的引力势能公式为Ep＝－G(规定无限远处引力势能为0，G为引力常量，r'为太阳与阿特拉斯的距离)。忽略火星与阿特拉斯之间的万有引力，下列说法正确的是(　　)
A．阿特拉斯飞出太阳系后隔一段时间又会飞回太阳系
B．阿特拉斯在b处的加速度为a＝G
C．阿特拉斯在b处的速度为vb＝
D．阿特拉斯在b处的速度大于火星的环绕速度
[典例4]　(2025·甘肃卷)如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A．若v＝，小星球做匀速圆周运动
B．若C．若v＝，小星球做椭圆运动
D．若v>，小星球可能与恒星相撞
[典例5]　(多选)(2024·湖南卷)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(　　)
A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
归纳总结：宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星将克服地球的引力，永远离开地球。
(4)v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
地球近地卫星、静止卫星和赤道上物体的比较
近地卫星、静止卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，运动半径为r1；b为静止卫星，运动半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，运动半径为r3。
项目 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 静止卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)
向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道 半径 r2>r1＝r3
角速度 由G＝mω2r得ω＝，故ω1>ω2 静止卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω2＝ω3
ω1>ω2＝ω3
线速度 由G＝m得v＝，故v1>v2 由v＝rω得v2>v3
v1>v2>v3
向心加 速度 由G＝ma得a＝，故a1>a2 由a＝ω2r得a2>a3
a1>a2>a3
注意：忌用“越高越慢”结论比较地面上的物体和地球卫星的运动参量，因为“越高越慢”的结论适用于万有引力全部充当向心力使卫星做匀速圆周运动的情形，而地面上的物体随地球转动，充当向心力的仅是万有引力的一个分力。同样的，若地球卫星是在地球引力和其他星体或飞行器引力共同作用下的匀速圆周运动，此结论也不能直接套用。
(1)近地卫星角速度等于静止卫星的角速度。 (　　)
(2)赤道上的物体的线速度大小与近地卫星的线速度大小相等。 (　　)
　同步卫星的特点
[典例6]　(多选)(2025·广东清远模拟)关于地球同步卫星下列说法正确的是(　　)
A．地球同步卫星周期和地球自转周期相同，因此同步卫星的高度和线速度大小是一定的
B．地球同步卫星的角速度虽被确定，但高度和速度可以选择，高度增加，速度增大，高度降低，速度减小
C．地球同步卫星只能定点在赤道上空，相对地面静止不动
D．平行于赤道也能发射地球同步卫星
　近地卫星、静止卫星及赤道上物体的比较
[典例7]　(多选)(2025·福建厦门一模)如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。下列关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是(　　)
A．a、b、c三物体，都仅由万有引力提供向心力
B．周期关系为Ta＝Tc>Tb
C．线速度的大小关系为vaD．向心加速度的大小关系为ab>ac>aa
相对论时空观
1．狭义相对论的两个基本假设
(1)狭义相对性原理：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是________的。
(2)光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是________的，光速和光源、观测者间的相对运动没有关系。
2．时间延缓效应
如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，则有Δt＝。
3．长度收缩效应
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝________________。
[典例8]　(多选)一枚火箭静止于地面时长为30 m，两个完全相同的时钟分别放在火箭内和地面上。火箭以速度v飞行，光速为c，下列判断正确的是(　　)
A．若v＝0.5c，火箭上的观察者测得火箭的长度仍为30 m
B．若v＝0.5c，地面上的观察者测得火箭的长度仍为30 m
C．若v＝0.5c，火箭上的观察者认为地面上的时钟走得快
D．若v＝0.5c，地面上的观察者认为火箭上的时钟走得慢
第26课时
考点1
1．(2)球心
3．(1)地球自转周期相同　24 h　(2)赤道平面　(4)地球表面
情境辨析　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
典例1　A　[由T＝可知，行星的轨道半径越大，周期越长，A正确；由v＝可知，轨道半径越大，线速度越小，B错误；根据ω＝可知，行星的轨道半径越大，角速度越小，C错误；根据a＝可知，行星的轨道半径越大，向心加速度越小，D错误。]
典例2　D　[太阳直径远小于金星的轨道半径，太阳直径忽略不计，根据题意结合几何知识可知地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为＝，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝mr＝m＝ma，解得T＝，v＝，a＝，故可得周期之比为＝，线速度大小之比为＝，向心加速度大小之比为＝，故B、C错误，D正确]
考点2
1．最小　最大　7.9
2．11.2　
3．16.7
判断正误　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
思考　答案：方法一：由G＝m得
v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s。
方法二：由mg＝m得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s。
典例3　BCD　[由题意可知，阿特拉斯沿双曲线轨道穿越太阳系，则其远离太阳系后不会回归，A错误；阿特拉斯在b点受太阳的万有引力，有G＝ma，可得a＝G，B正确；阿特拉斯从a到b过程系统机械能守恒，有mv2－G＝m－G，可得vb＝，C正确；若某天体绕太阳做圆周运动的轨道半径为r1，轨道恰与阿特拉斯轨道在b处相切，阿特拉斯经过圆周上的b点时做离心运动，所以其在b点的速度大于这个天体的速度，因这个天体的轨道半径小于火星的轨道半径，由v1＝可知，该天体的速度大于火星的环绕速度，所以阿特拉斯在b处的速度大于火星的环绕速度，D正确。]
典例4　A　[根据题意，由万有引力提供向心力有＝m，解得v＝，可知，若v＝，小星球做匀速圆周运动，故A正确；结合A项分析可知，若，小星球将脱离恒星引力束缚，做双曲线运动，不可能与恒星相撞，故D错误。故选A。]
典例5　BD　[地球上的第一宇宙速度等于卫星在近地轨道的环绕速度，根据万有引力定律知＝m，结合mg＝得第一宇宙速度v＝，又g月＝g地，R月＝R地，可知返回舱相对月球的速度小于地球上的第一宇宙速度，选项A错误，B正确；根据万有引力定律知，在近地(月)轨道上有＝mR，又GM＝gR2，得T＝，可得＝·＝，可知选项C错误，D正确。]
考点3
判断正误　(1)×　(2)×
典例6　AD　[根据万有引力提供向心力，有＝m(R＋h)，其中R为地球半径，h为同步卫星离地面的高度，由于同步卫星的周期与地球自转周期相同，即T为一定值，根据上面等式可知，同步卫星离地面的高度h也为一定值，则轨道半径一定，根据v＝可知，线速度的大小也一定，故A正确；同步卫星的周期与地球自转周期相同，结合上述可知，高度与线速度大小均为定值，故B错误；地球同步卫星只需要周期与地球自转周期相等，其可以在除赤道所在平面外的平面，而静止卫星相对于地球静止不动，即静止卫星一定与赤道共面，故C错误；理论上可在地球任何地方发射卫星，卫星可通过变轨到达指定轨道，故D正确。故选AD。]
典例7　BD　[b、c围绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，a为地球赤道上的物体，由万有引力和地面的支持力的合力提供向心力，故A错误；c为地球同步卫星，a为地球赤道上的物体，两者的周期与地球自转周期相等，对于b、c，根据开普勒第三定律，可得＝k，由题图可知rbTb，故B正确；根据v＝ωr，a、c角速度相等，a的轨道半径比c的小，可得vaaa，对于b、c，根据牛顿第二定律可得G＝ma，解得a＝G，由于c的轨道半径大于b的轨道半径，则c的加速度小于b的加速度，所以有ab>ac>aa，故D正确。故选BD。]
考点4
1．(1)相同　(2)相同
3．l0
典例8　AD　[一枚静止时长30 m的火箭以0.5c的速度飞行，根据相对论时空观得，火箭上的人测得火箭的长度为30 m，故A正确；根据l＝l0得，地面上的观察者测得火箭的长度l≈26 m，故B错误；根据时间延缓效应，运动的钟比静止的钟走得慢，而且运动速度越大，钟走得越慢，同时运动是相对的，火箭相对于地面上的人是运动的，地面上的人相对于火箭也是运动的，所以若v＝0.5c，火箭上的观察者认为地面上的时钟走得慢，地面上的观察者认为火箭上的时钟走得慢，故C错误，D正确。]
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第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行
第26课时　人造卫星　宇宙速度　相对论时空观
[学习目标]　1．会比较卫星运行的各物理量之间的关系。2．理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。3．初步了解相对论时空观。
考点1　人造卫星
1．人造卫星轨道及特点
(1)轨道：赤道轨道、极地轨道及其他轨道，如图所示。
(2)轨道特点：轨道的圆心是地球的______。
球心
2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
规律
3．常见的几种人造卫星
(1)地球同步卫星：离地高度约36 000 km，周期与__________________，即T＝______。
(2)静止卫星：地球同步卫星中轨道平面与__________共面，且与地球自转方向相同的卫星。
(3)极地卫星：运行时每圈都经过南北两极。由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(4)近地卫星：轨道在__________附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大环绕速度)，T＝85 min(人造地球卫星的最小周期)。
地球自转周期相同　
24 h　
赤道平面　
地球表面
巡天号距地表400 km，哈勃号距地表550 km。
判断下列说法的正误：
(1)巡天号的角速度比哈勃号的小。 (　　)
(2)巡天号的线速度比哈勃号的小。 (　　)
(3)巡天号的周期比哈勃号的小。 (　　)
(4)巡天号的加速度比哈勃号的大。 (　　)
×　
×　
√　
√
[典例1]　(2025·湖北卷)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是(　　)
A．甲运动的周期比乙的小
B．甲运动的线速度比乙的小
C．甲运动的角速度比乙的小
D．甲运动的向心加速度比乙的小
√
A　[由T＝可知，行星的轨道半径越大，周期越长，A正确；由v＝可知，轨道半径越大，线速度越小，B错误；根据ω＝可知，行星的轨道半径越大，角速度越小，C错误；根据a＝可知，行星的轨道半径越大，向心加速度越小，D错误。]
[典例2]　(2025·重庆卷)“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的(　　)
A．轨道半径之比为
B．周期之比为
C．线速度大小之比为
D．向心加速度大小之比为
√
D　[太阳直径远小于金星的轨道半径，太阳直径忽略不计，根据题意结合几何知识可知地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为＝，故A错误；根据万有引力提供向心力有＝mr＝m＝ma，解得T＝，v＝，a＝，故可得周期之比为＝，线速度大小之比为＝，向心加速度大小之比为＝，故B、C错误，D正确]
方法技巧：利用万有引力定律解决卫星运动的技巧
(1)一个模型：天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G＝ma。
②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、天体表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换公式”。
1．第一宇宙速度(环绕速度)：指人造卫星近地环绕速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，是人造卫星的______发射速度，也是______的环绕速度，其大小为v1＝______ km/s。
2．第二宇宙速度(逃逸速度)：在地面上发射飞行器，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造行星或飞到其他行星上去所必需的最小发射速度，其大小为v2＝_______ km/s。
3．第三宇宙速度：在地面上发射飞行器，使之能够脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，其大小为v3＝______ km/s。
考点2　宇宙速度
最小
最大
7.9
11.2　
16.7
(1)第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。 (　　)
(2)由地球的第一宇宙速度公式v1＝可知其大小与地球质量无关。 (　　)
(3)若物体的发射速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，则物体绕地球做椭圆运行。 (　　)
(4)若卫星发射速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则卫星可绕太阳运行。 (　　)
×　
×　
√　
√
【思考】　试推导地球第一宇宙速度 (已知地球质量为M，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，其中M＝5.98×1024 kg，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2，R＝6.4×103 km，g取9.8 m/s2)
[答案]　方法一：由G＝m得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s。
方法二：由mg＝m得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s。
[典例3]　(多选)2025年10月3日，我国天问一号环绕器利用高分辨率相机拍摄到阿特拉斯。阿特拉斯沿双曲线轨道穿越太阳系，与火星轨道的关系如图所示。设火星轨道为圆形，轨道半径为r0，两轨道在同一平面上，两轨道交点为a、c，阿特拉斯的近日点b到太阳的距离为r。设太阳质量为M，阿特拉斯质量为m，在a处时速度为v。太阳和阿特拉斯间的引力势能公式为Ep＝－G(规定无限远处引力势能为0，G为引力常量，r'为太阳与阿特拉斯的距离)。忽略火星与阿特拉斯之间的万有引力，下列说法正确的是(　　)
A．阿特拉斯飞出太阳系后隔一段时间又会飞回太阳系
B．阿特拉斯在b处的加速度为a＝G
C．阿特拉斯在b处的速度为vb＝
D．阿特拉斯在b处的速度大于火星的环绕速度
√
√
√
BCD　[由题意可知，阿特拉斯沿双曲线轨道穿越太阳系，则其远离太阳系后不会回归，A错误；阿特拉斯在b点受太阳的万有引力，有G＝ma，可得a＝G，B正确；阿特拉斯从a到b过程系统机械能守恒，有mv2－G＝m－G，可得vb＝，C正确；若某天体绕太阳做圆周运动的轨道半径为r1，轨道恰与阿特拉斯轨道在b处相切，阿特拉斯经过圆周上的b点时做离心运动，所以其在b点的速度大于这个天体的速度，因这个天体的轨道半径小于火星的轨道半径，由v1＝可知，该天体的速度大于火星的环绕速度，所以阿特拉斯在b处的速度大于火星的环绕速度，D正确。]
[典例4]　(2025·甘肃卷)如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A．若v＝，小星球做匀速圆周运动
B．若C．若v＝，小星球做椭圆运动
D．若v>，小星球可能与恒星相撞
√
A　[根据题意，由万有引力提供向心力有＝m，解得v＝，可知，若v＝，小星球做匀速圆周运动，故A正确；结合A项分析可知，若，小星球将脱离恒星引力束缚，做双曲线运动，不可能与恒星相撞，故D错误。故选A。]
[典例5]　(多选)(2024·湖南卷)2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是(　　)
A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
√
√
BD　[地球上的第一宇宙速度等于卫星在近地轨道的环绕速度，根据万有引力定律知＝m，结合mg＝得第一宇宙速度v＝，又g月＝g地，R月＝R地，可知返回舱相对月球的速度小于地球上的第一宇宙速度，选项A错误，B正确；根据万有引力定律知，在近地(月)轨道上有＝mR，又GM＝gR2，得T＝，可得＝＝，可知选项C错误，D正确。]
归纳总结：宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星将克服地球的引力，永远离开地球。
(4)v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
考点3　地球近地卫星、静止卫星和赤道上物体的比较
近地卫星、静止卫星及赤道上物体的比较
如图所示，a为近地卫星，运动半径为r1；b为静止卫星，运动半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，运动半径为r3。
项目 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 静止卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)
向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道 半径 r2>r1＝r3 项目 近地卫星(r1、ω1、v1、 a1) 静止卫星(r2、 ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)
角速度 静止卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω2＝ω3
ω1>ω2＝ω3 项目 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 静止卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 线速度 由v＝rω得v2>v3 v1>v2>v3 向心加 速度 由a＝ω2r得a2>a3
a1>a2>a3 注意：忌用“越高越慢”结论比较地面上的物体和地球卫星的运动参量，因为“越高越慢”的结论适用于万有引力全部充当向心力使卫星做匀速圆周运动的情形，而地面上的物体随地球转动，充当向心力的仅是万有引力的一个分力。同样的，若地球卫星是在地球引力和其他星体或飞行器引力共同作用下的匀速圆周运动，此结论也不能直接套用。
(1)近地卫星角速度等于静止卫星的角速度。 (　　)
(2)赤道上的物体的线速度大小与近地卫星的线速度大小相等。 (　　)
×　
×　
角度1　同步卫星的特点
[典例6]　(多选)(2025·广东清远模拟)关于地球同步卫星下列说法正确的是(　　)
A．地球同步卫星周期和地球自转周期相同，因此同步卫星的高度和线速度大小是一定的
B．地球同步卫星的角速度虽被确定，但高度和速度可以选择，高度增加，速度增大，高度降低，速度减小
C．地球同步卫星只能定点在赤道上空，相对地面静止不动
D．平行于赤道也能发射地球同步卫星
√
√
AD　[根据万有引力提供向心力，有＝m(R＋h)，其中R为地球半径，h为同步卫星离地面的高度，由于同步卫星的周期与地球自转周期相同，即T为一定值，根据上面等式可知，同步卫星离地面的高度h也为一定值，则轨道半径一定，根据v＝可知，线速度的大小也一定，故A正确；同步卫星的周期与地球自转周期相同，结合上述可知，高度与线速度大小均为定值，故B错误；地球同步卫星只需要周期与地球自转周期相等，其可以在除赤道所在平面外的平面，而静止卫星相对于地球静止不动，即静止卫星一定与赤道共面，故C错误；理论上可在地球任何地方发射卫星，卫星可通过变轨到达指定轨道，故D正确。故选AD。]
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(多选)(2024·广东·模拟)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G，有关同步卫星，下列表述正确的是(　　)
A．同步卫星距地面的高度为
B．同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C．同步卫星运行时受到的向心力大小为G
D．同步卫星的向心加速度小于地球表面的重力加速度
√
√
BD　[同步卫星的周期等于地球自转周期T，根据万有引力提供向心力，有＝m(R＋h)，解得h＝－R，故A错误；由万有引力提供向心力，有＝m，解得v＝，同步卫星轨道半径大于地球半径，所以同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，故B正确；同步卫星运行时的轨道半径大于地球半径R，所以卫星运行时的向心力小于，故C错误；在地球表面上若不考虑地球自转，万有引力等于重力，有＝mg，解得g＝，同步卫星在轨道上运动，根据万有引力提供向心力，有＝ma，解得a＝，同步卫星运行的轨道半径r大于地球半径R，则卫星的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故D正确。]
角度2　近地卫星、静止卫星及赤道上物体的比较
[典例7]　(多选)(2025·福建厦门一模)如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球同步卫星。下列关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中正确的是(　　)
A．a、b、c三物体，都仅由万有引力提供向心力
B．周期关系为Ta＝Tc>Tb
C．线速度的大小关系为vaD．向心加速度的大小关系为ab>ac>aa
√
√
BD　[b、c围绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，a为地球赤道上的物体，由万有引力和地面的支持力的合力提供向心力，故A错误；c为地球同步卫星，a为地球赤道上的物体，两者的周期与地球自转周期相等，对于b、c，根据开普勒第三定律，可得＝k，由题图可知rbTb，故B正确；根据v＝ωr，a、c角速度相等，a的轨道半径比c的小，可得vaaa，对于b、c，根据牛顿第二定律可得G＝ma，解得a＝G，由于c的轨道半径大于b的轨道半径，则c的加速度小于b的加速度，所以有ab>ac>aa，故D正确。故选BD。]
1．狭义相对论的两个基本假设
(1)狭义相对性原理：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是______的。
(2)光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是______的，光速和光源、观测者间的相对运动没有关系。
考点4　相对论时空观
相同　
相同
2．时间延缓效应
如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为Δt，则有Δt＝。
3．长度收缩效应
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝___________。
[典例8]　(多选)一枚火箭静止于地面时长为30 m，两个完全相同的时钟分别放在火箭内和地面上。火箭以速度v飞行，光速为c，下列判断正确的是(　　)
A．若v＝0.5c，火箭上的观察者测得火箭的长度仍为30 m
B．若v＝0.5c，地面上的观察者测得火箭的长度仍为30 m
C．若v＝0.5c，火箭上的观察者认为地面上的时钟走得快
D．若v＝0.5c，地面上的观察者认为火箭上的时钟走得慢
√
√
AD　[一枚静止时长30 m的火箭以0.5c的速度飞行，根据相对论时空观得，火箭上的人测得火箭的长度为30 m，故A正确；根据l＝l0得，地面上的观察者测得火箭的长度l≈26 m，故B错误；根据时间延缓效应，运动的钟比静止的钟走得慢，而且运动速度越大，钟走得越慢，同时运动是相对的，火箭相对于地面上的人是运动的，地面上的人相对于火箭也是运动的，所以若v＝0.5c，火箭上的观察者认为地面上的时钟走得慢，地面上的观察者认为火箭上的时钟走得慢，故C错误，D正确。]
课时作业(二十六)　人造卫星　宇宙速度　相对论时空观
题号
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1．(人教版必修第二册习题改编)如图所示，牛顿在思考万有引力定律时就曾设想，把物体从高山上O点以不同的速度v水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远。如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，则下列说法正确的是(　　)
A．以v<7.9 km/s的速度抛出的物体可能落在A点
B．以v<7.9 km/s的速度抛出的物体可能沿B轨道做圆周运动
C．以7.9 km/sD．以11.2 km/s√
A　[物体抛出速度v<7.9 km/s时必落回地面，可能落在A点，物体抛出速度v＝7.9 km/s时，物体刚好能不落回地面，绕地球做圆周运动，故A正确，B错误；当物体抛出速度7.9 km/s11.2 km/s时，物体会脱离地球引力束缚，不可能沿C轨道运动，故D错误。]
题号
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题号
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2. 2025年我国已经完成了1 500颗卫星的组网，北斗系统升级完成，性能实现了质的飞跃。关于地球静止卫星，下列说法正确的是(　　)
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
√
题号
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D　[静止卫星只能位于赤道正上方，所以入轨后不可以位于北京正上方，故A错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，所以静止卫星入轨后的速度小于第一宇宙速度，故B错误；静止卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故C错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较小，故D正确。故选D。]
题号
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3．(2025·贵州毕节一模)2025年1月7日，实践二十五号卫星在西昌卫星发射中心发射成功，并在离地36 000 km高空的圆轨道为北斗G7卫星加注142公斤燃料，完成人类首次太空卫星燃料补加及延寿服务。若加注燃料前后G7卫星的轨道半径不变，则(　　)
A．加注燃料时，实践二十五号卫星的线速度大于7.9 km/s
B．加注燃料时，实践二十五号卫星与G7卫星处于平衡状态
C．加注燃料后，G7卫星质量增大，线速度大小不变
D．加注燃料后，G7卫星质量增大，加速度减小
√
题号
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C　[第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，是最大环绕速度，所以实践二十五号卫星的线速度小于7.9 km/s，A错误；在加注燃料时，两卫星相对静止，处于失重状态，并非力学平衡状态，B错误；根据＝ma＝m，解得v＝，a＝，可知加注燃料后，质量增加，轨道半径不变，线速度和加速度大小均不变，C正确，D错误。故选C。]
题号
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4．(人教版必修第二册习题改编)火星的质量和半径分别约为地球的和，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇宙速度约为(　　)
A．v　B．v C．v　D．v
√
A　[由＝求得第一宇宙速度v＝，故＝＝，所以v火＝v，故A正确。]
题号
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5．(2024·江西卷)两个质量相同的卫星绕月球做匀速圆周运动，半径分别为r1、r2，则动能和周期的比值为(　　)
A．＝，＝　 B．＝，＝
C．＝，＝　 D．＝，＝
√
题号
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A　[两个质量相同的卫星绕月球做匀速圆周运动，则月球对卫星的万有引力提供向心力，设月球的质量为M，卫星的质量为m，则半径为r1的卫星有G＝m＝mr1，半径为r2的卫星有G＝m＝mr2，再根据动能Ek＝mv2，可得两卫星动能和周期的比值分
别为＝，＝，故选A。]
题号
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6．(2025·河南郑州一模)设想在赤道上建造如图所示的“太空电梯”，宇航员可通过竖直的电梯直通空间站。超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，使它们随地球同步旋转。已知同步空间站位于地球同步卫星轨道上，则(　　)
A．电梯上的乘客一直处于完全失重状态
B．同步空间站两侧的缆绳对其作用力的合力为0
C．配重空间站受到的地球引力大于其圆周运动的向心力
D．配重空间站外部零件脱落后将随配重空间站一起绕地球同步旋转
√
题号
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B　[电梯在同步空间站所在处，万有引力刚好提供所需的向心力，此时电梯上的乘客处于完全失重状态；电梯在其他位置，万有引力不是刚好提供所需的向心力，电梯上的乘客不是处于完全失重状态，故A错误。对于同步空间站，万有引力刚好提供所需的向心力，所以同步空间站两侧的缆绳对其作用力的合力为0，故B正确。若卫星只受万有引力绕地球做匀速圆周运动，则有＝mω2r，可得ω＝，可知离地球越远，卫星的角速度越小，而配重空间站在同步空间站的外侧，且配重空间站的角速度等于同步空间站的角速度，所以配重空间站受到的地球引力小于其圆周运动的向心力；若配重空间站外部零件脱落，由于外部零件所受万有引力不足以提供所需的向心力，则外部零件将做离心运动，故C、D错误。故选B。]
题号
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7．(2025·海南卷)载人飞船的火箭成功发射升空，载人飞船进入预定轨道后，与空间站完成自主快速交会对接，然后绕地球做匀速圆周运动。已知空间站轨道高度低于地球同步卫星轨道，则下面说法正确的是(　　)
A．火箭加速升空时处于失重状态
B．宇航员在空间站受到的万有引力小于在地表受到的万有引力
C．空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度小于地球自转角速度
D．空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度小于地球同步卫星的加速度
√
题号
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B　[火箭加速升空过程，加速度方向竖直向上，则处于超重状态，故A错误；根据F＝，宇航员与地球的质量不变，宇航员在空间站离地心更远，则受到的万有引力小于在地表受到的万有引力，故B正确；根据＝mω2R可得ω＝，可知空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度大于同步卫星的角速度，即大于地球自转角速度，故C错误；根据＝ma可得a＝，可知空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度大于地球同步卫星的加速度，故D错误。故选B。]
题号
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8．(2025·贵州毕节一模)两种卫星绕地球运行的轨道如图所示，设地球半径为R，地球赤道上的物体随地球自转的速度大小为v1，加速度大小为a1；近地卫星的轨道半径近似为R，运行速度大小为v2，加速度大小为a2；地球静止卫星的轨道半径为r，运行速度大小为v3，加速度大小为a3。下列选项中正确的是(　　)
A．＝1　 B．＝
C．＝　 D．＝
√
题号
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B　[卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得＝m＝ma，可得v＝，a＝，则有＝＝，＝，故B正确，D错误；地球赤道上的物体与静止卫星的角速度相等，根据v＝ωr，a＝ω2r，可得＝，＝，则有＝，故A、C错误。故选B。]
题号
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9．(2025·河北唐山模拟)如图甲所示，某行星外围有一圈厚度为d的发光带，R为该行星的半径。若发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群，发光带上某卫星绕行星中心的运行速度的二次方与到该行星中心的距离r的倒数之间的关系图像如图乙所示(图线中v0为已知量)。引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．该行星的第一宇宙速度为v0
B．该行星的第一宇宙速度为2v0
C．该行星表面的重力加速度g＝
D．该行星的质量M＝GR
√
题号
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A　[该发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群，由万有引力提供向心力得＝m，化简可得v2＝GM·，可知v2-图像的斜率k＝GM＝＝R，可得该行星的质量为M＝，故D错误；在行星表面有＝mg，解得该行星表面的重力加速度g＝＝，故C错误；该行星的第一宇宙速度等于在行星表面绕行星做匀速圆周运动的线速度，则有＝m，解得该行星的第一宇宙速度为v＝＝v0，故A正确，B错误。故选A。]
题号
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10．(多选)(2024·广东卷)如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1 000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小g取10 m/s2，忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有(　　)
A．该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B．该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s
C．“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为 80 m/s2
D．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
√
√
题号
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AC　[在星球表面，根据G＝mg可得g＝，又行星的质量和半径分别为地球的和，地球表面重力加速度大小g取10 m/s2，可得该行星表面的重力加速度大小g'＝4 m/s2，故A正确；在星球表面上空，根据万有引力提供向心力有G＝m，可得星球的第一宇宙速度v＝，行星的质量和半径分别为地球的和，可得该行星的第一宇宙速度v行＝v地，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，所以该行星的第一宇宙速度v行＝×7.9 km/s，故B错误；“背罩分离”前，探测器及其保护背罩和降落伞整体做匀速直线运动，对探测器受力分析，可知探测器与保护背罩之间的作用力F＝m'g'＝4 000 N，“背罩分离”后，背罩所受的合力大小为4 000 N，对背罩，根据牛顿第二定律得F＝m″a，解得a＝80 m/s2，故C正确；“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其做功的功率P＝m'g'v＝1 000×4×60 W＝
240 kW，故D错误。故选AC。]
题号
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11．(2025·安徽合肥模拟)假如宇航员乘坐宇宙飞船登上火星，在火星“北极”距星球表面附近h处自由释放一个小球，测得落地时间为t，已知火星半径为R，自转周期为T，引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A．火星的质量为
B．火星的第一宇宙速度为
C．宇宙飞船绕火星做圆周运动的周期可能为πt
D．如果火星存在一颗同步卫星，其距星球表面高度为－R
√
题号
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A　[小球自由下落，有h＝gt2，可得火星表面重力加速度g＝，由重力等于万有引力mg＝G，解得M＝，故A正确；第一宇宙速度为近火卫星的环绕速度，则有mg＝G＝m，解得v＝，故B错误；当宇宙飞船在火星表面附近运行时周期最小，轨道半径为R，则有G＝mR，解得周期为T近＝2π，代入GM＝gR2＝，解得T近＝2πt，故C错误；同步卫星周期为T，则有G＝mr，解得r3＝，代入GM＝gR2＝，解得r＝，解得高度为－R，故D错误。故选A。]
谢谢！课时作业(二十六)　人造卫星　宇宙速度　相对论时空观
说明：单选题每小题4分；多选题每小题6分；本试卷共46分。
1．(人教版必修第二册习题改编)如图所示，牛顿在思考万有引力定律时就曾设想，把物体从高山上O点以不同的速度v水平抛出，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次远。如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，则下列说法正确的是(　　)
A．以v<7.9 km/s的速度抛出的物体可能落在A点
B．以v<7.9 km/s的速度抛出的物体可能沿B轨道做圆周运动
C．以7.9 km/sD．以11.2 km/s2．2025年我国已经完成了1 500颗卫星的组网，北斗系统升级完成，性能实现了质的飞跃。关于地球静止卫星，下列说法正确的是(　　)
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
3．(2025·贵州毕节一模)2025年1月7日，实践二十五号卫星在西昌卫星发射中心发射成功，并在离地36 000 km高空的圆轨道为北斗G7卫星加注142公斤燃料，完成人类首次太空卫星燃料补加及延寿服务。若加注燃料前后G7卫星的轨道半径不变，则(　　)
A．加注燃料时，实践二十五号卫星的线速度大于7.9 km/s
B．加注燃料时，实践二十五号卫星与G7卫星处于平衡状态
C．加注燃料后，G7卫星质量增大，线速度大小不变
D．加注燃料后，G7卫星质量增大，加速度减小
4．(人教版必修第二册习题改编)火星的质量和半径分别约为地球的和，地球的第一宇宙速度为v，则火星的第一宇宙速度约为(　　)
A．v　 B．v
C．v　 D．v
5．(2024·江西卷)两个质量相同的卫星绕月球做匀速圆周运动，半径分别为r1、r2，则动能和周期的比值为(　　)
A．＝，＝
B．＝，＝
C．＝，＝
D．＝，＝
6．(2025·河南郑州一模)设想在赤道上建造如图所示的“太空电梯”，宇航员可通过竖直的电梯直通空间站。超级缆绳将地球赤道上的固定基地、同步空间站和配重空间站连接在一起，使它们随地球同步旋转。已知同步空间站位于地球同步卫星轨道上，则(　　)
A．电梯上的乘客一直处于完全失重状态
B．同步空间站两侧的缆绳对其作用力的合力为0
C．配重空间站受到的地球引力大于其圆周运动的向心力
D．配重空间站外部零件脱落后将随配重空间站一起绕地球同步旋转
7．(2025·海南卷)载人飞船的火箭成功发射升空，载人飞船进入预定轨道后，与空间站完成自主快速交会对接，然后绕地球做匀速圆周运动。已知空间站轨道高度低于地球同步卫星轨道，则下面说法正确的是(　　)
A．火箭加速升空时处于失重状态
B．宇航员在空间站受到的万有引力小于在地表受到的万有引力
C．空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度小于地球自转角速度
D．空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度小于地球同步卫星的加速度
8．(2025·贵州毕节一模)两种卫星绕地球运行的轨道如图所示，设地球半径为R，地球赤道上的物体随地球自转的速度大小为v1，加速度大小为a1；近地卫星的轨道半径近似为R，运行速度大小为v2，加速度大小为a2；地球静止卫星的轨道半径为r，运行速度大小为v3，加速度大小为a3。下列选项中正确的是(　　)
A．＝1　 B．＝
C．＝　 D．＝
9．(2025·河北唐山模拟)如图甲所示，某行星外围有一圈厚度为d的发光带，R为该行星的半径。若发光带是环绕该行星做圆周运动的卫星群，发光带上某卫星绕行星中心的运行速度的二次方与到该行星中心的距离r的倒数之间的关系图像如图乙所示(图线中v0为已知量)。引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．该行星的第一宇宙速度为v0
B．该行星的第一宇宙速度为2v0
C．该行星表面的重力加速度g＝
D．该行星的质量M＝GR
10．(多选)(2024·广东卷)如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1 000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小g取10 m/s2，忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有(　　)
A．该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B．该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s
C．“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为 80 m/s2
D．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
11．(2025·安徽合肥模拟)假如宇航员乘坐宇宙飞船登上火星，在火星“北极”距星球表面附近h处自由释放一个小球，测得落地时间为t，已知火星半径为R，自转周期为T，引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A．火星的质量为
B．火星的第一宇宙速度为
C．宇宙飞船绕火星做圆周运动的周期可能为πt
D．如果火星存在一颗同步卫星，其距星球表面高度为－R
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