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第27课时　天体运动的三类热点问题(思维进阶课)
[学习目标]　1．会处理人造卫星的变轨和对接问题。2．会分析天体的“追及、相遇”问题。3．掌握双星、多星系统，会解决相关问题。
卫星的变轨问题
1．两类变轨
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
力学关系 Gm
2．变轨过程中各物理量的比较
速度关系 在A点加速：vⅡA>vI，在B点加速：vⅢ>vⅡB，即vⅡA>vⅠ>vⅢ>vⅡB
(向心)加速 度关系 aⅢ＝aⅡB， aⅡA＝aⅠ
周期关系 TⅠ机械能关系 EⅠ　卫星变轨中物理量的分析
[典例1]　(2025·北京卷)2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2，B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是(　　)
A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
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　卫星运行中能量的分析
[典例2]　(2025·河北卷)随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为R0，表面重力加速度为g0。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为mg0(r≥R0)。要使飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
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卫星追及、相遇问题
1．天体运动中的“追及、相遇”问题：是指围绕同一中心天体而且轨道共面运行的两个星体间相距“最近”或“最远”的问题。以地球与某行星的运动为例：
(1)如图甲所示，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的同侧时，行星和地球间相距“最近”(也称为“某星冲日”现象)。
(2)如图乙所示，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的异侧时，行星和地球间相距“最远”。
2．两个关键关系：地球和行星同向运行，从图甲位置开始计时。
角度 关系 相距 最近 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3，…)，即两天体转过的角度之差等于2π的整数倍时相距最近
相距 最远 ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)，即两天体转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远
圈数 关系 相距 最近 －＝n(n＝1，2，3，…)
相距 最远 －＝n－(n＝1，2，3，…)
[典例3]　(2025·四川卷)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，引力常量为G。则该卫星轨道半径为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
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[典例4]　(2025·山东济宁一模)司马迁最早把岁星命名为木星，如图甲所示，两卫星a、b环绕木星在同一平面内做匀速圆周运动，绕行方向相反，卫星c绕木星做椭圆运动，某时刻开始计时，卫星a、b间距离x随时间t变化的关系图像如图乙所示，其中R、T为已知量，下列说法正确的是(　　)
A．卫星c在N点的速度大于卫星a的速度
B．卫星a、b的运动周期之比为1∶4
C．卫星a的运动周期为T
D．卫星a的加速度大小为
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拓展思考　若两卫星a、b环绕木星在同一平面内做匀速圆周运动，绕行方向相同，求卫星a的运动周期及卫星a的加速度大小。
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双星或多星模型
1．双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1r1，＝m2r2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。
2．多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度和周期相同。常见的多星及规律如表所示：
常见的三 星模型 ＋＝ma向
×cos 30°×2＝ma向
常见的四 星模型 ×cos 45°×2＋＝ma向
×cos 30°×2＋＝ma向
　双星模型
[典例5]　(2025·四川巴中一模)两个天体A和B以相同的角速度绕某固定点O做匀速圆周运动，O点位于它们之间的连线上。A的轨道半径大于B，设两者总质量为M，质量中心间的距离为L。下列判断正确的是(　　)
A．天体A的线速度一定小于B
B．天体A的质量一定大于B
C．两天体的运动周期与M、L有关
D．当M一定时，距离L越大，角速度越大
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　多星模型
[典例6]　(2024·重庆卷)如图所示，在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量为G。则(　　)
A．c的线速度大小为a的倍
B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr
D．c的角速度大小为
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第27课时
进阶点1
典例1　A　[在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理可知，动能逐渐减小，A正确；探测器受到万有引力，由G＝ma，得a＝G，在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误；探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误；探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得G＝mr，解得M＝，利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。故选A。]
典例2　B　[飞行器在轨道半径r＝2R0处的总机械能包括动能和势能。引力势能为Ep＝mg0R0，根据万有引力提供向心力有＝m，在星球表面有 ＝ mg0，解得轨道速度满足v2＝，对应动能Ek＝mv2＝mg0R0，总机械能E总＝mg0R0，根据机械能守恒定律，初始动能m＝E总，解得v0＝，故选B。]
进阶点2
典例3　A　[设卫星转动的周期为T'，根据题意可得·－·＝2π，可得T'＝，根据万有引力提供向心力，有G＝mr，可得r＝，代入T'＝，可得r＝，故选A。]
典例4　C　[根据万有引力提供向心力G＝m，可得v＝，可知卫星a的速度大于卫星b的速度，卫星c在N点做近心运动，所以卫星c在N点的速度小于卫星b的速度，则卫星c在N点的速度小于卫星a的速度，故A错误；根据题图乙可知卫星a、b最远距离为5R，最近距离为3R，则rb－ra＝3R，rb＋ra＝5R，可得ra＝R，rb＝4R，根据G＝mr可得T＝2π，可知卫星a、b的运动周期之比为1∶8，故B错误；设卫星a的周期为Ta，卫星b的周期为Tb，根据两卫星从相距最远到相距最近有T＋T＝π，又Tb＝8Ta，联立解得Ta＝T，故C正确；卫星a的加速度大小aa＝ra＝，故D错误。]
拓展思考　解析：a、b两卫星绕行方向相同，则两卫星从相距最远到相距最近有T－T＝π，又根据Tb＝8Ta，解得Ta＝T，则an＝R＝。
答案：T　
进阶点3
典例5　C　[设两个天体质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度为ω，由于二者角速度相等，则线速度分别为vA＝ωRA，vB＝ωRB，则vA>vB，故选项A错误；由万有引力定律可知＝mAω2RA＝mBω2RB，而＝，RA>RB，可得mA典例6　A　[a、b、c三个天体的角速度相同，由于m M，则对a天体有G＝Mω2r，解得ω＝，故D错误；设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2Gcos α＝mω2，解得α＝30°，则c的轨道半径为rc＝＝r，由v＝ωR，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；由a＝ω2R，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s＝2πrc＝2πr，故C错误。]
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第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行
第27课时　天体运动的三类热点问题(思维进阶课)
[学习目标]　1．会处理人造卫星的变轨和对接问题。2．会分析天体的“追及、相遇”问题。3．掌握双星、多星系统，会解决相关问题。
进阶点1　卫星的变轨问题
1．两类变轨
两类变轨 离心运动 近心运动
示意图
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
力学关系 Gm
2．变轨过程中各物理量的比较
速度关系 在A点加速：vⅡA>vI，在B点加速：vⅢ>vⅡB，即vⅡA>vⅠ>vⅢ>vⅡB
(向心)加速 度关系 aⅢ＝aⅡB，
aⅡA＝aⅠ
周期关系 TⅠ机械能关系 EⅠ角度1　卫星变轨中物理量的分析
[典例1]　(2025·北京卷)2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2，B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是(　　)
A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
√
A　[在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理可知，动能逐渐减小，A正确；探测器受到万有引力，由G＝ma，得a＝G，在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误；探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误；探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得G＝mr，解得M＝，利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。故选A。]
【教师备选资源】
(2024·安徽卷)2024年3月20日，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时，鹊桥二号开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道运行，如图所示，轨道的半长轴约为51 900 km。后经多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约为9 900 km，周期约为24 h。则鹊桥二号在捕获轨道运行时(　　)
A．周期约为144 h
B．近月点的速度大于远月点的速度
C．近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的速度
D．近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点的加速度
√
B　[冻结轨道和捕获轨道的中心天体是月球，根据开普勒第三定律得＝，整理得T2＝T1≈288 h，A错误；根据开普勒第二定律可知，鹊桥二号在近月点的速度大于远月点的速度，B正确；鹊桥二号在近月点从高轨道(捕获轨道)到低轨道(冻结轨道)时需要减速制动，鹊桥二号在捕获轨道运行时近月点的速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错误；鹊桥二号在两轨道的近月点所受的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，鹊桥二号在捕获轨道运行时近月点的加速度等于在冻结轨道运行时近月点的加速度，D错误。]
角度2　卫星运行中能量的分析
[典例2]　(2025·河北卷)随着我国航天事业飞速发展，人们畅想研制一种核聚变能源星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力，不考虑自转，该星球可视为质量分布均匀的球体，半径为R0，表面重力加速度为g0。质量为m的飞行器与星球中心距离为r时，引力势能为mg0(r≥R0)。要使飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动，则发射初速度为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
√
B　[飞行器在轨道半径r＝2R0处的总机械能包括动能和势能。引力势能为Ep＝mg0R0，根据万有引力提供向心力有＝m，在星球表面有＝mg0，解得轨道速度满足v2＝，对应动能Ek＝mv2＝mg0R0，总机械能E总＝mg0R0，根据机械能守恒定律，初始动能m＝E总，解得v0＝，故选B。]
1．天体运动中的“追及、相遇”问题：是指围绕同一中心天体而且轨道共面运行的两个星体间相距“最近”或“最远”的问题。以地球与某行星的运动为例：
(1)如图甲所示，某行星、地球与太阳三者共线且行星和地球位于太阳的同侧时，行星和地球间相距“最近”(也称为“某星冲日”现象)。
(2)如图乙所示，某行星、地球与太阳三者共线
且行星和地球位于太阳的异侧时，行星和地球
间相距“最远”。
进阶点2　卫星追及、相遇问题
2．两个关键关系：地球和行星同向运行，从图甲位置开始计时。
角度 关系 相距 最近 ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3，…)，即两天体转过的角度之差等于2π的整数倍时相距最近
相距 最远 ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)，即两天体转过的角度之差等于π的奇数倍时相距最远
圈数 关系 相距最近 －＝n(n＝1，2，3，…)
相距最远 －＝n－(n＝1，2，3，…)
[典例3]　(2025·四川卷)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，引力常量为G。则该卫星轨道半径为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
√
A　[设卫星转动的周期为T'，根据题意可得－＝2π，可得T'＝，根据万有引力提供向心力，有G＝mr，可得r＝，代入T'＝，可得r＝，故选A。]
[典例4]　(2025·山东济宁一模)司马迁最早把岁星命名为木星，如图甲所示，两卫星a、b环绕木星在同一平面内做匀速圆周运动，绕行方向相反，卫星c绕木星做椭圆运动，某时刻开始计时，卫星a、b间距离x随时间t变化的关系图像如图乙所示，其中R、T为已知量，下列说法正确的是(　　)
A．卫星c在N点的速度大于卫星a的速度
B．卫星a、b的运动周期之比为1∶4
C．卫星a的运动周期为T
D．卫星a的加速度大小为
√
C　[根据万有引力提供向心力G＝m，可得v＝，可知卫星a的速度大于卫星b的速度，卫星c在N点做近心运动，所以卫星c在N点的速度小于卫星b的速度，则卫星c在N点的速度小于卫星a的速度，故A错误；根据题图乙可知卫星a、b最远距离为5R，最近距离为3R，则rb－ra＝3R，rb＋ra＝5R，可得ra＝R，rb＝4R，根据G＝mr可得T＝2π，可知卫星a、b的运动周期之比为1∶8，故B错误；设卫星a的周期为Ta，卫星b的周期为Tb，根据两卫星从相距最远到相距最近有T＋T＝π，又Tb＝8Ta，联立解得Ta＝T，故C正确；卫星a的加速度大小aa＝ra＝，故D错误。]
拓展思考　若两卫星a、b环绕木星在同一平面内做匀速圆周运动，绕行方向相同，求卫星a的运动周期及卫星a的加速度大小。
[解析]　a、b两卫星绕行方向相同，则两卫星从相距最远到相距最近有T－T＝π，又根据Tb＝8Ta，解得Ta＝T，则an＝R＝。
[答案]　T　
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宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动。若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是(　　)
A．飞船加速直到追上空间站，完成对接
B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接
C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接
D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接
√
B　[飞船在轨道上正常运行时，有G＝m，当飞船直接加速时，所需向心力m增大，则G进阶点3　双星或多星模型
1．双星模型
(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，
即＝m1r1，＝m2r2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。
2．多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度和周期相同。常见的多星及规律如表所示：
常见的三 星模型 ＋＝ma向
×cos 30°×2＝ma向
常见的四 星模型 ×cos 45°×2＋＝ma向
×cos 30°×2＋＝ma向
角度1　双星模型
[典例5]　(2025·四川巴中一模)两个天体A和B以相同的角速度绕某固定点O做匀速圆周运动，O点位于它们之间的连线上。A的轨道半径大于B，设两者总质量为M，质量中心间的距离为L。下列判断正确的是(　　)
A．天体A的线速度一定小于B
B．天体A的质量一定大于B
C．两天体的运动周期与M、L有关
D．当M一定时，距离L越大，角速度越大
√
C　[设两个天体质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度为ω，由于二者角速度相等，则线速度分别为vA＝ωRA，vB＝ωRB，则vA>vB，故选项A错误；由万有引力定律可知＝mAω2RA＝mBω2RB，而＝，RA>RB，可得mA角度2　多星模型
[典例6]　(2024·重庆卷)如图所示，在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响，引力常量为G。则(　　)
A．c的线速度大小为a的倍
B．c的向心加速度大小为b的一半
C．c在一个周期内的路程为2πr
D．c的角速度大小为
√
A　[a、b、c三个天体的角速度相同，由于m M，则对a天体有G＝Mω2r，解得ω＝，故D错误；设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2G cos α＝mω2，解得α＝30°，则c的轨道半径为rc＝＝r，由v＝ωR，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；由a＝ω2R，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s＝2πrc＝2πr，故C错误。]
课时作业(二十七)　天体运动的三类热点问题(思维进阶课)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
1．(2025·四川南山中学11月月考)中国载人登月初步方案已公布，计划2030年前实现载人登月科学探索。假如在登月之前需要先发射两颗探月卫星进行科学探测，两卫星在同一平面内绕月球的运动可视为匀速圆周运动，且绕行方向相同，如图甲所示，测得两卫星之间的距离Δr随时间t变化的关系如图乙所示(r、T均为已知)，不考虑两卫星之间的作用力。下列说法正确的是(　　)
A．a、b两卫星的线速度大小之比va∶vb＝∶1
B．a、b两卫星的加速度大小之比aa∶ab＝3∶1
C．a卫星的运转周期为T
D．b卫星的运转周期为2T
√
C　[由题图乙得rb－ra＝2r，rb＋ra＝6r，解得a、b两卫星的轨道半径分别为ra＝2r、rb＝4r。卫星绕月球做匀速圆周运动，由G＝m得v＝，则a、b两卫星的线速度大小之比va∶vb＝∶1，A错误；由G＝ma得a＝，则a、b两卫星的加速度大小之比aa∶ab＝4∶1，B错误；由G＝mr得T0＝2π，则a、b两卫星的周期之比Ta∶Tb＝∶4，由题图乙知每经过时间T，两卫星相距最近，则－＝1，解得Ta＝T，Tb＝(2－1)T，C正确，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
2．(2024·湖北卷)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
A　[根据a＝可知，空间站变轨前、后在P点的加速度相同，A正确；由于变轨后的轨道半长轴大于变轨前的轨道半径，则根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此变轨后其在P点的速度比变轨前的大，C错误；变轨后，空间站在近地点的速度最大，大于变轨后在P点的速度，结合C项分析可知，变轨后空间站在近地点的速度大于变轨前的速度，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
3．(2025·江苏南京模拟)如图所示为某卫星发射的过程简化图，位于椭圆轨道1的卫星变速后进入圆形同步轨道2，然后在M点再次改变方向进入同步静止轨道3上，Q点为椭圆轨道1的近地点，P点为椭圆轨道1上的远地点，则下列说法正确的是(　　)
A．轨道2可能在某两条经线组成的圆的正上方
B．卫星在Q点的速度大于其在M点的速度
C．卫星在3个轨道上的机械能存在的关系式为E1>E2＝E3
D．卫星在轨道2上经过P点时的向心加速度大于其在轨道1上运动时经过P点的向心加速度
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
B　[某两条经线组成的圆所在平面过地轴，所以轨道2不可能在某两条经线组成的圆的正上方，故A错误；假设Q点为一个圆轨道4和椭圆轨道1的切点，可知卫星在过Q点做圆周运动的速度大于在M点的速度，而从Q点的圆轨道变轨到椭圆轨道1需要在Q点点火加速，所以卫星在Q的速度大于其在M点的速度，故B正确；卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，卫星的机械能增加，故C错误；卫星在两个轨道上经过P点时，根据牛顿第二定律有G＝man，可得an＝G，可知卫星在轨道2上经过P点时的向心加速度等于其在轨道1上运动时经过P点时的向心加速度，故D错误。故选B。]
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
4．(2025·江西九江模拟)宇宙中由A、B两颗恒星组成的双星系统绕A、B连线上的一点做匀速圆周运动，已知恒星A的质量大于恒星B的质量，两恒星的总质量一定，两恒星间的距离为L，不考虑双星系统以外的天体对双星系统的影响，下列说法正确的是(　　)
A．恒星A运动的角速度大于恒星B运动的角速度
B．恒星A做圆周运动的向心力大于恒星B做圆周运动的向心力
C．L越大，恒星A做圆周运动的周期越大
D．恒星A、B的质量差越大，恒星A做圆周运动的周期越大
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C　[双星系统中两恒星做圆周运动的角速度相等，A项错误；两恒星做圆周运动的向心力均为两恒星间的万有引力，大小相等，B项错误；根据G＝mALA＝mBLB，其中L＝LA＋LB，可得双星做圆周运动的周期T＝2π，由于双星的总质量一定，则L越大，周期越大，C项正确；A、B质量差的大小不影响双星做圆周运动的周期，D项错误。故选C。]
题号
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
5．2025年3月21日，神舟十九号乘组航天员在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务。将我国空间站绕地球运动的轨道看成半径为r的圆轨道，其在轨运行周期约为90分钟。假设从空间站向下投放一卫星，用一长为L0(L0 r)的轻绳与卫星(有动力)相连，慢慢从空间站放下直到轻绳伸直，投放过程中及稳定时卫星、空间站、地心三者共线，之后断开连接绳且立即关闭卫星动力系统，让其独自运动。不计空气阻力，关于这一过程，下列说法正确的是(　　)
A．卫星下降过程需要向前喷气
B．断开轻绳前，卫星所受合力为0
C．关闭动力系统后，卫星仍做圆周运动
D．关闭动力系统后，卫星绕地球运动的周期可能为95 min
√
题号
1
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10
A　[根据题意可知，卫星下降过程其角速度与空间站相同，根据v＝ωr可知，其线速度小于空间站线速度，根据万有引力提供向心力有＝m，可得v＝，卫星轨道半径小于空间站，则卫星仅在万有引力作用下做圆周运动的线速度应大于空间站，为保证其线速度小于空间站线速度，则应该向前喷气，故A正确；断开轻绳前，卫星做匀速圆周运动，所受合力提供向心力，故B错误；关闭动力系统后，由A项分析可知，此时万有引力大于所需向心力，则卫星将做近心运动，故C错误；关闭动力系统后，卫星轨道高度下降，其轨道半长轴不会大于空间站轨道半径，则根据开普勒第三定律可知，其周期必然小于空间站周期90 min，故D错误。故选A。]
题号
1
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10
6．(2025·河南开封一模)2025年2月28日，太阳系的七大行星上演“七星连珠”的天文现象。已知太阳系的八大行星基本运行在同一平面上，地球绕太阳运行的公转轨道半径是火星公转轨道半径的，则火星与地球相邻两次相距最近大约需要(　　)
A．1.2年　 B．1.8年
C．2.2年　 D．3.7年
√
题号
1
3
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2
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6
8
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9
10
C　[根据开普勒第三定律可得＝，解得T火＝T地，设经过t时间火星与地球相距最近，则有(ω地－ω火)t＝2π，整理可得t＝≈2.2年，故选C。]
题号
1
3
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7．(2025·山东日照模拟)“天王星冲日”现象是指天王星和太阳恰好分别位于地球的两侧，并且三者在同一直线上。已知此现象约370天发生一次，天王星和地球在同一平面内公转，轨道均近似为以太阳为圆心的圆形轨道，且公转方向相同，天王星的公转轨道半径大于地球的公转轨道半径，地球的公转周期约为365天，则天王星的公转轨道半径与地球的公转轨道半径之比约为(　　)
A．74　 B．7
C．720　 D．72
√
题号
1
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6
8
7
9
10
B　[由题意知，发生“天王星冲日”现象时天王星和地球相距最近，经过约370天地球比天王星多转一圈，设天王星的公转周期为T天，则有t＝2π，其中t＝370天，由开普勒第三定律可知＝，可得＝，联立解得＝7，故选B。]
题号
1
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10
8．(2025·辽宁沈阳一模)北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星(MEO)、3颗地球静止轨道卫星(GEO)和3颗倾斜地球同步轨道卫星(IGSO)共同组成。如图所示，倾斜地球同步轨道卫星与中圆地球轨道卫星同平面，中圆地球轨道卫星的周期为同步卫星周期T的一半。下列关于地球静止轨道卫星A、倾斜地球同步轨道卫星B与中
圆地球轨道卫星C的说法正确的是(　　)
A．卫星C的线速度小于卫星B的线速度
B．卫星A和卫星B均相对地球表面静止
C．卫星A与地心连线和卫星C与地心连线在相同时间内扫过相同的面积
D．某时刻B、C两卫星相距最近，则再经T，两卫星相距最远
√
题号
1
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9
10
D　[根据万有引力提供向心力，有G＝m，解得v＝，卫星C的轨道半径小于卫星B的轨道半径，所以卫星C的线速度大于卫星B的线速度，故A错误；卫星A为地球静止轨道卫星，相对地球表面静止，卫星B为倾斜地球同步轨道卫星，相对地球表面是运动的，故B错误；卫星A与卫星C不在同一个轨道上，所以它们与地心连线在相同时间内扫过的面积不相同，故C错误；令经过t时间相距最远，则有t＝π，解得t＝，故D正确。]
题号
1
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10
9．(多选)(2025·重庆模拟)“食双星”是指两颗恒星在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动。由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但由于两颗恒星的彼此“掩食”，会造成其亮度发生周期性变化，观测者可以通过观察双星的亮度来研究双星。如图所示，t1时刻，由于较亮的恒星遮挡较暗的恒星，造成亮度L减弱，t2时刻则是较暗的恒星遮挡较亮的恒星。若较亮的恒星与较暗的恒星的质量和圆周运动的半径分别为m1、r1和m2、r2，下列关系式正确的是(　　)
A．＝ B．＝
C．m1＋m2＝ D．m1＋m2＝
√
√
题号
1
3
5
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10
BC　[由题图可知双星周期T＝2(t2－t1)，对于较亮的恒星，根据牛顿第二定律有G＝m1r1，对于较暗的恒星，根据牛顿第二定律有G＝m2r2，联立可得＝，m1＋m2＝＝，故选BC。]
题号
1
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10．(多选)(2025·河南安阳模拟)地球和月球可视作一个双星系统，它们同时绕着它们连线上的A点转动。同时在这个转动的平面内存在五个拉格朗日点，在这些点上的卫星能够在地球和月球的共同引力作用下也绕A点转动，并且在转动过程中与地球和月球的相对位置保持不变。如图所示，在拉格朗日点L4处存在一个监测卫星，与地球球心、月球球心的连线恰构成一个等边三角形，其主要作用是监测其他月球卫星的工作情况，已知监测卫星到A点的距离大于月球到A点的距离，地球的质量为月球的81倍，则稳定运行时(　　)
A．监测卫星周期小于月球周期
B．监测卫星速度小于月球速度
C．监测卫星加速度大于月球加速度
D．地球与月球运动半径之比为1∶81
√
√
题号
1
3
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9
10
CD　[地球、月球以及在任一拉格朗日点上的卫星都具有相同的运行周期，监测卫星的运行周期等于月球的运行周期，故A错误；根据v＝可知，监测卫星的速度大于月球的速度，故B错误；根据a＝r可知，监测卫星的加速度大于月球的加速度，故C正确；设地球质量为M，地球球心到A点的距离为r1，月球质量为m，月球球心到A点的距离为r2，地球和月球可视作一个双星系统，根据万有引力提供向心力得G＝Mω2r1＝mω2r2，可得＝，即地球与月球运动半径之比为1∶81，故D正确。故选CD。]
章末巩固(四)　曲线运动　万有引力与宇宙
题号
1
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11
一、单选题
1．(2025·安徽合肥一模)2025年4月11日00时47分，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火升空，随后将通信技术试验卫星十七号卫星顺利送入预定轨道，发射任务取得圆满成功。该卫星主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证。若该卫星在定轨前，由周期为T1的圆轨道变轨到周期为T2的圆轨道，则它先后在这两个圆轨道上时受到来自地球的万有引力之比为(　　)
A．　B．　C．　D．
√
B　[设周期为T1的圆轨道的半径为r1，周期为T2的圆轨道的半径为r2，根据开普勒第三定律可得＝，由万有引力表达式可得F引＝，联立可得卫星先后在这两个圆轨道上时受到来自地球的万有引力之比为＝＝，故选B。]
题号
1
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11
题号
1
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10
11
2．(2025·陕西西安一模)如图所示为某款智能羽毛球发球机。小汪站在水平地面上，球拍竖直举起，球拍中心距水平地面的高度h0＝2.15 m。距小汪一定距离处的羽毛球发球机将羽毛球(可视为质点)从h1＝0.9 m高度处以大小v0＝13 m/s的速度向斜上方发出，羽毛球恰好水平击中球拍中心。重力加速度g取10 m/s2，则羽毛
球击中球拍的速度大小是(　　)
A．4 m/s　 B．6 m/s
C．8 m/s　 D．12 m/s
√
题号
1
3
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10
11
D　[羽毛球从发出到击中球拍前的逆运动是平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。设羽毛球发出时竖直方向的分速度大小为vy，有＝2g(h0－h1)，解得vy＝5 m/s，根据速度的合成与分解，有v0＝，联立解得vx＝12 m/s，故选D。]
题号
1
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11
3．(2025·河北张家口一模)2025年2月22日，中星10R地球同步轨道卫星成功发射，为全球通信网络提供支持。地球同步通信卫星的发射过程可以简化为卫星先在近地圆形轨道Ⅰ上运动，在A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点B时，再次点火进入同步轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为R，同步卫星轨道半径为r。下列说法正确的是(　　)
A．卫星在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度小于在轨道Ⅲ上经
过B点时的加速度
B．卫星在轨道Ⅰ上经过A点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过A
点时的速度
C．卫星在轨道Ⅱ上运行时，经过A点的速度大于经过B点的速度
D．卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上运动的速度之比为r∶R
√
题号
1
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10
11
C　[根据牛顿第二定律可得＝ma，可得a＝，可知卫星在轨道Ⅱ上经过B点时的加速度等于在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度，故A错误；卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，需要在A点点火加速，则卫星在轨道Ⅰ上经过A点时的速度小于在轨道Ⅱ上经过A点时的速度，故B错误；卫星在轨道Ⅱ上运行时，由于A点为近地点，B点为远地点，根据开普勒第二定律可知，经过A点的速度大于经过B点的速度，故C正确；卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得＝m，可得v＝，则卫星在轨道Ⅰ上和轨道Ⅲ上运动的速度之比为＝，故D错误。故选C。]
题号
1
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11
4．(2025·安徽合肥阶段检测)如图所示为自行车气嘴灯及其结构图，弹簧一端固定在A端，另一端拴接重物，当车轮高速旋转时，LED灯就会发光。下列说法正确的是(　　)
A．只要轮子转动起来，气嘴灯就能发光
B．增大重物质量可使LED灯在较低转速下
也能发光
C．安装时A端比B端更远离圆心
D．匀速行驶时，若气嘴灯转到最低点时能发光，则在最高点时也一定能发光
√
题号
1
3
5
2
4
6
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9
10
11
B　[车轮转动时，重物随车轮做圆周运动，所需要的向心力由弹簧弹力与重力的合力提供，车轮转速越大，弹簧长度越长，重物上的触点M与固定在B端的触点N越近，当车轮达到一定转速时，重物上的触点M与固定在B端的触点N接触后气嘴灯就会被点亮，故A错误； 气嘴灯在最低点时，对重物有F弹－mg＝mω2r，解得ω＝，故增大重物质量可使LED灯在较低转速下也能发光，故B正确；要使重物做离心运动，M、N接触，则A端应靠近圆心，安装时A端比B端更靠近圆心，故C错误；气嘴灯在最低点时，有F1－mg＝mω2r，即F1＝mω2r＋mg，气嘴灯在最高点时，有F2＋mg＝mω2r，即F2＝mω2r－mg，故F1>F2，即匀速行驶时，在最低点时弹簧比在最高点时长，因此匀速行驶时，若气嘴灯转到最低点时能发光，则在最高点时不一定能发光，故D错误。故选B。]
题号
1
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11
5．(2025·内蒙古包头一模)如图所示，小木块a和b(可视为质点)用轻绳连接置于水平圆盘上，开始时轻绳处于伸直状态但无拉力，a的质量为3m，b的质量为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为r和2r，a、b与盘间的动摩擦因数相同(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘始终保持相对静止，a、b分别所受摩擦力大小Ff2、Ff1随ω2变化的图像正确的是(　　)
题号
1
3
5
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11
√
题号
1
3
5
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7
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10
11
C　[当圆盘速度较小时，两木块均由静摩擦力提供向心力，对a物块有Ffa＝3mω2r，对b物块有Ffb＝mω2·2r，则b物块受到的摩擦力较小，当角速度为ω1时，b物块所受摩擦力达到最大值，则有μmg＝2mr，此时a物块所受摩擦力为Ff＝3mr＝μmg<3μmg，即仍未达到最大值；此后随着圆盘角速度逐渐增大，b物块所受摩擦力保持不变，a物块所受摩擦力继续增大；当角速度为ω2时，a物块所受摩擦力达到最大值，设绳子拉力为FT，对a、b分别有FT＋3μmg＝3mr，FT＋μmg＝2mr，继续增大圆盘角速度，绳子拉力继续变大，b物块所需向心力较小，所以b物块所受摩擦力将逐渐减小至0后反向再增大，此过程a物块所受摩擦力为最大值保持不变。故选C。]
题号
1
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11
二、多选题
6．(2025·河北邯郸高三期中)竖直平面内有一半径为0.5 m的光滑圆环，质量为0.5 kg的小球(视为质点)套在圆环上，当圆环以一定的角速度绕过圆环的竖直直径的转轴OO'匀速转动时，小球相对圆环静止，此时小球与圆环圆心的连线与竖直方向的夹角为37°，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的有(　　)
A．圆环对小球的弹力大小为5 N
B．小球随圆环旋转的角速度为5 rad/s
C．小球运动的线速度大小为1.5 m/s
D．小球的向心加速度大小为10 m/s2
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
BC　[小球做匀速圆周运动，由所受外力的合力提供圆周运动的向心力，设圆环对小球的弹力大小为FN，对小球分析有FN＝＝6.25 N，故A错误；对小球进行受力分析有mgtan 37°＝mω2Rsin 37°，解得ω＝5 rad/s，故B正确；同理有mgtan 37°＝ma＝m，解得a＝
7.5 m/s2，v＝1.5 m/s，故C正确，D错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
7．(2025·四川遂宁模拟)北京时间2025年1月7日04时00分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将实践二十五号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，该卫星主要用于卫星燃料补加与延寿服务技术验证。经过一个月的时间，实践二十五号抵达同步轨道，并成功给北斗三号G7卫星加注了142公斤燃料，实现了全球首次卫星在轨加注燃料。若后期还要给同轨道上的另一颗卫星A加注燃料，加注前两卫星的位置如图所示，则要想实现加注燃料，对实践二十五号卫星操作正确的是(　　)
A．实践二十五号卫星直接加速与卫星A对接即可
B．实践二十五号卫星和卫星A对接时具有相同的加速度
C．实践二十五号卫星受到地球的万有引力一定大于卫星A受到地
球的万有引力
D．实践二十五号卫星对卫星A加注燃料后，二十五号卫星向前喷射少量减速剂即可实现分离
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
BD　[实践二十五号卫星直接加速，将做离心运动，变轨到更高的轨道，不能与卫星A对接，故A错误；根据牛顿第二定律可得＝ma，可得a＝，可知实践二十五号卫星和卫星A对接时具有相同的加速度，故B正确；由于不知道实践二十五号卫星和卫星A的质量关系，所以无法比较实践二十五号卫星受到地球的万有引力与卫星A受到地球的万有引力的大小关系，故C错误；实践二十五号卫星对卫星A加注燃料后，二十五号卫星向前喷射少量减速剂，则二十五号卫星速度减小，二十五号卫星将做向心运动，可实现分离，故D正确。故选BD。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
8．(2025·广东珠海一模)如图所示，某卫星被月球俘获后绕月球沿椭圆轨道Ⅰ运动，在近月点制动后，卫星沿椭圆轨道Ⅱ运动，轨道Ⅰ的近月点到月面的距离极短，远月点到月面的高度为8h，轨道Ⅱ的近月点与轨道Ⅰ的近月点重合，远月点到月面的高度为h。卫星在轨道Ⅰ上运行的周期是卫星在轨道Ⅱ上运行周期的8倍。引力常量为G，月面的重力加速度大小为g，将月球视为质量分布均匀的球体，忽略月球自转的影响。下列说法正确的是(　　)
A．月球的半径为h　 B．月球的半径为h
C．月球的密度为　 D．月球的密度为
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
AC　[设月球的半径为R，则轨道Ⅰ、Ⅱ的半长轴分别为a1＝，a2＝，根据开普勒第三定律有＝＝8，解得R＝h，故A正确，B错误；设月球的质量为M，卫星的质量为m，则有G＝mg，而月球的密度ρ＝，其中月球的体积V＝，联立解得ρ＝，故C正确，D错误。故选AC。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
三、非选择题
9．(2025·天津河西一模)用如图甲所示装置研究平抛运动。
(1)关于该实验，下列说法哪些是正确的 ________
(填写正确答案标号)
A．实验中应保持硬板竖直
B．建立坐标轴时应以槽口的端点作为坐标原点
C．用实心铁球完成实验比用空心木球完成实验效果好
D．绘制平抛运动轨迹时应该用直线连接小球经过的所有位置
AC
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(2)某位同学通过实验得到了平抛小球的运动轨迹。为了进一步探究平抛运动的特点，他建立了以抛出点O为原点的xOy坐标系，并在轨迹上取一些点，测量这些点的水平坐标x和竖直坐标y。若坐标x、y满足关系________，就能够说明小球的运动轨迹为抛物线。(填写正确答案标号)
A．y∝　 B．y∝x
C．y∝x2　 D．y∝x3
C
(3)另一位同学在进行这个实验时，忘记了记录平抛的抛出点，并得到如图乙所示的平抛小球运动轨迹，则图中的________(选填“>”“<”或“＝”)。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
>
[解析]　(1)实验中应保持硬板竖直，保证小球与白纸不发生摩擦，不影响小球的运动，故A正确；建立坐标轴时，应以小球在槽口末端静止时的球心在硬板上的投影为坐标原点，故B错误；应该选用质量大、体积小的小球做实验，以减小空气阻力的影响，所以用实心铁球完成实验比用空心木球完成实验效果好，故C正确；绘制平抛运动轨迹时应该用平滑的曲线连接小球经过的所有位置，故D错误。故选AC。
(2)根据平抛运动规律，水平方向有x＝v0t
竖直方向有y＝gt2
联立解得y＝x2，故选C。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(3)小球在水平方向上做的是匀速直线运动，因为A到B和B到C的水平距离相等，所以小球从 A到B的时间等于小球从B到C的时间。小球在竖直方向上做匀变速直线运动，因为坐标原点不是小球的抛出点，所以小球在竖直方向上的初速度不为0，因此y1＝vyt＋gt2
又有y1＋y2＝vyt＋g(2t)2，即y2＝gt2
因此>。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
10．(2025·安徽阜阳一模)某同学在练习“侧向擦板投篮”时，篮球恰好在最高点击中篮板上距出手点竖直高度差h1＝1.8 m的A点，篮球经篮板反弹后进入篮筐。篮球与篮板碰撞后，平行于篮板的速度分量不变，垂直于篮板的速度分量大小变为碰前的一半。O1与A点在篮板上处于同一水平线，O2是篮筐的篮圈中心在篮板上的投影，O1在O2正上方。若O1A＝x＝40 cm，O1O2＝h2＝20 cm，篮球被篮板反弹后从篮筐进入球网，篮球球心在篮板上的投影也为O2时，篮球上靠近篮板的边缘离篮板的距离y＝30 cm，不计篮球与篮板碰撞时的形变与碰撞时间，重力加速度大小g取10 m/s2，空气阻力不计。求：
(1)该同学投篮时，篮球离开手的速度大小；
(2)篮球从出手到进筐(球心在篮板上的投影为O2)所用的时间。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解析]　(1)A点是篮球运动的最高点，经篮板反弹后篮球在竖直方向做自由落体运动，在竖直方向上有h2＝g，解得t1＝0.2 s
沿AO1方向，篮球做匀速直线运动，设速度大小为vx，则有x＝vxt1，解得vx＝2 m/s
垂直于篮板方向，篮球做匀速直线运动，设碰前速度大小为vy，则有y＝vyt1
解得vy＝3 m/s
篮球离开手时速度的竖直分量设为vz，则＝2gh1，解得vz＝6 m/s
则篮球离开手时的速度大小v＝，代入数据解得v＝7 m/s。
(2)设篮球从出手到运动至最高点的时间为t2，则vz＝gt2
解得t2＝0.6 s
篮球从出手到进筐所用的时间t＝t1＋t2＝0.8 s。
[答案]　(1)7 m/s　(2)0.8 s
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
11．如图所示，一段水平的公路由两直道AB、CD以及圆弧弯道BC组成。一辆汽车在AB段上以v0＝72 km/h的速率匀速行驶，接近弯道时以大小为a1＝4 m/s2的加速度匀减速刹车，然后以不发生侧滑的最大速率通过圆弧弯道。进入CD后以大小为a2＝2 m/s2的加速度加速到原速率v0继续行驶。已知弯道的半径R＝24 m。弯道圆弧长度s＝60 m，转弯时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为车重的，重力加速度大小g取10 m/s2，求：
(1)汽车开始刹车时距B的距离；
(2)汽车从刹车开始至恢复到原速率所用的时间。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解析]　(1)汽车以不发生侧滑的最大速率通过圆弧弯道，则此时最大静摩擦力提供向心力，已知弯道的半径R＝24 m，转弯时路面对轮胎的径向最大静摩擦力为车重的，则在BC段根据牛顿第二定律有mg＝m
解得汽车通过圆弧弯道的速率为v＝12 m/s
对AB段刹车过程，根据速度－位移公式有
v2－＝－2a1x
解得开始刹车时汽车距B的距离为x＝32 m。
(2)在AB段，汽车从刹车开始做匀减速直线运动，根据速度－时间公式有v＝v0－a1t1
解得汽车从刹车开始至B所用时间t1＝2 s
在BC段，汽车做匀速圆周运动，已知圆弧弯道长度s＝60 m
根据圆周运动线速度的定义式可知v＝
解得汽车通过圆弧弯道的时间t2＝5 s
题号
1
3
5
2
4
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10
11
在CD段，汽车做匀加速直线运动加速到原速率，根据速度－时间公式可知v0＝v＋a2t3
解得汽车从C点至恢复到原速率的时间t3＝4 s
故汽车从刹车开始至恢复到原速率所用时间为
t＝t1＋t2＋t3＝11 s。
题号
1
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5
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11
[答案]　(1)32 m　(2)11 s
阶段检测(二)　第三章至第四章
题号
1
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11
一、单选题
1．(2025·陕西咸阳阶段检测)北京时间2025年6月26日21时29分，经过约6.5小时的出舱活动，神舟二十号航天员乘组圆满完成第二次出舱活动。在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，航天员乘组还完成了舱外设备设施巡检及处置等任务。已知空间站绕行地球一圈的时间大约为90分钟。下列说法正确的是(　　)
A．空间站的运行速度大于第一宇宙速度
B．空间站的加速度大于地球表面的重力加速度
C．航天员出舱后漂浮在空中不受任何力的作用
D．航天员在出舱时间内最多可以看到5次日出
√
D　[第一宇宙速度是最大环绕速度，所以空间站的运行速度小于第一宇宙速度，故A错误；根据牛顿第二定律可得G＝ma，所以a＝G<＝g，即随着高度增大，加速度减小，空间站的加速度小于地球表面的重力加速度，故B错误；航天员出舱后漂浮在空中受到地球引力的作用，故C错误；空间站绕行地球一圈的时间大约为90分钟，所以n＝≈4.33，因此航天员在出舱时间内最多可以看到5次日出，故D正确。]
题号
1
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题号
1
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11
2．(2026·福建莆田开学考)如图所示，倾角为α的斜面固定在水平地面上，斜面上有两个质量均为m的小球A、B，它们用劲度系数为k的轻质弹簧相连接，现对A施加一个水平向右、大小为F＝mg的恒力，使A、B在斜面上都保持静止，如果斜面和两个小球的摩擦均忽略不计，此时弹簧的长度为L，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．弹簧的原长为L＋
B．斜面的倾角为α＝60°
C．撤掉恒力F的瞬间小球A的加速度大小为g
D．撤掉恒力F的瞬间小球B的加速度大小为g
√
题号
1
3
5
2
4
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8
7
9
10
11
C　[对小球B进行受力分析，根据平衡条件可得mgsin α＝kx，对A、B整体进行受力分析，根据平衡条件有Fcos α＝2mgsin α，代入数据解得α＝30°，x＝，则弹簧的原长为L－，故A、B错误；撤掉恒力F的瞬间，弹簧弹力不变，对A进行受力分析，根据牛顿第二定律得mgsin α＋kx＝maA，解得aA＝g，故C正确；撤掉恒力F的瞬间，B球所受合力不变，B球的加速度为0，故D错误。故选C。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
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11
3．(2026·四川成都开学考)如图所示，两个质量分别为mA、mB(mA≠mB)的物体通过轻绳相连静止在光滑水平面上，第一次在恒力F1的作用下向左加速运动，绳子拉力为T1；第二次在恒力F2(F1≠F2)的作用下向右加速运动，绳子的拉力为T2，则T1和T2的关系是(　　)

A．＝　B．＝C．＝　D．＝
√
题号
1
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5
2
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10
11
D　[第一次在恒力F1的作用下向左加速运动时，根据牛顿第二定律可得，F1＝(mA＋mB)a1，T1＝mBa1，联立解得T1＝，第二次在恒力F2的作用下向右加速运动时，根据牛顿第二定律可得，F2＝(mA＋mB)a2，T2＝mAa2，联立解得T2＝，则T1和T2的关系是＝，故选D。]
题号
1
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11
4．(2026·山东济南开学考)如图所示，长度为L、与水平面夹角为θ的倾斜传送带以恒定速率顺时针转动。将质量均为m的物块P、Q(均可视为质点)分别无初速度放在传送带最底端的M点，物块P的位移为L时恰好与传送带共速，物块Q的位移为时恰好与传送带共速。物块P、Q与传送带之间的动摩擦因数分别为μ1、μ2，则μ1、μ2与θ满足的关系为(　　)
A．μ2－2μ1＝tan θ　 B．μ1－2μ2＝tan θ
C．2μ2－μ1＝tan θ　 D．2μ1－μ2＝tan θ
√
题号
1
3
5
2
4
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7
9
10
11
D　[物块的加速度a＝μgcos θ－gsin θ，与传送带恰好共速时满足v2＝2ax，可知2a1L＝2a2，即2(μ1gcos θ－gsin θ)＝μ2gcos θ－gsin θ，解得2μ1－μ2＝tan θ，故选D。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
5．(2026·安徽合肥开学考)某同学在练习投篮。篮球出手瞬间的速度与水平方向的夹角为α＝37°，结果篮球刚好垂直地击中篮板(竖直)，击中篮板点到地面的距离为H＝3.2 m，篮球与篮板碰后瞬间的速度大小变为碰前的，篮球的落地点到篮板的水平距离为x＝4.0 m，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。忽略空气的阻力及篮球大小。则篮球出手瞬间的速度大小为(　　)
A． m/s　 B． m/s
C．5 m/s　 D．4 m/s
√
题号
1
3
5
2
4
6
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7
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10
11
A　[篮球与篮板碰后将做平抛运动，下落的高度为H＝3.2 m，水平位移为x＝4.0 m。设其下落时间为t，根据竖直方向做自由落体运动的位移公式有H＝gt2，解得t＝＝ s＝0.8 s，水平方向做匀速直线运动，设篮球与篮板碰后瞬间的速度为v，则有v＝＝ m/s＝5 m/s，已知篮球与篮板碰后瞬间的速度大小变为碰前的，设篮球与篮板碰前瞬间的速度为vx，则有vx＝v，解得篮球与篮板碰前瞬间的速度大小为vx＝v＝×5 m/s＝ m/s，篮球出手后做的是斜抛运动，篮球垂直击中篮板，说明此时速度方向水平，竖直分速度为0。设篮球出手的速度大小为v0，则有v0cos 37°＝vx＝ m/s，解得篮球出手的速度大小为v0＝ m/s，故选A。]
题号
1
3
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2
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6
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11
二、多选题
6．如图所示，小球a、b分别在细绳和轻质细杆作用下在竖直面内做圆周运动，两小球运动的半径均为R，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．小球a经过最高点时的速度可能小于
B．小球b经过最高点时的速度可能小于
C．小球a经过最高点时，细绳对小球a可能没有力的作用
D．小球b经过最高点时，细杆对小球b一定有支持力作用
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
BC　[小球a经过最高点时，当绳子拉力刚好为0时，速度最小，此时重力提供向心力，有mg＝m，解得vamin＝，可知小球a经过最高点时的速度不可能小于，故A错误，C正确；小球b经过最高点时，当杆的支持力与重力平衡时，速度最小，为0，则小球b经过最高点时的速度可能小于，故B正确；小球b经过最高点时，当重力刚好提供向心力时，有mg＝m，解得v＝，可知此时细杆对小球b的支持力为0，故D错误。故选BC。]
题号
1
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2
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11
7．(2026·福建福州开学考)中国行星探测器天问二号于2025年发射，用于对绕太阳沿椭圆轨道公转的小行星2016HO3和主带彗星311P进行探测，地球绕太阳可视为近似圆周运动，如图所示。已知2016HO3和311P绕太阳公转的轨道半长轴分别为1 AU和2.2 AU(AU为天文单
位，即日地之间的距离)。下列说法正确的是(　　)
A．2016HO3的公转线速度比311P的小
B．2016HO3的公转周期比311P的小
C．天问二号探测器在地面上的发射速度大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度
D．在相等时间内，2016HO3与太阳连线扫过面积等于311P与太阳连线扫过面积
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
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7
9
10
11
BC　[行星绕太阳做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得＝m，可得v＝，由题可知2016HO3的轨道半长轴比311P的小，因此2016HO3的公转线速度比311P的大，故A错误；根据开普勒第三定律＝k，由于2016HO3的轨道半长轴小于311P的轨道半长轴，则2016HO3的公转周期比311P的小，故B正确；天问二号探测器对绕太阳沿椭圆轨道公转的小行星2016HO3和主带彗星311P进行探测，脱离了地球引力的约束，但仍在太阳系中，所以天问二号探测器在地面上的发射速度大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度，故C正确；根据开普勒第二定律可知，同一轨道的行星，在相等时间内，行星与太阳连线扫过面积相等，但2016HO3与311P处于不同轨道，所以在相等时间内，2016HO3与太阳连线扫过面积与311P与太阳连线扫过面积不相等，故D错误。故选BC。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
8．(2026·山东日照开学考)如图所示，在半径为R的水平圆盘边缘处放置两个可视为质点的滑块a和b。其中a与圆盘之间的动摩擦因数为μ，b与圆盘之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现使圆盘绕过圆心O的竖直轴缓慢加速转动。小滑块a和b抛出时的速度方向相同，落地后立即静止。已知圆盘到地面的高度为R，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．滑块a抛出时的速度大小为
B．滑块b抛出时的速度大小为
C．滑块a、b落地点之间的距离为R
D．滑块b的落地点到圆心O的距离为R
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
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9
10
11
AD　[设滑块a抛出时的速度大小为va，根据牛顿第二定律可得μmag＝ma，解得va＝，故A正确；设滑块b抛出时的速度大小为vb，根据牛顿第二定律可得μmbg＝mb，解得vb＝，故B错误；已知滑块a和b抛出时的速度方向相同，滑块在空中做平抛运动，竖直方向有R＝gt2，解得t＝，则滑块a和b做平抛运动的水平位移大小分别为xa＝vat＝R，xb＝vbt＝R，可知滑块a、b落地点之间的距离为Δx＝xa－xb＝(－1)R，根据几何关系可知，滑块b的落地点到圆心O的距离为l＝＝R，故C错误，D正确。故选AD。]
题号
1
3
5
2
4
6
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11
三、非选择题
9．(2026·江苏镇江开学考)某同学用如图甲所示的装置进行“探究加速度与合外力之间关系”的实验，图中的拉力传感器随时可以将小车所受细绳的拉力F显示在与之连接的电脑上并进行记录，其中小车的质量为M，沙和沙桶的质量为m，小车的运动情况通过打点计时器在纸带上打点记录。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(1)对于该实验应该注意的问题或者会出现的情况，以下说法正确的是________。
A．该实验需要平衡阻力
B．实验过程中需要始终保持M远大于m
C．实验得到的a-F图线在F比较大时会出现弯曲
(2)如图乙所示是实验过程中得到的纸带，A、B、C、D、E、F、G是选取的计数点，相邻的两个计数点之间还有四个点没有画出，打点计时器使用的电源频率f＝50 Hz，则小车运动的加速度大小a＝_______ m/s2(结果保留两位有效数字)。
A　
0.50
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(3)若该同学由实验得到小车的加速度a与力传感器示数F的关系如图丙所示，纵截距为－b，横轴截距为c，则小车运动中所受阻力f＝_________，小车的质量M＝_________(均用b、c表示)。
(4)若小车运动中阻力恒定，该同学不断增加沙子质量重复实验，发现小车的加速度最后会趋近于某一数值，重力加速度为g，从理论上分析可知，该数值应为________。
c　
　
g
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解析]　(1)该实验需要平衡阻力，使小车所受的合外力等于细绳的拉力，故A正确；因为用拉力传感器可以直接测量拉力，所以不需要始终保持M远大于m，故B错误；由于不需要M远大于m，所以实验得到的a-F图线不会出现弯曲，故C错误。故选A。
(2)由题意可知相邻计数点的时间间隔
t＝5×＝0.1 s
由逐差法可知加速度大小a0＝＝×10-2 m/s2＝0.50 m/s2。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(3)对小车，根据牛顿第二定律有F－f＝Ma
整理得a＝F－ f
可知a-F图像斜率k＝＝
纵截距－b＝－f
联立解得M＝，f＝c。
(4)对小车有F－f＝Ma
对沙和沙桶有mg－F＝ma
联立解得a＝＝，可知当m趋近于无穷大时，a趋近于g。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
10．(2026·河北邯郸开学考)如图所示，足够长的长木板A的质量为m1＝2 kg，可视为质点的物块B的质量为m2＝1 kg，A与B之间的动摩擦因数μ＝0.4，B以初速度v0＝6 m/s从左端滑上静止在光滑水平面上的A木板，同时对B施加一个大小为F＝6 N、方向水平向左的恒力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)B在A上相对A向右滑动过程中，A和B的加速度大小；
(2)A与B达到的共同速度的大小；
(3)B向右运动的最大位移。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解析]　(1)根据题意，B相对A向右滑动过程中，B受到向左的恒力和滑动摩擦力做匀减速运动，A受摩擦力向右做匀加速运动，设A和B的加速度大小分别为a1、a2，由牛顿第二定律，对A有μm2g＝m1a1
解得A的加速度大小a1＝2 m/s2
对B有F＋μm2g＝m2a2
解得B的加速度大小a2＝10 m/s2。
(2)设经过时间t，A和B达到共同速度v，则有v＝v0－a2t＝a1t，解得t＝0.5 s
A和B达到的共同速度的大小v＝1 m/s。
(3)假设当两者达到共同速度后相对静止，系统只受恒力F作用，设系统的加速度为a3，则由牛顿第二定律有F＝(m1＋m2)a3，解得a3＝2 m/s2
此时A需要的摩擦力为f＝m1a3＝4 N
B与A间的最大静摩擦力为
fmax＝μm2g＝4 N＝f
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
假设成立，所以两者一起向右做匀减速运动，综上所述，由运动学公式可得，B第一段的位移大小为x1＝＝1.75 m
B第二段的位移大小为x2＝＝0.25 m
则B向右运动的最大位移xm＝x1＋x2＝2 m。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[答案]　(1)2 m/s2　10 m/s2　(2)1 m/s　(3)2 m
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
11．(2025·福建福州一模)《水流星》是中国传统民间杂技艺术，杂技演员用一根绳子兜着里面倒上水的两个碗，迅速地旋转着绳子做各种精彩表演，即使碗底朝上，碗里的水也不会洒出来。假设水的质量为m，绳子长度为L，重力加速度为g，不计空气阻力。绳子的长度远远大于碗口直径。杂技演员手拿绳子的中点，让碗在空中旋转。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(1)两碗在竖直平面内做圆周运动，若碗通过最高点时，水对碗的压力等于mg，求碗通过最高点时的线速度；
(2)若两只碗在竖直平面内做圆周运动，两碗的线速度大小始终相等，如图甲所示，当正上方碗内的水恰好不流出来时，求正下方碗内的水对碗的压力；
(3)若两只碗绕着同一点在水平面内做匀速圆周运动，碗的质量为M。如图乙所示，已知绳与竖直方向的夹角为θ，求碗和水转动的角速度大小。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解析]　(1)碗通过最高点时，水对碗的压力等于mg，根据牛顿第三定律可知，碗对水的支持力大小为F1＝mg，根据牛顿第二定律可得F1＋mg＝m
其中R＝，F1＝mg，解得v＝。
(2)当正上方碗内的水恰好不流出来时，设速度为v0，此时重力提供向心力，有mg＝
设最低点碗对水的支持力为F2，则有F2－mg＝m，解得F2＝2mg
由牛顿第三定律可知，正下方碗内的水对碗的压力大小为2mg，方向竖直向下。
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
(3)设绳子的拉力为F，以碗和水为整体，竖直方向上有Fcos θ＝(M＋m)g
水平方向上，根据牛顿第二定律可得Fsin θ＝(M＋m)ω2r
又r＝sin θ，联立解得ω＝。
[答案]　(1)　(2)2mg，方向竖直向下　(3)
谢谢！课时作业(二十七)　天体运动的三类热点问题(思维进阶课)
说明：单选题每小题4分；多选题每小题6分；本试卷共44分。
1．(2025·四川南山中学11月月考)中国载人登月初步方案已公布，计划2030年前实现载人登月科学探索。假如在登月之前需要先发射两颗探月卫星进行科学探测，两卫星在同一平面内绕月球的运动可视为匀速圆周运动，且绕行方向相同，如图甲所示，测得两卫星之间的距离Δr随时间t变化的关系如图乙所示(r、T均为已知)，不考虑两卫星之间的作用力。下列说法正确的是(　　)
A．a、b两卫星的线速度大小之比va∶vb＝∶1
B．a、b两卫星的加速度大小之比aa∶ab＝3∶1
C．a卫星的运转周期为T
D．b卫星的运转周期为2T
2．(2024·湖北卷)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则(　　)
A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
3．(2025·江苏南京模拟)如图所示为某卫星发射的过程简化图，位于椭圆轨道1的卫星变速后进入圆形同步轨道2，然后在M点再次改变方向进入同步静止轨道3上，Q点为椭圆轨道1的近地点，P点为椭圆轨道1上的远地点，则下列说法正确的是(　　)
A．轨道2可能在某两条经线组成的圆的正上方
B．卫星在Q点的速度大于其在M点的速度
C．卫星在3个轨道上的机械能存在的关系式为E1>E2＝E3
D．卫星在轨道2上经过P点时的向心加速度大于其在轨道1上运动时经过P点的向心加速度
4．(2025·江西九江模拟)宇宙中由A、B两颗恒星组成的双星系统绕A、B连线上的一点做匀速圆周运动，已知恒星A的质量大于恒星B的质量，两恒星的总质量一定，两恒星间的距离为L，不考虑双星系统以外的天体对双星系统的影响，下列说法正确的是(　　)
A．恒星A运动的角速度大于恒星B运动的角速度
B．恒星A做圆周运动的向心力大于恒星B做圆周运动的向心力
C．L越大，恒星A做圆周运动的周期越大
D．恒星A、B的质量差越大，恒星A做圆周运动的周期越大
5．2025年3月21日，神舟十九号乘组航天员在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务。将我国空间站绕地球运动的轨道看成半径为r的圆轨道，其在轨运行周期约为90分钟。假设从空间站向下投放一卫星，用一长为L0(L0 r)的轻绳与卫星(有动力)相连，慢慢从空间站放下直到轻绳伸直，投放过程中及稳定时卫星、空间站、地心三者共线，之后断开连接绳且立即关闭卫星动力系统，让其独自运动。不计空气阻力，关于这一过程，下列说法正确的是(　　)
A．卫星下降过程需要向前喷气
B．断开轻绳前，卫星所受合力为0
C．关闭动力系统后，卫星仍做圆周运动
D．关闭动力系统后，卫星绕地球运动的周期可能为95 min
6．(2025·河南开封一模)2025年2月28日，太阳系的七大行星上演“七星连珠”的天文现象。已知太阳系的八大行星基本运行在同一平面上，地球绕太阳运行的公转轨道半径是火星公转轨道半径的，则火星与地球相邻两次相距最近大约需要(　　)
A．1.2年　 B．1.8年
C．2.2年　 D．3.7年
7．(2025·山东日照模拟)“天王星冲日”现象是指天王星和太阳恰好分别位于地球的两侧，并且三者在同一直线上。已知此现象约370天发生一次，天王星和地球在同一平面内公转，轨道均近似为以太阳为圆心的圆形轨道，且公转方向相同，天王星的公转轨道半径大于地球的公转轨道半径，地球的公转周期约为365天，则天王星的公转轨道半径与地球的公转轨道半径之比约为(　　)
A．74　 B．7
C．720　 D．72
8．(2025·辽宁沈阳一模)北斗三号卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星(MEO)、3颗地球静止轨道卫星(GEO)和3颗倾斜地球同步轨道卫星(IGSO)共同组成。如图所示，倾斜地球同步轨道卫星与中圆地球轨道卫星同平面，中圆地球轨道卫星的周期为同步卫星周期T的一半。下列关于地球静止轨道卫星A、倾斜地球同步轨道卫星B与中圆地球轨道卫星C的说法正确的是(　　)
A．卫星C的线速度小于卫星B的线速度
B．卫星A和卫星B均相对地球表面静止
C．卫星A与地心连线和卫星C与地心连线在相同时间内扫过相同的面积
D．某时刻B、C两卫星相距最近，则再经T，两卫星相距最远
9．(多选)(2025·重庆模拟)“食双星”是指两颗恒星在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动。由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但由于两颗恒星的彼此“掩食”，会造成其亮度发生周期性变化，观测者可以通过观察双星的亮度来研究双星。如图所示，t1时刻，由于较亮的恒星遮挡较暗的恒星，造成亮度L减弱，t2时刻则是较暗的恒星遮挡较亮的恒星。若较亮的恒星与较暗的恒星的质量和圆周运动的半径分别为m1、r1和m2、r2，下列关系式正确的是(　　)
A．＝
B．＝
C．m1＋m2＝
D．m1＋m2＝
10．(多选)(2025·河南安阳模拟)地球和月球可视作一个双星系统，它们同时绕着它们连线上的A点转动。同时在这个转动的平面内存在五个拉格朗日点，在这些点上的卫星能够在地球和月球的共同引力作用下也绕A点转动，并且在转动过程中与地球和月球的相对位置保持不变。如图所示，在拉格朗日点L4处存在一个监测卫星，与地球球心、月球球心的连线恰构成一个等边三角形，其主要作用是监测其他月球卫星的工作情况，已知监测卫星到A点的距离大于月球到A点的距离，地球的质量为月球的81倍，则稳定运行时(　　)
A．监测卫星周期小于月球周期
B．监测卫星速度小于月球速度
C．监测卫星加速度大于月球加速度
D．地球与月球运动半径之比为1∶81
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