资源简介

(共56张PPT)
圆的综合题
【命题解读】此题型是浙江近三年的常考题型，考查形式为解答题，题位为21－24题，分值为8－14分，常结合垂径定理、圆周角定理、切线的性质、圆内接四边形、全等三角形、相似三角形、解直角三角形等知识点考查，常考类型有：类型一 与全等三角形结合(浙江2024.24，湖州2023.21，衢州2023.21)；类型二 与相似三角形结合(绍兴2023.21，温州2023.24)；类型三 与全等三角形、相似三角形都结合(杭州2023.23，宁波2023.24，丽水2023.24)．
类型一
典例精析
例1
与全等三角形结合(浙江2024.24，湖州2023.21，衢州2023.21)
(2024·浙江24题12分)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC．
(1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数．
思路点拨
根据圆周角定理的推论及三角形的内角和求出∠ACD，进一步计算即可．
【解答】∵CD为直径，
∴∠CAD＝90°．
∵∠AFE＝∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝180°－90°－60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝30°．
(2)求证：①EF∥BC；
答图
【解答】如答图，延长AB至点M．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CBM＝∠ADC．
又∵∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFE＝∠CBM，
∴EF∥BC．
思路点拨
利用圆内接四边形的性质以及平行线的判定方法即可得证．
②EF＝BD．
【解答】如答图，过点D作DG∥BC交圆于点G，连接AG，CG．
∵DG∥BC，∴∠BCD＝∠GDC，
∴，∴BD＝CG．
∵四边形ACGD是圆内接四边形，
∴∠GDE＝∠ACG．
答图
思路点拨
过点D作DG∥BC交圆于点G，连接AG，CG，易得BD＝CG，根据圆内接四边形的性质、平行线的性质、圆周角定理的推论，结合全等三角形的判定与性质即可得证．
由(2)①得EF∥BC．
又∵DG∥BC，∴EF∥DG，
∴∠AEF＝∠GDE，
∴∠AEF＝∠ACG．
∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，∴∠AFE＝∠AGC．
又∵AE＝AC，
∴△AEF≌△ACG(AAS)，
∴EF＝CG，
∴EF＝BD．
答图
对点训练
1．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC是☉O的直径，☉O与边AB交于点D，E为的中点，连接CE交AB于点F．
(1)若∠A＝4∠B，求∠ECB的大小；
解：如答图①，连接CD．
∵E为的中点，∴∠ECD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠BCD．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°．
∵∠A＝4∠ABC，∴∠ABC＝18°．
∵BC是☉O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°－18°＝72°，
∴∠ECB＝∠BCD＝36°．
答图①
(2)求证：AC＝AF；
答图①
证明：如答图①，连接BE．
∵E为的中点，∴，∴∠EBD＝∠ECB．
∵BC是☉O的直径，∴∠BEC＝90°，
∴∠EBD＋∠EFB＝90°．
∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＋∠ACF＝90°，
∴∠EFB＝∠ACF．
∵∠EFB＝∠AFC，∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF．
(3)若BC＝6，，求△AFC的面积．
答图②
解：如答图②，过点A作AG⊥EC，垂足为G，
连接BE，
∴易得∠AGF＝∠BEF＝90°.
∵，∴FC＝2EF.
由(2)可知AF＝AC.
又∵AG⊥FC，∴FG＝CG，
∴EF＝FG＝CG.
在△BEF和△AGF中，
∴△BEF≌△AGF(ASA)，
∴BF＝AF，∴F为AB的中点，∴AB＝2AF＝2AC.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，
即(2AC)2＝AC2＋62，
解得AC＝2(负值已舍去)，
∴S△ABC＝AC·BC＝×2×6＝6，
∴S△AFC＝S△ABC＝3.
答图②
2．(2025·舟山普陀区三模)已知△ABC内接于☉O，AC为☉O的直径，在CA的延长线上取一点E，使AE＝AB，连接BE，在AE的下方作∠AFE＝∠BCA，连接CF交☉O于点D，连接BD．
(1)如图①，若∠BDC＝∠AEF．
①求证：△ABC≌△EAF；
①
①证明：∵∠BDC＝∠BAC，∠BDC＝∠AEF，
∴∠BAC＝∠AEF．
在△ABC和△EAF中，
∴△ABC≌△EAF(AAS)．
解：如答图①，连接AD．
∵AC为☉O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°．
由(1)①知，△ABC≌△EAF，
∴∠EAF＝∠ABC＝90°，
BA＝AE＝2，BC＝AF＝4，
∴∠CAF＝90°．
答图①
②若AE＝2，AF＝4，求CD的长．
①
在Rt△ABC中，AC＝＝2，
∴在Rt△AFC中，CF＝＝6．
∵S△ACF＝AC·AF＝AD·CF，
∴AD＝，
∴在Rt△ADC中，CD＝．
答图①
(2)如图②，若AF＝EF，2∠CBD＝3∠BCA，求证：BD＝EF．
②
证明：如答图②，取优弧的中点G，连接BG，AG．
∵∠G＝∠BCA，∠AFE＝∠BCA，∴∠G＝∠AFE．
∵，∴BG＝AG，∴∠GAB＝∠GBA．
∵AF＝EF，∴∠FAE＝∠FEA，
∴∠GAB＝∠GBA＝∠FAE＝∠FEA．
在△GAB和△FEA中，
∴△GAB≌△FEA(ASA)，∴AG＝EF．
答图②
∵2∠CBD＝3∠BCA，
∴设∠BCA＝2x，则∠CBD＝3x，
∴∠G＝∠BCA＝2x，
∴∠GBA＝＝90°－x．
∵∠CBA＝90°，
∴∠CBG＝∠CBA－∠GBA＝90°－(90°－x)＝x，
∴∠GBD＝∠CBD－∠CBG＝3x－x＝2x，
∴∠GBD＝∠BCA，
∴，∴，
∴AG＝BD，∴BD＝EF．
答图②
(2023·温州24题14分 )如图①，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，BE⊥CD，交CD的延长线于点E，交半圆O于点F，已知OA＝，AC＝1．如图②，连接AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H．设PH＝x，MN＝y．
类型二
典例精析
例2
与相似三角形结合(绍兴2023.21，温州2023.24)
① 　 ②
思路点拨
求出CD的长．由平行线分线段成比例即可求得CE的长．由平行四边形的判定与性质及锐角三角函数，得CM＝AP＝x，证明△NME∽△BCE，可得线段比例关系，即可求解．
(1)求CE的长和y关于x的函数表达式；
① 　②
答图①
【解答】如答图①，连接OD．
∵CD切半圆O于点D，∴OD⊥CE．
又∵BE⊥CE，∴OD∥BE，∴．
∵OA＝，AC＝1，∴OC＝，BC＝4，OD＝，
∴在Rt△OCD中，CD＝＝2，
∴，∴CE＝．
∵在Rt△CEB中，BC＝4，∴BE＝．
∵AB为半圆O的直径，∴∠AFB＝90°＝∠E，
∴AF∥CE，∴∠C＝∠PAB．
又∵MN∥CB，∴四边形APMC是平行四边形，∴CM＝AP．
∵在Rt△CEB中，sin C＝，∴sin∠PAB＝．
∵PH⊥AB，∴∠AHP＝90°．
在Rt△APH中，sin∠PAH＝，∴AP＝x，
∴CM＝x，∴ME＝CE－CM＝x．
∵BC∥NM，∴△NME∽△BCE，∴，
∴，∴y＝－x＋4．
答图①
(2)当PH＜PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值；
① 　②
思路点拨
分三种情况讨论，根据相似三角形的性质列出方程即可求解．
【解答】由(1)知，四边形APMC是平行四边形，∴PM＝AC＝1，
∴PN＝y－1＝－x＋4－1＝－x＋3．
∵PH＜PN，△BCE的三边比为BE∶CE∶CB＝3∶4∶5，
∴可分为以下三种情况：
当PH∶PN＝3∶5时，PN＝x，∴x＝－x＋3，解得x＝，∴a＝x＝；
当PH∶PN＝4∶5时，PN＝x，∴x＝－x＋3，解得x＝，∴a＝x＝；
当PH∶PN＝3∶4时，PN＝x，∴x＝－x＋3，解得x＝，∴a＝x＝．
综上所述，a的值为．
【解答】如答图②，连接AQ，BQ，过点Q作QG⊥AB
于点G，则易得∠AQB＝∠AGQ＝90°，QG＝PH＝x，
∴∠QAB＝∠BQG．
(3)延长PN交半圆O于点Q，当NQ＝x－3时，
求MN的长．
答图②
① 　②
思路点拨
连接AQ，BQ，过点Q作QG⊥AB于点G．根据锐角三角函数可用x表示出BG的长，由线段的数量关系列出方程，即可求解．
由(2)知PN＝－x＋3．
又∵NQ＝x－3，∴PQ＝PN＋NQ＝x．
由(1)易得，∴AH＝PH＝x．
易得HG＝PQ＝x，∴AG＝AH＋HG＝3x，
∴tan∠BQG＝tan∠QAB＝，
∴BG＝QG＝x，∴AB＝AG＋BG＝x＝3，
∴x＝，∴y＝－x＋4＝，即MN的长为．
对点训练
3．(2025·杭州西湖区三模)如图，在等腰三角形ABC中，CA＝CB，D为AB上一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F．连接AE，作△ACE的外接圆交FC的延长线于点G．
(1)若劣弧AE所对的圆心角的度数为140°，求∠F的度数；
解：∵劣弧所对的圆心角的度数为140°，
∴∠ACE＝×140°＝70°．
∵DE∥AC，CF∥AB，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴∠F＝∠BAC．
∵CA＝CB，∴∠BAC＝∠ABC，
∴∠BAC＝(180°－∠ACB)＝×(180°－70°)＝55°，
∴∠F＝55°．
(2)求证：；
证明：如答图，连接AG，EG．
∵CF∥AB，
∴∠FCE＝∠B，∠ACG＝∠BAC．
∵CA＝CB，
∴∠BAC＝∠ABC，∴∠FCE＝∠ACG．
∵，∴∠AEG＝∠ACG．
∵∠ECF＝∠EAG，
∴∠GAE＝∠AEG，∴．
答图
(3)若，CF＝2CG＝10，求△ACE的面积．
解：如答图，过点E作PQ⊥AB于点Q，交CF于点P.
∵CA＝CB，CF∥AB，
∴∠CAB＝∠B，∠FCE＝∠B，
∴∠CAB＝∠FCE.
∵∠FCE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAB，
∴∠GAC＝∠BAE.
又∵∠AGC＝∠AEB，
∴△ACG∽△ABE，
答图
∴.
∵2CG＝10，∴CG＝5，∴BE＝6.
又∵DE∥AC，
∴∠CAB＝∠EDB＝∠B， △BDE∽△BAC，
∴DE＝EB＝6，，
∴DB＝，
∴DQ＝，
答图
∴在Rt△EDQ中，由勾股定理得EQ＝.
∵AB∥CF，
∴△EBD∽△ECF，
∴，
∴EP＝EQ·，
∴PQ＝EP＋EQ＝.
易得四边形ADFC为平行四边形，
∴S△ACE＝S ADFC＝AD·PQ＝CF·PQ＝.
答图
4．如图，已知AB是☉O的弦，C，D是☉O上的点，AD交BC于点E，连接AC，BD，∠AEC＝∠BAC．
(1)求证：C是的中点．
证明：∵∠AEC＝∠EAB＋∠ABC，∠BAC＝∠CAD＋∠EAB，∠AEC＝∠BAC，
∴∠EAB＋∠ABC＝∠CAD＋∠EAB，
∴∠ABC＝∠CAD，∴，
∴C是的中点．
(2)若BD＝5，AD＝7，AB＝8，求的值．
解：过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F，如答图．
∵DF∥BC，∴∠BDF＝∠CBD，∠F＝∠ABC．
由(1)知，∴∠ABC＝∠DBC，
∴∠F＝∠BDF，∴BF＝BD＝5，∴AF＝AB＋BF＝13．
∵DF∥BC，∴△AEB∽△ADF，
∴，∴，∴AE＝．
由(1)知∠CAE＝∠CBA．
又∵∠ACE＝∠BCA，∴△CAE∽△CBA，∴．
答图
(3)若∠ABC＝30°，则的值是否为定值 如果是，请求出其值；如果不是，请说明理由．
解：的值为定值.
如答图，连接OA，OC，CD，设OC与AD交于点H.
由(1)知，
∴AC＝DC，∠ABC＝∠DBC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°.
又∵OC＝OA，
∴△OAC为等边三角形，∴∠OAC＝60°，OA＝OC＝AC＝CD.
答图
设OA＝OC＝AC＝CD＝a.
∵，
∴OC⊥AD，
∴AH＝HD＝AD，AH平分∠OAC，
∴OH＝CH＝a，
∴AH＝a，
∴AD＝2AH＝a.
答图
∵DF∥BC，
∴∠F＝∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝∠F＝30°.
又∵∠DCB＝∠DAB，
∴△DCB∽△DAF，
∴.
易得DB＝BF，
∴.
答图
类型三
典例精析
例3
与全等三角形、相似三角形都结合(杭州2023.23，宁波2023.24，丽水 2023.24)　
(2023·杭州23题12分)如图，在☉O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G(不与点O，B重合)，连接OF．
(1)若BE＝1，求GE的长；
思路点拨
由直径AB垂直弦CD可得∠BEC＝∠GEC＝∠AED＝90°，结合CF⊥AD可推出∠DAE＝∠FCD．根据圆周角定理的推论可得∠DAE＝∠BCD，进而可得∠BCD＝∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE即可求解．
【解答】∵直径AB垂直弦CD于点E，
∴∠BEC＝∠GEC＝∠AED＝90°，
∴∠DAE＋∠D＝90°．
∵CF⊥AD于点F，
∴∠FCD＋∠D＝90°，∴∠DAE＝∠FCD．
∵∠DAE＝∠BCD，∴∠BCD＝∠FCD．
在△BCE和△GCE中，
∴△BCE≌△GCE(ASA)，
∴GE＝BE＝1．
(2)求证：BC 2＝BG·BO；
思路点拨
证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可推出BC2＝BE·BA，再根据BE＝BG，BA＝2BO即可证明结论．
【解答】由(1)得∠CEB＝90°．
∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CEB＝90°．
又∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△CEB，
∴，∴BC2＝BE·BA．
由(1)知GE＝BE，∴BE＝BG．
∵BA＝2BO，
∴BC2＝BE·BA＝BG·2BO＝BG·BO．
(3)若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
答图
【解答】∠CAD＝45°.证明如下：
如答图，延长FO交AC于点H，连接OC.
∵FO＝FG，∴∠FOG＝∠FGO.
由(1)可知△BCE≌△GCE，∴∠B＝∠CGB，
∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，
∴BC∥FH.
延长FO交AC于点H，连接OC，证明△AFC是等腰直角三角形即可求解．
思路点拨
∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠AHO＝∠ACB＝90°.
∵OA＝OC，
∴AH＝CH，
∴OH是线段AC的垂直平分线，
∴AF＝CF.
又∵CF⊥AD，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°.
答图
对点训练
5．(2023·宁波24题14分)如图①，锐角三角形ABC内接于☉O，D为BC的中点，连接AD并延长交☉O于点E，连接BE，CE，过点C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连接BG，CG．BC平分∠EBG，且∠BCG＝∠AFC．
(1)求∠BGC的度数．
①
解：∵BC平分∠EBG，
∴∠EBC＝∠CBG．
∵∠EBC＝∠EAC，
∴∠CBG＝∠EAC．
∵AC⊥FC，∴∠ACF＝90°，
∴∠AFC＋∠EAC＝90°．
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠BCG＋∠CBG＝90°，
∴∠BGC＝180°－(∠BCG＋∠CBG)＝90°．
(2)①求证：AF＝BC；
①
(2)①证明：由(1)知∠BGC＝90°.
在Rt△BGC中，∵D为BC的中点，
∴GD＝CD，∴∠DGC＝∠DCG.
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠DGC＝∠AFC，∴CF＝GC.
又∵∠ACF＝∠BGC＝90°，∠AFC＝∠BCG，
∴△ACF≌△BGC(ASA)，
∴AF＝BC.
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．
①
答图①
②解：如答图①，过点C作CH⊥EG于点H.
设AG＝DF＝2x.
由(1)知∠BGC＝90°.
在Rt△BGC中，∵D为BC的中点，
∴BC＝2DG＝2CD.
∵AF＝BC，
∴AF＝2DG，
∴CD＝DG＝AG＋DF＝4x，
∴GF＝GD＋DF＝6x.
由(2)①知CF＝CG.
又∵CH⊥EG，
∴HG＝HF＝GF＝3x，
∴DH＝HF－DF＝x，AH＝AG＋HG＝5x，
∴在Rt△CHD中，CH＝x.
由(1)知∠CAF＝∠GBC，
∴tan∠GBC＝tan∠CAF＝.
答图①
(3)如图②，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．
②
答图②
(3)解：如答图②，过点O作OM⊥BE于点M，连接OC
交AE于点N.
∵BC平分∠EBG，∴∠CBE＝∠OBC.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BE，∴∠DBE＝∠DCN.
∵D为BC的中点，∴BD＝CD.
又∵∠BDE＝∠CDN，∴△EBD≌△NCD(ASA)，
∴BE＝CN.
∵OC∥BE，∴∠GOC＝∠MBO.
由(1)得∠CGO＝90°.
∵OM⊥BE，
∴∠OMB＝90°＝∠CGO.
又∵OC＝BO，
∴△GOC≌△MBO(AAS)，
∴BM＝OG＝1.
∵OM⊥BE，
∴CN＝BE＝2BM＝2.
设OB＝OC＝r.
∵OC∥BE，
答图②
∴△GON∽△GBE，
∴，
∴，
解得r＝(负值已舍去).
由(2)①知△ACF≌△BGC，
∴AC＝BG＝BO＋OG＝r＋1＝.
6．(2025·杭州五中三模)已知△ABC内接于☉O，AB＝AC，D是上一点，连接AD，CD．
【证明体验】
(1)如图①，求证：∠ABC＝∠DAC＋∠DCA．
①
证明：由题意得四边形ABCD是☉O的内接四边形，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°．
∵∠ADC＋∠DAC＋∠DCA＝180°，
∴∠ABC＝∠DAC＋∠DCA．
【思考探究】
(2)如图②，连接BD交AC于点F，过点A作AE⊥BD于点E．
①试猜想BD，DE，CD之间存在怎样的数量关系，写出你的
结论并说明理由；
②
解：①BD＝2DE＋CD.理由如下：
如答图①，在BD上截取BT＝CD，连接AT.
∵，∴∠ABT＝∠ACD，
又∵AB＝AC，BT＝CD，∴△ABT≌△ACD(SAS)，
∴AT＝AD.∵AE⊥BD， ∴TE＝ED.
∵BD＝ED＋TE＋BT，∴BD＝2DE＋CD.
答图①
②如图③，若BD经过圆心O，且AE＝2DE，求的值．
②由(2)①知BD＝CD＋2ED.
∵BD经过圆心O，
∴∠BAD＝90°，
∴∠BAE＋∠DAE＝90°.
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＋∠DAE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
③
∴tan∠BAE＝tan∠ADE，
∴.
∵AE＝2DE，
∴BE＝2AE＝4DE.
设DE＝x，则AE＝2x，BE＝4x，
∴BD＝BE＋ED＝4x＋x＝5x，AC＝AB＝＝2x，
∴CD＝BD－2ED＝3x.
∵BD经过圆心O，
∴∠BCD＝90°，
③
∴BC＝＝4x.
∵，
∴∠BAF＝∠CDF.
又∵∠BFA＝∠CFD，
∴△ABF∽△DCF，
∴，
∴，
∴，
③
∴BF＝CF，∴，
整理得CF＝x，
∴BF＝CF＝x＝x，
∴DF＝5x－x＝x.
∵S△ADF＝AE·DF，S△ABF＝AE·BF，
∴.
③

展开更多......

收起↑