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(共46张PPT)
　函数的应用
【命题解读】此题型是浙江近三年的常考题型，考查形式为解答题，题位为20－23题，分值为8－14分，常结合二次函数的性质、不等式(组)、方程(组)等知识点考查．常考类型有：类型一 一次函数的应用(浙江2024.22，湖州2023.22，绍兴2023.20，金华2023.22，宁波2023.22，丽水2023.21)；类型二 反比例函数的应用(衢州2023.22)；类型三 二次函数的应用(台州2023.24，衢州2023.23，温州2023.22)．
类型一
典例精析
例1
一次函数的应用(浙江2024.22，湖州2023.22，绍兴2023.20，金华2023.22，宁波2023.22，丽水2023.21)　
(2024·浙江22题10分)小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽跑步的相关信息如下表所示，跑步累计里程s(米)与小明跑步时间t(分)的
函数关系如图所示．
时间 里程分段 速度档 跑步里程
小明 16：00~16：50 不分段 A档 4 000米
小丽 16：10~16：50 第一段 B档 1 800米
第一次休息
第二段 B档 1 200米
第二次休息
第三段 C档 1 600米
(1)求A，B，C各档速度(单位：米/分)；
【解答】由题意知，A档速度为4 000÷50＝80(米/分)，
∴B档速度为80＋40＝120(米/分)，
∴C档速度为120＋40＝160(米/分)．
答：A档速度为80米/分，B档速度为120米/分，C档速度为160米/分．
思路点拨
由小明的跑步里程及跑步时间可得A档速度，再根据B档比A档快40米/分、C档比B档快40米/分即可得解．
(2)求小丽两次休息时间的总和(单位：分)；
【解答】由题可知小丽第一段跑步时间为1 800÷120＝15(分)，
第二段跑步时间为1 200÷120＝10(分)，
第三段跑步时间为1 600÷160＝10(分)，
∴小丽两次休息时间的总和为50－10－15－10－10＝5(分)．
答：小丽两次休息时间的总和为5分钟．
思路点拨
结合图象及表格求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解．
(3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．
思路点拨
由题意得，此时小丽在跑第三段，求得小丽在第三段所跑时间，再根据“在a分钟时两人跑步累计里程相等”列方程，求解即可．
【解答】∵小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，
∴此时小丽在跑第三段．
由(2)知，小丽两次休息时间的总和为5分钟，
∴小丽在第三段所跑时间为 a－10－15－10－5＝(a－40)分，
∴80a＝1 800＋1 200＋160(a－40)，
解得a＝42.5，
∴a的值为42.5．
对点训练
1．(2025·杭州滨江区江南实验中学三模)在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方为由弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④时显示的读数分别为10 N和5 N．整个过程中，弹簧测力计的读数F与圆柱体下降高度h之间的关系如图乙所示．
甲 乙
(1)在图乙中，点A对应状态 ，点B对应状态 ，(“状态”后填写图甲中的图形序号)a＝ ，b＝ ；
5
10
④
②
解：设线段AB对应的函数关系式为
F＝kh＋m(k，m为常数，且k≠0)．
将A(4，10)，B(10，5)代入上式，
得解得
∴线段AB对应的函数关系式为F＝－h＋(4≤h≤10)．
(2)求线段AB对应的函数关系式；
甲 乙
解：由题意可知状态③满足线段AB对应的函数关系，则当F＝8时，得－h＋＝8，
解得h＝6.4，
6.4－4＝2.4(cm)．
答：圆柱体浸入水中的高度为2.4 cm．
(3)已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为8 N，求圆柱体浸入水中的高度．
甲 乙
2．(2023·绍兴20题8分)一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1 000米．甲、乙两个机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，均匀速而行．图中OA，BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离y(米)与行走时间x(分)的函数关系图象．
(1)求OA所在直线的表达式．
解：根据题意，设OA所在直线的表达式为y＝kx(k≠0)．
将A(5，1 000)代入，得1 000＝5k，
解得k＝200，
∴OA所在直线的表达式为y＝200x．
(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇
解：由图象可知，甲机器人的行走速度为1 000÷5＝200(米/分)，
乙机器人的行走速度为1 000÷10＝100(米/分)，
1 000÷(200＋100)＝(分)．
答：出发后甲机器人行走分钟与乙机器人相遇．
(3)甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离．
解：设甲机器人行走t分钟到P地，则乙机器人行走(t＋1)分钟到P地．　
由题意得200t＝1 000－100(t＋1)，
解得t＝3，
∴200t＝200×3＝600(米)．
答：P，M两地间的距离为600米．
(2023·衢州22题10分改编)视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“ ”形图都是正方形结构，同一行的“ ”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
类型二
典例精析
例2
反比例函数的应用(衢州2023.22)　
素材1　国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“ ”形图的边长为 b(mm)，在平面直角坐标系中描点如图①．
探究1　当检测距离为5米时，归纳n与b的表达式，并求视力值1.2所对应行的“ ”形图的边长．
思路点拨
由图中点的坐标规律易得n与b成反比例函数关系，用待定系数法可得反比例函数的表达式；将n＝1.2代入表达式，可得b的值．
【解答】由图中点的坐标规律易得n与b成反比例函数关系．
设n与b的表达式为n＝(k≠0)．
将(9，0.8)代入，得0.8＝，解得k＝7.2，
∴n与b的表达式为n＝．
将其余各点的坐标代入验证，都符合表达式．
将n＝1.2代入n＝，得b＝6．
∴当检测距离为5米时，n与b的表达式为n＝，视力值1.2所对应行的“ ”形图的边长为6 mm．
素材2　图②为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“ ”形图所成的角叫作分辨视角θ．视力值n与分辨视角θ(分)的对应关系近似满足n＝(0.5≤θ ≤10)．
探究2　当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
思路点拨
由n＝知，在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，结合已知条件即可得出θ的取值范围．
【解答】∵n＝，0.5≤θ≤10，
∴在此范围内，n随着θ的增大而减小，
∴当n≥1.0时，0＜θ ≤1.0．
又∵0.5≤θ ≤10，∴0.5≤θ ≤1.0．
素材3　如图③，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“ ”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“ ”测得的视力相同．
探究3　若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“ ”形图的边长．
思路点拨
当某人的视力值确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形的性质可得，代入数值，即可求解．
【解答】当某人的视力值确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角
形的性质可得．
由探究1知，当检测距离为5米，视力值为1.2时，b1＝6，
∴，解得b2＝，
∴当检测距离为3米时，视力值1.2所对应行的“ ”形图的边长为 mm．
对点训练
3．(2025·温州龙港二模)随着夏天的到来，天气变热，蚊子增多．某校对教室采用药薰法进行灭蚊，药物燃烧时，室内空气的含药量y(mg/m3)与药物点燃后的时间x(min)成正比，药物燃尽后，室内空气的含药量y(mg/m3)与x(min)成反比(如图)．已知药物点燃后10 min燃尽，此时室内空气的含药量为8 mg/m3．
(1)求药物燃尽后y与x之间的函数表达式．
解：设药物燃尽后y与x之间的函数表达式为y＝(k≠0)．
将(10，8)代入，得8＝，解得k＝80，
∴药物燃尽后y与x之间的函数表达式为y＝(x≥10)．
(2)从熏药开始经过40 min，求此时室内空气的含药量是多少．
解：当x＝40时，得y＝＝2，
∴此时室内空气的含药量是2 mg/m3．
(3)当室内空气的含药量不低于4 mg/m3且持续时间不低于12 min时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效 请说明理由．
解：此次灭蚊有效．理由如下：
当y＝4时，即＝4，解得x＝20．
由题图可得当x＝5时，y＝4，
∴20－5＝15(min)，15＞12，
∴此次灭蚊有效．
4．(2025·温州瓯海区二模)某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度y(℃)与时间x(min)的函数图象如图所示，其中加热升温阶段为一条线段，且该材料从30 ℃加热到60 ℃需要10 min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
(1)求该种糖质工艺品制作材料从30 ℃加热到90 ℃所需的时间．
解：由题意可得该种糖质工艺品制作材料加热升温阶段
是某一次函数图象的一部分，
∴可设加热升温阶段的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)．
∵加热升温阶段的函数图象过点(0，30)，(10，60)，
∴解得
∴加热升温阶段的函数表达式为y＝3x＋30．
令y＝90，得3x＋30＝90，解得x＝20，
∴该种糖质工艺品制作材料从30 ℃加热到90 ℃所需的时间为20 min．
(2)求该种糖质工艺品制作材料自然降温时，y关于x的函数表达式．
解：由题意，设该种糖质工艺品制作材料自然降温时，
y关于x的函数表达式为y＝(m≠0)．
由(1)可得，材料自然降温时图象过点(20，90)，
∴m＝20×90＝1 800，
∴该种糖质工艺品制作材料自然降温时，y关于x的函数表达式为y＝．
(3)已知该工艺品操作时温度需保持在60~90 ℃(包括60 ℃，90 ℃)，为节约能源，工厂设计了两种方案(见表格)．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时(包括加热升温阶段时间)，请通过计算说明，哪一种方案更节约成本
方案 恒温60 ℃工作 间歇加热工作
过程 ①从30 ℃加热到60 ℃； ②保持60 ℃进行加工． ①从30 ℃加热到90 ℃；
②自然降温到60 ℃；
③再次加热到90 ℃；
循环②③两个阶段．
加热 成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元． (注：自然降温阶段不产生成本)
解：恒温60 ℃工作：加热时长为10分钟，恒温阶段为8×60－10＝470(分)，
∴费用为10×100＋470×60＝29 200(元).
间歇加热工作：对于y＝，
令y＝60，得60＝，解得x＝30，
∴除第一次加热到60 ℃需要10分钟，后续60 ℃加热到90 ℃，自然降温到60 ℃一轮需要20分钟，一天工作8小时中，加热时间为10＋230＋10＝250(分钟)，
费用为250×100＝25 000(元).
∵25 000＜29 200，
∴仅从工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本.
类型三
典例精析
例3
二次函数的应用(台州2023.24，衢州2023.23，温州2023.22)
(2023·台州24题14分)【问题背景】
“刻漏”是我国古代一种利用水流计时的工具．如图，
综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的
容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作
简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30 cm，开始放水后每隔10 min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm(观察值) 30 29 28.1 27 25.8
任务1：分别计算表中每隔10 min水面高度(观察值)的变化量．
【解答】每隔10 min水面高度(观察值)的变化量分别为29－30＝－1(cm)；28.1－29＝－0.9(cm)；27－28.1＝－1.1(cm)；25.8－27＝－1.2(cm)，
∴每隔10 min水面高度(观察值)的变化量分别为－1 cm，－0.9 cm，
－1.1 cm，－1.2 cm．
思路点拨
根据表中五组数据，用减法求出每隔10 min水面高度(观察值)的变化量即可．
【建立模型】
小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
【解答】设水面高度h与流水时间t的函数表达式为h＝kt＋b(k≠0)．
∵当t＝0 时，h＝30；当t＝10时，h＝29，
∴解得
∴水面高度h与流水时间t的函数表达式为h＝－0.1t＋30．
思路点拨
由题意知水面高度h与流水时间t是一次函数关系，设出函数表达式，将
t＝0，h＝30；t＝10，h＝29代入函数表达式，用待定系数法求解即可．
任务2：利用当t＝0时，h＝30；当t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数表达式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：当t为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
思路点拨
先用任务2中的表达式求出对应时间的水面高度h，再计算w的值．
任务3：(1)计算任务2得到的函数表达式的w值．
【解答】在h＝－0.1t＋30中，当t＝0时，h＝30；当t＝10时，h＝29；当t＝20时，h＝28；当t＝30时，h＝27；当t＝40时，h＝26，
∴w＝(30－30)2＋(29－29)2＋(28－28.1)2＋(27－27)2＋(26－25.8)2＝0.05．
(2)请确定经过点(0，30)的一次函数图象的表达式，使得w的值最小．
【解答】设经过点(0，30)的一次函数图象的表达式为h＝at＋30(a≠0)，
∴w＝(0·a＋30－30)2＋(10a＋30－29)2＋(20a＋30－28.1)2＋(30a＋30－27)2＋(40a＋30－25.8)2＝3 000(a＋0.102)2＋0.038．
∵3 000＞0，∴当a＝－0.102时，w的值最小，
∴h＝－0.102t＋30．
思路点拨
设函数表达式为h＝at＋30(a≠0)，代入w化简，利用二次函数的性质，求得使w的值最小的一次函数的表达式．
【设计刻度】
得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．
【解答】将零刻度放在水位最高处，刻度从上到下均匀变大，每1.02 cm表示10 min．
思路点拨
根据高度随时间的变化规律描述即可．
对点训练
5．综合与实践
排球运动不仅能提升身体素质，还能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处．
排球的购买与售卖
素材1：为了让学生日常锻炼排球垫球，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3 550元，已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元．
素材2：某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个，经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个．
任务1：求购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元．
解：设购买一个甲品牌的排球需x元，则购买一个乙品牌的排球需(x＋
20)元．
依题意，得35x＋50(x＋20)＝3 550，
解得x＝30，
∴30＋20＝50(元)．
答：购买一个甲品牌的排球需30元，购买一个乙品牌的排球需50元．
任务2：求当一个丙品牌的排球售价为多少元时，该商店每周售卖丙品牌排球有最大利润，最大利润是多少
解：设一个丙品牌的排球降价y元，该商店每周售卖丙品牌排球的利润为w元．
依题意，得w＝(36－20－y)[50＋×15]＝－5(y－3)2＋845．
∵－5＜0，
∴当y＝3，即售价为36－3＝33(元)时，该商店每周售卖丙品牌排球的利润w有最大值，最大值为845．
答：当一个丙品牌的排球售价为33元时，该商店每周售卖丙品牌排球有最大利润，最大利润是845元．
6．(2023·温州22题11分)一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形．当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m．已知球门高OB为2.44 m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)．
解：∵8－6＝2，∴由题意，得抛物线的顶点坐标为(2，3)．
设抛物线的表达式为 y＝a(x－2)2＋3(a≠0)．
把A(8，0)代入，得36a＋3＝0，
解得a＝－，
∴抛物线的表达式为y＝－(x－2)2＋3．
当x＝0时，y＝－×4＋3＝＞2.44，
∴球不能射进球门．
(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处
解：设当时他应该带球向正后方移动b(b＞0)m射门，
则移动后的抛物线的表达式为y＝－(x－2－b)2＋3．
把(0，2.25)代入，得2.25＝－(0－2－b)2＋3，
解得 b＝－5(舍去)或b＝1，
∴当时他应该带球向正后方移动1 m 射门，才能让
足球经过点O正上方2.25 m处．

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