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　二次函数性质的综合题
【命题解读】此题型是浙江近三年的必考题型，考查形式为解答题，题位为19－23题，分值为8－12分，常结合二次函数的性质、函数图象的平移、方程(组)、不等式(组)等知识点考查，涉及分类讨论思想．常考类型有：类型一 函数类型确定型(浙江2025.23，2024.23，宁波2023.19)；类型二 函数类型不确定型(绍兴2023.23，杭州 2023.22，嘉兴、舟山2023.23，丽水2023.23)．
类型一
典例精析
例1
函数类型确定型(浙江2025.23，2024.23，宁波2023.19)　
(2025·浙江23题10分)已知抛物线y＝x2－ax＋5(a为常数)经过点
(1，0)．
(1)求a的值；
【解答】将(1，0)代入y＝x2－ax＋5，得1－a＋5＝0，
解得a＝6，∴a的值为6．
思路点拨
利用待定系数法求出a的值．
(2)过点A(0，t)与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且B为线段AC的中点，求t的值；
思路点拨
先求出抛物线的对称轴，由题意可知B，C两点关于抛物线的对称轴对称，结合中点坐标公式求出xB，将xB代入抛物线的解析式即可求出t的值．
【解答】由(1)知y＝x2－6x＋5，∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝3．
∵点A(0，t)在y轴上，过点A(0，t)与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴B，C两点关于抛物线的对称轴对称，B，C两点的纵坐标均为t．
又∵B为线段AC的中点，
∴xC＝2xB，∴xB＝3，∴xB＝2，
将x＝2代入y＝x2－6x＋5，得y＝22－6×2＋5＝－3，
∴t＝－3．
(3)设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2－ax＋5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n－m的最大值．
思路点拨
要使n－m的值最大，则m，n为一条直线与抛物线的交点的横坐标，且
x＝m和x＝n关于抛物线的对称轴对称，分析得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点时，n－m的值最大，此时可求出另一条直线的解析式，进而可得m，n的值，从而求解．
【解答】∵y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，
∴抛物线的顶点坐标为(3，－4).
∵抛物线的一段y＝x2－ax＋5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，
∴要使n－m的值最大，则m，n为一条直线与抛物线的交点的横坐标，且x＝m和x＝n关于抛物线的对称轴对称，另一条直线不能在直线y＝－4的上方.
又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点(3，－4)，即y＝－4时，n－m的值最大，此时另一条直线的解析式为y＝16－4＝12，如答图.
答图
当x2－6x＋5＝12时，解得x1＝7，x2＝－1，
即n＝7，m＝－1，
∴n－m的最大值为7－(－1)＝8.
对点训练
1．(2025·湖州五中三模)已知二次函数y＝ax2－2x＋c(a≠0)图象的顶点坐标为(1，9)．
(1)求a，c的值，并写出二次函数的表达式．
解：∵二次函数y＝ax2－2x＋c(a≠0)图象的顶点坐标为(1，9)，
∴－＝1，a－2＋c＝9，
∴a＝1，c＝10，
∴二次函数的表达式为y＝x2－2x＋10.
(2)已知点A(m，n)在该二次函数的图象上．
①将点A向右平移6个单位长度后得到点B，且点A与点B关于对称轴对称，求点A的坐标；
解：∵将点A(m，n)向右平移6个单位长度后得到点B，∴B(m＋6，n).
∵点A与点B关于对称轴对称，且对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
∴m＝－2，∴A(－2，n)，
∴n＝(－2)2－2×(－2)＋10＝18，
∴A(－2，18).
②若m≤－1，当m≤x≤m＋6时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值．
解：∵二次函数的表达式为y＝x2－2x＋10，图象的顶点坐标为(1，9)，
∴该二次函数图象的开口向上，且对称轴为直线x＝1.
分三种情况：
①当m＋6≤1，即m≤－5时，y随x的增大而减小，
∴当x＝m时，y取得最大值为m2－2m＋10，当x＝m＋6时，y取得最小值为(m＋6)2－2(m＋6)＋10＝m2＋10m＋34.
∵该二次函数的最大值是最小值的2倍，
∴m2－2m＋10＝2(m2＋10m＋34)，
解得m＝－11－3或m＝－11＋3.
∵m≤－5，∴m＝－11－3.
②当m＋6＞1，且1－m≥m＋6－1，即－5＜m≤－2时，当x＝m时，y取得最大值为m2－2m＋10，当x＝1时，y取得最小值为9.
∵该二次函数的最大值是最小值的2倍，
∴m2－2m＋10＝2×9，
解得m＝4或m＝－2.
∵－5＜m≤－2，∴m＝－2.
③当m＋6＞1，且1－m＜m＋6－1，即m＞－2时，此时－2＜m≤－1，当x＝m＋6时，y取得最大值为(m＋6)2－2(m＋6)＋10＝m2＋10m＋34，当x＝1时，y取得最小值为9.
∵该二次函数的最大值是最小值的2倍，
∴m2＋10m＋34＝2×9，
解得m＝－2或m＝－8.
∵－2＜m≤－1，
∴此种情况不成立.
综上所述，m的值为－2或－11－3.
2．(2024·浙江23题10分)已知二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(－2，5)，对称轴为直线x＝－．
(1)求二次函数的表达式；
解：∵二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象的对称轴为直线x＝－＝－，
∴b＝1，
∴二次函数的表达式为y＝x2＋x＋c.
又∵二次函数的图象经过点A(－2，5)，
∴4－2＋c＝5，∴c＝3，
∴二次函数的表达式为y＝x2＋x＋3.
(2)若点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度后，恰好落在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，求m的值；
解：∵点B(1，7)向上平移2个单位长度，向左平移m(m＞0)个单位长度，
∴平移后的点的坐标为(1－m，9).
∵点(1－m，9)在二次函数y＝x2＋x＋3的图象上，
∴9＝(1－m)2＋1－m＋3，
∴m＝4或m＝－1.
∵m＞0，∴m＝4.
(3)当－2≤x≤n时，二次函数y＝x2＋bx＋c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
解：由(1)可得，y＝x2＋x＋3＝，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝－，顶点坐标为.
分三种情况：
①当n＜－时，该二次函数在x＝－2处取最大值，在x＝n处取最小值，
∴最大值与最小值的差为5－(n2＋n＋3)＝，
解得n1＝n2＝－，不符合题意，舍去；
②当－≤n≤1时，该二次函数在x＝－2或x＝1处取最大值，在x＝－处取最小值，
∴最大值与最小值的差为5－，符合题意；
③当n＞1时，该二次函数在x＝n处取最大值，在x＝－处取最小值，
∴最大值与最小值的差为n2＋n＋3－，
解得n1＝1，n2＝－2，均不符合题意，舍去.
综上所述，n的取值范围为－≤n≤1.
类型二
典例精析
例2
函数类型不确定型(绍兴2023.23，杭州2023.22，嘉兴、舟山2023.23，丽水2023.23)　
(2023·绍兴23题12分)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c．
(1)当b＝4，c＝3时.
①求该二次函数图象的顶点坐标；
思路点拨
将二次函数的表达式化为顶点式，即可得该二次函数图象的顶点坐标．
【解答】∵b＝4，c＝3，
∴y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7，
∴该二次函数图象的顶点坐标为(2，7)．
②当－1≤x≤3时，求y的取值范围．
【解答】由(1)知，y＝－(x－2)2＋7．
∵－1＜0，－1≤x≤3，
∴当 x＝2 时，y有最大值为7．
∵2－(－1)＞3－2，
∴当x＝－1 时，y有最小值，最小值为－(－1－2)2＋7＝－2，
∴当－1≤x≤3时，y的取值范围为－2≤y≤7．
思路点拨
根据函数的增减性求解．
(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
思路点拨
根据函数的图象与系数之间的关系求解．
【解答】∵－1＜0，∴该二次函数图象的开口向下．
∵当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，
∴c＝2，＝3，即 b＝±2，
该二次函数图象的对称轴直线x＝在y轴的右侧，
∴b＞0，∴b＝2，
∴二次函数的表达式为 y＝－x2＋2x＋2．
对点训练
3．(2025·杭州滨江区三模)已知二次函数y＝x2＋bx＋3b(b为常数)．
(1)若二次函数的图象经过点(－2，4)，判断该函数图象是否经过点(3，9)，并说明理由；
解：该函数图象经过点(3，9)．理由如下：
把(－2，4)代入y＝x2＋bx＋3b(b为常数)，
得4－2b＋3b＝4，解得b＝0，
∴二次函数的表达式为y＝x2，
∴当x＝3时，y＝9，
∴该函数图象经过点(3，9)．
(2)设该函数图象的顶点坐标为(m，n)，当b的值变化时，求m与n的关
系式；
解：∵二次函数y＝x2＋bx＋3b(b为常数)图象的顶点坐标是(m，n)，
∴－＝m，＝n，∴b＝－2m．
把b＝－2m代入＝n，
得n＝＝－m2－6m，
∴m与n的关系式为n＝－m2－6m．
(3)若该函数图象不经过第三象限，当－6≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
解：当x＝0时，y＝3b.
∵该函数图象不经过第三象限，∴3b≥0，即b≥0.
∵y＝x2＋bx＋3b＝＋3b，
∴该函数图象的顶点坐标为(－b，－＋3b).
∵－b≤0，
∴当－＋3b≥0时，该函数图象不经过第三象限，解得0≤b≤12，
∴－6≤－b≤0，
∴当－6≤x≤1时，函数的最小值为y＝－＋3b.
把x＝－6代入y＝x2＋bx＋3b，得y＝36－3b，
把x＝1代入y＝x2＋bx＋3b，得y＝1＋4b，
当36－3b－＝16时，
解得b＝20(不符合题意，舍去)或b＝4.
当1＋4b－＝16时，
解得b＝6或b＝－10(不符合题意，舍去).
综上所述，b的值为4或6.
4．已知抛物线y＝ax2－2ax(a≠0)．
(1)求该抛物线的顶点坐标(用含a的式子表示)．
解：∵抛物线y＝ax2－2ax＝a(x－1)2－a，
∴该抛物线的顶点坐标为(1，－a)．
(2)当a＞0时，抛物线上有两点(－1，s)，(k，t)．若s＞t，直接写出k的取值范围．
解：－1＜k＜3．
【解法提示】当a＞0时，如答图．由(1)知抛物线的顶点坐标为(1，－a)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点(－1，s)关于直线x＝1的对称点为
(3，s)．∵抛物线上有两点(－1，s)，(k，t)，且s＞t，∴－1＜k＜3．
答图
(3)若点A(m－1，y1)，B(m，y2)，C(m＋3，y3)都在抛物线上，是否存在实数m，使y1＜y3＜y2≤－a恒成立 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：存在实数m，使y1＜y3＜y2≤－a恒成立．
∵y1＜y3＜y2≤－a，且抛物线的顶点坐标为(1，－a)，
∴抛物线开口向下，∴a＜0．
∵点A(m－1，y1)，C(m＋3，y3)关于直线x＝1对称的点的坐标分别为A'(3－m，y1)，C'(－1－m，y3)，且m－1＜m＜m＋3，y1＜y3＜y2，
∴点A，B，C不可能在对称轴的同侧，
∴点A在对称轴左侧，点C在对称轴右侧．
①当点B在对称轴左侧或在对称轴上时，
可得解得－＜m＜0．
②当点B在对称轴右侧时，可得
此时不等式组无解．
综上所述，m的取值范围为－＜m＜0．

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