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第28课时　功和功率
[学习目标]　1．理解功的概念，会判断功的正负，会计算功的大小。2．理解功率的概念，掌握功率的两个公式，会计算平均功率和瞬时功率。3．会分析两种机车启动方式中各物理量的变化并能进行相关计算。
恒力做功的分析与计算
1．功的定义：物体受到力的作用，并在________发生一段位移，就说力对物体做了功。
2．做功的两个必要条件：力和物体在力的方向上发生了________。
3．公式：W＝________，其中F是恒力，l是位移，α是________和________的夹角。
4．单位：焦耳(J)。
5．标矢性：功是________，没有方向，但有正、负。根据W＝Flcos α可知：
(1)当0°≤α<90°时，力对物体做________功，是动力，物体获得动能。
(2)当90°<α≤180°时，力对物体做_________________功。
(3)当α＝90°时，力对物体________做功。
6．合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1。
　嫦娥六号探测器成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器、上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段，则组合体着陆月球的过程中，判断下列说法的正误：
(1)减速阶段所受合外力做负功。 (　　)
(2)悬停阶段合外力做功为0。 (　　)
(3)减速阶段组合体的推力做正功。 (　　)
(4)自由下落阶段组合体的推力做正功。 (　　)
　正负功的判断
[典例1]　(2024·海南卷)神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆，在返回舱返回至离地面十几公里时打开主伞，返回舱快速减速，速度大大减小，在减速过程中(　　)
A．返回舱处于超重状态
B．返回舱处于失重状态
C．主伞的拉力不做功
D．重力对返回舱做负功
　恒力做功的计算
[典例2]　(多选)(人教版必修第二册改编)一位质量m＝60 kg的滑雪运动员从高h＝10 m的斜坡自由下滑，如图所示，如果运动员在下滑过程中受到的阻力f＝50 N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关于各力做功的情况，下列说法正确的是(　　)
A．重力做的功为6 000 J
B．阻力做的功为1 000 J
C．支持力不做功
D．各力做的总功为0
功率的分析与计算
1．功率的定义：功与完成这些功所用时间的________。
2．功率的物理意义：描述力对物体____________。
3．功率的公式
(1)P＝，P为时间t内的________。
(2)P＝Fvcos α(α为F与v的夹角)。
①v为平均速度，则P为________。
②v为瞬时速度，则P为________。
4．发动机功率：机车发动机的功率P＝________，F为________力，并非机车所受的合力。
(1)由P＝知，W越大，则功率越大。 (　　)
(2)由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。 (　　)
(3)当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。 (　　)
(4)汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力。 (　　)
[典例3]　(一题多法)(2024·贵州卷)质量为1 kg的物块静置于光滑水平地面上，设物块静止时的位置为x轴零点。现给物块施加一沿x轴正方向的水平力F，其大小随位置x变化的关系如图所示，则物块运动到x＝3 m处，F做功的瞬时功率为(　　)
A．8 W　 B．16 W
C．24 W　 D．36 W
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[典例4]　(2025·辽宁朝阳模拟)某同学跳绳1分钟，平均每分钟跳120次，每次重心升高约5 cm。估算他跳绳时克服重力做功的平均功率最接近(　　)
A．10 W　 B．50 W
C．100 W　 D．200 W
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[典例5]　(多选)“天津号”太阳能汽车是中国首款完全依靠纯太阳能驱动的高等级智能网联汽车。“天津号”太阳能汽车配备了面积为S＝8.1 m2的太阳能组件，汽车整备质量为m＝1.02×103 kg，光电转化效率为η1＝31%，若驱动电机能够将90%的电能转化为牵引汽车前进的机械能，它在平直路面上的最大速度为v＝79.2 km/h。若该车行驶过程中所受平均阻力是车重力的0.01倍，重力加速度g取10 m/s2，当该车在平直路面上以最大速度匀速行驶时，下列说法中正确的是(　　)
A．该车牵引力大小是1.02×102 N
B．该车太阳能组件输出的电功率约为2.0×103 W
C．该车太阳能组件单位面积接收的照射光功率约为8×103 W
D．该车太阳能组件单位面积接收的照射光功率约为9.93×102 W
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方法技巧：1．平均功率的计算方法
(1)利用P＝。
(2)利用P＝Fvcos α，其中v为物体运动的平均速度。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受到的力F在速度v方向上的分力。
机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像 和v-t图像
OA 段 过程 分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变，v↑ P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动 性质 加速度减小的变加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB 段 过程 分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的变加速运动
BC段 无 F＝F阻 a＝0 vm＝，以vm做匀速直线运动
2．三个重要关系式
(1)最大运行速度：无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。
(2)匀加速运动阶段的最大速度：机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后达到额定功率，速度不是最大，即v＝(3)功能关系：机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动或运行过程的位移、速度或时间。
(1)由P＝Fv知，发动机功率一定时，机车的牵引力与运行速度的大小成反比。 (　　)
(2)恒定功率启动中，当速度达到最大时，牵引力变为0。 (　　)
(3)匀加速启动中，功率达到额定功率时，速度达到最大。 (　　)
(4)无论哪种启动方式，机车的最大速度等于其匀速运动时的速度。 (　　)
[典例6]　(2025·河北保定模拟)一辆汽车以恒定功率分别在甲、乙两平直道路上启动，其v-t图像如图所示。已知两次汽车行驶时所受阻力恒定，则在甲、乙两道路上汽车所受阻力大小之比为(　　)
A．3∶4　 B．4∶3
C．3∶2　 D．2∶3
[典例7]　超级电容车在运行中无须连接电缆，只需在乘客上车间隙充电30秒到1分钟，就能行驶3到5千米。假设有一辆超级电容车，质量m＝2×103 kg，额定功率P＝60 kW，当超级电容车在平直水平路面上行驶时，受到的阻力Ff是车重的，g取10 m/s2。
(1)超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少
(2)若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间
(3)若超级电容车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50 s后达到最大速度，求此过程中超级电容车的位移。
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拓展思考　在[典例7]中，超级电容车以额定功率做加速运动，当v＝10 m/s时超级电容车的加速度为多大
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方法技巧：机车启动常见问题的求解方法
最大速度vmax 牵引力F等于阻力Ff，故vmax＝＝
匀加速运动时 间t的求法 牵引力F＝ma＋Ff，匀加速运动的最大速度v'max＝，时间t＝
瞬时加速度a 根据F＝求出牵引力，则加速度a＝
恒定功率 运行位移s 由动能定理Pt－Ffs＝ΔEk，求得s
第28课时
考点1
1．力的方向上
2．位移
3．Flcos α　力F　位移l
5．标量　(1)正　(2)负　(3)不
情境辨析　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
典例1　A　[返回舱减速下落，加速度向上，则其处于超重状态，A正确，B错误；主伞的拉力向上，而返回舱速度向下，则主伞的拉力做负功，C错误；返回舱的重力向下，速度向下，则重力对返回舱做正功，D错误。]
典例2　AC　[
对运动员受力分析如图所示，重力做功WG＝mgh＝60×10×10 J＝6 000 J，阻力做功Wf＝－f·＝－50× J＝－1 000 J，由于支持力方向与位移方向垂直，故支持力不做功，即WN＝0，各力做的总功W总＝WG＋Wf＋WN＝5 000 J，故A、C正确，B、D错误。]
考点2
1．比值
2．做功的快慢
3．(1)平均功率　(2)平均功率　瞬时功率
4．Fv　牵引
判断正误　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
典例3　A　[方法一　0～2 m内，物块做匀加速直线运动，加速度为a1，根据牛顿第二定律F1＝ma1，代入数据解得a1＝3 m/s2，根据运动学公式＝2a1x1，其中x1＝2 m，解得2 m处的瞬时速度v1＝2 m/s。在2～3 m内，物块以加速度a2做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律F2＝ma2，代入数据解得a2＝2 m/s2，根据运动学公式－＝2a2x2，其中x2＝3 m－2 m＝1 m，3 m处的瞬时速度为v2＝4 m/s，根据功率公式，物块运动到x＝3 m处，F做功的瞬时功率为P＝F2v2＝2×4 W＝8 W，A正确，B、C、D错误。
方法二　设物块运动到x＝3 m处的速度为v，对全过程运用动能定理得F1x1＋F2x2＝mv2，其中x1＝2 m，x2＝3 m－2 m＝1 m，代入数据解得v＝4 m/s，则物块运动到x＝3 m处，F做功的瞬时功率为P＝F2v＝2×4 W＝8 W，A正确，B、C、D错误。]
典例4　B　[每次克服重力做功W单次＝mgh，假设该同学质量m＝50 kg，重力加速度 g＝10 m/s2，重心升高h＝0.05 m，则W单次＝50×10×0.05 J＝25 J，每分钟跳120次，总功为W总＝25 J×120＝3 000 J，则平均功率P＝＝ W＝50 W，故选B。]
典例5　AD　[汽车在平直路面上匀速行驶时，汽车牵引力与阻力平衡，则有F牵＝f阻＝0.01mg＝1.02×102 N，选项A正确；驱动电机提供的机械功率为P机＝F牵v，设太阳能组件输出的电功率为P1，则有90%P1＝P机，解得P1≈2.493×103 W，选项B错误；设太阳能组件单位面积接收的照射光的功率为P2，由P2Sη1＝P1，解得P2≈9.93×102 W，选项C错误，D正确。]
考点3
判断正误　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
典例6　A　[当牵引力等于阻力时，汽车的速度达到最大，则有P＝f甲·4v0，P＝f乙·3v0，可得在甲、乙两道路上汽车所受阻力大小之比为f甲∶f乙＝3∶4，故选A。]
典例7　解析：(1)当超级电容车速度达到最大时，超级电容车的牵引力与阻力平衡，即F＝Ff
Ff＝kmg＝2 000 N
P＝Ffvm
解得vm＝＝30 m/s。
(2)超级电容车做匀加速运动，由牛顿第二定律得F1－Ff＝ma
解得F1＝3 000 N
设超级电容车刚达到额定功率时的速度为v1，又P＝F1v1，则v1＝＝20 m/s
设超级电容车匀加速运动的时间为t，则v1＝at
解得t＝＝40 s。
(3)从静止到最大速度整个过程只有牵引力与阻力做功，由动能定理得Pt2－Ffx＝m
解得x＝1 050 m。
答案：(1)30 m/s　(2)40 s　(3)1 050 m
拓展思考　解析：超级电容车以额定功率做加速运动，当v＝10 m/s时，牵引力F＝＝6 000 N，超级电容车的加速度a＝＝2 m/s2。
答案：2 m/s2
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第五章　机械能守恒定律
第五章　机械能守恒定律
课程标准 1．理解功和功率。了解生产、生活中常见机械的功率大小及其意义。
2．理解动能和动能定理。能用动能定理解释生产、生活中的现象。
3．理解重力势能，知道重力势能的变化与重力做功的关系。定性了解弹性势能。
4．通过实验，验证机械能守恒定律，理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。
5．能用机械能守恒定律分析生产、生活中的有关问题。
第五章　机械能守恒定律
考情分析 功和功率 2025·山东卷T5、广东卷T14
2024·江西卷T5
动能定理 及其应用 2025·云南卷T2、黑吉辽蒙卷T13、广东卷T14、安徽卷T14
2024·安徽卷T2、新课标卷T24
2023·全国乙卷T21、新课标卷T15、湖南卷T8、江苏卷T15
机械能守恒 定律 2025·安徽卷T14
2024·全国甲卷T17
2023·全国甲卷T24
第五章　机械能守恒定律
考情分析 功能关系 2025·云南卷T6、云南卷T10、四川卷T7
2024·山东卷T7、浙江1月选考T3、江苏卷T15、安徽卷T7
2023·新课标卷T20、浙江1月选考T4、浙江1月选考T18、浙江6月选考T3
实验：验证 机械能守恒 定律 2025·甘肃卷T11、江苏卷T11、河南卷T12、河北卷T11(2)
2022·河北卷T11、湖北卷T12
第28课时　功和功率
[学习目标]　1．理解功的概念，会判断功的正负，会计算功的大小。2．理解功率的概念，掌握功率的两个公式，会计算平均功率和瞬时功率。3．会分析两种机车启动方式中各物理量的变化并能进行相关计算。
考点1　恒力做功的分析与计算
1．功的定义：物体受到力的作用，并在____________发生一段位移，就说力对物体做了功。
2．做功的两个必要条件：力和物体在力的方向上发生了______。
3．公式：W＝__________，其中F是恒力，l是位移，α是_____和_______的夹角。
4．单位：焦耳(J)。
力的方向上
位移
Flcos α　
力F　
位移l
5．标矢性：功是________，没有方向，但有正、负。根据W＝Flcos α可知：
(1)当0°≤α<90°时，力对物体做___功，是动力，物体获得动能。
(2)当90°<α≤180°时，力对物体做____功。
(3)当α＝90°时，力对物体____做功。
6．合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1。
标量　
正　
负　
不
嫦娥六号探测器成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器、上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段，则组合体着陆月球的过程中，判断下列说法的正误：
(1)减速阶段所受合外力做负功。 (　　)
(2)悬停阶段合外力做功为0。 (　　)
(3)减速阶段组合体的推力做正功。 (　　)
(4)自由下落阶段组合体的推力做正功。 (　　)
√　
√　
×　
×
角度1　正负功的判断
[典例1]　(2024·海南卷)神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆，在返回舱返回至离地面十几公里时打开主伞，返回舱快速减速，速度大大减小，在减速过程中(　　)
A．返回舱处于超重状态
B．返回舱处于失重状态
C．主伞的拉力不做功
D．重力对返回舱做负功
√
A　[返回舱减速下落，加速度向上，则其处于超重状态，A正确，B错误；主伞的拉力向上，而返回舱速度向下，则主伞的拉力做负功，C错误；返回舱的重力向下，速度向下，则重力对返回舱做正功，D错误。]
角度2　恒力做功的计算
[典例2]　(多选)(人教版必修第二册改编)一位质量m＝60 kg的滑雪运动员从高h＝10 m的斜坡自由下滑，如图所示，如果运动员在下滑过程中受到的阻力f＝50 N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关于各力做功的情况，下列说法正确的是(　　)
A．重力做的功为6 000 J
B．阻力做的功为1 000 J
C．支持力不做功
D．各力做的总功为0
√
√
AC　[对运动员受力分析如图所示，重力做功WG＝mgh＝60×10×10 J＝6 000 J，阻力做功Wf＝－f·＝－50× J＝－1 000 J，由于支持力方向与位移方向垂直，故支持力不做功，即WN＝0，各力做的总功W总＝WG＋Wf＋WN＝5 000 J，故A、C正确，B、D错误。]
【教师备选资源】
(多选)如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，g取10 m/s2，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s2的加速度从静止开始匀加速上升4 s的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．斜面对物体的支持力做功900 J
B．斜面对物体的摩擦力做功－300 J
C．物体克服重力做功－800 J
D．合外力对物体做功400 J
√
√
AD　[物体置于升降机内随升降机一起做匀加速运动过程中，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得Ffcos θ－FNsin θ＝0，Ffsin θ＋FNcos θ－mg＝ma，代入数据得Ff＝15 N，FN＝15 N，又x＝at2＝40 m，斜面对物体的支持力所做的功为WN＝FNxcos θ＝900 J，故A正确；斜面对物体的摩擦力所做的功为Wf＝Ffxsin θ＝300 J，故B错误；物体所受重力做的功为WG＝－mgx＝－800 J，则物体克服重力做功800 J，
故C错误；合外力对物体做的功为W合＝WN＋Wf＋WG
＝400 J，故D正确。]
1．功率的定义：功与完成这些功所用时间的______。
2．功率的物理意义：描述力对物体____________。
3．功率的公式
(1)P＝，P为时间t内的__________。
(2)P＝Fvcos α(α为F与v的夹角)。
①v为平均速度，则P为__________。
②v为瞬时速度，则P为__________。
4．发动机功率：机车发动机的功率P＝____，F为______力，并非机车所受的合力。
考点2　功率的分析与计算
比值
做功的快慢
平均功率　
平均功率　
瞬时功率
Fv　
牵引
(1)由P＝知，W越大，则功率越大。 (　　)
(2)由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。 (　　)
(3)当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。 (　　)
(4)汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力。 (　　)
×　
√　
×　
√
[典例3]　(一题多法)(2024·贵州卷)质量为1 kg的物块静置于光滑水平地面上，设物块静止时的位置为x轴零点。现给物块施加一沿x轴正方向的水平力F，其大小随位置x变化的关系如图所示，则物块运动到x＝3 m处，F做功的瞬时功率为(　　)
A．8 W　
B．16 W
C．24 W　
D．36 W
√
A　[方法一　0～2 m内，物块做匀加速直线运动，加速度为a1，根据牛顿第二定律F1＝ma1，代入数据解得a1＝3 m/s2，根据运动学公式＝2a1x1，其中x1＝2 m，解得2 m处的瞬时速度v1＝2 m/s。在2～3 m内，物块以加速度a2做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律F2＝ma2，代入数据解得a2＝2 m/s2，根据运动学公式－＝2a2x2，其中x2＝3 m－2 m＝1 m，3 m处的瞬时速度为v2＝4 m/s，根据功率公式，物块运动到x＝3 m处，F做功的瞬时功率为P＝F2v2＝2×4 W＝8 W，A正确，B、C、D错误。
方法二　设物块运动到x＝3 m处的速度为v，对全过程运用动能定理得F1x1＋F2x2＝mv2，其中x1＝2 m，x2＝3 m－2 m＝1 m，代入数据解得v＝4 m/s，则物块运动到x＝3 m处，F做功的瞬时功率为P＝F2v＝2×4 W＝8 W，A正确，B、C、D错误。]
[典例4]　(2025·辽宁朝阳模拟)某同学跳绳1分钟，平均每分钟跳120次，每次重心升高约5 cm。估算他跳绳时克服重力做功的平均功率最接近(　　)
A．10 W　 B．50 W
C．100 W　 D．200 W
√
B　[每次克服重力做功W单次＝mgh，假设该同学质量m＝50 kg，重力加速度 g＝10 m/s2，重心升高h＝0.05 m，则W单次＝50×10×0.05 J＝25 J，每分钟跳120次，总功为W总＝25 J×120＝3 000 J，则平均功率P＝＝ W＝50 W，故选B。]
[典例5]　(多选)“天津号”太阳能汽车是中国首款完全依靠纯太阳能驱动的高等级智能网联汽车。“天津号”太阳能汽车配备了面积为S＝8.1 m2的太阳能组件，汽车整备质量为m＝1.02×103 kg，光电转化效率为η1＝31%，若驱动电机能够将90%的电能转化为牵引汽车前进的机械能，它在平直路面上的最大速度为v＝79.2 km/h。若该车行驶过程中所受平均阻力是车重力的0.01倍，重力加速度g取10 m/s2，当该车在平直路面上以最大速度匀速行驶时，下列说法中正确的是(　　)
A．该车牵引力大小是1.02×102 N
B．该车太阳能组件输出的电功率约为2.0×103 W
C．该车太阳能组件单位面积接收的照射光功率约为8×103 W
D．该车太阳能组件单位面积接收的照射光功率约为9.93×102 W
√
√
AD　[汽车在平直路面上匀速行驶时，汽车牵引力与阻力平衡，则有F牵＝f阻＝0.01mg＝1.02×102 N，选项A正确；驱动电机提供的机械功率为P机＝F牵v，设太阳能组件输出的电功率为P1，则有90%P1＝P机，解得P1≈2.493×103 W，选项B错误；设太阳能组件单位面积接收的照射光的功率为P2，由P2Sη1＝P1，解得P2≈9.93×102 W，选项C错误，D正确。]
方法技巧：1．平均功率的计算方法
(1)利用P＝。
(2)利用P＝Fvcos α，其中v为物体运动的平均速度。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受到的力F在速度v方向上的分力。
【教师备选资源】
如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，则前2 s内重力的平均功率和2 s末重力的瞬时功率分别为(　　)
A．48 W，24 W　　　　
B．24 W，48 W
C．24 W，12 W　　　　
D．12 W，24 W
√
B　[木块所受的合力F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N，木块的加速度a＝＝2 m/s2，前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m，所以重力在前2 s内做的功为W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J，重力在前2 s内的平均功率＝＝24 W，木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，2 s末重力的瞬时功率P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W，B正确。]
考点3　机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像 和v-t图像
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
OA段 过程 分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变，v↑ P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动 性质 加速度减小的变加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
AB段 过程 分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的变加速运动
BC段 无 F＝F阻 a＝0 vm＝，以vm做匀速直线运动
2．三个重要关系式
(1)最大运行速度：无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝。
(2)匀加速运动阶段的最大速度：机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后达到额定功率，速度不是最大，即v＝(3)功能关系：机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动或运行过程的位移、速度或时间。
(1)由P＝Fv知，发动机功率一定时，机车的牵引力与运行速度的大小成反比。 (　　)
(2)恒定功率启动中，当速度达到最大时，牵引力变为0。 (　　)
(3)匀加速启动中，功率达到额定功率时，速度达到最大。 (　　)
(4)无论哪种启动方式，机车的最大速度等于其匀速运动时的速度。 (　　)
√　
×　
×　
√
[典例6]　(2025·河北保定模拟)一辆汽车以恒定功率分别在甲、乙两平直道路上启动，其v-t图像如图所示。已知两次汽车行驶时所受阻力恒定，则在甲、乙两道路上汽车所受阻力大小之比为(　　)
A．3∶4　
B．4∶3
C．3∶2　
D．2∶3
√
A　[当牵引力等于阻力时，汽车的速度达到最大，则有P＝f甲·4v0，P＝f乙·3v0，可得在甲、乙两道路上汽车所受阻力大小之比为f甲∶f乙＝3∶4，故选A。]
[典例7]　超级电容车在运行中无须连接电缆，只需在乘客上车间隙充电30秒到1分钟，就能行驶3到5千米。假设有一辆超级电容车，质量m＝2×103 kg，额定功率P＝60 kW，当超级电容车在平直水平路面上行驶时，受到的阻力Ff是车重的，g取10 m/s2。
(1)超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少
(2)若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间
(3)若超级电容车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50 s后达到最大速度，求此过程中超级电容车的位移。
[解析]　(1)当超级电容车速度达到最大时，超级电容车的牵引力与阻力平衡，即F＝Ff
Ff＝kmg＝2 000 N
P＝Ffvm
解得vm＝＝30 m/s。
(2)超级电容车做匀加速运动，由牛顿第二定律得F1－Ff＝ma
解得F1＝3 000 N
设超级电容车刚达到额定功率时的速度为v1，又P＝F1v1，则v1＝＝20 m/s
设超级电容车匀加速运动的时间为t，则v1＝at
解得t＝＝40 s。
(3)从静止到最大速度整个过程只有牵引力与阻力做功，由动能定理得Pt2－Ffx＝m
解得x＝1 050 m。
[答案]　(1)30 m/s　(2)40 s　(3)1 050 m
拓展思考　在[典例7]中，超级电容车以额定功率做加速运动，当v＝10 m/s时超级电容车的加速度为多大
[解析]　超级电容车以额定功率做加速运动，当v＝10 m/s时，牵引力F＝＝6 000 N，超级电容车的加速度a＝＝2 m/s2。
[答案]　2 m/s2
方法技巧：机车启动常见问题的求解方法
最大速度vmax 牵引力F等于阻力Ff，故vmax＝＝
匀加速运动时间t的求法 牵引力F＝ma＋Ff，匀加速运动的最大速度v'max＝，时间t＝
瞬时加速度a 根据F＝求出牵引力，则加速度a＝
恒定功率运行位移s 由动能定理Pt－Ffs＝ΔEk，求得s
课时作业(二十八)　功和功率
1．(2025·辽宁盘锦一模)打冰出溜是一种极具东北地方特色的冬季娱乐活动，打冰出溜过程可分为助跑阶段和滑行阶段。若助跑阶段鞋与冰面不打滑，可视为匀加速直线运动；滑行阶段人保持姿势不变，可视为匀减速直线运动。下列说法正确的是(　　)
A．助跑阶段，冰面对人的摩擦力向后
B．助跑阶段，人对冰面做负功
C．滑行阶段，人对冰面的摩擦力向前
D．助跑阶段，人加速运动，若鞋与冰面发生相对滑动，则冰面对人的摩擦力大于人对冰面的摩擦力
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
C　[助跑阶段，冰面对人的摩擦力向前，摩擦力为动力，故A错误；助跑阶段，冰面静止不动，人对冰面不做功，故B错误；滑行阶段，冰面对人的摩擦力向后，则人对冰面的摩擦力向前，故C正确；冰面对人的摩擦力与人对冰面的摩擦力是一对相互作用力，大小总是相等，故D错误。故选C。]
题号
1
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2．(2025·湖南郴州模拟)一个质量约为30 kg的小朋友从高约为2.4 m、长约为6.5 m的滑梯顶端滑至滑梯底部，若下滑过程中，小朋友所受阻力大小恒为110 N，g取10 m/s2，在整个过程中(　　)
A．小朋友的重力做负功
B．小朋友的阻力做正功
C．小朋友的重力做功约为720 J
D．小朋友的阻力做功约为264 J
√
题号
1
3
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2
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C　[小朋友的重力做正功，做功为WG＝mgh＝30×10×2.4 J＝720 J，故A错误，C正确；小朋友的阻力做负功，做功为Wf＝－fL＝－110×6.5 J＝－715 J，故B、D错误。故选C。]
3．(2025·江苏常州一模)高空坠物危害巨大。现有一重物在无风的情况下从高空被斜向下抛出。已知重物所受空气阻力的大小与坠落速率成正比，则该重物在下落过程中重力的瞬时功率P随时间t变化的图像可能是(　　)
√
题号
1
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12
C　[重物在下落过程中受到重力和空气阻力作用，随着速率的增加，空气阻力逐渐增大，重物在水平方向减速，竖直方向加速，故阻力在竖直向上的分力逐渐增大，则重物在竖直方向做加速度越来越小的加速运动，vy增大，但vy-t图像的切线斜率变小，而重力的瞬时功率P＝mgvy，则P-t图像的切线斜率变小，初始时刻vy不等于0，即初始时刻重力功率不为0。故选C。]
题号
1
3
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2
4
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11
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4．(2025·山东烟台模拟)某科技公司研发的人形机器人已能顺利完成侧空翻动作。某次调试过程中，质量为m的机器人向上跳起并落回原地，跳起后其重心上升的最大高度为h。不计空气阻力，则机器人在上升第1个h与上升第3个h过程中重力的平均功率之比为
(　　)
A．∶1　 B．1∶
C．(2－)∶－1)　 D．(－1)∶(2－)
√
题号
1
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12
D　[机器人做竖直上抛运动到最高点的过程，可看成逆向做初速度为0的自由落体运动，则机器人在上升第1个h与上升第3个h过程的时间比＝，由于这两个阶段重力做功相同，故这两个过程重力的平均功率之比与这两个过程运动的时间成反比，即＝＝，故选D。]
题号
1
3
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6
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12
5．(2025·重庆一模)中国高铁交通运行举世瞩目。设定某高铁运行时所受阻力大小f与车速v之间的关系为f＝kv2(k为定值)，在甲、乙两段水平轨道上匀速直线行驶的速度大小分别为300 km/h、200 km/h。则该高铁在甲、乙两段水平轨道上匀速直线行驶时，其发动机的输出功率的比值为(　　)
A．　B．C．　D．
√
题号
1
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12
C　[该高铁水平匀速直线行驶，其发动机的输出功率P＝Fv＝fv＝kv3，因此在甲、乙两段水平轨道上匀速直线行驶时，发动机的输出功率之比＝＝，故选C。]
题号
1
3
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11
12
6．(2025·广西河池一模)穿越机比无人机有着更高的速度，更强的机动性。如图，某穿越机沿水平方向做加速直线运动，某时刻空气对其作用力F与运动方向成θ夹角，速度为v，穿越机重力为G，则此时(　　)
A．重力的功率为Gv
B．重力的功率为Gvcos θ
C．空气对其作用力的功率为 v
D．空气对其作用力的功率为 v
√
题号
1
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12
C　[重力的方向与穿越机的运动方向垂直，所以重力的功率为0，故A、B错误；空气对穿越机的作用力在运动方向的分力F水平＝，则空气对其作用力的功率为P＝F水平v＝v，故C正确，D错误。故选C。]
题号
1
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7．(多选)如图甲是全球最大的回转自升塔式起重机，它的开发标志着中国工程用超大吨位塔机打破了长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工装备进一步迈向世界前列。该起重机某次从t＝0时刻由静止开始提升质量为m的物体，其a-t图像如图乙所示，t1～t2时间内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的有(　　)
A．该起重机的额定功率为mt1
B．该起重机的额定功率为m(a0＋g)a0t1
C．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为
t1∶2(t2－t1)
D．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为t1∶2t2
√
√
题号
1
3
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4
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BC　[0～t1时间内，根据牛顿第二定律有F－mg＝ma0，解得该过程中物体所受牵引力大小为F＝ma0＋mg，则该起重机的额定功率为P额＝Fv1＝m(a0＋g)a0t1，A错误，B正确；0～t1时间内，牵引力做的功W1＝Fx＝m(g＋a0)×a0＝P额t1，t1～t2时间内，牵引力做的功W2＝P额(t2－t1)，故在0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为＝，C正确，D错误。]
题号
1
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8．(2024·浙江6月选考)一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为2×10-4 m2，喷水速度约为10 m/s，水的密度为1×103 kg/m3，则该喷头喷水的功率约为(　　)
A．10 W　B．20 W C．100 W　D．200 W
√
题号
1
3
5
2
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12
C　[P＝ρSv3P＝100 W，C正确。]
9．(多选)如图所示，一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m＝5×103 kg的重物，到A点时，起重机的功率达到额定功率P0，之后起重机保持该功率不变，继续向上提升重物到B点达到最大速度，之后匀速上升，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则整个过程中，下列说法正确的有(　　)
A．OA过程起重机对重物的拉力不变，且F＝2×104 N
B．P0＝1.2×105 W
C．BC过程中牵引力做功W＝4.4×103 J
D．BC过程重物上升的高度h＝2.4 m
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
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12
BD　[OA过程重物做匀加速运动，则起重机对重物的拉力不变，加速度a＝ m/s2＝2 m/s2，根据F－mg＝ma，可得F＝6×104 N，故A错误；额定功率P0＝Fv1＝6×104×2 W＝1.2×105 W，故B正确；BC过程中牵引力做功W＝P0tBC＝1.2×105×1 J＝1.2×105 J，故C错误；BC过程重物的速度vm＝＝ m/s＝2.4 m/s，BC过程重物上升的高度h＝vmtBC＝2.4×1 m＝2.4 m，故D正确。]
题号
1
3
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2
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12
10．(2025·江苏宿迁模拟)如图所示，汽车定速巡航(即速率不变)从左至右通过拱形路面。若汽车行驶过程中所受阻力大小不变，则该过程中汽车的功率(　　)
√
题号
1
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12
A．一直减小　 B．一直增大
C．先减小后增大　 D．先增大后减小
A　[汽车定速巡航(即速率不变)，上坡过程，由平衡条件可得汽车的牵引力大小为F＝mgsin θ＋f，其中θ为汽车轨迹切线与水平方向的夹角，f为阻力，根据功率P＝Fv＝(mgsin θ＋f )v，汽车沿拱形路面上坡的过程中，θ减小，所以牵引力减小，可知功率逐渐减小。下坡过程，F＋mgsin θ＝f，θ变大，所以牵引力减小，功率也在逐渐减小。故选A。]
题号
1
3
5
2
4
6
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11
12
11．(2025·黑龙江哈尔滨一模)福建舰是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，电磁弹射系统是福建舰的核心装备之一，在测试电磁弹射系统时，配重小车自甲板前端水平射出，落至海面上。简化模型如图所示。两辆质量相同的配重小车1和小车2先后进行弹射测试，轨迹分别为曲线1和曲线2，A、B为两次弹射的落水点。忽略空气阻力，配重小车可视为质点。则关于配重小车1和小车2说法正确的是(　　)
A．落水瞬间速度大小vA＝vB
B．在空中运动过程中速度变化量Δv1＝Δv2
C．落水瞬间重力的瞬时功率PA>PB
D．在空中运动过程中重力的平均功率P1√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
12
B　[配重小车离开甲板后做平抛运动，二者下落高度相等，根据h＝gt2可知，二者下落时间相等；由竖直方向分速度vy＝gt可知vAy＝vBy，水平分运动为匀速运动，根据x＝vt及xA题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
10
11
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
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9
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11
12．(2024·福建卷)我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图(a)为《天工开物》中描绘的利用耕牛整理田地的场景，简化的物理模型如图(b)所示，将人站立的农具视为与水平地面平行的木板，两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面的夹角θ为25.5°，sin 25.5°＝0.43，cos 25.5°＝0.90。当每条绳子拉力F的大小为250 N时，人与木板沿直线匀速前进，在15 s内前进了20 m，求此过程
(1)地面对木板的阻力大小；
(2)两条绳子拉力所做的总功；
(3)两条绳子拉力的总功率。
12
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
11
[解析]　(1)人与木板沿直线匀速前进，由力的平衡条件在水平方向有2Fcos θ＝Ff
解得地面对木板的阻力大小Ff＝450 N。
(2)根据功的定义，有W＝2Flcos θ
解得两条绳子拉力所做的总功W＝9.0×103 J。
(3)根据功率的定义，有P＝
解得两条绳子拉力的总功率P＝600 W。
12
[答案]　(1)450 N　(2)9.0×103 J　(3)600 W
谢谢！课时作业(二十八)　功和功率
说明：单选题每小题4分；多选题每小题6分；本试卷共63分。
1．(2025·辽宁盘锦一模)打冰出溜是一种极具东北地方特色的冬季娱乐活动，打冰出溜过程可分为助跑阶段和滑行阶段。若助跑阶段鞋与冰面不打滑，可视为匀加速直线运动；滑行阶段人保持姿势不变，可视为匀减速直线运动。下列说法正确的是(　　)
A．助跑阶段，冰面对人的摩擦力向后
B．助跑阶段，人对冰面做负功
C．滑行阶段，人对冰面的摩擦力向前
D．助跑阶段，人加速运动，若鞋与冰面发生相对滑动，则冰面对人的摩擦力大于人对冰面的摩擦力
2．(2025·湖南郴州模拟)一个质量约为30 kg的小朋友从高约为2.4 m、长约为6.5 m的滑梯顶端滑至滑梯底部，若下滑过程中，小朋友所受阻力大小恒为110 N，g取10 m/s2，在整个过程中(　　)
A．小朋友的重力做负功
B．小朋友的阻力做正功
C．小朋友的重力做功约为720 J
D．小朋友的阻力做功约为264 J
3．(2025·江苏常州一模)高空坠物危害巨大。现有一重物在无风的情况下从高空被斜向下抛出。已知重物所受空气阻力的大小与坠落速率成正比，则该重物在下落过程中重力的瞬时功率P随时间t变化的图像可能是(　　)
A．　 B．
C．　 D．
4．(2025·山东烟台模拟)某科技公司研发的人形机器人已能顺利完成侧空翻动作。某次调试过程中，质量为m的机器人向上跳起并落回原地，跳起后其重心上升的最大高度为h。不计空气阻力，则机器人在上升第1个h与上升第3个h过程中重力的平均功率之比为(　　)
A．∶1　 B．1∶
C．(2－)∶－1)　 D．(－1)∶(2－)
5．(2025·重庆一模)中国高铁交通运行举世瞩目。设定某高铁运行时所受阻力大小f与车速v之间的关系为f＝kv2(k为定值)，在甲、乙两段水平轨道上匀速直线行驶的速度大小分别为300 km/h、200 km/h。则该高铁在甲、乙两段水平轨道上匀速直线行驶时，其发动机的输出功率的比值为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
6．(2025·广西河池一模)穿越机比无人机有着更高的速度，更强的机动性。如图，某穿越机沿水平方向做加速直线运动，某时刻空气对其作用力F与运动方向成θ夹角，速度为v，穿越机重力为G，则此时(　　)
A．重力的功率为Gv
B．重力的功率为Gvcos θ
C．空气对其作用力的功率为 v
D．空气对其作用力的功率为 v
7．(多选)如图甲是全球最大的回转自升塔式起重机，它的开发标志着中国工程用超大吨位塔机打破了长期依赖进口的局面，也意味着中国桥梁及铁路施工装备进一步迈向世界前列。该起重机某次从t＝0时刻由静止开始提升质量为m的物体，其a-t图像如图乙所示，t1～t2时间内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的有(　　)
A．该起重机的额定功率为mt1
B．该起重机的额定功率为m(a0＋g)a0t1
C．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为t1∶2(t2－t1)
D．0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为t1∶2t2
8．(2024·浙江6月选考)一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为2×10-4 m2，喷水速度约为10 m/s，水的密度为1×103 kg/m3，则该喷头喷水的功率约为(　　)
A．10 W　 B．20 W
C．100 W　 D．200 W
9．(多选)如图所示，一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m＝5×103 kg的重物，到A点时，起重机的功率达到额定功率P0，之后起重机保持该功率不变，继续向上提升重物到B点达到最大速度，之后匀速上升，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则整个过程中，下列说法正确的有(　　)
A．OA过程起重机对重物的拉力不变，且F＝2×104 N
B．P0＝1.2×105 W
C．BC过程中牵引力做功W＝4.4×103 J
D．BC过程重物上升的高度h＝2.4 m
10．(2025·江苏宿迁模拟)如图所示，汽车定速巡航(即速率不变)从左至右通过拱形路面。若汽车行驶过程中所受阻力大小不变，则该过程中汽车的功率(　　)
A．一直减小　 B．一直增大
C．先减小后增大　 D．先增大后减小
11．(2025·黑龙江哈尔滨一模)福建舰是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，电磁弹射系统是福建舰的核心装备之一，在测试电磁弹射系统时，配重小车自甲板前端水平射出，落至海面上。简化模型如图所示。两辆质量相同的配重小车1和小车2先后进行弹射测试，轨迹分别为曲线1和曲线2，A、B为两次弹射的落水点。忽略空气阻力，配重小车可视为质点。则关于配重小车1和小车2说法正确的是(　　)
A．落水瞬间速度大小vA＝vB
B．在空中运动过程中速度变化量Δv1＝Δv2
C．落水瞬间重力的瞬时功率PA>PB
D．在空中运动过程中重力的平均功率P112．(15分)(2024·福建卷)我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图(a)为《天工开物》中描绘的利用耕牛整理田地的场景，简化的物理模型如图(b)所示，将人站立的农具视为与水平地面平行的木板，两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面的夹角θ为25.5°，sin 25.5°＝0.43，cos 25.5°＝0.90。当每条绳子拉力F的大小为250 N时，人与木板沿直线匀速前进，在15 s内前进了20 m，求此过程
(1)地面对木板的阻力大小；
(2)两条绳子拉力所做的总功；
(3)两条绳子拉力的总功率。
课时作业(二十八)
1．C　[助跑阶段，冰面对人的摩擦力向前，摩擦力为动力，故A错误；助跑阶段，冰面静止不动，人对冰面不做功，故B错误；滑行阶段，冰面对人的摩擦力向后，则人对冰面的摩擦力向前，故C正确；冰面对人的摩擦力与人对冰面的摩擦力是一对相互作用力，大小总是相等，故D错误。故选C。]
2．C　[小朋友的重力做正功，做功为WG＝mgh＝30×10×2.4 J＝720 J，故A错误，C正确；小朋友的阻力做负功，做功为Wf＝－fL＝－110×6.5 J＝－715 J，故B、D错误。故选C。]
3．C　[重物在下落过程中受到重力和空气阻力作用，随着速率的增加，空气阻力逐渐增大，重物在水平方向减速，竖直方向加速，故阻力在竖直向上的分力逐渐增大，则重物在竖直方向做加速度越来越小的加速运动，vy增大，但vy-t图像的切线斜率变小，而重力的瞬时功率P＝mgvy，则P-t图像的切线斜率变小，初始时刻vy不等于0，即初始时刻重力功率不为0。故选C。]
4．D　[机器人做竖直上抛运动到最高点的过程，可看成逆向做初速度为0的自由落体运动，则机器人在上升第1个h与上升第3个h过程的时间比＝，由于这两个阶段重力做功相同，故这两个过程重力的平均功率之比与这两个过程运动的时间成反比，即＝＝，故选D。]
5．C　[该高铁水平匀速直线行驶，其发动机的输出功率P＝Fv＝fv＝kv3，因此在甲、乙两段水平轨道上匀速直线行驶时，发动机的输出功率之比＝＝，故选C。]
6．C　[重力的方向与穿越机的运动方向垂直，所以重力的功率为0，故A、B错误；空气对穿越机的作用力在运动方向的分力F水平＝，则空气对其作用力的功率为P＝F水平v＝v，故C正确，D错误。故选C。]
7．BC　[0～t1时间内，根据牛顿第二定律有F－mg＝ma0，解得该过程中物体所受牵引力大小为F＝ma0＋mg，则该起重机的额定功率为P额＝Fv1＝m(a0＋g)a0t1，A错误，B正确；0～t1时间内，牵引力做的功W1＝Fx＝m(g＋a0)×a0＝P额t1，t1～t2时间内，牵引力做的功W2＝P额(t2－t1)，故在0～t1和t1～t2时间内牵引力做的功之比为＝，C正确，D错误。]
8．C　[P＝ρSv3P＝100 W，C正确。]
9．BD　[OA过程重物做匀加速运动，则起重机对重物的拉力不变，加速度a＝ m/s2＝2 m/s2，根据F－mg＝ma，可得F＝6×104 N，故A错误；额定功率P0＝Fv1＝6×104×2 W＝1.2×105 W，故B正确；BC过程中牵引力做功W＝P0tBC＝1.2×105×1 J＝1.2×105 J，故C错误；BC过程重物的速度vm＝＝ m/s＝2.4 m/s，BC过程重物上升的高度h＝vmtBC＝2.4×1 m＝2.4 m，故D正确。]
10．A　[汽车定速巡航(即速率不变)，上坡过程，由平衡条件可得汽车的牵引力大小为F＝mgsin θ＋f，其中θ为汽车轨迹切线与水平方向的夹角，f为阻力，根据功率P＝Fv＝(mgsin θ＋f)v，汽车沿拱形路面上坡的过程中，θ减小，所以牵引力减小，可知功率逐渐减小。下坡过程，F＋mgsin θ＝f，θ变大，所以牵引力减小，功率也在逐渐减小。故选A。]
11．B　[配重小车离开甲板后做平抛运动，二者下落高度相等，根据h＝gt2可知，二者下落时间相等；由竖直方向分速度vy＝gt可知vAy＝vBy，水平分运动为匀速运动，根据x＝vt及xA落水瞬间重力的瞬时功率为P＝mgvy，而vAy＝vBy，二者质量相等，所以落水瞬间二者重力的瞬时功率相等，P1＝P2，故C错误。故选B。]
12．解析：(1)人与木板沿直线匀速前进，由力的平衡条件在水平方向有2Fcos θ＝Ff
解得地面对木板的阻力大小Ff＝450 N。
(2)根据功的定义，有W＝2Flcos θ
解得两条绳子拉力所做的总功W＝9.0×103 J。
(3)根据功率的定义，有P＝
解得两条绳子拉力的总功率P＝600 W。
答案：(1)450 N　(2)9.0×103 J　(3)600 W
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