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第30课时　机械能守恒定律及其应用
[学习目标]　1．知道机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容。2．会用机械能守恒定律解决单个物体或多物体系统的机械能守恒问题。
对机械能的理解及其守恒的判断
1．重力做功
(1)公式：WG＝________。
(2)特点：重力做功与________无关，只与始末位置的________有关。
2．重力势能
(1)表达式：Ep＝________。
(2)重力势能的特点：重力势能是物体和______所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取________，但重力势能的变化与参考平面的选取________。
(3)重力做功与重力势能变化的关系
①表达式：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
②重力对物体做正功，重力势能________；重力对物体做负功，重力势能________。
3．弹性势能
(1)定义：发生________的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系
①表达式：W＝________。
②意义：弹力做正功，弹性势能________；弹力做负功，弹性势能________。
4．机械能：________和________统称为机械能，其中势能包括________和________。
5．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，________与________可以互相转化，而总的机械能________。
(2)表达式：mgh1＋m＝mgh2＋m。
(3)守恒条件：只有重力或系统内的弹力做功。
地铁线路节能设计——优化线路节能坡。据此情境判断下列说法正误：(分析问题时，忽略摩擦和空气阻力)
(1)列车关闭发动机上坡进站的过程中，动能转化为重力势能。 (　　)
(2)列车关闭发动机，从开始上坡到完全进站过程中，机械能增加mgh。 (　　)
(3)若列车刚要上坡时的初速度为v0，列车质量为m，则列车的机械能一定为m。 (　　)
(4)列车的机械能大小与零势能参考平面的选取有关。 (　　)
　机械能守恒的判断
[典例1]　(人教版必修第二册改编)忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足机械能守恒的是(　　)
A．电梯匀速下降
B．物体由光滑固定斜面顶端滑到斜面底端
C．物体沿着粗糙斜面匀速下滑
D．拉着物体沿光滑斜面匀速上升
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[典例2]　(2023·浙江1月选考)一位游客正在体验蹦极，在绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点的过程中(　　)
A．弹性势能减小
B．重力势能减小
C．机械能保持不变
D．绳一绷紧动能就开始减小
方法技巧：机械能守恒判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则其机械能守恒。
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或系统内的弹力)做功或有其他力做功，但其他力做功的代数和为0，其机械能守恒。
(3)利用能量转化判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则物体系统的机械能守恒。
　单物体机械能守恒
[典例3]　如图，撑竿跳高运动中，运动员经过助跑、撑竿起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10 m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为(重力加速度取10 m/s2)(　　)
A．4 m　 B．5 m
C．6 m　 D．7 m
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[典例4]　(2024·全国甲卷)如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(　　)
A．在Q点最大　 B．在Q点最小
C．先减小后增大　 D．先增大后减小
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归纳总结：1．机械能守恒的表达式
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选对象：选取研究对象——物体。
(2)析受力、判守恒：根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)析运动、明状态：恰当地选取参考平面，确定研究对象在所研究过程的初、末状态时的机械能。
(4)列方程、解方程：选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp)进行求解。
系统的机械能守恒
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．几种实际情境的分析
(1)速率相等情境，如图所示。
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
(2)角速度相等情境，如图所示。
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
②由v＝ωr知，v与r成正比。
(3)某一方向分速度相等情境(关联速度情境)，如图所示。
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
如图所示，有一条柔软的质量为m、长为L的均匀链条，开始时链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，用外力使链条静止。不计一切摩擦，重力加速度为g，桌子足够高，桌角右上方有一光滑的约束挡板以保证链条不会飞起。
(1)链条自由下滑过程中，机械能守恒。 (　　)
(2)若自由释放链条，则链条刚离开桌面时速度v＝。 (　　)
(3)此类题目处理时，要用重心位置的相对变化来解决。 (　　)
[典例5]　一条轻绳跨过定滑轮，轻绳的两端各系一个球A和B，A球的质量为m，B球的质量是A球的3倍，用手托住B球，当轻绳刚好被拉紧时，B球离地面的高度是h，A球静止于地面，如图所示。定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计，空气阻力不计，重力加速度为g。释放B球，当B球刚落地时，求：
(1)A球的速度大小；
(2)轻绳对A球做的功；
(3)A球碰不到滑轮的情况下，A球上升的最大高度。
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[典例6]　如图所示，一根长为3L的轻杆可绕水平转轴O转动，两端固定质量均为m的小球A和B，A到O的距离为L，现使杆在竖直平面内转动，B运动到最高点时恰好对杆无作用力，两球均视为质点，不计空气阻力和摩擦阻力，重力加速度为g。当B由最高点第一次转至与O点等高的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．杆对B球做正功
B．B球的机械能守恒
C．轻杆转至水平时，A球速度大小为
D．轻杆转至水平时，B球速度大小为
第30课时　
考点1
1．(1)mgh　(2)路径　高度差
2．(1)mgh　(2)地球　有关　无关　(3)减小　增大
3．(1)弹性形变　(2)－ΔEp　减小　增大　
4．动能　势能　弹性势能　重力势能
5．(1)动能　势能　保持不变
情境辨析　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
典例1　B　[电梯匀速下降，说明电梯处于受力平衡状态，并不是只有重力做功，机械能不守恒，故A错误；物体在光滑斜面上，受重力和支持力的作用，但是支持力的方向和物体运动的方向垂直，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，故B正确；物体沿着粗糙斜面匀速下滑，物体处于受力平衡状态，摩擦力和重力都要做功，机械能不守恒，故C错误；拉着物体沿光滑斜面匀速上升，物体处于受力平衡状态，拉力和重力都要做功，机械能不守恒，故D错误。]
典例2　B　[游客从跳台下落直到最低点的过程中，游客的重力做正功，重力势能减小，B正确；橡皮绳绷紧后形变量一直增大，弹性势能一直增大，A错误；橡皮绳绷紧后的过程，橡皮绳的弹力对游客做负功，因此游客的机械能减小，C错误；绳绷紧后游客先加速后减速，因此游客的动能先增大后减小，D错误。]
典例3　B　[当运动员在最高点速度为0时，重心提升高度最大，以地面为零势能面，根据机械能守恒定律有mv2＝mgh，可得其理论的最大高度h＝5 m，故选B。]
典例4　C　[设小环运动轨迹所对的圆心角为θ(0≤θ≤π)，大圆环的半径为R，大圆环对小环的作用力为F，则由动能定理有mgR(1－cos θ)＝mv2，又小环做圆周运动，则有F＋mgcos θ＝m，联立得小环下滑过程中受到大圆环的作用力F＝mg(2－3cos θ)，则F的大小先减小后增大，且当cos θ＝时F最小，当cos θ＝－1，即小环在大圆环最低点时F最大，结合牛顿第三定律可知，C正确。]
考点2
情境辨析　(1)√　(2)×　(3)√
典例5　解析：(1)对B下落h的过程分析，由B和A组成的系统机械能守恒有3mgh－mgh＝×4m，解得vA＝。
(2)对A球，根据动能定理有WA－mgh＝m，解得WA＝mgh。
(3)B球落地后，A球竖直上抛高度h'＝＝h，A球上升的最大高度Hm＝h＋h＝h。
答案：(1)　(2)mgh　(3)h
典例6　D　[由题知B运动到最高点时恰好对杆无作用力，有mg＝m，解得B在最高点时速度大小为v＝，因为A、B的角速度相同，A的转动半径为B的一半，所以A的速度大小为，当B由最高点转至与O点等高时，取O点所在水平面的重力势能为0，根据A、B组成的系统的机械能守恒，有mg·2L－mgL＋m＋mv2＝m＋m，vB＝2vA，解得vA＝，vB＝，故C错误，D正确；设杆对B做的功为W，对B由动能定理得mg·2L＋W＝m－mv2，解得W＝－mgL，所以杆对B做负功，B的机械能不守恒，故A、B错误。]
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第五章　机械能守恒定律
第30课时　机械能守恒定律及其应用
[学习目标]　1．知道机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容。2．会用机械能守恒定律解决单个物体或多物体系统的机械能守恒问题。
考点1　对机械能的理解及其守恒的判断
1．重力做功
(1)公式：WG＝_____。
(2)特点：重力做功与______无关，只与始末位置的________有关。
2．重力势能
(1)表达式：Ep＝_____。
(2)重力势能的特点：重力势能是物体和______所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取______，但重力势能的变化与参考平面的选取______。
mgh
路径
高度差
mgh　
地球
有关　
无关　
(3)重力做功与重力势能变化的关系
①表达式：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
②重力对物体做正功，重力势能______；重力对物体做负功，重力势能______。
3．弹性势能
(1)定义：发生__________的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系
①表达式：W＝_______。
②意义：弹力做正功，弹性势能______；弹力做负功，弹性势能______。
减小
增大
弹性形变　
－ΔEp　
减小　
增大　
4．机械能：______和______统称为机械能，其中势能包括__________和__________。
5．机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，______与______可以互相转化，而总的机械能__________。
(2)表达式：mgh1＋m＝mgh2＋m。
(3)守恒条件：只有重力或系统内的弹力做功。
动能
势能
弹性势能　
重力势能
动能
势能
保持不变
(1)列车关闭发动机上坡进站的过程中，动能转化为重力势能。 (　　)
(2)列车关闭发动机，从开始上坡到完全进站过程中，机械能增加mgh。 (　　)
(3)若列车刚要上坡时的初速度为v0，列车质量为m，则列车的机械能一定为m。 (　　)
(4)列车的机械能大小与零势能参考平面的选取有关。 (　　)
地铁线路节能设计——优化线路节能坡。据此情境判断下列说法正误：(分析问题时，忽略摩擦和空气阻力)
√　
×　
×　
√
角度1　机械能守恒的判断
[典例1]　(人教版必修第二册改编)忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足机械能守恒的是(　　)
A．电梯匀速下降
B．物体由光滑固定斜面顶端滑到斜面底端
C．物体沿着粗糙斜面匀速下滑
D．拉着物体沿光滑斜面匀速上升
√
B　[电梯匀速下降，说明电梯处于受力平衡状态，并不是只有重力做功，机械能不守恒，故A错误；物体在光滑斜面上，受重力和支持力的作用，但是支持力的方向和物体运动的方向垂直，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，故B正确；物体沿着粗糙斜面匀速下滑，物体处于受力平衡状态，摩擦力和重力都要做功，机械能不守恒，故C错误；拉着物体沿光滑斜面匀速上升，物体处于受力平衡状态，拉力和重力都要做功，机械能不守恒，故D错误。]
[典例2]　(2023·浙江1月选考)一位游客正在体验蹦极，在绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点的过程中(　　)
A．弹性势能减小
B．重力势能减小
C．机械能保持不变
D．绳一绷紧动能就开始减小
√
B　[游客从跳台下落直到最低点的过程中，游客的重力做正功，重力势能减小，B正确；橡皮绳绷紧后形变量一直增大，弹性势能一直增大，A错误；橡皮绳绷紧后的过程，橡皮绳的弹力对游客做负功，因此游客的机械能减小，C错误；绳绷紧后游客先加速后减速，因此游客的动能先增大后减小，D错误。]
方法技巧：机械能守恒判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则其机械能守恒。
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或系统内的弹力)做功或有其他力做功，但其他力做功的代数和为0，其机械能守恒。
(3)利用能量转化判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则物体系统的机械能守恒。
角度2　单物体机械能守恒
[典例3]　如图，撑竿跳高运动中，运动员经过助跑、撑竿起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10 m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为(重力加速度取10 m/s2)(　　)
A．4 m　B．5 m C．6 m　D．7 m
√
B　[当运动员在最高点速度为0时，重心提升高度最大，以地面为零势能面，根据机械能守恒定律有mv2＝mgh，可得其理论的最大高度h＝5 m，故选B。]
[典例4]　(2024·全国甲卷)如图，一光滑大圆环固定在竖直平面内，质量为m的小环套在大圆环上，小环从静止开始由大圆环顶端经Q点自由下滑至其底部，Q为竖直线与大圆环的切点。则小环下滑过程中对大圆环的作用力大小(　　)
A．在Q点最大　
B．在Q点最小
C．先减小后增大　
D．先增大后减小
√
C　[设小环运动轨迹所对的圆心角为θ(0≤θ≤π)，大圆环的半径为R，大圆环对小环的作用力为F，则由动能定理有mgR(1－cos θ)＝mv2，又小环做圆周运动，则有F＋mgcos θ＝m，联立得小环下滑过程中受到大圆环的作用力F＝mg(2－3cos θ)，则F的大小先减小后增大，且当cos θ＝时F最小，当cos θ＝－1，即小环在大圆环最低点时F最大，结合牛顿第三定律可知，C正确。]
归纳总结：1．机械能守恒的表达式
2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选对象：选取研究对象——物体。
(2)析受力、判守恒：根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)析运动、明状态：恰当地选取参考平面，确定研究对象在所研究过程的初、末状态时的机械能。
(4)列方程、解方程：选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp)进行求解。
【教师备选资源】
一滑雪坡由AB和BC组成，AB为斜坡，BC是圆弧，C端水平，如图所示。运动员连同滑雪装备的总质量m＝75 kg，从A点由静止滑下，通过C点时速度大小v＝12 m/s，之后落到水平地面DE上。A、C两点的高度差h1＝9.8 m，竖直台阶CD的高度h2＝5 m。取地面为零势能参考平面，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则运动员(含装备)落地前瞬间的机械能为(　　)
A．11 100 J　　 B．9 150 J
C．7 350 J　 D．5 400 J
√
B　[根据题意可知，运动员在C点的机械能为E＝mv2＋mgh2＝
9 150 J，从C点离开后，运动员在空中只有重力对其做功，机械能守恒，则可知运动员(含装备)落地前瞬间的机械能为9 150 J，故B正确。]
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
考点2　系统的机械能守恒
2．几种实际情境的分析
(1)速率相等情境，如图所示。
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。
(2)角速度相等情境，如图所示。
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
②由v＝ωr知，v与r成正比。
(3)某一方向分速度相等情境(关联速度情境)，如图所示。
两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。
如图所示，有一条柔软的质量为m、长为L的均匀链条，开始时链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，用外力使链条静止。不计一切摩擦，重力加速度为g，桌子足够高，桌角右
上方有一光滑的约束挡板以保证链条不会飞起。
(1)链条自由下滑过程中，机械能守恒。 (　　)
(2)若自由释放链条，则链条刚离开桌面时速度v＝。 (　　)
(3)此类题目处理时，要用重心位置的相对变化来解决。 (　　)
√　
×　
√
[典例5]　一条轻绳跨过定滑轮，轻绳的两端各系一个球A和B，A球的质量为m，B球的质量是A球的3倍，用手托住B球，当轻绳刚好被拉紧时，B球离地面的高度是h，A球静止于地面，如图所示。定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计，空气阻力不计，重力加速度为g。释放B球，当B球刚落地时，求：
(1)A球的速度大小；
(2)轻绳对A球做的功；
(3)A球碰不到滑轮的情况下，A球上升的最大高度。
[解析]　(1)对B下落h的过程分析，由B和A组成的系统机械能守恒有3mgh－mgh＝×4m，解得vA＝。
(2)对A球，根据动能定理有WA－mgh＝m，解得WA＝mgh。
(3)B球落地后，A球竖直上抛高度h'＝＝h，A球上升的最大高度Hm＝h＋h＝h。
[答案]　(1)　(2)mgh　(3)h
[典例6]　如图所示，一根长为3L的轻杆可绕水平转轴O转动，两端固定质量均为m的小球A和B，A到O的距离为L，现使杆在竖直平面内转动，B运动到最高点时恰好对杆无作用力，两球均视为质点，不计空气阻力和摩擦阻力，重力加速度为g。当B由最高点第一次转至与O点等高的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．杆对B球做正功
B．B球的机械能守恒
C．轻杆转至水平时，A球速度大小为
D．轻杆转至水平时，B球速度大小为
√
D　[由题知B运动到最高点时恰好对杆无作用力，有mg＝m，解得B在最高点时速度大小为v＝，因为A、B的角速度相同，A的转动半径为B的一半，所以A的速度大小为，当B由最高点转至与O点等高时，取O点所在水平面的重力势能为0，根据A、B组成的系统的机械能守恒，有mg·2L－mgL＋m＋mv2＝m＋m，vB＝2vA，解得vA＝，vB＝，故C错误，D正确；设杆对B做的功为W，对B由动能定理得mg·2L＋W＝m－mv2，解得W＝－mgL，所以杆对B做负功，B的机械能不守恒，故A、B错误。]
【教师备选资源】
(2025·河南许昌高三期末)如图所示，一轻质弹簧下端与固定光滑斜面的底端相连，上端与斜面上的物体A相连，A处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过光滑轻质定滑轮，一端连接物体A，另一端连一轻钩。开始时各段轻绳都处于伸直状态，A上方的一段轻绳与斜面平行。现在挂钩上挂一物体B并从静止状态释放，则在物体B向下运动的过程中(物体A不会和滑轮相碰，物体B不会和地面相碰)，下列说法正确的是(　　)
A．物体B的机械能守恒
B．物体A和B组成的系统机械能守恒
C．物体A和轻弹簧组成的系统机械能守恒
D．物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统机械能守恒
√
D　[物体B在下落的过程中，轻绳的拉力对其做负功，机械能不守恒，故A错误；物体A和B组成的系统在运动过程中，弹簧弹力对系统做功，该系统机械能不守恒，故B错误；物体A和轻弹簧组成的系统在运动过程中，轻绳拉力对系统做正功，该系统机械能不守恒，故C错误；物体A、物体B和轻弹簧三者组成的系统在运动过程中，系统内只发生势能与动能之间的相互转化，该系统机械能守恒，故D正确。]
课时作业(三十)　机械能守恒定律及其应用
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
1．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，
物体A的机械能守恒
B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速
下滑，物体B的机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和细绳及定滑轮的质量时，A加速下落、B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
√
√
CD　[题图甲中重力和系统内弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，A错误；题图乙中物体B除受重力外，还受到弹力和摩擦力作用，弹力不做功，但摩擦力做负功，物体B的机械能不守恒，B错误；题图丙中细绳张力对A做负功，对B做正功，代数和为0，A、B组成的系统机械能守恒，C正确；题图丁中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．(多选)(人教版必修第二册改编)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，且不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的重力势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为m－mgh
D．物体在海平面上的机械能为m
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
AD　[从地面到海平面重力对物体做的功为mgh，故A正确；地面为零势能面，所以物体在海平面的重力势能为－mgh，故B错误；物体在地面上的机械能为m，由机械能守恒定律得，物体在海平面上的机械能也为m，故D正确；在海平面上的动能为m－(－mgh)＝m＋mgh，故C错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3．(2023·浙江6月选考)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E 随运动时间t的变化关系中，正确的是(　　)
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D　[铅球被水平推出后，不考虑空气阻力，则铅球做平抛运动，其在运动过程中仅受重力，则加速度为重力加速度，保持不变，铅球的机械能保持不变，A错误，D正确；设铅球的初速度为v0，运动时间为t，则铅球的速度大小v＝，显然速度大小v与时间t并不是线性关系，B错误；铅球的动能Ek＝m[＋(gt)2]，动能Ek与时间t为一元二次函数关系，并不是线性关系，C错误。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4．如图所示，质量分别为m和2m的小物块P和Q用轻质弹簧连接后放在水平地面上，P通过一根水平轻绳连接到墙上。P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因数为μ ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。用水平拉力将Q向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力后，Q恰好能保持静止。弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g。若剪断轻绳，P在随后的运动过程中相对于其初始位置的最大位移大小为(　　)
A．μmgk　B．C．　D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[Q恰好能保持静止时，设弹簧的伸长量为x，满足kx＝2μmg，若剪断轻绳后，物块P与弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的最大压缩量也为x，因此P相对于其初始位置的最大位移大小为x总＝2x＝，故选C。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
5．(2025·河南新乡模拟)如图所示，轻杆的一端可绕光滑固定转轴O在竖直平面内自由转动，另一端连接一质量为m的小球(可视为质点)，AB、CD分别为轨迹圆的竖直、水平直径。某时刻，小球在A点受到轻微扰动开始下摆，不计一切阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．若小球在A、B点时，受到轻杆的作用力大小分别为F1、F2，则F1＋F2＝6mg
B．小球在C点和D点时的加速度相同
C．轻杆给小球的作用力最大为4mg
D．小球位于B点时，转轴O对轻杆有竖直向下的作用力
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A　[小球位于A点时，速度为0，则有F1＝mg，F1的方向竖直向上；小球从A点到B点，根据机械能守恒有2mgL＝m，解得vB＝，小球位于B点时，根据牛顿第二定律有F2－mg＝，解得F2＝5mg，方向竖直向上；可知轻杆给小球的作用力最大为5mg，则有F1＋F2＝6mg，故A正确，C错误；根据牛顿第二定律可知，C、D两点加速度方向不同，故B错误；小球位于B点时，轻杆给小球的作用力竖直向上，根据牛顿第三定律，小球给轻杆的作用力竖直向下，轻杆所受合力为0，故转轴给轻杆的作用力竖直向上，故D错误。故选A。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
6．(2025·山东威海一模)如图所示，质量分别为6m和m的物体P、Q用跨过定滑轮O的轻绳连接，P置于倾角为30°的光滑固定斜面上，Q穿在固定的竖直光滑杆上。轻质弹簧的一端固定在地面上，另一端连接Q。初始时，控制P使轻绳伸直且无拉力，轻绳的OP段与斜面平行，OQ段与杆的夹角为37°。将P由静止释放，Q在运动过程中经过M点，OM与杆垂直，长为1.5L。P、Q均可视为质点，弹簧始终在弹性限度内，劲度系数k＝，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。Q经过M点时的速率为(　　)
A．　 B．2
C．　 D．2
√
题号
1
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5
2
4
6
8
7
9
A　[未释放P前，对Q有mg＝kx，解得弹簧压缩量x＝L，当Q经过M点时，由于OM与杆垂直，可知此时P的速度为0，几何关系可知QM＝＝2L，可知在M点时，弹簧拉伸量为L，弹性势能与开始时相同，故对P、Q和弹簧构成的系统，由机械能守恒有6mgsin 30°＋Ep－mg＝m＋Ep，解得vM＝，故选A。]
题号
1
3
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2
4
6
8
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9
7．(2025·安徽蚌埠模拟)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则(　　)
A．A球转动到最低点时，A球的速度最大
B．A球的最大速度为2
C．A球第一次转动到OA边与竖直方向的夹角为60°时，A球的速度最大
D．A球的最大速度为
√
题号
1
3
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2
4
6
8
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9
D　[根据题意知无论何时小球A和B的角速度均相同，A和B线速度大小之比＝＝，由系统机械能守恒定律可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小。当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒定律得mg·2lcos θ－2mgl(1－sin θ)＝m＋×2m，解得＝gl(sin θ＋cos θ)－gl，由数学知识可得θ＝45°时，sin θ＋cos θ最大为，此时A球有最大速度v1＝，故选D。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．(2025·江苏南通模拟)如图所示，一个柱形大水槽放在水平地面上，边缘同一竖线上开有三个小孔a、b、c，水从小孔水平流出后落在地面上。某时刻水面到孔c与孔c到地面的距离相等，此时水流径迹可能是(　　)
√
题号
1
3
5
2
4
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8
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9
A　[设小孔到水面的深度为h，水从小孔流出的初速度大小为v，根据机械能守恒定律得Δm·gh＝Δm·v2，解得v＝，可见小孔越深，水流出时的初速度越大，所以va题号
1
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9
9．(2023·全国甲卷)如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求：
(1)小球离开桌面时的速度大小；
(2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
题号
1
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9
[解析]　(1)设小球离开桌面时的速度为v0，
根据能量守恒定律有Ep＝m－0，
解得v0＝。
(2)设小球第一次落地前瞬间的竖直速度大小为vy，小球第一次与地面碰撞后瞬间的竖直速度大小为v'y。
从第一次碰后离开地面至到达最高点的过程中，竖直方向根据运动学公式有0－v＝－2gh，
根据题意有＝，
题号
1
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9
设小球从离开桌面到第一次与地面碰撞的运动时间为t，水平方向的位移为s。则有
vy＝gt，s＝v0t，
联立解得s＝。
题号
1
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[答案]　(1)　(2)
谢谢！课时作业(三十)　机械能守恒定律及其应用
说明：单选题每小题4分；多选题每小题6分；本试卷共48分。
1．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A的机械能守恒
B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和细绳及定滑轮的质量时，A加速下落、B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
2．(多选)(人教版必修第二册改编)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，且不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的重力势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为m－mgh
D．物体在海平面上的机械能为m
3．(2023·浙江6月选考)铅球被水平推出后的运动过程中，不计空气阻力，下列关于铅球在空中运动时的加速度大小a、速度大小v、动能Ek和机械能E随运动时间t的变化关系中，正确的是(　　)
A　　　 　B　　　　　C　　　 　D
4．如图所示，质量分别为m和2m的小物块P和Q用轻质弹簧连接后放在水平地面上，P通过一根水平轻绳连接到墙上。P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因数为μ ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。用水平拉力将Q向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力后，Q恰好能保持静止。弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，重力加速度大小为g。若剪断轻绳，P在随后的运动过程中相对于其初始位置的最大位移大小为(　　)
A．μmgk　 B．
C．　 D．
5．(2025·河南新乡模拟)如图所示，轻杆的一端可绕光滑固定转轴O在竖直平面内自由转动，另一端连接一质量为m的小球(可视为质点)，AB、CD分别为轨迹圆的竖直、水平直径。某时刻，小球在A点受到轻微扰动开始下摆，不计一切阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．若小球在A、B点时，受到轻杆的作用力大小分别为F1、F2，则F1＋F2＝6mg
B．小球在C点和D点时的加速度相同
C．轻杆给小球的作用力最大为4mg
D．小球位于B点时，转轴O对轻杆有竖直向下的作用力
6．(2025·山东威海一模)如图所示，质量分别为6m和m的物体P、Q用跨过定滑轮O的轻绳连接，P置于倾角为30°的光滑固定斜面上，Q穿在固定的竖直光滑杆上。轻质弹簧的一端固定在地面上，另一端连接Q。初始时，控制P使轻绳伸直且无拉力，轻绳的OP段与斜面平行，OQ段与杆的夹角为37°。将P由静止释放，Q在运动过程中经过M点，OM与杆垂直，长为1.5L。P、Q均可视为质点，弹簧始终在弹性限度内，劲度系数k＝，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。Q经过M点时的速率为(　　)
A．　 B．2
C．　 D．2
7．(2025·安徽蚌埠模拟)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则(　　)
A．A球转动到最低点时，A球的速度最大
B．A球的最大速度为2
C．A球第一次转动到OA边与竖直方向的夹角为60°时，A球的速度最大
D．A球的最大速度为
8．(2025·江苏南通模拟)如图所示，一个柱形大水槽放在水平地面上，边缘同一竖线上开有三个小孔a、b、c，水从小孔水平流出后落在地面上。某时刻水面到孔c与孔c到地面的距离相等，此时水流径迹可能是(　　)
A．　 B．
C．　 D．
9．(12分)(2023·全国甲卷)如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为Ep。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求：
(1)小球离开桌面时的速度大小；
(2)小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。
课时作业(三十)
1．CD　[题图甲中重力和系统内弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，A错误；题图乙中物体B除受重力外，还受到弹力和摩擦力作用，弹力不做功，但摩擦力做负功，物体B的机械能不守恒，B错误；题图丙中细绳张力对A做负功，对B做正功，代数和为0，A、B组成的系统机械能守恒，C正确；题图丁中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D正确。]
2．AD　[从地面到海平面重力对物体做的功为mgh，故A正确；地面为零势能面，所以物体在海平面的重力势能为－mgh，故B错误；物体在地面上的机械能为m，由机械能守恒定律得，物体在海平面上的机械能也为m，故D正确；在海平面上的动能为m－(－mgh)＝m＋mgh，故C错误。]
3．D　[铅球被水平推出后，不考虑空气阻力，则铅球做平抛运动，其在运动过程中仅受重力，则加速度为重力加速度，保持不变，铅球的机械能保持不变，A错误，D正确；设铅球的初速度为v0，运动时间为t，则铅球的速度大小v＝，显然速度大小v与时间t并不是线性关系，B错误；铅球的动能Ek＝m[＋(gt)2]，动能Ek与时间t为一元二次函数关系，并不是线性关系，C错误。]
4．C　[Q恰好能保持静止时，设弹簧的伸长量为x，满足kx＝2μmg，若剪断轻绳后，物块P与弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的最大压缩量也为x，因此P相对于其初始位置的最大位移大小为x总＝2x＝，故选C。]
5．A　[小球位于A点时，速度为0，则有F1＝mg，F1的方向竖直向上；小球从A点到B点，根据机械能守恒有2mgL＝m，解得vB＝，小球位于B点时，根据牛顿第二定律有F2－mg＝，解得F2＝5mg，方向竖直向上；可知轻杆给小球的作用力最大为5mg，则有F1＋F2＝6mg，故A正确，C错误；根据牛顿第二定律可知，C、D两点加速度方向不同，故B错误；小球位于B点时，轻杆给小球的作用力竖直向上，根据牛顿第三定律，小球给轻杆的作用力竖直向下，轻杆所受合力为0，故转轴给轻杆的作用力竖直向上，故D错误。故选A。]
6．A　[未释放P前，对Q有mg＝kx，解得弹簧压缩量x＝L，当Q经过M点时，由于OM与杆垂直，可知此时P的速度为0，几何关系可知QM＝＝2L，可知在M点时，弹簧拉伸量为L，弹性势能与开始时相同，故对P、Q和弹簧构成的系统，由机械能守恒有6mgsin 30°＋Ep－mg＝m＋Ep，解得vM＝，故选A。]
7．D　[根据题意知无论何时小球A和B的角速度均相同，A和B线速度大小之比＝＝，由系统机械能守恒定律可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小。当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒定律得mg·2lcos θ－2mgl(1－sin θ)＝m＋×2m，解得＝gl(sin θ＋cos θ)－gl，由数学知识可得θ＝45°时，sin θ＋cos θ最大为，此时A球有最大速度v1＝，故选D。]
8．A　[设小孔到水面的深度为h，水从小孔流出的初速度大小为v，根据机械能守恒定律得Δm·gh＝Δm·v2，解得v＝，可见小孔越深，水流出时的初速度越大，所以va9．解析：(1)设小球离开桌面时的速度为v0，
根据能量守恒定律有Ep＝m－0，
解得v0＝。
(2)设小球第一次落地前瞬间的竖直速度大小为vy，小球第一次与地面碰撞后瞬间的竖直速度大小为v'y。
从第一次碰后离开地面至到达最高点的过程中，竖直方向根据运动学公式有0－v＝－2gh，
根据题意有＝，
设小球从离开桌面到第一次与地面碰撞的运动时间为t，水平方向的位移为s。则有
vy＝gt，s＝v0t，
联立解得s＝。
答案：(1)　(2)
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