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第31课时　功能关系　能量守恒定律
[学习目标]　1．熟练掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题。2．掌握一对摩擦力做功与能量转化的关系、功能关系与图像结合等问题。3．会应用能量守恒观点解决综合问题。
对功能关系的理解及应用
1．能的概念：一个物体____________，这个物体就具有能量。
2．功能关系
(1)功是__________的量度，即做了多少功就有__________发生了转化。
(2)做功的过程一定伴随着_______________________，而且____________必须通过做功来实现。
3．常见的功能关系
能量 功能关系 表达式
势能 重力做的功等于________减少量 W＝Ep1－ Ep2＝－ΔEp
弹力做的功等于________减少量
静电力做的功等于________减少量
分子力做的功等于________减少量
动能 合力做的功等于物体________变化量 W＝Ek2－Ek1＝ mv2－m
机械能 除重力和系统内弹力之外的其他力做的功等于________变化量 W其他＝E2－ E1＝ΔE
摩擦产生 的内能 一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的_______ Q＝Ff·x相对
电能 克服安培力做的功等于________增加量 W克安＝E2－ E1＝ΔE电
　用恒力F竖直向上拉一物体，使其由地面处开始加速上升到某一高度。若该过程空气阻力不能忽略，判断下列说法是否正确。
(1)力F做的功和阻力做的功之和等于物体动能的增量。 (　　)
(2)克服重力做的功等于物体重力势能的增量。 (　　)
(3)力F做的功和阻力做的功之和等于物体与地球系统机械能的增量。 (　　)
(4)力F、重力、阻力三者的合力所做的功等于物体机械能的增量。 (　　)
　功能关系的分析与计算
[典例1]　(2024·浙江1月选考)如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中能到达的最高点2的高度为h，则足球(　　)
A．从1到2动能减少mgh
B．从1到2重力势能增加mgh
C．从2到3动能增加mgh
D．从2到3机械能不变
[典例2]　(多选)(2023·全国乙卷)如图，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v0开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时(　　)
A．木板的动能一定等于fl
B．木板的动能一定小于fl
C．物块的动能一定大于m－fl
D．物块的动能一定小于m－fl
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归纳总结：两种摩擦力做功特点的比较
项目 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功
不同点 能量的 转化方面 只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能 (1)将部分机械能从一个物体转移到另一个物体 (2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量
一对摩擦 力的总功 方面 一对静摩擦力做功的代数和总等于0 一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值
相同点 正功、负 功、不做 功方面 两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功
　功能关系与图像结合
[典例3]　(2025·辽宁沈阳一模)如图所示，一物块(可视为质点)以初速度v0从足够长的固定斜面底端滑上斜面，运动过程中所受的阻力Ff与速度大小成正比。以斜面底端为原点O和重力势能的零点，沿斜面向上为正方向，该物块的动能为Ek、重力势能为Ep、机械能为E、重力做功的绝对值为WG、位移为s、在斜面上运动的时间为t。在该物块从斜面底端滑上斜面到返回斜面底端的过程中，下列图像可能正确的是(　　)
A．　 B．
C．　 D．
[典例4]　(多选)(2025·江西上饶模拟)某滑雪运动员从坡度一定的雪坡上沿直线由静止匀加速下滑的过程中，运动员受到的阻力恒定，则运动员的速度大小v、加速度大小a、重力势能Ep(取坡底的重力势能为0)、机械能E随时间变化的图像可能正确的是(　　)
A．　 B．
C．　 D．
对能量守恒定律的理解及应用
1．能量守恒定律的内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式________为另一种形式，或者从一个物体________到另一个物体，在转化或转移的过程中，能量的总量________。
2．表达式
(1)E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
(2)ΔE增＝ΔE减，增加的能量总和等于减少的能量总和。
3．应用能量守恒定律解题的思路
(1)分清有多少种形式的能(动能、势能、内能等)发生变化。
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增的表达式。
(3)列出能量守恒关系式ΔE减＝ΔE增。
(1)力对物体做了多少功，物体就有多少能。 (　　)
(2)一个物体的能量增加，必定有别的物体的能量减少。 (　　)
(3)滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化。 (　　)
[典例5]　(2025·山东卷)一辆电动小车上的光伏电池将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好维持小车以速度v匀速运动。此时电动机的效率为50%。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力f＝kv(k为常量)，该光伏电池的光电转换效率为η，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
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[典例6]　(2024·北京卷)如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C。下列说法正确的是(　　)
A．物体在C点所受合力为0
B．物体在C点的速度为0
C．物体在C点的向心加速度等于重力加速度
D．物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能
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[典例7]　(2025·四川卷)如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机通过不可伸长轻绳与小车相连，小车上静置一物块。小车与物块质量均为m，两者之间动摩擦因数为。电动机以恒定功率P拉动小车由静止开始沿斜面向上运动。经过一段时间，小车与物块的速度刚好相同，大小为v0。运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，重力加速度大小为g，忽略其他摩擦。则这段时间内(　　)
A．物块的位移大小为
B．物块机械能增量为
C．小车的位移大小为－
D．小车机械能增量为＋
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第31课时
考点1
1．能对外做功
2．(1)能量转化　多少能量　(2)能量的转化　能量转化
3．重力势能　弹性势能　电势能　分子势能　动能　机械能　内能　电能
情境辨析　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
典例1　B　[由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，机械能减少，从1到2重力势能增加mgh，则从1到2动能减少量大于mgh，A错误，B正确；从2到3过程中受到空气阻力作用，机械能减少，重力势能减少mgh，则动能增加量小于mgh，C、D错误。]
典例2　BD　[根据题意分析可知，物块做匀减速运动、木板做匀加速运动，物块离开木板时，物块的速度大于木板的速度，则有物块位移x物＝t，木板位移x木＝t，又x物－x木＝l，v1>v2，可知x木典例3　A　[设斜面的倾角为θ，物块沿斜面运动的过程中重力做功的绝对值WG＝mgssin θ，故A正确；物块在斜面上运动时，上升过程中所受的合力F＝mgsin θ＋kv，根据动能定理有－Fs＝Ek－Ek0，Ek-s图线的斜率的绝对值越来越小，下滑过程中，位移s减小，所受的合力F＝mgsin θ－kv，Ek-s图线的斜率的绝对值越来越小，且Ek-s图线应该是一个s对应两个Ek值，即上升和下滑同一个位移有两个Ek值，故B错误；物块上滑到最高点所用的时间小于下滑到原点的时间，故C错误；物块沿斜面运动的过程中，由于阻力做负功，物块的机械能一直在减小，故D错误。故选A。]
典例4　AC　[运动员由静止匀加速下滑，根据v＝at可知，速度与时间成正比，A正确；运动员做匀加速直线运动，加速度不变，B错误；设雪坡的倾角为θ，运动员加速下滑的过程中，经过时间t，沿斜面下滑的距离为s＝at2，重力势能Ep＝Ep0－mg·at2sin θ，Ep-t图像为开口向下的抛物线的一部分，C正确；运动员的机械能E＝ Ep0－f·at2，E-t图像也为开口向下的抛物线的一部分，但运动员到达坡底时的机械能不为0，D错误。故选AC。]
考点2
1．转化　转移　保持不变
判断正误　(1)×　(2)√　(3)√
典例5　A　[小车匀速运动时，电动机的输出功率等于小车受到的阻力的功率，有P电出＝Pf＝fv＝kv2，所以电动机的输入功率(光伏电池的输出功率)为P光出＝＝2kv2，则光伏电池的输入功率(单位时间内获得的太阳能)为P太阳能＝＝，A正确。]
典例6　C　[设物体恰好到达C点的速度大小为v，则在C点重力完全提供向心力，有mg＝m＝ma向，解得v＝，向心加速度a向＝g，A、B错误，C正确；对物体从A点到C点的过程，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能转化为物体在C点的重力势能和动能，D错误。]
典例7　C　[对物块根据牛顿第二定律有μmgcos 30°－mgsin 30°＝ma，解得a＝g，根据运动学公式有＝2ax1，解得物块的位移大小为x1＝，故A错误；物块机械能增量为ΔE＝m＋mgx1·sin 30°＝m，故B错误；对小车根据动能定理有Pt－(μmgcos 30°＋mgsin 30°)x＝mv02，其中t＝，联立解得x＝－，故C正确；小车机械能增量为ΔE'＝m＋mgxsin 30°＝＋，故D错误。故选C。]
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第五章　机械能守恒定律
第31课时　功能关系　能量守恒定律
[学习目标]　1．熟练掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题。2．掌握一对摩擦力做功与能量转化的关系、功能关系与图像结合等问题。3．会应用能量守恒观点解决综合问题。
考点1　对功能关系的理解及应用
1．能的概念：一个物体____________，这个物体就具有能量。
2．功能关系
(1)功是__________的量度，即做了多少功就有__________发生了转化。
(2)做功的过程一定伴随着____________，而且__________必须通过做功来实现。
能对外做功
能量转化　
多少能量　
能量的转化　
能量转化
3．常见的功能关系
能量 功能关系 表达式
势能 重力做的功等于__________减少量 W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
弹力做的功等于__________减少量
静电力做的功等于________减少量
分子力做的功等于__________减少量
动能 合力做的功等于物体______变化量 W＝Ek2－Ek1＝
mv2－m
重力势能　
弹性势能　
电势能　
分子势能　
动能　
能量 功能关系 表达式
机械能 除重力和系统内弹力之外的其他力做的功等于________变化量 W其他＝E2－E1＝ΔE
摩擦产生 的内能 一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的______ Q＝Ff·x相对
电能 克服安培力做的功等于______增加量 W克安＝E2－E1＝ΔE电
机械能　
内能
电能
用恒力F竖直向上拉一物体，使其由地面处开始加速上升到某一高度。若该过程空气阻力不能忽略，判断下列说法是否正确。
(1)力F做的功和阻力做的功之和等于物体动能的增量。 (　　)
(2)克服重力做的功等于物体重力势能的增量。 (　　)
(3)力F做的功和阻力做的功之和等于物体与地球系统机械能的增量。 (　　)
(4)力F、重力、阻力三者的合力所做的功等于物体机械能的增量。 (　　)
×　
√　
√　
×
角度1　功能关系的分析与计算
[典例1]　(2024·浙江1月选考)如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中能到达的最高点2的高度为h，则足球(　　)
A．从1到2动能减少mgh
B．从1到2重力势能增加mgh
C．从2到3动能增加mgh
D．从2到3机械能不变
√
B　[由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，机械能减少，从1到2重力势能增加mgh，则从1到2动能减少量大于mgh，A错误，B正确；从2到3过程中受到空气阻力作用，机械能减少，重力势能减少mgh，则动能增加量小于mgh，C、D错误。]
[典例2]　(多选)(2023·全国乙卷)如图，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v0开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f，当物块从木板右端离开时(　　)
A．木板的动能一定等于fl
B．木板的动能一定小于fl
C．物块的动能一定大于m－fl
D．物块的动能一定小于m－fl
√
√
BD　[根据题意分析可知，物块做匀减速运动、木板做匀加速运动，物块离开木板时，物块的速度大于木板的速度，则有物块位移x物＝t，木板位移x木＝t，又x物－x木＝l，v1>v2，可知x木归纳总结：两种摩擦力做功特点的比较
项目 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功
不同点 能量的 转化方面 只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能 (1)将部分机械能从一个物体转移到另一个物体
(2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量
一对摩擦力的总功方面 一对静摩擦力做功的代数和总等于0 一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值
项目 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功
相同点 正功、负 功、不做 功方面 两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功
角度2　功能关系与图像结合
[典例3]　(2025·辽宁沈阳一模)如图所示，一物块(可视为质点)以初速度v0从足够长的固定斜面底端滑上斜面，运动过程中所受的阻力Ff与速度大小成正比。以斜面底端为原点O和重力势能的零点，沿斜面向上为正方向，该物块的动能为Ek、重力势能为Ep、机械能为E、重力做功的绝对值为WG、位移为s、在斜面上运动的时间为t。在该物块从斜面底端滑上斜面到返回斜面底端的过程中，下列图像可能正确的是(　　)
√
A　[设斜面的倾角为θ，物块沿斜面运动的过程中重力做功的绝对值WG＝mgssin θ，故A正确；物块在斜面上运动时，上升过程中所受的合力F＝mgsin θ＋kv，根据动能定理有－Fs＝Ek－Ek0，Ek-s图线的斜率的绝对值越来越小，下滑过程中，位移s减小，所受的合力F＝mgsin θ－kv，Ek-s图线的斜率的绝对值越来越小，且Ek-s图线应该是一个s对应两个Ek值，即上升和下滑同一个位移有两个Ek值，故B错误；物块上滑到最高点所用的时间小于下滑到原点的时间，故C错误；物块沿斜面运动的过程中，由于阻力做负功，物块的机械能一直在减小，故D错误。故选A。]
[典例4]　(多选)(2025·江西上饶模拟)某滑雪运动员从坡度一定的雪坡上沿直线由静止匀加速下滑的过程中，运动员受到的阻力恒定，则运动员的速度大小v、加速度大小a、重力势能Ep(取坡底的重力势能为0)、机械能E随时间变化的图像可能正确的是(　　)
√
√
AC　[运动员由静止匀加速下滑，根据v＝at可知，速度与时间成正比，A正确；运动员做匀加速直线运动，加速度不变，B错误；设雪坡的倾角为θ，运动员加速下滑的过程中，经过时间t，沿斜面下滑的距离为s＝at2，重力势能Ep＝Ep0－mg·at2sin θ，Ep-t图像为开口向下的抛物线的一部分，C正确；运动员的机械能E＝Ep0－f·at2，E-t图像也为开口向下的抛物线的一部分，但运动员到达坡底时的机械能不为0，D错误。故选AC。]
【教师备选资源】
(多选)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
√
√
AB　[由重力势能和动能随下滑距离s变化的图像可知，重力势能和动能之和随下滑距离s的增大而减小，可知物块下滑过程中机械能不守恒，A正确；在斜面顶端，重力势能Ep＝mgh＝30 J，解得物块质量m＝1 kg，由重力势能随下滑距离s变化的图像可知，重力势能可以表示为Ep＝(30－6s) J，由动能随下滑距离s变化的图像可知，动能可以表示为Ek＝2s J，设斜面倾角为θ，则有sin θ＝＝，cos θ＝，由功能关系有－μmgcos θ·s＝Ep＋Ek－30 J＝(30－6s＋2s－30) J＝－4s J，可得μ＝0.5，B正确；由Ek＝2s J，Ek＝，可得v2＝4s m2/s2，对比匀变速直线运动公式v2＝2as，可得a＝2 m/s2，即物块下滑时加速度的大小为2.0 m/s2，C错误；由重力势能和动能随下滑距离s的变化图像可知，当物块下滑2.0 m时机械能E＝18 J＋4 J＝
22 J，机械能损失量ΔE＝30 J－22 J＝8 J，D错误。]
1．能量守恒定律的内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式______为另一种形式，或者从一个物体______到另一个物体，在转化或转移的过程中，能量的总量__________。
2．表达式
(1)E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
(2)ΔE增＝ΔE减，增加的能量总和等于减少的能量总和。
考点2　对能量守恒定律的理解及应用
转化　
转移　
保持不变
3．应用能量守恒定律解题的思路
(1)分清有多少种形式的能(动能、势能、内能等)发生变化。
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增的表达式。
(3)列出能量守恒关系式ΔE减＝ΔE增。
(1)力对物体做了多少功，物体就有多少能。 (　　)
(2)一个物体的能量增加，必定有别的物体的能量减少。 (　　)
(3)滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化。 (　　)
×　
√　
√
[典例5]　(2025·山东卷)一辆电动小车上的光伏电池将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好维持小车以速度v匀速运动。此时电动机的效率为50%。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力f＝kv(k为常量)，该光伏电池的光电转换效率为η，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
√
A　[小车匀速运动时，电动机的输出功率等于小车受到的阻力的功率，有P电出＝Pf＝fv＝kv2，所以电动机的输入功率(光伏电池的输出功率)为P光出＝＝2kv2，则光伏电池的输入功率(单位时间内获得的太阳能)为P太阳能＝＝，A正确。]
[典例6]　(2024·北京卷)如图所示，光滑水平轨道AB与竖直面内的光滑半圆形轨道BC在B点平滑连接。一小物体将轻弹簧压缩至A点后由静止释放，物体脱离弹簧后进入半圆形轨道，恰好能够到达最高点C。下列说法正确的是(　　)
A．物体在C点所受合力为0
B．物体在C点的速度为0
C．物体在C点的向心加速度等于重力加速度
D．物体在A点时弹簧的弹性势能等于物体在C点的动能
√
C　[设物体恰好到达C点的速度大小为v，则在C点重力完全提供向心力，有mg＝m＝ma向，解得v＝，向心加速度a向＝g，A、B错误，C正确；对物体从A点到C点的过程，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能转化为物体在C点的重力势能和动能，D错误。]
[典例7]　(2025·四川卷)如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，安装在其顶端的电动机通过不可伸长轻绳与小车相连，小车上静置一物块。小车与物块质量均为m，两者之间动摩擦因数为。电动机以恒定功率P拉动小车由静止开始沿斜面向上运动。经过一段时间，小车与物块的速度刚好相同，大小为v0。运动过程中轻绳与斜面始终平行，小车和斜面均足够长，重力加速度大小为g，忽略其他摩擦。则这段时间内(　　)
A．物块的位移大小为
B．物块机械能增量为
C．小车的位移大小为－
D．小车机械能增量为＋
√
C　[对物块根据牛顿第二定律有μmgcos 30°－mgsin 30°＝ma，解得a＝g，根据运动学公式有＝2ax1，解得物块的位移大小为x1＝，故A错误；物块机械能增量为ΔE＝m＋mgx1·sin 30°＝m，故B错误；对小车根据动能定理有Pt－(μmgcos 30°＋mgsin 30°)x＝mv02，其中t＝，联立解得x＝－，故C正确；小车机械能增量为ΔE'＝m＋mgxsin 30°＝＋，故D错误。故选C。]
【教师备选资源】
(多选)(2025·辽宁大连高三期中)如图所示，倾角为θ＝53°的固定粗糙斜面上有一A点，长度为l＝0.5 m的木板质量分布均匀，其质量为M＝3 kg，开始时用外力使木板下端与A点对齐，如图所示，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2。木块质量为m＝1 kg，两者用一轻质细绳绕过光滑定滑轮连接在一起，木板与斜面间的动摩擦因数为μ＝。现撤去外力让木板由静止开始运动到上端刚好过A点，此过程中，下列说法正确的是(　　)
A．木板和木块组成的系统机械能守恒
B．木板上端刚过A点时速度大小为 m/s
C．木板减少的机械能等于木块增加的机械能与系统产生的热量之和
D．系统产生的热量为10 J
√
√
BC　[由于斜面是粗糙的，木板和木块组成的系统在运动中会受到摩擦阻力，所以木板和木块组成的系统机械能不守恒，故A错误；木板和木块组成的系统由能量守恒定律有Mglsin θ－mgl＝(M＋m) v2＋μMglcos θ，解得v＝ m/s，故B正确；根据能量守恒定律可知木板减少的机械能等于木块增加的机械能与系统产生的热量之和，故C正确；系统产生的热量为Q＝μMglcos θ＝6 J，故D错误。]
课时作业(三十一)　功能关系　能量守恒定律
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
1．(多选)(2025·北京四中期中)一质量为m的滑块在拉力F作用下从固定斜面的顶端下滑至底端的过程中，拉力F做功为W1，重力做功为W2，克服摩擦力做功为W3，则下列说法正确的是(　　)
A．因摩擦而产生的热量为Q＝W2＋W3
B．动能的变化量为ΔEk＝W1＋W2－W3
C．重力势能的变化量为ΔEp＝W2
D．机械能的变化量为ΔE＝W1－W3
√
√
BD　[摩擦产生的热量等于滑块克服摩擦力做的功，则Q＝W3，故A错误；根据动能定理，合力做的功等于动能的变化量，即ΔEk＝W1＋W2－W3，故B正确；根据重力做功与重力势能变化的关系可知ΔEp＝－W2，故C错误；除重力外其他力做的功等于机械能的变化量，即ΔE＝W1－W3，故D正确。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
2．(多选)(2025·广东江门一模)载人飞船返回舱返回地面时，在打开降落伞后的一段时间内，整个装置先减速后匀速下降，在这段时间内关于返回舱的说法正确的是(　　)
A．减速下降阶段，返回舱处于失重状态
B．减速下降阶段，返回舱动能的减少量小于飞船克服阻力做的功
C．匀速下降阶段，返回舱机械能的减少量大于重力对飞船做的功
D．匀速下降阶段，重力对飞船做的功等于飞船克服阻力做的功
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
BD　[打开降落伞后，返回舱减速下降时，加速度方向向上，处于超重状态，故A错误；减速下降阶段，由功能关系可知Wf＝ΔEk＋ΔEp，则返回舱动能的减少量小于飞船克服阻力做的功，故B正确；匀速下降阶段，返回舱机械能的减少量等于飞船克服阻力做功的大小，而重力与阻力的大小相同，所以返回舱机械能的减少量等于返回舱重力所做的功，故C错误，D正确。故选BD。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
3．一辆汽车在水平高速公路上以80 km/h的速度匀速行驶，其1 s内能量分配情况如图所示，则汽车(　　)
A．发动机的输出功率为70 kW
B．每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是5.7×104 J
C．每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是6.9×104 J
D．每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是7.0×104 J
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
C　[由题图可知，发动机1 s内输出的功为W＝1.7×104 J，则输出功率为P＝＝ W＝17 kW，A错误；每1 s消耗的燃料有6.9×104 J进入发动机，则最终转化成内能的量为6.9×104 J，C正确，B、D错误。故选C。]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4．如图所示为某缓冲装置模型，轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内沿水平方向左右移动，轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现小车以水平速度v0撞击弹簧，轻杆恰好向右移动距离l，不计小车与地面间的摩擦，则(　　)

A．轻杆移动距离l的过程中先做匀加速再做匀减速运动
B．弹簧被压缩最短时，轻杆的速度达到最大
C．根据小车运动的对称性可知，小车以v0的速率被弹簧弹回
D．弹簧的弹性势能最大时，轻杆向右加速的加速度达到最大
√
题号
1
3
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2
4
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D　[轻杆移动距离l的过程中先做加速再做减速运动，轻杆所受的摩擦力不变，但所受的弹簧的弹力是变力，所以轻杆所受的合外力为变力，加速度大小和方向都变化，轻杆不可能做匀变速直线运动，故A错误；弹簧被压缩最短时，轻杆所受的合外力最大，轻杆正在做加速运动，其速度没有达到最大，故B错误；根据能量守恒定律，由于轻杆与固定槽之间的滑动摩擦力做功，系统的机械能有一部分转化为内能，所以小车被弹簧弹回的速率小于v0，故C错误；弹簧的弹性势能最大时，弹簧的弹力最大，轻杆受到的合外力最大，向右加速的加速度也达到最大，故D正确。故选D。]
题号
1
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9
5．(2025·河南许昌模拟)质量为m的跳伞运动员在高空由静止下落，从静止下落到打开降落伞之前运动员一直做竖直方向的匀加速运动，此过程中，运动员减少的重力势能与增加的动能之比为9∶8，重力加速度为g，若此过程运动员下降的高度为h，则此过程中(　　)
A．运动员的加速度大小为g
B．合外力对运动员做的功为mgh
C．运动员的机械能减少量为mgh
D．空气阻力对运动员做的功为mgh
√
题号
1
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C　[下降h高度过程，减少的重力势能为mgh，根据题意可知，增加的动能为ΔEk＝mgh，根据动能定理可知，合外力对运动员做的功为W＝ΔEk＝mgh，故B错误；根据动能定理，有mah＝mgh，解得a＝g，运动员机械能的变化量为ΔE＝－mgh＋mgh＝－mgh，即运动员的机械能减少量为mgh，故A错误，C正确；根据功能关系，运动员机械能的减少量等于克服空气阻力做的功，即空气阻力对运动员做的功为－mgh，故D错误。故选C。]
题号
1
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6．(2025·广东湛江模拟)体育课上某同学将沙包以初速度v0竖直向上抛出。假设沙包在运动过程中受到的空气阻力恒定，以t表示沙包运动的时间，h表示沙包距抛出点的高度。某时刻沙包的速度为v、加速度为a、动能为Ek、机械能为E，取竖直向上为正方向，则沙包从开始上抛到落回抛出点的过程中，下列关系图像可能正确的是(　　)
√
题号
1
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4
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9
C　[上升阶段，由牛顿第二定律得mg＋f＝ma1，解得a1＝g＋，方向竖直向下，沙包做匀减速直线运动；下降阶段，由牛顿第二定律得mg－f＝ma2，解得a2＝g－，方向竖直向下，沙包做匀加速直线运动，故A、B错误；由动能定理得－mah＝Ek－Ek0(Ek')，可知Ek-h图像的斜率绝对值为ma，故C正确；上升阶段，由功能关系可知－fh＝E－E0，可知E-h图像的斜率绝对值为f，故D错误。故选C。]
题号
1
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6
8
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9
7．(2024·安徽卷)在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的η倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为ρ，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为(　　)
A． B．
C． D．
√
题号
1
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B　[设水从出水口射出的初速度为v0，取t时间内的水为研究对象，该部分水的质量为m＝v0tSρ，根据平抛运动规律有v0t'＝l，h＝gt'2，解得v0＝l，根据功能关系得Ptη＝m＋mg(H＋h)，联立解得水泵的输出功率为P＝，故选B。]
题号
1
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8．(多选)(2025·福建宁德模拟)蹦极是很多年轻人喜欢的一种运动，运动过程可以简化为图1所示，人下落过程可以近似看成在一条竖直线上的运动，且人可看成质点。蹦极绳是一条原长为45 m的弹性绳，人下落到B点时绳刚好伸直，下落到C点时速度刚好减为0，以起跳点O的位置为原点，竖直向下为x轴正方向建立坐标系。取C点为零势能参考面，假设人下落过程所受空气阻力恒定，下落过程人的重力势能随位移变化的关系图像如图2中的图线a所示，蹦极绳的弹性势能随位移变化的关系如图2中的图线b所示。人的质量为50 kg，蹦极绳始终在弹性限度范围内，重力加速度g取10 m/s2，其余数据图2中已标出，则下列说法正确的是(　　)
A．人下落到C点时，人和蹦极绳组成的系统减少的机
械能是4×104 J
B．人受到的空气阻力大小是100 N
C．人下落到B点时的动能是18 000 J
D．蹦极绳的最大弹力是2 560 N
√
√
题号
1
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9
BC　[C点为最低点，故人的重力势能减少40×103 J，弹性势能增加32×103 J，所以人和蹦极绳组成的系统减少的机械能是ΔE＝40×103 J－32×103 J＝8×103 J，故A错误；从起跳点O到C点，根据能量守恒定律有ΔE＝fh＝8×103 J，h＝80 m，解得f＝100 N，故B正确；从起跳点O到B点，根据动能定理有mgh1－fh1＝EkB，h1＝45 m，解得EkB＝18 000 J，故C正确；蹦极绳的最大弹性势能为32×103 J，根据功能关系有Ep弹＝FmxBC，代入数据解得Fm＝×103≈1 828.6 N，故D错误。故选BC。]
题号
1
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9．(2025·广东阳江模拟)物流公司用滑轨装运货物，如图所示。长l1为5 m、倾角为37°的倾斜滑轨与长l2为6 m的水平滑轨平滑连接，有一质量为1 kg的货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑并以一定的速度进入货车。已知货物与两段滑轨间的动摩擦因数均为0.25，
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，空气阻力不计，重力加速度g取
10 m/s2。求：
(1)货物滑到倾斜滑轨末端的速度大小；
(2)货物在倾斜滑轨与水平滑轨上损失的总机械能。
题号
1
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[解析]　(1)根据动能定理有mgl1sin 37°－μmgl1cos 37°＝m
解得v1＝2 m/s。
(2)在倾斜轨道下滑时，机械能减少量为ΔEp1＝μmgl1cos 37°
在水平轨道右滑时，机械能减少量为ΔEp2＝μmgl2
减少的总机械能为ΔE＝ΔEp1＋ΔEp2＝25 J。
题号
1
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[答案]　(1)2 m/s　(2)25 J
谢谢！课时作业(三十一)　功能关系　能量守恒定律
说明：单选题每小题4分；多选题每小题6分；本试卷共50分。
1．(多选)(2025·北京四中期中)一质量为m的滑块在拉力F作用下从固定斜面的顶端下滑至底端的过程中，拉力F做功为W1，重力做功为W2，克服摩擦力做功为W3，则下列说法正确的是(　　)
A．因摩擦而产生的热量为Q＝W2＋W3
B．动能的变化量为ΔEk＝W1＋W2－W3
C．重力势能的变化量为ΔEp＝W2
D．机械能的变化量为ΔE＝W1－W3
2．(多选)(2025·广东江门一模)载人飞船返回舱返回地面时，在打开降落伞后的一段时间内，整个装置先减速后匀速下降，在这段时间内关于返回舱的说法正确的是(　　)
A．减速下降阶段，返回舱处于失重状态
B．减速下降阶段，返回舱动能的减少量小于飞船克服阻力做的功
C．匀速下降阶段，返回舱机械能的减少量大于重力对飞船做的功
D．匀速下降阶段，重力对飞船做的功等于飞船克服阻力做的功
3．一辆汽车在水平高速公路上以80 km/h的速度匀速行驶，其1 s内能量分配情况如图所示，则汽车(　　)
A．发动机的输出功率为70 kW
B．每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是5.7×104 J
C．每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是6.9×104 J
D．每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是7.0×104 J
4．如图所示为某缓冲装置模型，轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内沿水平方向左右移动，轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现小车以水平速度v0撞击弹簧，轻杆恰好向右移动距离l，不计小车与地面间的摩擦，则(　　)
A．轻杆移动距离l的过程中先做匀加速再做匀减速运动
B．弹簧被压缩最短时，轻杆的速度达到最大
C．根据小车运动的对称性可知，小车以v0的速率被弹簧弹回
D．弹簧的弹性势能最大时，轻杆向右加速的加速度达到最大
5．(2025·河南许昌模拟)质量为m的跳伞运动员在高空由静止下落，从静止下落到打开降落伞之前运动员一直做竖直方向的匀加速运动，此过程中，运动员减少的重力势能与增加的动能之比为9∶8，重力加速度为g，若此过程运动员下降的高度为h，则此过程中(　　)
A．运动员的加速度大小为g
B．合外力对运动员做的功为mgh
C．运动员的机械能减少量为mgh
D．空气阻力对运动员做的功为mgh
6．(2025·广东湛江模拟)体育课上某同学将沙包以初速度v0竖直向上抛出。假设沙包在运动过程中受到的空气阻力恒定，以t表示沙包运动的时间，h表示沙包距抛出点的高度。某时刻沙包的速度为v、加速度为a、动能为Ek、机械能为E，取竖直向上为正方向，则沙包从开始上抛到落回抛出点的过程中，下列关系图像可能正确的是(　　)
A．　 B．
C．　 D．
7．(2024·安徽卷)在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的η倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为ρ，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为(　　)
A．
B．
C．
D．
8．(多选)(2025·福建宁德模拟)蹦极是很多年轻人喜欢的一种运动，运动过程可以简化为图1所示，人下落过程可以近似看成在一条竖直线上的运动，且人可看成质点。蹦极绳是一条原长为45 m的弹性绳，人下落到B点时绳刚好伸直，下落到C点时速度刚好减为0，以起跳点O的位置为原点，竖直向下为x轴正方向建立坐标系。取C点为零势能参考面，假设人下落过程所受空气阻力恒定，下落过程人的重力势能随位移变化的关系图像如图2中的图线a所示，蹦极绳的弹性势能随位移变化的关系如图2中的图线b所示。人的质量为50 kg，蹦极绳始终在弹性限度范围内，重力加速度g取10 m/s2，其余数据图2中已标出，则下列说法正确的是(　　)
A．人下落到C点时，人和蹦极绳组成的系统减少的机械能是4×104 J
B．人受到的空气阻力大小是100 N
C．人下落到B点时的动能是18 000 J
D．蹦极绳的最大弹力是2 560 N
9．(12分)(2025·广东阳江模拟)物流公司用滑轨装运货物，如图所示。长l1为5 m、倾角为37°的倾斜滑轨与长l2为6 m的水平滑轨平滑连接，有一质量为1 kg的货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑并以一定的速度进入货车。已知货物与两段滑轨间的动摩擦因数均为0.25，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，空气阻力不计，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)货物滑到倾斜滑轨末端的速度大小；
(2)货物在倾斜滑轨与水平滑轨上损失的总机械能。
课时作业(三十一)
1．BD　[摩擦产生的热量等于滑块克服摩擦力做的功，则Q＝W3，故A错误；根据动能定理，合力做的功等于动能的变化量，即ΔEk＝W1＋W2－W3，故B正确；根据重力做功与重力势能变化的关系可知ΔEp＝－W2，故C错误；除重力外其他力做的功等于机械能的变化量，即ΔE＝W1－W3，故D正确。]
2．BD　[打开降落伞后，返回舱减速下降时，加速度方向向上，处于超重状态，故A错误；减速下降阶段，由功能关系可知Wf＝ΔEk＋ΔEp，则返回舱动能的减少量小于飞船克服阻力做的功，故B正确；匀速下降阶段，返回舱机械能的减少量等于飞船克服阻力做功的大小，而重力与阻力的大小相同，所以返回舱机械能的减少量等于返回舱重力所做的功，故C错误，D正确。故选BD。]
3．C　[由题图可知，发动机1 s内输出的功为W＝1.7×104 J，则输出功率为P＝＝ W＝17 kW，A错误；每1 s消耗的燃料有6.9×104 J进入发动机，则最终转化成内能的量为6.9×104 J，C正确，B、D错误。故选C。]
4．D　[轻杆移动距离l的过程中先做加速再做减速运动，轻杆所受的摩擦力不变，但所受的弹簧的弹力是变力，所以轻杆所受的合外力为变力，加速度大小和方向都变化，轻杆不可能做匀变速直线运动，故A错误；弹簧被压缩最短时，轻杆所受的合外力最大，轻杆正在做加速运动，其速度没有达到最大，故B错误；根据能量守恒定律，由于轻杆与固定槽之间的滑动摩擦力做功，系统的机械能有一部分转化为内能，所以小车被弹簧弹回的速率小于v0，故C错误；弹簧的弹性势能最大时，弹簧的弹力最大，轻杆受到的合外力最大，向右加速的加速度也达到最大，故D正确。故选D。]
5．C　[下降h高度过程，减少的重力势能为mgh，根据题意可知，增加的动能为ΔEk＝mgh，根据动能定理可知，合外力对运动员做的功为W＝ΔEk＝mgh，故B错误；根据动能定理，有mah＝mgh，解得a＝g，运动员机械能的变化量为ΔE＝－mgh＋mgh＝－mgh，即运动员的机械能减少量为mgh，故A错误，C正确；根据功能关系，运动员机械能的减少量等于克服空气阻力做的功，即空气阻力对运动员做的功为－mgh，故D错误。故选C。]
6．C　[上升阶段，由牛顿第二定律得mg＋f＝ma1，解得a1＝g＋，方向竖直向下，沙包做匀减速直线运动；下降阶段，由牛顿第二定律得mg－f＝ma2，解得a2＝g－，方向竖直向下，沙包做匀加速直线运动，故A、B错误；由动能定理得－mah＝Ek－Ek0(Ek')，可知Ek-h图像的斜率绝对值为ma，故C正确；上升阶段，由功能关系可知－fh＝E－E0，可知E-h图像的斜率绝对值为f，故D错误。故选C。]
7．B　[设水从出水口射出的初速度为v0，取t时间内的水为研究对象，该部分水的质量为m＝v0tSρ，根据平抛运动规律有v0t'＝l，h＝gt'2，解得v0＝l，根据功能关系得Ptη＝m＋mg(H＋h)，联立解得水泵的输出功率为P＝·，故选B。]
8．BC　[C点为最低点，故人的重力势能减少40×103 J，弹性势能增加32×103 J，所以人和蹦极绳组成的系统减少的机械能是ΔE＝40×103 J－32×103 J＝8×103 J，故A错误；从起跳点O到C点，根据能量守恒定律有ΔE＝fh＝8×103 J，h＝80 m，解得f＝100 N，故B正确；从起跳点O到B点，根据动能定理有mgh1－fh1＝EkB，h1＝45 m，解得EkB＝18 000 J，故C正确；蹦极绳的最大弹性势能为32×103 J，根据功能关系有Ep弹＝FmxBC，代入数据解得Fm＝×103≈1 828.6 N，故D错误。故选BC。]
9．解析：(1)根据动能定理有mgl1sin 37°－μmgl1cos 37°＝m
解得v1＝2 m/s。
(2)在倾斜轨道下滑时，机械能减少量为ΔEp1＝μmgl1cos 37°
在水平轨道右滑时，机械能减少量为ΔEp2＝μmgl2
减少的总机械能为ΔE＝ΔEp1＋ΔEp2＝25 J。
答案：(1)2 m/s　(2)25 J
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