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人教A版高二数学下学期5月月底阶段考试
考试范围：人教A版 选择性必修二全册，选择性必修三第六章第七章
主要考点：数列 导数 计数原理 随机变量及其分布（详解附后）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知正项数列满足，若数列是等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在处取得极大值 D．在处取得极小值
3．为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．若（，为有理数），则（ ）
A． B．
C． D．
6．有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（ ）
A． B． C． D．
7．若随机变量，且，，则（ ）
A．2 B．4 C．3 D．9
8．如图，直线与曲线交于、两点，其中是切点，记，，则下列判断正确的是（ ）
A．只有一个极值点
B．有两个极值点，且极小值点小于极大值点
C．的极小值点小于极大值点，且极小值为
D．的极小值点大于极大值点，且极大值为2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（ ）
A．
B．随机变量服从二项分布
C．
D．记这个球中白球的个数为，则
10．设事件，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，互斥，则
C．若，独立，则 D．若，则，独立
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，有极值
B．当时，只有一个零点
C．当时，，
D．若对任意的，都有，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______.
13．已知甲、乙、丙、丁四名男生结伴游玩，入住的酒店仅有单人房和双人房两种房型，则四人不同的订房方案数为_________．
14．已知函数（），，若，，恒成立，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）在二项式的展开式中，所有项的二项式系数和等于512．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项．
16．（15分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体7人排成一排，其中甲不站在排头也不站在排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻；
(6)全体7人排成一排，其中甲、乙两人中间恰好有3人．
17．（15分）数列的前n项和为，满足 ，若.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和.
18．（17分）某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响．
(1)求甲在象棋比赛中积1分的概率；
(2)记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大；
(3)若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求．
19．（17分）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若，函数有两个零点，求的取值范围．
人教A版高二数学下学期5月月底阶段考试详解
考试范围：人教A版 选择性必修二全册，选择性必修三第六章第七章
主要考点：数列 导数 计数原理 随机变量及其分布
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知正项数列满足，若数列是等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由得到，结合等差中项求解即可.
【详解】因为为正项数列，所以.
由，得，即.
等差数列中，，所以.
2．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在处取得极大值 D．在处取得极小值
【答案】C
【分析】根据导函数与原函数的关系判断AD，根据导函数的图象判断BC.
【详解】由题意，时，，单调递减，AD均错；
由的图象知在上单调递增，在上单调递减，是其极大值点，C正确，D错误.
3．为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】确定六旋翼无人机、四旋翼无人机所排的位置，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】由题意可知，两种无人机必须交错排列，
即架不同型号的六旋翼无人机分别排在第、、号位；
架不同型号的四旋翼无人机排在第、、、号位，
所以不同的飞行队形种数为种.
4．随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据二项分布的概率公式求出的值，再根据正态分布的性质求出即可.
【详解】已知随机变量，
根据二项分布的概率公式可得，
则.
解得，.
已知，因为，且，
所以，
又因为，
所以.
故选：B
5．若（，为有理数），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据二项式定理，的展开式为：.
当为偶数时，，项为有理数，构成：；
当为奇数时，，项为乘以有理数，构成：，所以.
则.
6．有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用超几何分布即可求解.
【详解】由题意知的可能取值为，，，，服从超几何分布，
则.
7．若随机变量，且，，则（ ）
A．2 B．4 C．3 D．9
【答案】B
【分析】利用正态分布的对称性求解.
【详解】因为，，所以，
因为，
所以，即，
所以.
8．如图，直线与曲线交于、两点，其中是切点，记，，则下列判断正确的是（ ）
A．只有一个极值点
B．有两个极值点，且极小值点小于极大值点
C．的极小值点小于极大值点，且极小值为
D．的极小值点大于极大值点，且极大值为2
【答案】D
【分析】利用的几何意义可判断AB；求导，结合切点与另一个切点，可得的单调性，进而可得结论.
【详解】由，得，
可得表示曲线上的过点与原点的直线的斜率，
由图形可知，先增大，后减小，又增大，
所以有两个极值点，且极小值点大于极大值点，故AB错误；
设切点的坐标为，则由条件得有两个解，
其中一个解为，另一个解设为，显然有，
当时，；当时，，当，.
，，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∴当时，有极大值，且极大值为.
当时，有极小值，且的极小值点大于极大值点，故C错误，D正确；
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．袋中有个大小相同的球，其中个黑球、个白球.现从中任取个球，记这个球中黑球的个数为，则（ ）
A．
B．随机变量服从二项分布
C．
D．记这个球中白球的个数为，则
【答案】ACD
【详解】选项A，，
，，
因此 ，故A正确；
选项B，本题是从8个球中不放回任取4个，随机变量服从超几何分布，不是二项分布（二项分布要求独立重复、每次概率不变），故B错误；
选项C，超几何分布期望公式 ，其中（抽取个数），（总体黑球数），（总球数），得，
根据期望性质，故C正确；
选项D，取出4个球，因此（为白球个数），
根据方差性质，得，故D正确.
10．设事件，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．若，互斥，则
C．若，独立，则 D．若，则，独立
【答案】BC
【分析】根据对立事件的概率公式即可判断A；由概率的加法公式即可判断B；由独立事件的乘法公式即可判断C；由条件概率公式即可判断D．
【详解】对于A，，，
所以，故A错误；
对于B，若，互斥，则，
所以，故B正确；
对于C，若，独立，则，故C正确；
对于D，，
因为，所以，
因为，所以，不独立，故D错误．
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，有极值
B．当时，只有一个零点
C．当时，，
D．若对任意的，都有，则实数的取值范围为
【答案】BD
【分析】对A：结合函数单调性与极值定义即可得；对B：利用函数单调性及即可得；对C：构造函数，利用导数计算其单调性可得，即可得时，有；构造函数，可得，结合函数单调性可得恒成立，再构造函数，利用导数求出其最大值即可得解.
【详解】对于A，当时，，则，
所以在上单调递减，所以函数无极值，A错误；
对于B，由选项A可知，在上单调递减，又因为，
所以只有一个零点，所以B正确；
对于C，当时，，令，
则，可知在上单调递减，在上单调递增，，
所以，所以，
，故C错误；
对于D，，即，
设，则问题可转化为，
因为是上的增函数，所以，即恒成立，
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，于是，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最大值.
【详解】由，求导得，
设直线与曲线相切于点，则有，
解得，则，而为正实数，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
13．已知甲、乙、丙、丁四名男生结伴游玩，入住的酒店仅有单人房和双人房两种房型，则四人不同的订房方案数为_________．
【答案】
【详解】当订购2间双人房时，共有种方案，
当订购1间双人房和2间单人房时，共有种方案，
当订购4间单人房时，共有1种方案，
综上，由分类加法计数原理知共有种方案.
14．已知函数（），，若，，恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【分析】由题意，利用导数分别求出，得，解不等式即可.
【详解】，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以；
，
令，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又恒成立，
所以，即，
由，解得，
即的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）在二项式的展开式中，所有项的二项式系数和等于512．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二项式系数和求出，然后结合二项式系数的性质可得；
（2）写出二项式的通项公式，由的次数为0求出的值，代入通项即得常数项.
【详解】（1）因为所有项的二项式系数和等于512，
所以，解得．
所以展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，分别为：
．
（2）展开式通项为，
令，
展开式中的常数项为第7项，故常数项为．
16．（15分）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体7人排成一排，其中甲不站在排头也不站在排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻；
(6)全体7人排成一排，其中甲、乙两人中间恰好有3人．
【答案】(1)2520
(2)5040
(3)3600
(4)576
(5)1440
(6)720
【分析】根据排列组合知识逐一求解即可，要注意特殊元素、特殊位置的限制条件及特殊优先法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法等方法的使用.
【详解】（1）从7个人中选5个人来排列，有种排列方法．
（2）方法一：分两步完成，
第一步，先选3人排在前排，有种方法；
第二步，余下4人排在后排，有种方法.
故共有种排列方法．
方法二：事实上，排成前后两排，前排3人，后排4人，即为7人排成一排的全排列，
故不同的排列方法总数为．
（3）（优先法）甲为特殊元素．
先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，
故共有种排列方法．
（4）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有种方法，
再将4名女生进行全排列，也有种方法，
故共有种排列方法．
（5）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，
∴应先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，
故共有种排列方法．
（6）把甲、乙及中间3人看作一个整体，
先排甲、乙两人有种方法，
再从剩下的5人中选3人排到中间，有种方法，
最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人排列，有种方法，
故共有种排列方法．
17．（15分）数列的前n项和为，满足 ，若.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据求出，再根据等比数列的定义可证明数列为等比数列；
（2）利用分组求和可取.
【详解】（1）因为，故，
而， 故，
整理得，即，
故，所以，故数列为等比数列；
（2）由（1）可得，
故
.
18．（17分）某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响．
(1)求甲在象棋比赛中积1分的概率；
(2)记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大；
(3)若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】(1)利用n次独立重复试验中恰好k次成功”的二项分布模型求解；
(2)利用全概率公式求解，再考虑其单调性；
(3)全概率公式和条件概率公式的综合应用.
【详解】（1）甲在象棋比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，共胜1场，故概率为．
（2）证明：甲在游戏中总得分为2，设甲在比赛中得分为M，总分为N，易知M可能为1或2，
由全概率公式，
因为二次函数在上单调递增，
所以当p越大时，越大．
（3）象棋比赛中在事件A发生的条件下，若B不发生，则存在乙、丙、丁中的某人在比赛中得两分，且在抽奖中得两分，并且甲在抽奖中得0分，
A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故，
A与同时发生时，有，
由全概率公式，
所以．
19．（17分）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若，函数有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
(3)
【分析】（1）结合导数求解切线斜率，再根据点斜式写出切线方程；
（2）求的导数，再对参数进行分类讨论，分别判断各区间内导数的符号，确定对应区间的单调性；
（3）写出的表达式并求导，分析的单调性得到最小值，结合最小值构造函数，继续求导分析函数单调性和极值，再利用零点存在定理确定的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
所以，
则曲线在点处的切线方程为，即．
（2）的定义域为，．
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
（3）由题意得，．
因为，所以关于的方程恰有一个正根和一个负根，
因为的定义域为，所以设关于的方程的正根为，
则，得，解得．
当时，单调递减；
当时，单调递增．
因为有两个零点，所以.
因为，所以，即．
设函数，则．
当时，单调递增；
当时，单调递减．
因为，所以由，得．
当时，，
因为，所以在上有唯一零点1，
因为，
所以，所以在上有唯一零点，
此时有两个零点，符合题意．
当时，，
因为，所以在上有唯一零点1，
设函数，
则单调递增，，且，
所以.
由函数在上单调递增，
得
所以，所以在上有唯一零点，
此时有两个零点，符合题意．
故的取值范围为．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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