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素养提升3　求变力做功的方法
方法 以例说法
动能定 理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ) ＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…) ＝Ff·2πR
图像法 一水平拉力拉着一物体在拉力方向上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
公式法 当功率恒定时，利用公式W＝Pt求所做的总功W＝P1t1＋P2t2
平均 值法 当力与位移为线性关系时，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝×(x2－x1)
等效转 换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·
[典例1]　(多选)力F对物体所做的功可由公式W＝Flcos α求得。公式中力F必须是恒力，而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。如图所示，对于在甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是(　　)
A．甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中轻绳的拉力对物块做的功为W＝F(lOA－lOC)
B．乙图中，全过程中F做的总功为72 J
C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝πRf
D．图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
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[典例2]　(2025·河北廊坊一模)石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘(不动盘)和上盘(转动盘)两部分组成。某人在手柄AB上施加方向总与OB垂直、大小为10 N的水平力作用使石磨上盘匀速转动，已知B点到转轴O的距离为0.3 m，则石磨上盘匀速转动一周的过程中摩擦力所做的功约为(　　)
A．0　　 B．－3 J
C．－6 J　 D．－18 J
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[典例3]　某同学用水桶从水井里提水，井内水面到井口的高度为20 m。水桶离开水面时，桶和水的总质量为10 kg。由于水桶漏水，在被匀速提升至井口的过程中，桶和水的总质量随着上升距离的变化而变化，其关系如图所示。水桶可以看成质点，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。由图像可知，在提水的整个过程中，拉力对水桶做的功为(　　)
A．2 000 J　 B．1 800 J
C．200 J　 D．180 J
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素养提升3
典例1　AB　[等效转换法：轻绳对物块拉力的方向一直在变化，但轻绳拉力大小不变，可将变力做功问题转化为恒力做功来处理，轻绳对物块拉力做的功和恒力F做的功相等，故题图甲中物块从A到C过程中绳对物块做的功为W＝F(lOA－lOC)，故A正确；图像法：题图乙中，F-x图线与坐标轴围成的面积代表功，则全过程中F做的总功为W＝15×6 J＋(－3)×6 J＝72 J，故B正确；微元法：题图丙中，绳长为R，若空气阻力f 大小不变，方向始终与运动方向相反，可用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W＝－f·＝－πRf，故C错误；动能定理法：题图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时，将小球从P拉到Q的过程，F做的功是W＝Flsin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能直接用力乘以位移计算，要根据动能定理求解力F做的功，故D错误。]
典例2　D　[F与摩擦力一直是平衡力，F克服摩擦力做功，因F大小不变，方向不断变化，则在微小的位移内可认为是恒力，则微元功为ΔW＝FΔx，根据W＝∑ΔW＝F∑Δx＝F·2πL＝10×2π×0.3 J＝6π J≈18 J ，可知摩擦力所做的功约为－18 J。故选D。]
典例3　B　[由于水桶匀速上升，故拉力大小等于水和桶受到的总重力，由于水和桶的总质量随位移均匀减小，故拉力与位移满足线性关系，所以可用平均值法求解变力做功。结合题图可知，F1＝m1g＝100 N，F2＝m2g＝80 N，则在提水的整个过程中，拉力对水桶做的功为W拉＝h＝1 800 J，故B正确。]
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第五章　机械能守恒定律
素养提升3　求变力做功的方法
方法 以例说法
动能定 理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
微元法 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
方法 以例说法
图像法 一水平拉力拉着一物体在拉力方向上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0
公式法 当功率恒定时，利用公式W＝Pt求所做的总功W＝P1t1＋P2t2

方法 以例说法
平均 值法 当力与位移为线性关系时，力可用平均值＝表示，代入功的公式得W＝×(x2－x1)
等效转 换法 恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·

[典例1]　(多选)力F对物体所做的功可由公式W＝Flcos α求得。公式中力F必须是恒力，而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。如图所示，对于在甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是(　　)
A．甲图中若F大小不变，物块从A到C过程
中轻绳的拉力对物块做的功为W＝F(lOA－lOC)
B．乙图中，全过程中F做的总功为72 J
C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，
小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝πRf
D．图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小
球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
√
√
AB　[等效转换法：轻绳对物块拉力的方向一直在变化，但轻绳拉力大小不变，可将变力做功问题转化为恒力做功来处理，轻绳对物块拉力做的功和恒力F做的功相等，故题图甲中物块从A到C过程中绳对物块做的功为W＝F(lOA－lOC)，故A正确；图像法：题图乙中，F-x图线与坐标轴围成的面积代表功，则全过程中F做的总功为W＝15×6 J＋(－3)×6 J＝72 J，故B正确；微元法：题图丙中，绳长为R，若空气阻力f 大小不变，方向始终与运动方向相反，可用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W＝－f·＝－πRf ，故C错误；动能定理法：题图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时，将小球从P拉到Q的过程，F做的功是W＝Flsin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能直接用力乘以位移计算，要根据动能定理求解力F做的功，故D错误。]
[典例2]　(2025·河北廊坊一模)石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘(不动盘)和上盘(转动盘)两部分组成。某人在手柄AB上施加方向总与OB垂直、大小为10 N的水平力作用使石磨上盘匀速转动，已知B点到转轴O的距离为0.3 m，则石磨上盘匀速转动一周的过程中摩擦力所做的功约为(　　)
A．0　　
B．－3 J　 　
C．－6 J　 　
D．－18 J
√
D　[F与摩擦力一直是平衡力，F克服摩擦力做功，因F大小不变，方向不断变化，则在微小的位移内可认为是恒力，则微元功为ΔW＝FΔx，根据W＝∑ΔW＝F∑Δx＝F·2πL＝10×2π×0.3 J＝6π J≈
18 J ，可知摩擦力所做的功约为－18 J。故选D。]
[典例3]　某同学用水桶从水井里提水，井内水面到井口的高度为20 m。水桶离开水面时，桶和水的总质量为10 kg。由于水桶漏水，在被匀速提升至井口的过程中，桶和水的总质量随着上升距离的变化而变化，其关系如图所示。水桶可以看成质点，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。由图像可知，在提水的整个过程中，拉力对水桶做的功为(　　)
A．2 000 J　 B．1 800 J　 C．200 J　 D．180 J
√
B　[由于水桶匀速上升，故拉力大小等于水和桶受到的总重力，由于水和桶的总质量随位移均匀减小，故拉力与位移满足线性关系，所以可用平均值法求解变力做功。结合题图可知，F1＝m1g＝100 N，F2＝m2g＝80 N，则在提水的整个过程中，拉力对水桶做的功为W拉＝h＝1 800 J，故B正确。]
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