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第二单元圆柱和圆锥
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若圆柱的体积是圆锥的，圆柱的底面积是圆锥的，则圆柱的高是圆锥的（ ）。
A． B． C．倍 D．
2．下列每组中左边图形绕轴旋转一周后一定能形成右边立体图形是（ ）。
A． B．
C． D．
3．如图数量关系不能用方程“”来表示的是（ ）。
A． B．
C．共40cm2 D．宽是长的，周长是40cm
4．将一个棱长为3分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ）立方分米。
A．2.195 B．12.56 C．6.28 D．7.065
5．一个拧紧瓶盖的瓶子里装有一些水（如下图），根据图中的数据，可以计算出瓶中水的体积占瓶子容积的（ ）。
A． B． C． D．
6．如图所示，圆锥形容器中装有4L水，水面高度正好是圆锥高度的一半，已知水面半径和容器口半径的比为1∶2，则这个容器还能装（ ）升水。
A．28 B．32 C．16 D．20
二、填空题
7．若把一个圆柱体铁块熔铸成一个等体积的圆锥形铁块，它们底面半径的比是3∶2，圆柱的高是圆锥的( )。
8．一个圆锥的底面半径是4厘米，高是3厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米。
9．如图所示，把底面半径5厘米、高8厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。这个长方体的长是( )厘米，宽是( )厘米，高是( )厘米，长方体的表面积比圆柱体多( )平方厘米。
10．如图，一个底面直径6厘米的圆柱体木头，沿底面虚线处垂直切成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是( )平方厘米。
11．如图，将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的。请问：再添入( )毫升酒，可装满此容器？
12．一张边长是5分米的正方形纸围成一个圆柱形纸筒（接头处不计），这个纸筒的侧面积是( )。
13．一个圆柱和圆锥底面周长的比是3∶2，它们的体积相等，如果圆柱的高是12厘米，那么圆锥的高是( )厘米。
14．一个圆柱和圆锥的底面积比是3∶2，高的比是3∶2，它们的体积比是( )。
15．一个药瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图所示，瓶内药水的体积为25.2立方厘米。瓶子正放时，瓶内药水液面高7厘米，瓶子倒放时，空余部分高2厘米。这个瓶子的容积是( )。
三、判断题
16．如图不是圆柱。( )
17．一个长方体与一个圆柱体的底面周长相等，高也相等，则它们的体积也一定相等。( )
18．制作一截底面直径是6厘米，长40厘米的圆柱形烟囱，至少需要用810.12平方厘米的铁皮。( )
19．一个圆柱和圆锥的底面半径比是1∶2，高之比是2∶3，它们的体积之比是1∶6。( )
四、解答题
20．有一天，圆柱“胖胖”和圆柱”秀秀”遇到，便比起大小来，它们都说自己的体积大，争持不下。你能给评一评，谁的体积大吗？
21．下图是一个圆柱与一个圆锥合在一起做成的水箱，开始时是空的。然后往里以180升/时的速度注水。（取3）
（1）如果水箱的厚度忽略不计，这个水箱的容积是多少？
（2）多长时间可以把水箱注满？
（3）下面哪幅图能表示随着时间变化，水面高度的变化过程？
22．沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器。下图展示了一个沙漏记录时间的情况（沙漏每分钟漏下的细沙的体积一定）。某餐厅上菜用沙漏计时，承诺餐厅的服务做到“菜品30分钟不上齐免单”。丁丁一家在此餐厅用餐，他们点完菜，用沙漏开始计时。
（1）此时沙漏上半部分细沙的体积是多少立方厘米？
（2）现在沙漏下半部细沙的体积是94.2立方厘米，老板刚好把菜上齐。如果再过1分钟，沙漏上半部的细沙可以全部漏到下边。丁丁一家等待的时间是多少分钟？
（3）此餐厅最近推出两种优惠活动，优惠方式一“每满70元减10元”，优惠方式二“所有菜品一律打九折”（只能选择其中一种优惠方式消费）。下图是东东一家的消费明细（优惠前），他们应该选择哪种优惠方式比较省钱？请说明理由。
品种 金额
饮料 58元
凉菜 46元
热菜 200元
合计 304元
23．一个圆柱形的蓄水罐，从里面测量其底面周长为18.84米，高为4米。现在，将这个蓄水罐中的水全部倒入一个底面半径是6米的圆锥形的蓄水池中，恰好将蓄水池装满。请问，这个圆锥形蓄水池的高是多少米？
24．把同一个长方形分别以长和宽所在直线为轴旋转一周（如下图），形成的圆柱是什么样子？
（1）先下表补充完整。
方法 底面半径 高 表面积 体积
一 2cm 1cm （ ）cm2 （ ）cm3
二 1cm 2cm （ ）cm2 （ ）cm3
（2）观上表，你发现用不同的方法旋转得到的圆柱，体积和表面积有什么不同？
《第二单元圆柱和圆锥》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A D D D D A
1．A
【分析】设圆锥的体积是V，则圆柱的体积是V，圆锥的底面积是S，则圆柱的底面积是S，根据圆柱的高＝体积÷底面积，圆锥的高＝3×体积÷底面积，再用圆柱的高除以圆锥的高，得出圆柱的高是圆锥的几分之几。
【详解】设圆锥的体积是V，则圆柱的体积是V，圆锥的底面积是S，则圆柱的底面积是S，所以圆柱的高是：V÷S＝；圆锥的高是，
所以 ÷＝
即圆柱的高是圆锥的高的；
故答案为：A。
【点睛】熟练掌握圆柱和圆锥的体积计算公式是解答此题的关键。
2．D
【分析】以长方形的一条边所在直线旋转一周可以得到圆柱，以直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周可以得到圆锥。
【详解】
A．中圆柱的高不等于长方形的宽，所以A选项错误。
B．中圆柱的底面半径不等于长方形的较短边的一半，所以B选项错误。
C．中左边的图形绕轴旋转一周，得到的圆锥应是倒立的，也就是从圆柱中挖掉一个圆锥，即，所以C选项错误。
D．中左边的图形绕轴旋转一周，得到的图形、数据与左图对应，所以D选项正确。
故答案为：D
【点睛】此题考查了面的旋转。“点、线、面、体”之间的联系：点动成线、线动成面、面动成体。
3．D
【分析】数量关系表示的含义是：未知量与未知量的的和是40，求未知量列方程解答，据此逐项分析解答。
【详解】A．长线段长，短线段是长线段的，则短线段长为，而两段线段合计长40，求长线段长是多少？可以用方程来表示；
B．梯形的上底是4cm，下底是12cm，上底是下底的，左下方三角形的面积是cm2，根据等高三角形的面积比等于底边长之比，可得右上方三角形的面积为cm2，而梯形的面积是40cm2，求左下方三角形的面积是多少？可以用方程来表示；
C．圆柱和圆锥的高相等，底面圆相同，圆柱体积是cm3，根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍可知圆锥的体积是cm3，而圆柱和圆锥的体积和是40cm3，求圆柱的体积是多少？可以用方程来表示；
D．长方形的长是cm，宽是长的，则宽是cm，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，而长方形的周长为40cm，求长方形的长是多少？ ，化简后，即不可以用方程来表示。
故答案为：D
4．D
【解析】根据“把一个棱长3分米的正方体切削成一个最大的圆锥体，”知道削成的圆锥的底面直径是3分米，高是3分米，由此根据圆锥的体积公式，V＝sh＝πr2h，代入数据解答即可。
【详解】×3.14×（3÷2）2×3
＝×3.14×1.52×3
＝7.065（立方分米）；
故答案为：D
【点睛】关键是弄清削成的最大的圆锥与正方体的关系，再根据圆锥的体积公式计算，注意计算时不要忘了乘。
5．D
【分析】瓶子倒过来后上面空白的容积等于正放时上面空白的容积，所以正方时上面空白容积可转化成高是6厘米同底的圆柱体积，这样整个瓶子容积可以转化成高为18厘米的等底圆柱体积，水的体积是高度12厘米同底的圆柱，用水的高度除以18厘米即可得水的体积占瓶子容积的几分之几。
【详解】（厘米）
瓶中水的体积占瓶子容积的。
故答案为：D
6．A
【分析】由于水面半径和容器口半径的比是1∶2，可以设水面半径为r，容器口的半径为2r，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，即水的体积是：πr2×h＝πr2h，由于水有4L，由此即可知道πr2h＝4÷＝4×6＝24，再把半径是2r和高是h代入圆锥的体积公式，求出此时圆锥的容积，再减去4即可求出还能装多少升。
【详解】设水面半径为r，。容器口的半径为2r。
πr2×h＝πr2h
πr2h＝4÷＝4×6＝24（升）
容器的容积：×π×2r×2r×h＝πr2h＝×24＝32（升）
32－4＝28（升）
则这个容器还能装28升水。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查圆锥的体积公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。
7．
【分析】已知圆柱和圆锥的体积相等，圆柱和圆锥的半径之比是3∶2，则假设圆柱的底面半径为3，圆锥的底面半径为2，它们的体积都是36π，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h代入数据解答出圆柱的高和圆锥的高，进而根据求一个数占另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数，则用圆柱的高除以圆锥的高，即可求出圆柱的高是圆锥的几分之几。
【详解】假设圆柱的底面半径为3，圆锥的底面半径为2，它们的体积都是36π，
圆柱的高：36π÷π÷32
＝36π÷π÷9
＝36÷9
＝4
圆锥的高：36π×3÷π÷22
＝36π×3÷π÷4
＝108π÷π÷4
＝108÷4
＝27
4÷27＝
圆柱的高是圆锥的。
【点睛】本题主要考查了比的意义和圆柱、圆锥的体积公式的应用以及求一个数占另一个数的几分之几，用除法计算，可用假设法解决问题。
8．50.24
【分析】圆锥的体积＝πr2h，由此代入数据即可计算出这个圆锥的体积。
【详解】×3.14×42×3＝50.24（立方厘米）；
故答案为：50.24
【点睛】此题考查了圆锥的体积公式的计算应用，熟记公式即可解答。
9． 15.7 5 8 80
【分析】一个圆柱切开拼成一个近似长方体，长方体的体积等于圆柱的体积，长方体的长等于圆柱的底面周长2πr的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高；长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了2个长方形的面积（即左右面的面积），用“宽×高×2”代入数据计算即可求解。
【详解】长：2×3.14×5÷2
＝6.28×5÷2
＝31.4÷2
＝15.7（厘米）
表面积多了：5×8×2
＝40×2
＝80（平方厘米）
这个长方体的长是15.7厘米，宽是5厘米，高是8厘米，长方体的表面积比圆柱体多80平方厘米。
10．108
【分析】根据题意可知，把圆柱削成一个最大的正方体，圆柱的底面直径等于削成的正方体的底面对角线的长度，把这个正方形分成两个完全一样的三角形，每个三角形的底等于圆柱的底面直径，高等于圆柱底面的半径，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式求出削成正方体的一个面的面积，然后根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式求出这个正方体的表面积。
【详解】6×（6÷2）÷2×2×6
＝6×3÷2×2×6
＝18×6
＝108（平方厘米）
【点睛】此题解答关键是根据圆内接正方形面积的计算方法，求出削成的正方体的一个面的面积，然后根据正方体的表面积公式解答。
11．70
【分析】根据圆锥的体积公式：v＝sh，所以当高为原来的一半时，其底面圆的半径将为原来的一半，根据圆的面积公式则其底面积将为原来的四分之一，所以其体积将为原来的八分之一。因此，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出容器的容积，再减去已有酒的体积，就得到还要添入酒的体积。
【详解】据分析可知，10毫升占容器容积的；
（毫升）
将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的。再添入70毫升酒，可装满此容器。
【点睛】本题的关键是要找出容器容积与已有酒的体积的关系，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答即可。
12．25平方分米/25dm2
【分析】把一张长方形或正方形的纸围成一个圆柱形纸筒，这张长方形或正方形纸的面积就等于圆柱的侧面积，利用“正方形的面积＝边长×边长”求出这个纸筒的侧面积，据此解答。
【详解】5×5＝25（平方分米）
所以，这个纸筒的侧面积是25平方分米。
【点睛】本题主要考查圆柱侧面积的计算，理解圆柱的侧面积等于这张纸的面积是解答题目的关键。
13．81
【分析】圆的面积＝圆周率×半径的平方，因此圆的周长之比＝半径之比，前后项分别平方以后的比是面积比，据此确定圆柱和圆锥的底面积之比。将底面积之比的前后项分别看成圆柱和圆锥的底面积，因为它们的体积相等，，根据圆柱的高＝体积÷底面积，圆锥的高＝体积×3÷底面积，分别计算圆柱和圆锥的高，确定圆柱和圆锥高的比，将比的前后项看成份数，圆柱的高÷对应份数＝一份数，一份数×圆锥的对应份数＝圆锥的高。
【详解】圆柱和圆锥底面积比：32∶22＝9∶4
体积比：1∶1
高的比：（1÷9）∶（1×3÷4）
＝∶
＝（×36）∶（×36）
＝4∶27
12÷4×27＝81（厘米）
圆锥的高是81厘米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱和圆锥的体积公式，确定圆柱和圆锥高的比。
14．27∶4
【分析】根据、“”分别计算出圆柱和圆锥的体积，再写出它们之间的比即可。
【详解】圆柱和圆锥的体积比为：（3×3）∶（2×2×）＝9∶＝27∶4。
【点睛】熟练掌握圆柱和圆锥的体积计算公式是解答本题的关键。
15．32.4毫升
【分析】因为药瓶的瓶身呈圆柱形，且药水体积已知，根据“圆柱体积＝底面积×高”，由正放时药水液面高7厘米和药水体积25.2立方厘米，可先算出药瓶的底面积。观察图形可知，瓶子的容积等于药水体积加上倒放时空余部分的体积。而倒放时空余部分也是圆柱形，其高为2厘米，底面积与药水部分的底面积相同。所以可先算出底面积，再根据圆柱体积＝底面积×高算出空余部分体积，最后将药水体积与空余部分体积相加，得到瓶子的容积，再进行单位换算（1立方厘米＝1毫升）。
【详解】25.2÷7×（7＋2）
＝3.6×9
＝32.4（立方厘米）
32.4立方厘米＝32.4毫升
这个瓶子的容积是32.4毫升。
16．√
【分析】根据圆柱的特征，圆柱有两个圆面，上下一样粗细。据此判断。
【详解】
上下两个圆不一样大，所以它不是圆柱。
故答案为：√
【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆柱的特征及应用。
17．×
【分析】长方体和圆柱体的体积公式都是，高相等的情况下，如果底面积也相等则它们的体积相等，而题目给出的条件是底面周长相等，所以需要根据长方形和圆的周长和面积的计算公式进行推导。由于正方形是特殊的长方形，为了方便计算，可假设长方体的底面是正方形。再根据正方形和圆的周长和面积的计算公式推导它们之间的大小关系即可。
【详解】假设长方体的底面是正方形，边长为，圆柱底面半径为，高为，则根据题意有
，由此可知，
长方体底面积：
圆柱底面积：
因为圆柱体和长方体的体积均为，相等，而＞， 所以圆柱体的体积较大。
所以原题说法错误。
【点睛】本题主要考查圆柱体与长方体的体积以及长方形和圆的周长与面积之间的关系，熟练掌握公式，学会灵活运用公式进行推导是解题的关键，此题中涉及的结论可作为一个常识记住：周长相等的长方形、正方形和圆，圆的面积最大。
18．×
【分析】烟囱的用途决定了它不能有底面，只能有侧面，所以计算用料时，只计算烟囱的侧面积即可。圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此代入数据计算即可解答。
【详解】计算制作这截烟囱至少要用多少平方厘米的铁皮，很容易误解为计算圆柱的表面积，也就是侧面积加上2个底面积。实际上烟囱是没有底面积的。
正确解答：3.14×6×40＝753.6（cm2）
所以至少要用 753.6cm2的铁皮。
故答案为：×
19．×
【分析】由一个圆柱和圆锥的底面半径比是1∶2，可以设圆柱的底面半径是1，圆锥的底面半径是2；由高之比是2∶3，可以设圆柱的高是2，圆锥的高是3。
然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出圆柱和圆锥的体积；
再根据比的意义，写出圆柱和圆锥的体积之比，并化简比。
【详解】设圆柱的底面半径是1，圆锥的底面半径是2；圆柱的高是2，圆锥的高是3。
圆柱的体积：π×12×2＝2π
圆锥的体积：×π×22×3＝4π
2π∶4π＝1∶2
圆柱与圆锥的体积之比是1∶2。
原题说法错误。
故答案为：×
20．
胖胖
【分析】根据“圆柱的体积＝（底面半径＝底面直径÷2，为圆柱的高）”分别计算出胖胖和秀秀的体积；再比较大小。
【详解】
（立方厘米）
（立方厘米）
因为401.92＞200.96，所以胖胖的体积大。
答：胖胖的体积大。
21．（1）1立方米
（2）小时
（3）第二幅图
【分析】（1）由于水箱是由一个圆锥和一个圆柱组合而成，根据圆锥的体积公式：底面积×高÷3，圆柱的体积公式：底面积×高，把数代入即可求解。
（2）用水箱的容积除以每小时的注水速度即可求解。
（3）由于注水的时候先注满下面的圆锥，再注满上面的圆柱，所以水面的高度会先上升的快，再上升的慢，由此即可选择。
【详解】（1）3×（1÷2）2×1＋3×（1÷2）2×1×
＝3×0.25×1＋3×0.25×
＝0.75＋0.25
＝1（立方米）
答：这个水箱的容积是1立方米。
（2）1立方米＝＝1000立方分米＝1000升
1000÷180＝（时）
答：小时可以把水箱注满。
（3）由分析可知，水面先快速上升，再缓慢上升；
故选第二幅图。
【点睛】本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式，熟练掌握它们的体积公式并灵活运用。
22．（1）3.14立方厘米
（2）30分钟
（3）方式一；理由见详解
【分析】（1）从图中可知，此时沙漏上半部分细沙是一个底面直径为2厘米，高为3厘米的圆锥形，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出此时沙漏上半部分细沙的体积。
（2）由上一题可知，此时沙漏上半部分细沙的体积是3.14立方厘米，如果再过1分钟，沙漏上半部的细沙可以全部漏到下边，说明沙漏每分钟漏下的细沙的体积是3.14立方厘米；
用刚好把菜上齐时沙漏下半部细沙的体积除以沙漏每分钟漏下的细沙的体积，即可求出丁丁一家等待的时间。
（3）优惠方式一：每满70元减10元；先用除法求出304元里面有几个70元，就减去几个10元，即是方式一实际需付的钱数；
优惠方式二：所有菜品一律打九折；把原价看作单位“1”，现价是原价的90%，单位“1”已知，用原价乘90%，求出方式二实际需付的钱数；
再比较两种方式实际需付的钱数，得出哪种方式更省钱。
【详解】（1）×3.14×（2÷2）2×3
＝×3.14×12×3
＝×3.14×1×3
＝3.14（立方厘米）
答：此时沙漏上半部分细沙的体积是3.14立方厘米。
（2）94.2÷3.14＝30（分钟）
答：丁丁一家等待的时间是30分钟。
（3）方式一：
304÷70＝4（个）……24（元）
304－10×4
＝304－40
＝264（元）
方式二：
304×90%
＝304×0.9
＝273.6（元）
264＜273.6
答：方式一的优惠方式更省钱。
23．
3米
【分析】首先根据圆柱底面周长求出底面半径，再根据圆柱的体积公式计算圆柱体积。由于水的体积等于圆锥体积，利用圆锥体积公式反推其高度。
【详解】（米）
（立方米）
（米）
答：这个圆锥形蓄水池的高是3米。
24．（1）37.68；12.56
18.84；6.28
（2）见详解
【分析】（1）根据题意，方法一是将长方形绕着宽旋转一周，得到一个圆柱体，那么这个圆柱的底面半径等于长方形的长，圆柱的高等于长方形的宽；
方法二是将长方形绕着长旋转一周，得到一个圆柱体，那么这个圆柱的底面半径等于长方形的宽，圆柱的高等于长方形的长；
然后根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝2πrh，S底＝πr2；圆柱的体积公式V＝πr2h，分别代入数据计算求出两种方法形成的圆柱的表面积和体积，并将表格补充完整。
（2）比较两种方法得到的圆柱的体积、表面积的大小，得出结论。
【详解】（1）方法一：
圆柱的表面积：
2×3.14×2×1＋3.14×22×2
＝3.14×4＋3.14×4×2
＝12.56＋25.12
＝37.68（平方厘米）
圆柱的体积：
3.14×22×1
＝3.14×4×1
＝12.56（立方厘米）
方法二：
圆柱的表面积：
2×3.14×1×2＋3.14×12×2
＝3.14×4＋3.14×1×2
＝12.56＋6.28
＝18.84（平方厘米）
圆柱的体积：
3.14×12×2
＝3.14×1×2
＝6.28（立方厘米）
方法 底面半径 高 表面积 体积
一 2cm 1cm 37.68cm2 12.56cm3
二 1cm 2cm 18.84cm2 6.28cm3
（2）37.68＞18.84
12.56＞6.28
答：方法一得到的圆柱的表面积和体积比方法二的大。
【点睛】本题考查圆柱的表面积、体积公式的运用，关键是弄清长方形的哪条边是圆柱的高，哪条边是圆柱的底面半径。
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