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广东省湛江市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试卷
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，若，则x的值为（　　）
A．7 B．-8 C．6 D．-5
【答案】A
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，，
因为，所以，.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，从而得出实数x的值.
2．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】解：由题意，得，
则.
故答案为：B.
【分析】根据圆的切线的意义知，再由勾股定理得出的值.
3．抛物线的焦点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：，即，则，则其焦点坐标为.
故答案为：A.
【分析】先把抛物线化成标准形式，再得到焦点坐标即可.
4．已知等差数列的前项和为，若，则（　　）
A．30 B．40 C．60 D．120
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为为等差数列，故，
故答案为：C.
【分析】由等差数列的性质即可求解.
5．函数在处的切线与直线平行，则实数（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数的导函数为 ，
所以，函数在处的切线的导数为切线的斜率为，
且切线与直线平行，
则 ，可得 .
故答案为：C.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而得出关于的方程，进而解方程可得的值.
6．某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，则的观测值不可能为（　　）
附：.
A．3.622 B．4.502 C．5.921 D．6.634
【答案】A
【知识点】独立性检验的基本思想；独立性检验的应用
【解析】【解答】解：由有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，
得的观测值在区间，所以的观测值不可能3.622.
故答案为：A.
【分析】根据题意，得到的范围即可.
7．已知随机变量，且，则（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，得，
则，．
故答案为：C.
【分析】由正态分布的对称性可得，再利用二项分布的期望公式求解.
8．设正整数其中，记，则下列说法错误的是（　　）.
A．ω(10)=2.
B．ω(16n+5)=ω(4n+3).
C．ω(8n+5)=ω(4n+5).
D．若n<256且ω(n)=3，则符合条件的n有56个.
【答案】C
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、，所以，故选项A正确，
B、，
所以，，
所以，所以，故选项B正确；
C、， ，所以，
即时，，故选项C错误，
D、因为且，，
所以，
当时，符合条件的n有个；时，符合条件的n有个；时，
符合条件的n有个；…，时，符合条件的n有个，
共有，故选项D正确.
故选：C.
【分析】由，利用定义即可求得的值，可判断选项A；根据题意可求得，，即可判断选项B；用特殊值，分别求出即可判断选项C；列举法可判断选项D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9．已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，
得，且，
，
，
所以选项A、选项C对；选项B、选项D错.
故答案为：AC.
【分析】利用对立事件求概率公式、全概率公式和条件概率公式，则判断出选项A、选项B和选项D；由概率的性质判断出选项C，从而找出说法正确的选项.
10．下列求导正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，故A错误；
对于B，因为，故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用导数的运算法则、基本初等函数求导公式和复合函数求导公式，从而逐项判断找出求导正确的选项.
11．已知数列满足，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，，则是等差数列
B．若，，则是等差数列
C．若，，则是等比数列
D．若，，则是等比数列
【答案】A,D
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对于A，当时，若，则，
事实上，，注意到，即是常数数列，
所以，数列是等差数列，故A正确；
对于B，当时，若，
所以数列不是等差数列，故B错误；
对于C，当时，若，
所以不是等比数列，故C错误；
对于D，当时，有，
因为，所以，即，
因为，
所以是等比数列，故D正确；
故答案为：AD．
【分析】对于A，有题可得，进而得到即可；对于BC，列举数列前项即可判断；对于D，构造可得，进而得到即可判断.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为　 　．
【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：由题意，可得，因为为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故答案为：.
【分析】根据易知条件，利用点到平面的向量求法列式计算即可．
13．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，剔除一个异常点后，得到新的回归直线必过点　 　．
【答案】
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由可知，即，；
剔除后，，，
因为样本中心一定在回归直线上，故得到新的回归直线必过点，
故答案为：.
【分析】由回归方程可得，再计算新样本的均值，即可求解.
14．已知为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图，
因为，可作轴，垂足为，可知为中点，
由，可知，
由，可知，
令，则，所以，
根据双曲线定义，得：，
则，，
由勾股定理，可得：，
则，
所以.
故答案为：.
【分析】利用两直线平行对应边成比例结合双曲线的定义，从而得出，，再结合勾股定理找到a，c的关系式，再根据双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率.
四、解答题：本题共5小题，共77分.其中15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图所示，平面，四边形为矩形，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：四边形为矩形，.又平面平面平面.
又，平面，平面，
∴平面.
又平面
平面平面.
又平面平面.
（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
.
设是平面的一个法向量，则
即，令，解得，
所以平面的一个法向量
又是平面的一个法向量，
，
平面与平面所成角的正弦值为.

【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）通过证明平面平面，再由面面平行的性质即可证明平面；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，再分别求出平面、平面的一个法向量，结合空间法向量与面面夹角的关系求解.
（1）证明：四边形为矩形，.
又平面平面平面.
又，平面，平面，
∴平面.
又平面
平面平面.
又平面平面.
（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
.
设是平面的一个法向量，则
即，令，解得，
所以平面的一个法向量
又是平面的一个法向量，
，
平面与平面所成角的正弦值为.
16．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求的方程；
（2）若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值．
【答案】（1）解：由题意得 ，得，
故的方程为；
（2）设，则直线l的方程为，
与联立，得，
则，且，
所以
，
故为定值．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由离心率及点坐标，列方程组求解即可；
（2）设，则直线l的方程为，联立可得，再求出的值即可.
（1）由题意得 ，得，
故的方程为；
（2）设，则直线l的方程为，
与联立，得，
则，且，
所以
，
故为定值．
17．已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：因为，又，
所以，数列是以为首项，2为公差的等差数列，
则，
又因为，，成等差数列，
所以，
设数列的公比为，其中，
则，
解得或，
当时，，此时，则数列为递增数列，满足要求，
当时，，此时，则数列为递减数列，舍去，
综上所述，，.
（2）解：由（1）可得：，
则
.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；等差中项
【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义以及通项公式得出数列的通项公式，由等差中项的性质得出，再利用等比数列的通项公式求出公比的值，最后由分类讨论结合数列的单调性得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式和数列的通项公式求出数列的通项公式，再利用分组求和的方法结合等差数列前n项和公式、等比数列前n项和公式，从而求出数列的前项和.
（1）因为，又，
故是以为首项，2为公差的等差数列，
所以，
又，，成等差数列，故，
设的公比为，其中，则，解得或
当时，，此时，为递增数列，满足要求，
当时，，此时，为递减数列，舍去，
综上，，；
（2）由（1），
.
18．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）设，当时，求函数的最大值；
（3）讨论函数与函数的图象的交点个数．
【答案】（1）解：若，则，
所以，
则，
因为，
所以，曲线在点处的切线方程是，即．
（2）解：因为，
又因为函数的定义域为
且，
当时，，
令，得；
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则的最大值为．
（3）解：由题意，联立得
则，
所以，
结合（2）可知，，
则“函数与函数的图象的交点个数”
等价于“函数的零点个数”，
当时，无零点；
当时，的最大值为，
若，则，所以无零点；
若，则，所以只有一个零点；
若，则，所以，
又因为，令，则且，
由，得；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则有最大值，无最小值．
所以，
则，
由（2）知在上单调递增，
所以在上有唯一零点，
令，
则，且，
由，得；由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则有最小值，无最大值，
所以，则和，
所以，
又因为在上单调递减，
所以在上有唯一零点．
当时，由以上得，则，
因为，所以，则无零点，
综上所述，当或时，无零点；
当时，只有一个零点；
当时，有两个零点，
则当或时，函数与函数的图象无交点；
当时，函数与函数的图象有1个交点；
当时，函数与函数的图象有2个交点．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
（2）由题意得出函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最大值.
（3）由题意，联立得，再结合（2）将问题等价于“函数的零点个数”，再分、和三种情况，利用导数得到函数图象的大体形状，进而判断出函数的零点的个数.
（1）若，则，
所以，则，
又，
所以曲线在点处的切线方程是，
即．
（2），
函数的定义域为
．
当时，，
令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为．
（3）联立得得，
得，
结合（2）可知．
则“函数与函数的图象的交点个数”等价于“函数的零点个数”．
当时，无零点．
当时，的最大值为．
若，即，则无零点．
若，即，则只有一个零点．
若，即，则，又，
令，则且，
由，得；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故有最大值，无最小值．
故，所以，由（2）知在上单调递增，所以在上有唯一零点．
令，
则，且，
由，得；由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故有最小值，无最大值．
所以，
于是和，
所以，
又在上单调递减，
故在上有唯一零点．
当时，由上得，于是，而，
所以，即无零点．
综上，当或时，无零点；当时，只有一个零点；当时，有两个零点，
即当或时，函数与函数的图象无交点；
当时，函数与函数的图象有1个交点；
当时，函数与函数的图象有2个交点．
19．我们将借助导数求随机变量的期望和方差的方法称为微分恒等式法，微分恒等式法既可以用于实验次数有限的情况，也可以用于实验次数无限的情况．微分恒等式法的一个应用案例如下：
关于x的恒等式满足，
对等式两边求导可得．
移项得．
某校师生在操场上欢庆元旦，其中有一项套圈活动备受欢迎，活动规则为每人累计次未套中时则停止套圈，否则可以继续套圈．若每人每次套中的概率为，且每次套中与否互不影响，每次套中后积1分，将每位参与活动的师生所得积分记为随机变量X．
（1）若，，求的概率；
（2）求，，的概率，并写出随机变量X的分布列；
（3）用微分恒等式法求随机变量X的数学期望，并据此估计当，时每位参与该项活动的师生的积分．
【答案】（1）解：若，
则表示总共套了4次，其中前3次套中，第4次没有套中，
因此，的概率为.
（2）解：因为表示总共套了k次，其中前k次均没有套中，
因此，的概率为，
又因为表示总共套了次，
其中前k次中套中了1次，第次没有套中，
因此，概率为，
……
因为表示总共套了次，
其中前次中套中了n次，第次没有套中，
因此，概率为，
则随机变量X的分布列为：
X 0 1 … n …
P … …
（3）解：由（2）可得，，
因为分布列的概率和为1，
所以，
又因为等式关于p恒成立，
两边求导，得：，
分组求和，可得，
移项得，
变形得，
注意到，，
代入上式，得．
当，时，，
因此，估计每位参与该项活动的师生的积分为9．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据已知条件和独立事件乘法求概率公式，从而得出的概率.
（2）利用已知条件结合二项分布求概率公式，从而得出，，的概率，进而得出随机变量X的分布列.
（3）根据微分恒等式结合概率的基本性质求出导函数，从而整理可得，再利用随机变量分布列求数学期望公式，则由，，最后转换估计出当，时每位参与该项活动的师生的积分.
（1）若，则表示总共套了4次，其中前3次套中，第4次没有套中，
因此概率为；
（2）表示总共套了k次，其中前k次均没有套中，
因此概率为，
表示总共套了次，其中前k次中套中了1次，第次没有套中，
因此概率为，
……
表示总共套了次，其中前次中套中了n次，第次没有套中，
因此概率为，
因而分布列为
X 0 1 … n …
P … …
（3）由（2）可得，，
由于分布列的概率和为1，即，
等式关于p恒成立，两边求导得
，
分组求和可得，
移项得，
变形得，
注意到，，
代入上式得．
当，时，，
因此估计每位参与该项活动的师生的积分为9．
1 / 1广东省湛江市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试卷
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，若，则x的值为（　　）
A．7 B．-8 C．6 D．-5
2．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（　　）
A．2 B． C． D．4
3．抛物线的焦点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前项和为，若，则（　　）
A．30 B．40 C．60 D．120
5．函数在处的切线与直线平行，则实数（　　）
A． B．1 C． D．
6．某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，则的观测值不可能为（　　）
附：.
A．3.622 B．4.502 C．5.921 D．6.634
7．已知随机变量，且，则（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．设正整数其中，记，则下列说法错误的是（　　）.
A．ω(10)=2.
B．ω(16n+5)=ω(4n+3).
C．ω(8n+5)=ω(4n+5).
D．若n<256且ω(n)=3，则符合条件的n有56个.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9．已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．下列求导正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．已知数列满足，则下列说法中正确的是（　　）
A．若，，则是等差数列
B．若，，则是等差数列
C．若，，则是等比数列
D．若，，则是等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为　 　．
13．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，剔除一个异常点后，得到新的回归直线必过点　 　．
14．已知为双曲线右支上一点，、为左右焦点，直线交轴于点为坐标原点，若，则双曲线的离心率为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.其中15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图所示，平面，四边形为矩形，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
16．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求的方程；
（2）若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值．
17．已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）设，当时，求函数的最大值；
（3）讨论函数与函数的图象的交点个数．
19．我们将借助导数求随机变量的期望和方差的方法称为微分恒等式法，微分恒等式法既可以用于实验次数有限的情况，也可以用于实验次数无限的情况．微分恒等式法的一个应用案例如下：
关于x的恒等式满足，
对等式两边求导可得．
移项得．
某校师生在操场上欢庆元旦，其中有一项套圈活动备受欢迎，活动规则为每人累计次未套中时则停止套圈，否则可以继续套圈．若每人每次套中的概率为，且每次套中与否互不影响，每次套中后积1分，将每位参与活动的师生所得积分记为随机变量X．
（1）若，，求的概率；
（2）求，，的概率，并写出随机变量X的分布列；
（3）用微分恒等式法求随机变量X的数学期望，并据此估计当，时每位参与该项活动的师生的积分．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，，
因为，所以，.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，从而得出实数x的值.
2．【答案】B
【知识点】圆的切线方程
【解析】【解答】解：由题意，得，
则.
故答案为：B.
【分析】根据圆的切线的意义知，再由勾股定理得出的值.
3．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：，即，则，则其焦点坐标为.
故答案为：A.
【分析】先把抛物线化成标准形式，再得到焦点坐标即可.
4．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为为等差数列，故，
故答案为：C.
【分析】由等差数列的性质即可求解.
5．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数的导函数为 ，
所以，函数在处的切线的导数为切线的斜率为，
且切线与直线平行，
则 ，可得 .
故答案为：C.
【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而得出关于的方程，进而解方程可得的值.
6．【答案】A
【知识点】独立性检验的基本思想；独立性检验的应用
【解析】【解答】解：由有的把握但没有的把握认为高血压与高盐饮食有关，
得的观测值在区间，所以的观测值不可能3.622.
故答案为：A.
【分析】根据题意，得到的范围即可.
7．【答案】C
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，得，
则，．
故答案为：C.
【分析】由正态分布的对称性可得，再利用二项分布的期望公式求解.
8．【答案】C
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、，所以，故选项A正确，
B、，
所以，，
所以，所以，故选项B正确；
C、， ，所以，
即时，，故选项C错误，
D、因为且，，
所以，
当时，符合条件的n有个；时，符合条件的n有个；时，
符合条件的n有个；…，时，符合条件的n有个，
共有，故选项D正确.
故选：C.
【分析】由，利用定义即可求得的值，可判断选项A；根据题意可求得，，即可判断选项B；用特殊值，分别求出即可判断选项C；列举法可判断选项D.
9．【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，
得，且，
，
，
所以选项A、选项C对；选项B、选项D错.
故答案为：AC.
【分析】利用对立事件求概率公式、全概率公式和条件概率公式，则判断出选项A、选项B和选项D；由概率的性质判断出选项C，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于A，因为，故A错误；
对于B，因为，故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用导数的运算法则、基本初等函数求导公式和复合函数求导公式，从而逐项判断找出求导正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对于A，当时，若，则，
事实上，，注意到，即是常数数列，
所以，数列是等差数列，故A正确；
对于B，当时，若，
所以数列不是等差数列，故B错误；
对于C，当时，若，
所以不是等比数列，故C错误；
对于D，当时，有，
因为，所以，即，
因为，
所以是等比数列，故D正确；
故答案为：AD．
【分析】对于A，有题可得，进而得到即可；对于BC，列举数列前项即可判断；对于D，构造可得，进而得到即可判断.
12．【答案】
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：由题意，可得，因为为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离.
故答案为：.
【分析】根据易知条件，利用点到平面的向量求法列式计算即可．
13．【答案】
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由可知，即，；
剔除后，，，
因为样本中心一定在回归直线上，故得到新的回归直线必过点，
故答案为：.
【分析】由回归方程可得，再计算新样本的均值，即可求解.
14．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：如图，
因为，可作轴，垂足为，可知为中点，
由，可知，
由，可知，
令，则，所以，
根据双曲线定义，得：，
则，，
由勾股定理，可得：，
则，
所以.
故答案为：.
【分析】利用两直线平行对应边成比例结合双曲线的定义，从而得出，，再结合勾股定理找到a，c的关系式，再根据双曲线的离心率公式变形得出双曲线的离心率.
15．【答案】（1）证明：四边形为矩形，.又平面平面平面.
又，平面，平面，
∴平面.
又平面
平面平面.
又平面平面.
（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
.
设是平面的一个法向量，则
即，令，解得，
所以平面的一个法向量
又是平面的一个法向量，
，
平面与平面所成角的正弦值为.

【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）通过证明平面平面，再由面面平行的性质即可证明平面；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，再分别求出平面、平面的一个法向量，结合空间法向量与面面夹角的关系求解.
（1）证明：四边形为矩形，.
又平面平面平面.
又，平面，平面，
∴平面.
又平面
平面平面.
又平面平面.
（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
.
设是平面的一个法向量，则
即，令，解得，
所以平面的一个法向量
又是平面的一个法向量，
，
平面与平面所成角的正弦值为.
16．【答案】（1）解：由题意得 ，得，
故的方程为；
（2）设，则直线l的方程为，
与联立，得，
则，且，
所以
，
故为定值．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由离心率及点坐标，列方程组求解即可；
（2）设，则直线l的方程为，联立可得，再求出的值即可.
（1）由题意得 ，得，
故的方程为；
（2）设，则直线l的方程为，
与联立，得，
则，且，
所以
，
故为定值．
17．【答案】（1）解：因为，又，
所以，数列是以为首项，2为公差的等差数列，
则，
又因为，，成等差数列，
所以，
设数列的公比为，其中，
则，
解得或，
当时，，此时，则数列为递增数列，满足要求，
当时，，此时，则数列为递减数列，舍去，
综上所述，，.
（2）解：由（1）可得：，
则
.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；等差中项
【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义以及通项公式得出数列的通项公式，由等差中项的性质得出，再利用等比数列的通项公式求出公比的值，最后由分类讨论结合数列的单调性得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式和数列的通项公式求出数列的通项公式，再利用分组求和的方法结合等差数列前n项和公式、等比数列前n项和公式，从而求出数列的前项和.
（1）因为，又，
故是以为首项，2为公差的等差数列，
所以，
又，，成等差数列，故，
设的公比为，其中，则，解得或
当时，，此时，为递增数列，满足要求，
当时，，此时，为递减数列，舍去，
综上，，；
（2）由（1），
.
18．【答案】（1）解：若，则，
所以，
则，
因为，
所以，曲线在点处的切线方程是，即．
（2）解：因为，
又因为函数的定义域为
且，
当时，，
令，得；
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则的最大值为．
（3）解：由题意，联立得
则，
所以，
结合（2）可知，，
则“函数与函数的图象的交点个数”
等价于“函数的零点个数”，
当时，无零点；
当时，的最大值为，
若，则，所以无零点；
若，则，所以只有一个零点；
若，则，所以，
又因为，令，则且，
由，得；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则有最大值，无最小值．
所以，
则，
由（2）知在上单调递增，
所以在上有唯一零点，
令，
则，且，
由，得；由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则有最小值，无最大值，
所以，则和，
所以，
又因为在上单调递减，
所以在上有唯一零点．
当时，由以上得，则，
因为，所以，则无零点，
综上所述，当或时，无零点；
当时，只有一个零点；
当时，有两个零点，
则当或时，函数与函数的图象无交点；
当时，函数与函数的图象有1个交点；
当时，函数与函数的图象有2个交点．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，根据点斜式得出曲线在点处的切线方程.
（2）由题意得出函数，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最大值.
（3）由题意，联立得，再结合（2）将问题等价于“函数的零点个数”，再分、和三种情况，利用导数得到函数图象的大体形状，进而判断出函数的零点的个数.
（1）若，则，
所以，则，
又，
所以曲线在点处的切线方程是，
即．
（2），
函数的定义域为
．
当时，，
令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为．
（3）联立得得，
得，
结合（2）可知．
则“函数与函数的图象的交点个数”等价于“函数的零点个数”．
当时，无零点．
当时，的最大值为．
若，即，则无零点．
若，即，则只有一个零点．
若，即，则，又，
令，则且，
由，得；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故有最大值，无最小值．
故，所以，由（2）知在上单调递增，所以在上有唯一零点．
令，
则，且，
由，得；由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故有最小值，无最大值．
所以，
于是和，
所以，
又在上单调递减，
故在上有唯一零点．
当时，由上得，于是，而，
所以，即无零点．
综上，当或时，无零点；当时，只有一个零点；当时，有两个零点，
即当或时，函数与函数的图象无交点；
当时，函数与函数的图象有1个交点；
当时，函数与函数的图象有2个交点．
19．【答案】（1）解：若，
则表示总共套了4次，其中前3次套中，第4次没有套中，
因此，的概率为.
（2）解：因为表示总共套了k次，其中前k次均没有套中，
因此，的概率为，
又因为表示总共套了次，
其中前k次中套中了1次，第次没有套中，
因此，概率为，
……
因为表示总共套了次，
其中前次中套中了n次，第次没有套中，
因此，概率为，
则随机变量X的分布列为：
X 0 1 … n …
P … …
（3）解：由（2）可得，，
因为分布列的概率和为1，
所以，
又因为等式关于p恒成立，
两边求导，得：，
分组求和，可得，
移项得，
变形得，
注意到，，
代入上式，得．
当，时，，
因此，估计每位参与该项活动的师生的积分为9．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据已知条件和独立事件乘法求概率公式，从而得出的概率.
（2）利用已知条件结合二项分布求概率公式，从而得出，，的概率，进而得出随机变量X的分布列.
（3）根据微分恒等式结合概率的基本性质求出导函数，从而整理可得，再利用随机变量分布列求数学期望公式，则由，，最后转换估计出当，时每位参与该项活动的师生的积分.
（1）若，则表示总共套了4次，其中前3次套中，第4次没有套中，
因此概率为；
（2）表示总共套了k次，其中前k次均没有套中，
因此概率为，
表示总共套了次，其中前k次中套中了1次，第次没有套中，
因此概率为，
……
表示总共套了次，其中前次中套中了n次，第次没有套中，
因此概率为，
因而分布列为
X 0 1 … n …
P … …
（3）由（2）可得，，
由于分布列的概率和为1，即，
等式关于p恒成立，两边求导得
，
分组求和可得，
移项得，
变形得，
注意到，，
代入上式得．
当，时，，
因此估计每位参与该项活动的师生的积分为9．
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