资源简介

广东省汕尾市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：B
【分析】本题考查三角函数差角公式的逆用，核心是识别并应用正弦差角公式。
2．若，，若，则的值是（　　）
A． B． C．-3 D．3
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，，所以，
解得.
故答案为：A.
【分析】本题考查向量垂直的坐标表示，核心是利用两向量垂直时数量积为0来列方程求解。
3．已知复数与互为共轭复数，则的值是（　　）
A．4 B．6 C．9 D．13
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数与互为共轭复数，所以，
所以，，所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查共轭复数的定义与复数乘法运算，核心是先根据共轭复数的定义求出参数，再计算乘积。
4．如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意得：.
故答案为：C
【分析】本题考查向量的线性运算，核心是利用向量的三角形法则，将转化为和的线性组合。
5．已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（　　）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，，，，，若相交时，可得，若不相交时，可能相交，故A错误；
B，若，，则或是异面直线或是相交直线，故B错误；
C，若，，则，故C正确；
D，若，，则或，故D错误.
故答案为：C.
【分析】A：根据面面平行的判定定理判断；B：根据空间中直线与直线的位置关系判断；C：根据平面平行的传递性判断；D：根据线面、面面垂直的性质判断。
6．已知，是第四象限角，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由得，
即，所以
∵是第四象限角，∴.
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查三角恒等变换，核心是先利用正弦差角公式化简已知条件，求出sinβ，再结合同角三角函数关系与余弦和角公式求解目标值。
7．已知集合，若，则符合条件的一个集合B是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；一元二次不等式及其解法；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，
即，
A，由，得，解得或，所以，故A错误；
B，由，得，解得，所以，故B正确；
C，因为，所以不是中元素，故C错误；
D，因为，所以不是中元素，故D错误.
故答案为：B.
【分析】先确定集合A中方程根的范围，再逐一判断选项中哪个集合B满足。
8．已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则的值是（　　）
A． B． C．2025 D．2027
【答案】C
【知识点】抽象函数及其应用；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由函数在定义域上是单调函数，且，
知是一个常数，令，则，
∴，
∵在定义域上单调，且，
∴，即
∴.
故答案为：C.
【分析】本题考查抽象函数的求解与对数运算，核心是利用函数的单调性，得出为常数，进而求出函数解析式。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设复数满足，则下列结论正确的是（　　）
A．的虚部为 B．
C． D．若为虚数，则
【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以的虚部为，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
若为虚数，则的虚部不等于，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先利用复数除法法则求出复数，再依次分析各选项：虚部、、模长及虚数定义。
10．声音是由于物体的振动产生，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.已知某个音是由三个纯音合成的，该音的数学模型为函数，下列说法正确的是（　　）
A．该函数是偶函数 B．该函数的最小正周期为
C．该函数的最大值为 D．该函数的图象关于对称
【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A：因为.
所以函数为奇函数，故A错误；
B：因为的最小正周期为，的最小正周期为，的最小正周期为，
且，，的最小公倍数为，所以的最小正周期为，故B正确；
C：因为的最大值为1，的最大值为，的最大值为，且.
但是它们分别在，，，时取等号，所以不能同时取得最大值，故C错误；
D：因为，
，
所以，所以该函数的图象关于对称，故D正确.
故答案为：BD
【分析】A：利用正弦函数的奇偶性判断；B：通过求各正弦函数周期的最小公倍数判断；C：分析各正弦函数取最大值时的是否相同，判断能否同时取到最大值；D：根据与的关系判断对称性。
11．如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（　　）
A．动点F的轨迹是一条线段，线段长度为
B．直线与的夹角的余弦值为
C．三棱锥的体积为定值
D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A：如图分别取的中点H，G，连接，
由正方体的性质可得，平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
且，平面，所以平面，
而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，又，故A正确；
B：由正方体的结构特征易知且为等边三角形，
所以直线与的夹角为，即直线与的夹角的为，
所以直线与的夹角的余弦值为，故B错误；
C：由A知，点F的轨迹为线段GH，
因为平面，则点F到平面的距离为定值，
同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确；
D：如图，设平面与平面交于AN，N在上．
因为截面平面，截面平面，
平面平面，所以，同理，
所以截面为平行四边形，则点N为的中点．
因为Q为截面上一点，则线段长度最小值即为到平面的距离，
因为，，
所以，
，设到平面的距离为，
因为，所以，
所以，解得，
所以线段长度最小值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：通过构造平面，利用线面平行的判定定理确定动点的轨迹；B：利用正方体的结构特征，通过向量夹角公式计算异面直线夹角的余弦值；C：根据的轨迹与平面的位置关系，判断三棱锥的体积是否为定值；D：通过确定截面形状，计算点到平面的距离，即的最小值。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为　 　.
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：旋转形成的几何体的体积是球的体积减去两个圆锥的体积.
球的体积为：.
圆锥的体积为：.
所以所得几何体的体积为：.
故答案为：
【分析】本题考查旋转体体积的计算，核心是将几何体体积转化为球的体积减去圆锥的体积。
13．已知平行四边形，对角线，，，则边　 　.
【答案】2
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：如图：
取与的交点为，则为平行四边形的对角线与的中点.
在中，由.
所以.
在中，，
所以.
故答案为：2
【分析】本题考查平行四边形的性质与余弦定理的应用，核心是利用对角线中点，通过两次余弦定理求解边长。
14．已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且当时，存在点M，N关于x轴对称的情况，则a的取值范围是　 　.
【答案】（或）
【知识点】函数的值域；函数的零点与方程根的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数关于的对称函数的解析式为，
若存在点M，N关于x轴对称，则在上有解，
即在上有解，即在上有解，
令，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，所以.
故答案为：或.
【分析】对称转化：两点关于轴对称，意味着它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此可将问题转化为方程在区间上有解；函数化简：通过对数运算法则，将化简为，便于分析单调性；单调性分析：利用复合函数“同增异减”的原则，判断出在上单调递减；求值域：根据单调性，计算出函数在区间端点处的值，从而得到的取值范围。
通过函数单调性求值域。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点.
（1）证明：平面AOE；
（2）证明：.
【答案】（1）证明：取的中点G，连接，GF，
因为G，F分别为，的中点，所以∥，，
又因为∥，，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以∥，
又因为E为的中点，的中点为G，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
又因为平面AOE，平面AOE，所以平面AOE.
（2）证明：连接EC，如下图所示
因为为正方体，所以，
故为等腰三角形.
因为O为AC的中点，
所以
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】(1) 取中点构造平行四边形，证明线线平行，进而得到线面平行；
(2) 利用等腰三角形 “三线合一” 性质，证明线线垂直。
（1）取的中点G，连接，GF，
因为G，F分别为，的中点，所以∥，，
又因为∥，，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以∥，
又因为E为的中点，的中点为G，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
又因为平面AOE，平面AOE，所以平面AOE.
（2）（法一）连接EC，
因为为正方体，所以，
故为等腰三角形.
因为O为AC的中点，
所以
（法二）因为为正方体，
故侧棱平面ABCD.
因为平面ABCD，
所以，
因为四边形ABCD为正方形，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（法三）设正方体的棱长为1，
∵是的中点，∴，
∴，
∵四边形ABCD为正方形，∴，
∵，
∴，
∴.
16．已知，，，.
（1）分别求，，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：因为，①
，②
由②①，得，由①②，得，故.
（2）解：因为，，所以，
因为，所以，故，
原式，
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】(1) 利用两角和与差的余弦公式展开，通过加减方程组求解 、，再求 ；
(2) 先求 ，进而得 ，再利用和角公式展开计算。
（1）因为，①
，②
由②①，得，由①②，得，故.
（2）因为，，所以，
因为，所以，故，
原式，
.
17．如图，一艘巡逻船从小岛A出发，沿北偏东的方向航行c海里后到达小岛B，然后从小岛B出发，继续沿某一方向航行a海里后到达小岛C.小岛A与小岛C相距b海里.三个小岛构成.其中A，B，C分别为三角形在顶点A，B，C处的内角.
（1）若满足关系式：，求巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应采用的方向（以北偏东角度表示）；
（2）巡逻船从小岛A向小岛C直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在M点抛锚.若从小岛B直接前往救援，需行驶2海里到达M点.若满足关系式：，求的最大值.
【答案】（1）解：因为，由正弦定理，
得，
即，即，
因为，故，解得，
因为，故，
故巡逻船从小岛直接航行到小岛时应采用北偏东的方向航行.
（2）解：由题意得，，由正弦定理及余弦定理，有，解得，
又因为，
化简得，，
因为，
即，故，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形的实际应用
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将边化角，结合和角公式求出角A，再根据方位角关系确定航行方向；
(2) 利用正弦定理、余弦定理和中点条件得到边的关系，再通过基本不等式求最值。
（1）因为，由正弦定理，
得，
即，即，
因为，故，解得，
因为，故，
故巡逻船从小岛直接航行到小岛时应采用北偏东的方向航行.
（2）依题意，，由正弦定理及余弦定理，有，解得，
又因为，
化简得，，
因为，
即，故，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
18．已知圆为单位圆，正方形的边长为.
（1）如图1，求正方形中不与圆重叠部分的面积T；
（2）将圆A沿边所在的直线向上翻折（以为轴）.动点位于翻折后的两个不同的半圆上（如图2所示），动点F在边上，动点G在边上，且四边形始终为矩形，求四棱锥的最大体积V.
【答案】（1）解：因为正方形中的顶点A为圆A的圆心，
故正方形中与圆A重叠部分的面积为，
得到正方形中不与圆A重叠部分的面积.
（2）解：记四棱锥的高为h，底面积为.
现要使四棱锥的体积V达到最大，则需要h与均达到最大值.
单位圆A沿边AD所在的直线向上翻折（以AD为轴），
当翻折后的两个半圆所在的两个平面相互垂直，
且点P在点A的正上方，此时达到最大值，，
如图，连接，设，
因为四边形为矩形，所以，
则，，
因为，，所以，，
则，
因为，所以令，
因为，所以结合辅助角公式得，
得到，，
结合二次函数性质可得，当时，取到最大值，
此时，且或，
故四棱锥的最大体积.
【知识点】扇形的弧长与面积；辅助角公式；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 用正方形面积减去与圆重叠部分的面积，重叠部分为四分之一圆；
(2) 分析翻折后四棱锥的高和底面矩形的面积，通过二次函数求底面矩形的最大值，进而得到四棱锥体积的最大值。
（1）法一：因为正方形中的顶点A为圆A的圆心，
故正方形中与圆A重叠部分的面积为，
得到正方形中不与圆A重叠部分的面积.
法二：正方形的面积为，
而圆A的面积为，由，故重叠部分的面积为，
则正方形中不与圆A重叠部分的面积.
（2）法一：记四棱锥的高为h，底面积为.
现要使四棱锥的体积V达到最大，则需要h与均达到最大值.
单位圆A沿边AD所在的直线向上翻折（以AD为轴），
当翻折后的两个半圆所在的两个平面相互垂直，
且点P在点A的正上方，此时达到最大值，，
如图，连接，设，
因为四边形为矩形，所以，
则，，
因为，，所以，，
则，
因为，所以令，
因为，所以结合辅助角公式得，
得到，，
结合二次函数性质可得，当时，取到最大值，
此时，且或，
故四棱锥的最大体积.
法二：动点P，E位于翻折后的两个不同的半圆上，
要使四棱锥的体积取到最大值，
则点到平面的高h要取得最大值，
且同时四棱锥的底面积S取得最大值.
如图，连接，并使翻折后的两个半圆所在的两个平面相互垂直，
即平面平面，且令，
因为平面，平面平面，
所以平面，，
连接，设，，
故，，
故四棱锥的底面积为，
令，，则，
故，，
故，故.
则四棱锥的最大体积.
19．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对（）看作一个向量，记作，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，（），我们定义复向量运算法则：①加法：；②减法：；③数乘：；④数量积：；⑤模：.
（1）设，，求和；
（2）验证复向量结合律：是否成立；
（3）设，集合，，求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的，.
【答案】（1）解：因为，，
所以，
，
.
（2）解：设，，，，，，，，
，，
故.
又因为，
故，
所以有成立，即复向量结合律成立.
（3）证明：由，，不妨设，
则，
.
所以，
当且仅当时，等号成立.即的最小值为2.
此时，，，
，
，
.
即命题得证.
【知识点】向量的模；平面向量数量积定义与物理意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1) 根据定义直接计算复向量的数量积与模；
(2) 设参数展开验证数乘结合律；
(3) 设的坐标，将模表示为二次函数形式求最小值，再验证数量积为0。
（1）因为，，
所以，
，
.
（2）（法一）设，，，，，，，，
，，
故.
又因为，
故，
所以有成立，即复向量结合律成立.
（法二）设，，，，，，
所以，
故，，
因为，，
所以，则复向量结合律成立.
（3）由，，不妨设，
则，
.
（法一）所以，
当且仅当时，等号成立.即的最小值为2.
（法二）因为，
所以，
，
当且仅当时，等号成立.
令，则，
当，即时，等号成立，即的最小值为2.
此时，，，
，
，
.
命题得证.
1 / 1广东省汕尾市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（　　）
A． B． C． D．
2．若，，若，则的值是（　　）
A． B． C．-3 D．3
3．已知复数与互为共轭复数，则的值是（　　）
A．4 B．6 C．9 D．13
4．如图，在中，是BC上靠近的一个三等分点，记，，则可以用，表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（　　）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
6．已知，是第四象限角，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．已知集合，若，则符合条件的一个集合B是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知函数在定义域上单调，若对任意的，都有，则的值是（　　）
A． B． C．2025 D．2027
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设复数满足，则下列结论正确的是（　　）
A．的虚部为 B．
C． D．若为虚数，则
10．声音是由于物体的振动产生，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.已知某个音是由三个纯音合成的，该音的数学模型为函数，下列说法正确的是（　　）
A．该函数是偶函数 B．该函数的最小正周期为
C．该函数的最大值为 D．该函数的图象关于对称
11．如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（　　）
A．动点F的轨迹是一条线段，线段长度为
B．直线与的夹角的余弦值为
C．三棱锥的体积为定值
D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在半径为1的半圆中，挖去一个三角形ABC，其中，再将所得平面图形（如图）以线段AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为　 　.
13．已知平行四边形，对角线，，，则边　 　.
14．已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且当时，存在点M，N关于x轴对称的情况，则a的取值范围是　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点.
（1）证明：平面AOE；
（2）证明：.
16．已知，，，.
（1）分别求，，的值；
（2）求的值.
17．如图，一艘巡逻船从小岛A出发，沿北偏东的方向航行c海里后到达小岛B，然后从小岛B出发，继续沿某一方向航行a海里后到达小岛C.小岛A与小岛C相距b海里.三个小岛构成.其中A，B，C分别为三角形在顶点A，B，C处的内角.
（1）若满足关系式：，求巡逻船从小岛A直接航行到小岛C时应采用的方向（以北偏东角度表示）；
（2）巡逻船从小岛A向小岛C直线航行，恰好在行驶了一半路程时，巡逻船在M点抛锚.若从小岛B直接前往救援，需行驶2海里到达M点.若满足关系式：，求的最大值.
18．已知圆为单位圆，正方形的边长为.
（1）如图1，求正方形中不与圆重叠部分的面积T；
（2）将圆A沿边所在的直线向上翻折（以为轴）.动点位于翻折后的两个不同的半圆上（如图2所示），动点F在边上，动点G在边上，且四边形始终为矩形，求四棱锥的最大体积V.
19．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对（）看作一个向量，记作，称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，（），我们定义复向量运算法则：①加法：；②减法：；③数乘：；④数量积：；⑤模：.
（1）设，，求和；
（2）验证复向量结合律：是否成立；
（3）设，集合，，求的最小值；并证明当取最小值时，对于任意的，.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：B
【分析】本题考查三角函数差角公式的逆用，核心是识别并应用正弦差角公式。
2．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为，所以，又因为，，所以，
解得.
故答案为：A.
【分析】本题考查向量垂直的坐标表示，核心是利用两向量垂直时数量积为0来列方程求解。
3．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为复数与互为共轭复数，所以，
所以，，所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查共轭复数的定义与复数乘法运算，核心是先根据共轭复数的定义求出参数，再计算乘积。
4．【答案】C
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意得：.
故答案为：C
【分析】本题考查向量的线性运算，核心是利用向量的三角形法则，将转化为和的线性组合。
5．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，，，，，若相交时，可得，若不相交时，可能相交，故A错误；
B，若，，则或是异面直线或是相交直线，故B错误；
C，若，，则，故C正确；
D，若，，则或，故D错误.
故答案为：C.
【分析】A：根据面面平行的判定定理判断；B：根据空间中直线与直线的位置关系判断；C：根据平面平行的传递性判断；D：根据线面、面面垂直的性质判断。
6．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由得，
即，所以
∵是第四象限角，∴.
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查三角恒等变换，核心是先利用正弦差角公式化简已知条件，求出sinβ，再结合同角三角函数关系与余弦和角公式求解目标值。
7．【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；一元二次不等式及其解法；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，
即，
A，由，得，解得或，所以，故A错误；
B，由，得，解得，所以，故B正确；
C，因为，所以不是中元素，故C错误；
D，因为，所以不是中元素，故D错误.
故答案为：B.
【分析】先确定集合A中方程根的范围，再逐一判断选项中哪个集合B满足。
8．【答案】C
【知识点】抽象函数及其应用；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由函数在定义域上是单调函数，且，
知是一个常数，令，则，
∴，
∵在定义域上单调，且，
∴，即
∴.
故答案为：C.
【分析】本题考查抽象函数的求解与对数运算，核心是利用函数的单调性，得出为常数，进而求出函数解析式。
9．【答案】B,C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以的虚部为，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
若为虚数，则的虚部不等于，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】先利用复数除法法则求出复数，再依次分析各选项：虚部、、模长及虚数定义。
10．【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A：因为.
所以函数为奇函数，故A错误；
B：因为的最小正周期为，的最小正周期为，的最小正周期为，
且，，的最小公倍数为，所以的最小正周期为，故B正确；
C：因为的最大值为1，的最大值为，的最大值为，且.
但是它们分别在，，，时取等号，所以不能同时取得最大值，故C错误；
D：因为，
，
所以，所以该函数的图象关于对称，故D正确.
故答案为：BD
【分析】A：利用正弦函数的奇偶性判断；B：通过求各正弦函数周期的最小公倍数判断；C：分析各正弦函数取最大值时的是否相同，判断能否同时取到最大值；D：根据与的关系判断对称性。
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；异面直线所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A：如图分别取的中点H，G，连接，
由正方体的性质可得，平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
且，平面，所以平面，
而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，又，故A正确；
B：由正方体的结构特征易知且为等边三角形，
所以直线与的夹角为，即直线与的夹角的为，
所以直线与的夹角的余弦值为，故B错误；
C：由A知，点F的轨迹为线段GH，
因为平面，则点F到平面的距离为定值，
同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确；
D：如图，设平面与平面交于AN，N在上．
因为截面平面，截面平面，
平面平面，所以，同理，
所以截面为平行四边形，则点N为的中点．
因为Q为截面上一点，则线段长度最小值即为到平面的距离，
因为，，
所以，
，设到平面的距离为，
因为，所以，
所以，解得，
所以线段长度最小值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：通过构造平面，利用线面平行的判定定理确定动点的轨迹；B：利用正方体的结构特征，通过向量夹角公式计算异面直线夹角的余弦值；C：根据的轨迹与平面的位置关系，判断三棱锥的体积是否为定值；D：通过确定截面形状，计算点到平面的距离，即的最小值。
12．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：旋转形成的几何体的体积是球的体积减去两个圆锥的体积.
球的体积为：.
圆锥的体积为：.
所以所得几何体的体积为：.
故答案为：
【分析】本题考查旋转体体积的计算，核心是将几何体体积转化为球的体积减去圆锥的体积。
13．【答案】2
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：如图：
取与的交点为，则为平行四边形的对角线与的中点.
在中，由.
所以.
在中，，
所以.
故答案为：2
【分析】本题考查平行四边形的性质与余弦定理的应用，核心是利用对角线中点，通过两次余弦定理求解边长。
14．【答案】（或）
【知识点】函数的值域；函数的零点与方程根的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数关于的对称函数的解析式为，
若存在点M，N关于x轴对称，则在上有解，
即在上有解，即在上有解，
令，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，所以.
故答案为：或.
【分析】对称转化：两点关于轴对称，意味着它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，因此可将问题转化为方程在区间上有解；函数化简：通过对数运算法则，将化简为，便于分析单调性；单调性分析：利用复合函数“同增异减”的原则，判断出在上单调递减；求值域：根据单调性，计算出函数在区间端点处的值，从而得到的取值范围。
通过函数单调性求值域。
15．【答案】（1）证明：取的中点G，连接，GF，
因为G，F分别为，的中点，所以∥，，
又因为∥，，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以∥，
又因为E为的中点，的中点为G，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
又因为平面AOE，平面AOE，所以平面AOE.
（2）证明：连接EC，如下图所示
因为为正方体，所以，
故为等腰三角形.
因为O为AC的中点，
所以
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】(1) 取中点构造平行四边形，证明线线平行，进而得到线面平行；
(2) 利用等腰三角形 “三线合一” 性质，证明线线垂直。
（1）取的中点G，连接，GF，
因为G，F分别为，的中点，所以∥，，
又因为∥，，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以∥，
又因为E为的中点，的中点为G，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
又因为平面AOE，平面AOE，所以平面AOE.
（2）（法一）连接EC，
因为为正方体，所以，
故为等腰三角形.
因为O为AC的中点，
所以
（法二）因为为正方体，
故侧棱平面ABCD.
因为平面ABCD，
所以，
因为四边形ABCD为正方形，所以，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（法三）设正方体的棱长为1，
∵是的中点，∴，
∴，
∵四边形ABCD为正方形，∴，
∵，
∴，
∴.
16．【答案】（1）解：因为，①
，②
由②①，得，由①②，得，故.
（2）解：因为，，所以，
因为，所以，故，
原式，
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】(1) 利用两角和与差的余弦公式展开，通过加减方程组求解 、，再求 ；
(2) 先求 ，进而得 ，再利用和角公式展开计算。
（1）因为，①
，②
由②①，得，由①②，得，故.
（2）因为，，所以，
因为，所以，故，
原式，
.
17．【答案】（1）解：因为，由正弦定理，
得，
即，即，
因为，故，解得，
因为，故，
故巡逻船从小岛直接航行到小岛时应采用北偏东的方向航行.
（2）解：由题意得，，由正弦定理及余弦定理，有，解得，
又因为，
化简得，，
因为，
即，故，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形的实际应用
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将边化角，结合和角公式求出角A，再根据方位角关系确定航行方向；
(2) 利用正弦定理、余弦定理和中点条件得到边的关系，再通过基本不等式求最值。
（1）因为，由正弦定理，
得，
即，即，
因为，故，解得，
因为，故，
故巡逻船从小岛直接航行到小岛时应采用北偏东的方向航行.
（2）依题意，，由正弦定理及余弦定理，有，解得，
又因为，
化简得，，
因为，
即，故，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
18．【答案】（1）解：因为正方形中的顶点A为圆A的圆心，
故正方形中与圆A重叠部分的面积为，
得到正方形中不与圆A重叠部分的面积.
（2）解：记四棱锥的高为h，底面积为.
现要使四棱锥的体积V达到最大，则需要h与均达到最大值.
单位圆A沿边AD所在的直线向上翻折（以AD为轴），
当翻折后的两个半圆所在的两个平面相互垂直，
且点P在点A的正上方，此时达到最大值，，
如图，连接，设，
因为四边形为矩形，所以，
则，，
因为，，所以，，
则，
因为，所以令，
因为，所以结合辅助角公式得，
得到，，
结合二次函数性质可得，当时，取到最大值，
此时，且或，
故四棱锥的最大体积.
【知识点】扇形的弧长与面积；辅助角公式；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 用正方形面积减去与圆重叠部分的面积，重叠部分为四分之一圆；
(2) 分析翻折后四棱锥的高和底面矩形的面积，通过二次函数求底面矩形的最大值，进而得到四棱锥体积的最大值。
（1）法一：因为正方形中的顶点A为圆A的圆心，
故正方形中与圆A重叠部分的面积为，
得到正方形中不与圆A重叠部分的面积.
法二：正方形的面积为，
而圆A的面积为，由，故重叠部分的面积为，
则正方形中不与圆A重叠部分的面积.
（2）法一：记四棱锥的高为h，底面积为.
现要使四棱锥的体积V达到最大，则需要h与均达到最大值.
单位圆A沿边AD所在的直线向上翻折（以AD为轴），
当翻折后的两个半圆所在的两个平面相互垂直，
且点P在点A的正上方，此时达到最大值，，
如图，连接，设，
因为四边形为矩形，所以，
则，，
因为，，所以，，
则，
因为，所以令，
因为，所以结合辅助角公式得，
得到，，
结合二次函数性质可得，当时，取到最大值，
此时，且或，
故四棱锥的最大体积.
法二：动点P，E位于翻折后的两个不同的半圆上，
要使四棱锥的体积取到最大值，
则点到平面的高h要取得最大值，
且同时四棱锥的底面积S取得最大值.
如图，连接，并使翻折后的两个半圆所在的两个平面相互垂直，
即平面平面，且令，
因为平面，平面平面，
所以平面，，
连接，设，，
故，，
故四棱锥的底面积为，
令，，则，
故，，
故，故.
则四棱锥的最大体积.
19．【答案】（1）解：因为，，
所以，
，
.
（2）解：设，，，，，，，，
，，
故.
又因为，
故，
所以有成立，即复向量结合律成立.
（3）证明：由，，不妨设，
则，
.
所以，
当且仅当时，等号成立.即的最小值为2.
此时，，，
，
，
.
即命题得证.
【知识点】向量的模；平面向量数量积定义与物理意义；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】(1) 根据定义直接计算复向量的数量积与模；
(2) 设参数展开验证数乘结合律；
(3) 设的坐标，将模表示为二次函数形式求最小值，再验证数量积为0。
（1）因为，，
所以，
，
.
（2）（法一）设，，，，，，，，
，，
故.
又因为，
故，
所以有成立，即复向量结合律成立.
（法二）设，，，，，，
所以，
故，，
因为，，
所以，则复向量结合律成立.
（3）由，，不妨设，
则，
.
（法一）所以，
当且仅当时，等号成立.即的最小值为2.
（法二）因为，
所以，
，
当且仅当时，等号成立.
令，则，
当，即时，等号成立，即的最小值为2.
此时，，，
，
，
.
命题得证.
1 / 1

展开更多......

收起↑