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贵州省铜仁市2024—2025学年下学期期末考试七年级数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分．以下每小题均有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答）
1．《国语 楚语》有云：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．里里外外皆均衡妥帖，方为“美”，对称即是这样的美．下列航空公司的标志是轴对称图形的是（　　）
A．贵州航空 B．中国南方航空
C．江西航空 D．中国国际航空
2．下列各实数中，最大的数是（　　）
A．2 B． C． D．0
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图是贵州苗族刺绣纹样，若将它绕其中心旋转一定角度后能够与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．在同一平面内，，，是三条互相平行的直线，已知与之间的距离为，与之间的距离为1，则直线上任意一点到直线的距离是（　　）
A．4 B．6 C．4或6 D．无法确定
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．若单项式和是同类项，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
8．如图，是甲、乙两个景区在1－8月份接纳游客数量情况统计图，根据统计图判断下列结论不正确的是（　　）
A．甲景区的游客人数在前8个月间逐渐减少
B．乙景区的游客在1－4月间呈上升趋势，4－6月间呈下降趋势
C．9月份乙景区的游客数量一定比甲景区多
D．前8个月两个景区的游客数量之差，1月份最大，8月份最小
9．如图是一张钝角三角形纸片，妙妙同学想通过折纸的方式完成如下任务：①找出线段的中点；②折出的平分线；③折出点到直线的垂线段．则她只通过折纸就能完成的任务是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”题目大意：“几个人合伙买鸡，若每人出9钱，则会多出11钱；若每人出6钱，则还少16钱．问合伙人数、鸡的价格分别是多少？”则下列做法正确的是（　　）
①设合伙人有人，依题意得：；
②设合伙人有人，鸡的价格为钱，依题意得：
③设鸡的价格为钱，依题意得：．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
11．如图，有标号为①②③④的四条线段和线段，图中所有线段的端点都在格点即虚线的交点上，以下说法正确的个数有（　　）
（1）①是线段关于直线的对称图形
（2）②③都是线段绕着点旋转而成的图形
（3）③是线段通过平移得到的图形
（4）④不可能通过线段旋转得到
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．2025年5月30日，“我们的节日·端午”主题文化活动暨中国传统龙舟大赛在贵州铜仁碧江区大明边城龙舟基地开赛．锦江下游的某龙舟队要沿江逆流而上到达指定地点参赛，划行中，龙舟上一只备用桨板不慎掉入江中顺水漂流而下，龙舟又向前划行了分钟才发现，立即调头返回，划行寻找．假设这支龙舟队在静水中的划速与水流的速度保持不变，掉头时间忽略不计，问他们能否追上掉落的桨板？若能，需要追赶多少时间？（　　）
A．不能追上 B．能追上，需用时分钟
C．能追上，需用时分钟 D．条件不足，不能判断
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则剪去的小正方形上的字是　 　．
14．若且，则代数式　 　．
15．已知为正整数，且，写出一个满足条件的的值　 　．
16．下课后，甲、乙、丙三名同学各拿一个水杯在同一个水龙头前依次接水．已知甲接满一杯水需要秒钟，乙接满一杯水需要秒钟，丙接满一杯水需要秒钟，如果，水龙头出水速度不变．三人运用所学的数学知识结合实际经验，合理安排接水顺序，使得三人都接满一杯水且三人所用时间（包括接水时间和等待时间）之和最少，则这个最少时间是　 　秒．
三、解答题（本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．（1）从以下三个不等式；；中任意选择两个组成一个不等式组，并解这个不等式组．
（2）先化简，再求值：，其中与满足．
19．铜仁市的地理环境和气候条件为各种水果的生长提供了优越的自然环境，水果丰富多样，品质优良．课外实践小组为了帮助学校餐厅了解学校七年级学生（七年级共20个班，每班50人）最喜爱的水果作为进货依据，抽取了部分学生进行问卷调查，要求学生必须从“（玉屏黄桃）、（德江猕猴桃）、（沿河空心李）、（万山香柚）”四种类型中选择一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）本次调查是______（填“全面调查”或“抽样调查”），调查的学生人数为______人；
（2）补全条形统计图（必须在条形图上方注明人数）；
（3）如果让你完成本次调查，请设计一个抽取学生的方式，并保证七年级每个学生被选到的机会均等．
20．如图，直线，相交于点，，垂足为．
（1）写出图中的所有余角______；
（2）若，求的度数；
（3）若，求的度数．
21．已知方程组
（1）若方程组中的与互为相反数，求的值；
（2）若方程组中的与满足，求的范围．
22．我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回字形”正方形（如图2）．
（1）观察图2，图2中阴影小正方形的边长是______；
（2）请通过求图2中阴影正方形的面积的不同方法探索、、之间的等量关系；
（3）根据（2）中的结论，若，，求的值．
23．（1）如图1，小明同学用两个大小相同的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．大正方形的面积是，则大正方形纸片的边长是______，小正方形纸片的边长是______；
（2）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长与宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由；
（3）如图2，现有一张由5个边长为1的小正方形组成的长方形纸片，请你尝试分割这张纸片，拼接成一个大正方形，不重叠，且无空隙．如果可以，请在图2左边的纸片上用虚线画出分割方法，并在右边的网格（网格中的小正方形边长都为1）中用实线画出大正方形的拼法，使它的四个顶点均位于网格的格点（即虚线的交点）上，然后求出所得大正方形的边长；如果不可以，请说明理由．
24．五月果香漫山野，又是一年枇杷黄．陈老师在水果市场买了甲、乙两种等级的枇杷共10kg，其中甲级枇杷每千克12元．乙级枇杷每千克8元，总共花费了104元，
（1）求出陈老师买了甲、乙两级枇杷各多少？
（2）随着枇杷大量上市，水果市场的，两商户各自推出不同的优惠方案：商户规定，购买超过50元后，超过50元的部分打九折；商户规定，购买超过100元后，超过100元的部分打八折．从购买金额考虑，陈老师去哪家商户购买更划算？
25．已知直线，点和点分别在直线和上，，射线平分交于点．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，若射线绕点以每秒的速度顺时针旋转一个周角，问当和平行时，旋转了多长时间？
（3）若射线绕点以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点以每秒转动的速度逆时针旋转，当转动结束时也随即停止转动．在转动过程中，当和平行时，设转动时间为秒，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴这四个实数中最大的数是．
故答案为：A．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．，原式计算错误，故选项不符合题意；
B．，原式计算错误，故选项不符合题意；
C．，原式计算正确，故选项符合题意；
D．，原式计算错误，故选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用算术平方根、立方根、二次根式的性质以及实数绝对值的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】B
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解： 由正方形的性质可得至少将图形绕中心旋转，
才能旋转后与自身重合．
故答案为：
故答案为：B．
【分析】利用正方形的性质以及旋转的特征求出旋转角度即可.
5．【答案】C
【知识点】点到直线的距离；平行线之间的距离；分类讨论
【解析】【解答】解：①当直线在直线、外时，如图，
∵与之间的距离为，与之间的距离为，
∴与之间的距离为：；
∴直线上任意一点到直线的距离是；
②当直线在直线、之间时，如图，
∵与之间的距离为，与之间的距离为，
∴与之间的距离为：；
∴直线上任意一点到直线的距离是；
综上，与之间的距离为或，
故答案为：C．
【分析】分类讨论：①当直线在直线、外时，②当直线在直线、之间时，先分别画出图形，再利用线段之间的距离公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用单项式乘单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方及合并同类项的计算方法分析求解即可.
7．【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；同类项的概念
【解析】【解答】解：∵单项式和是同类项，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用同类项的定义可得，求出m、n的值，再将其代入计算即可.
8．【答案】C
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：A、甲景区的游客人数在前8个月间逐渐减少，原说法正确，不符合题意；
B、乙景区的游客在1－4月间呈上升趋势，4－6月间呈下降趋势，原说法正确，不符合题意；
C、由统计图，并不能得到9月份乙景区的游客数量一定比甲景区多，原说法错误，符合题意；
D、前8个月两个景区的游客数量之差，1月份最大，8月份最小，原说法正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据折线统计图中的数据逐项分析判断即可.
9．【答案】D
【知识点】垂线的概念；翻折变换（折叠问题）；三角形的中线
【解析】【解答】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线；
②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线；
③折叠使和重合，且折痕过点，则：折痕即为边上的高；
故答案为：D．
【分析】先根据题干中的折叠步骤分析，再利用三角形的高的定义（过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，这个点与垂足之间的线段叫做三角形的高）分析求解即可.
10．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；二元一次方程组的应用-古代数学问题；列一元一次方程；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 选项①：
设合伙人有人，每人出9钱时多11钱，鸡价应为；
每人出6钱时少16钱，鸡价应为，
正确方程应为，
但选项①写为，符号错误，故①错误；
选项②：
设人数为，鸡价为。根据题意：
每人出9钱时，总钱数多11钱，得；
每人出6钱时，总钱数少16钱，得；方程组正确，故②正确；
选项③：
设鸡价为，根据人数相等：
每人出9钱时，人数为；
每人出6钱时，人数为；
由人数相等得，方程正确，故③正确；
综上，②③正确，
故答案为：B.
【分析】结合选项中的设法，找出题干中的“等量关系”分别列出方程并判断即可.
11．【答案】C
【知识点】轴对称的性质；旋转的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：（1）①是线段关于直线的对称图形，说法正确，
如图，
（2）②③都是线段绕着点旋转而成的图形，说法正确；
如图，
（3）③是线段通过平移得到的图形，说法正确；
如图，
（4）④可能通过线段旋转得到，说法错误；
∴正确的说法有3个；
故答案为：C.
【分析】利用轴对称图形的定义、旋转对称图形的定义以及平移图形的特征逐项分析判断即可.
12．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设龙舟在静水中的划速为，水流速度为，
初始阶段：
桨板掉落瞬间，龙舟继续逆流划行分钟，
龙舟逆流划行距离：，
桨板顺流漂移距离：，
两者间总距离：，
追赶阶段：
龙舟调头后顺流速度为，桨板速度为，
相对速度：，
追赶时间：分钟，
综上，龙舟调头后需分钟追上桨板，
故答案为：B.
【分析】设龙舟在静水中的划速为，水流速度为，先求出龙舟调头后顺流速度为，桨板速度为，再结合相对速度：，最后求出时间即可.
13．【答案】欢
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：根据正方体的展开图可得：要使剩余的个小正方形折叠后能围成一个正方体，应剪去标记为“欢”的小正方形．
故答案为：欢．
【分析】利用正方体展开图的特征分析求解即可.
14．【答案】2
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
∵且，
∴原式；
故答案为：2．
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再将且代入计算即可.
15．【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴的值可以为或或或，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据，求出，再结合为正整数求解即可.
16．【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：∵，
∴接水顺序为丙、乙、甲时符合题意
丙接水时间为秒，此时乙和甲都需要等待秒，丙自己不需要等待，丙的总用时就是秒．
乙接水时间为秒，乙等待了丙接水的秒，乙的总用时为秒．
甲接水时间为秒，甲等待了丙接水的秒和乙接水的秒，甲的总用时为秒．
∴三人所用时间之和为秒，
故答案为：．
【分析】先分别求出丙的总用时就是秒，乙的总用时为秒，甲的总用时为秒，再求出总时间即可.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数混合运算法则（含乘方）；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可；
（2）先利用二次根式的性质和立方根的性质化简，再计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
；
18．【答案】解：（1）选择与组成不等式组，
解不等式，得出，
解不等式，得出，
所以不等式组的解集为；
选择与组成不等式组，
解不等式，得出，
解不等式，得出，
所以不等式组的解集为；
选择与组成不等式组，
解不等式，得出，
解不等式，得出，
所以不等式组的解集为；
（2）
因为，，，
所以，，
所以，，
所以原式．
【知识点】平方差公式及应用；解一元一次不等式组；偶次方的非负性；绝对值的非负性；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先组成不等式组，再利用不等式组的计算方法分析求解即可；
（2）先利用整式的混合运算化简，再求出x、y的值，最后将其代入计算即可.
19．【答案】（1）抽样调查，100；
（2）解：选择“C（沿河空心李）”的人数为（人），补全条形统计图如下：
（3）解：先将七年级20个班，每班50名学生，从1到1000进行编号；然后利用计算器或计算机生成1到1000之间的随机整数；每产生一个随机整数，就对应编号的学生被选中，重复的随机数跳过，直到抽取到所需数量（如已抽取 100 人）的学生为止．这样能保证七年级每个学生被选到的机会均等．
【知识点】全面调查与抽样调查；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：课外实践小组为了帮助学校餐厅了解学校七年级学生（七年级共20个班，每班50人）最喜爱的水果作为进货依据，抽取了部分学生进行问卷调查，属于抽样调查．
本次调查的学生人数为（人），
故答案为：抽样调查，100.
【分析】（1）利用抽样调查的定义及特征（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查）求解，再利用“B”的人数除以对定义的百分比可得总人数；
（2）先求出“C”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）利用条形统计图和扇形统计图中的数据分析求解即可.
（1）解：课外实践小组为了帮助学校餐厅了解学校七年级学生（七年级共20个班，每班50人）最喜爱的水果作为进货依据，抽取了部分学生进行问卷调查，属于抽样调查．
本次调查的学生人数为（人），
故答案为：抽样调查，100；
（2）解：选择“C（沿河空心李）”的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：先将七年级20个班，每班50名学生，从1到1000进行编号；然后利用计算器或计算机生成1到1000之间的随机整数；每产生一个随机整数，就对应编号的学生被选中，重复的随机数跳过，直到抽取到所需数量（如已抽取 100 人）的学生为止．这样能保证七年级每个学生被选到的机会均等．
20．【答案】（1）
（2）解：，
，
，
.
（3）解：且，
，
，
．
【知识点】角的运算；垂线的概念；邻补角
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴的余角有：；
故答案为：.
【分析】（1）利用余角的定义分析求解即可；
（2）先利用角的运算求出∠AOC的度数，再利用邻补角求出∠AOD的度数即可；
（3）先求出，再利用角的运算求出∠COE的度数即可.
（1）∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴的余角有：；
故答案为：；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：且，
，
，
．
21．【答案】（1）解：
由①+②，可得，
∵与互为相反数，
∴，解得，
即的值为.
（2）解：
由①可得，
把③代入②，得，解得
把代入③，可得
∵，
∴，
解得．
【知识点】解一元一次不等式；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消消元法可得，再结合“ 方程组中的与互为相反数 ”可得，最后求出a的值即可；
（2）先求出方程组的解，再结合“”可得，最后求出a的取值范围即可.
（1）解：
由①+②，可得，
∵与互为相反数，
∴，解得，
即的值为；
（2）解：
由①可得，
把③代入②，得，解得
把代入③，可得
∵，
∴，解得．
22．【答案】（1）
（2）解：图中，用边长为的正方形的面积减去边长为的正方形等于个长宽分别、的矩形面积，
∴，
故答案为：．
（3）解：由（2）得，
∴，
把，代入得，
则．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：阴影部分为边长为，
故答案为：．
【分析】（1）结合图形利用线段的和差求出边长即可；
（2）利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得等式；
（3）先求出，再将，代入求解即可.
（1）解：阴影部分为边长为，
故答案为：．
（2）解：图中，用边长为的正方形的面积减去边长为的正方形等于个长宽分别、的矩形面积，
∴，
故答案为：．
（3）解：由（2）得，
∴，
把，代入得，
则．
23．【答案】（1），；
（2）设长方形长为，宽为，
由题意可得，
整理得，
解得（负值舍去），
∴长方形长为，宽为，
∵，
∴，
∴长方形的长比大正方形的边长大，
∴不能裁剪出满足条件的长方形；
（3）裁剪和拼接如下图：
∵由5个边长为1的小正方形组成的长方形纸片，分割这张纸片拼接成一个大正方形，
∴大正方形面积为5，
∴所得大正方形的边长为．
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵大正方形的面积是，
∴大正方形纸片的边长是，小正方形的面积为，
∴小正方形的边长为，
故答案为：，.
【分析】（1）利用大正方形的面积公式及算术平方根的计算方法求出边长，再求出小正方形的边即可；
（2）设长方形长为，宽为，再结合“长方形的面积为”列出方程求解即可；
（3）先画出符合题意的图形，再求解即可.
24．【答案】（1）解：设甲级买了kg，乙级买了kg，
依题意得：，
解得：．
答：甲级买了6kg，乙级买了4kg．
（2）解：设陈老师购买了元的商品，
当时，去商户购物更划算；
当时，
在商户购买需付金额为元，
在商户购买需付金额为元，
当时，，
当时，去商户购物更划算；
当时，，
当时，去两家商户购物花费相同；
当时，，
当时，去商户购物更划算．
答：当购物金额不足元时，去商户购物更划算；当购物金额为元时，去两家商户购物花费相同；当购物金额超过元时，去商户购物更划算．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲级买了kg，乙级买了kg，利用“ 买了甲、乙两种等级的枇杷共10kg ”和“ 甲级枇杷每千克12元．乙级枇杷每千克8元，总共花费了104元 ”列出方程组求解即可；
（2）设陈老师购买了元的商品，再分别求出在A、B商场需要的费用，再求解即可.
（1）解：设甲级买了kg，乙级买了kg，依题意得：，
解得：．
答：甲级买了6kg，乙级买了4kg．
（2）解：设陈老师购买了元的商品，
当时，去商户购物更划算；
当时，
在商户购买需付金额为元，
在商户购买需付金额为元，
当时，，
当时，去商户购物更划算；
当时，，
当时，去两家商户购物花费相同；
当时，，
当时，去商户购物更划算．
答：当购物金额不足元时，去商户购物更划算；当购物金额为元时，去两家商户购物花费相同；当购物金额超过元时，去商户购物更划算．
25．【答案】（1）解：，，
∴．
平分，
．
∵，
．
（2）解：如图，当时，
∴，
则旋转了秒，
当时，
∴，
则旋转了秒，
综上可知，当和平行时，旋转了秒或秒；
（3）5或23．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）由（1）知，，
．
如备用图1，当与共线前，
，
，
，
解得；
如备用图2，当与共线后，
，
，
，
解得；
综上可知，t的值为5或23．
【分析】（1）先利用平行线的性质求出，再利用角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质可得；
（2）分类讨论：①当时，②当时，先分别画出图形，再利用角的运算求解即可；
（3）分类讨论：①当与共线前，②当与共线后，先分别画出图形，再利用角的运算求解即可.
（1）解：，，
∴．
平分，
．
∵，
．
（2）如图，当时，
∴，
则旋转了秒，
当时，
∴，
则旋转了秒，
综上可知，当和平行时，旋转了秒或秒；
（3）由（1）知，，
．
如备用图1，当与共线前，
，
，
，
解得；
如备用图2，当与共线后，
，
，
，
解得；
综上可知，t的值为5或23．
1 / 1贵州省铜仁市2024—2025学年下学期期末考试七年级数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分．以下每小题均有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答）
1．《国语 楚语》有云：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．里里外外皆均衡妥帖，方为“美”，对称即是这样的美．下列航空公司的标志是轴对称图形的是（　　）
A．贵州航空 B．中国南方航空
C．江西航空 D．中国国际航空
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．下列各实数中，最大的数是（　　）
A．2 B． C． D．0
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴这四个实数中最大的数是．
故答案为：A．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．，原式计算错误，故选项不符合题意；
B．，原式计算错误，故选项不符合题意；
C．，原式计算正确，故选项符合题意；
D．，原式计算错误，故选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用算术平方根、立方根、二次根式的性质以及实数绝对值的计算方法逐项分析判断即可.
4．如图是贵州苗族刺绣纹样，若将它绕其中心旋转一定角度后能够与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解： 由正方形的性质可得至少将图形绕中心旋转，
才能旋转后与自身重合．
故答案为：
故答案为：B．
【分析】利用正方形的性质以及旋转的特征求出旋转角度即可.
5．在同一平面内，，，是三条互相平行的直线，已知与之间的距离为，与之间的距离为1，则直线上任意一点到直线的距离是（　　）
A．4 B．6 C．4或6 D．无法确定
【答案】C
【知识点】点到直线的距离；平行线之间的距离；分类讨论
【解析】【解答】解：①当直线在直线、外时，如图，
∵与之间的距离为，与之间的距离为，
∴与之间的距离为：；
∴直线上任意一点到直线的距离是；
②当直线在直线、之间时，如图，
∵与之间的距离为，与之间的距离为，
∴与之间的距离为：；
∴直线上任意一点到直线的距离是；
综上，与之间的距离为或，
故答案为：C．
【分析】分类讨论：①当直线在直线、外时，②当直线在直线、之间时，先分别画出图形，再利用线段之间的距离公式求解即可.
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用单项式乘单项式、同底数幂的乘法、幂的乘方及合并同类项的计算方法分析求解即可.
7．若单项式和是同类项，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；同类项的概念
【解析】【解答】解：∵单项式和是同类项，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用同类项的定义可得，求出m、n的值，再将其代入计算即可.
8．如图，是甲、乙两个景区在1－8月份接纳游客数量情况统计图，根据统计图判断下列结论不正确的是（　　）
A．甲景区的游客人数在前8个月间逐渐减少
B．乙景区的游客在1－4月间呈上升趋势，4－6月间呈下降趋势
C．9月份乙景区的游客数量一定比甲景区多
D．前8个月两个景区的游客数量之差，1月份最大，8月份最小
【答案】C
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：A、甲景区的游客人数在前8个月间逐渐减少，原说法正确，不符合题意；
B、乙景区的游客在1－4月间呈上升趋势，4－6月间呈下降趋势，原说法正确，不符合题意；
C、由统计图，并不能得到9月份乙景区的游客数量一定比甲景区多，原说法错误，符合题意；
D、前8个月两个景区的游客数量之差，1月份最大，8月份最小，原说法正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据折线统计图中的数据逐项分析判断即可.
9．如图是一张钝角三角形纸片，妙妙同学想通过折纸的方式完成如下任务：①找出线段的中点；②折出的平分线；③折出点到直线的垂线段．则她只通过折纸就能完成的任务是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】垂线的概念；翻折变换（折叠问题）；三角形的中线
【解析】【解答】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线；
②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线；
③折叠使和重合，且折痕过点，则：折痕即为边上的高；
故答案为：D．
【分析】先根据题干中的折叠步骤分析，再利用三角形的高的定义（过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，这个点与垂足之间的线段叫做三角形的高）分析求解即可.
10．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”题目大意：“几个人合伙买鸡，若每人出9钱，则会多出11钱；若每人出6钱，则还少16钱．问合伙人数、鸡的价格分别是多少？”则下列做法正确的是（　　）
①设合伙人有人，依题意得：；
②设合伙人有人，鸡的价格为钱，依题意得：
③设鸡的价格为钱，依题意得：．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；二元一次方程组的应用-古代数学问题；列一元一次方程；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 选项①：
设合伙人有人，每人出9钱时多11钱，鸡价应为；
每人出6钱时少16钱，鸡价应为，
正确方程应为，
但选项①写为，符号错误，故①错误；
选项②：
设人数为，鸡价为。根据题意：
每人出9钱时，总钱数多11钱，得；
每人出6钱时，总钱数少16钱，得；方程组正确，故②正确；
选项③：
设鸡价为，根据人数相等：
每人出9钱时，人数为；
每人出6钱时，人数为；
由人数相等得，方程正确，故③正确；
综上，②③正确，
故答案为：B.
【分析】结合选项中的设法，找出题干中的“等量关系”分别列出方程并判断即可.
11．如图，有标号为①②③④的四条线段和线段，图中所有线段的端点都在格点即虚线的交点上，以下说法正确的个数有（　　）
（1）①是线段关于直线的对称图形
（2）②③都是线段绕着点旋转而成的图形
（3）③是线段通过平移得到的图形
（4）④不可能通过线段旋转得到
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】轴对称的性质；旋转的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：（1）①是线段关于直线的对称图形，说法正确，
如图，
（2）②③都是线段绕着点旋转而成的图形，说法正确；
如图，
（3）③是线段通过平移得到的图形，说法正确；
如图，
（4）④可能通过线段旋转得到，说法错误；
∴正确的说法有3个；
故答案为：C.
【分析】利用轴对称图形的定义、旋转对称图形的定义以及平移图形的特征逐项分析判断即可.
12．2025年5月30日，“我们的节日·端午”主题文化活动暨中国传统龙舟大赛在贵州铜仁碧江区大明边城龙舟基地开赛．锦江下游的某龙舟队要沿江逆流而上到达指定地点参赛，划行中，龙舟上一只备用桨板不慎掉入江中顺水漂流而下，龙舟又向前划行了分钟才发现，立即调头返回，划行寻找．假设这支龙舟队在静水中的划速与水流的速度保持不变，掉头时间忽略不计，问他们能否追上掉落的桨板？若能，需要追赶多少时间？（　　）
A．不能追上 B．能追上，需用时分钟
C．能追上，需用时分钟 D．条件不足，不能判断
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设龙舟在静水中的划速为，水流速度为，
初始阶段：
桨板掉落瞬间，龙舟继续逆流划行分钟，
龙舟逆流划行距离：，
桨板顺流漂移距离：，
两者间总距离：，
追赶阶段：
龙舟调头后顺流速度为，桨板速度为，
相对速度：，
追赶时间：分钟，
综上，龙舟调头后需分钟追上桨板，
故答案为：B.
【分析】设龙舟在静水中的划速为，水流速度为，先求出龙舟调头后顺流速度为，桨板速度为，再结合相对速度：，最后求出时间即可.
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则剪去的小正方形上的字是　 　．
【答案】欢
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：根据正方体的展开图可得：要使剩余的个小正方形折叠后能围成一个正方体，应剪去标记为“欢”的小正方形．
故答案为：欢．
【分析】利用正方体展开图的特征分析求解即可.
14．若且，则代数式　 　．
【答案】2
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
∵且，
∴原式；
故答案为：2．
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再将且代入计算即可.
15．已知为正整数，且，写出一个满足条件的的值　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴的值可以为或或或，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据，求出，再结合为正整数求解即可.
16．下课后，甲、乙、丙三名同学各拿一个水杯在同一个水龙头前依次接水．已知甲接满一杯水需要秒钟，乙接满一杯水需要秒钟，丙接满一杯水需要秒钟，如果，水龙头出水速度不变．三人运用所学的数学知识结合实际经验，合理安排接水顺序，使得三人都接满一杯水且三人所用时间（包括接水时间和等待时间）之和最少，则这个最少时间是　 　秒．
【答案】
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：∵，
∴接水顺序为丙、乙、甲时符合题意
丙接水时间为秒，此时乙和甲都需要等待秒，丙自己不需要等待，丙的总用时就是秒．
乙接水时间为秒，乙等待了丙接水的秒，乙的总用时为秒．
甲接水时间为秒，甲等待了丙接水的秒和乙接水的秒，甲的总用时为秒．
∴三人所用时间之和为秒，
故答案为：．
【分析】先分别求出丙的总用时就是秒，乙的总用时为秒，甲的总用时为秒，再求出总时间即可.
三、解答题（本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数混合运算法则（含乘方）；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可；
（2）先利用二次根式的性质和立方根的性质化简，再计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
；
18．（1）从以下三个不等式；；中任意选择两个组成一个不等式组，并解这个不等式组．
（2）先化简，再求值：，其中与满足．
【答案】解：（1）选择与组成不等式组，
解不等式，得出，
解不等式，得出，
所以不等式组的解集为；
选择与组成不等式组，
解不等式，得出，
解不等式，得出，
所以不等式组的解集为；
选择与组成不等式组，
解不等式，得出，
解不等式，得出，
所以不等式组的解集为；
（2）
因为，，，
所以，，
所以，，
所以原式．
【知识点】平方差公式及应用；解一元一次不等式组；偶次方的非负性；绝对值的非负性；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先组成不等式组，再利用不等式组的计算方法分析求解即可；
（2）先利用整式的混合运算化简，再求出x、y的值，最后将其代入计算即可.
19．铜仁市的地理环境和气候条件为各种水果的生长提供了优越的自然环境，水果丰富多样，品质优良．课外实践小组为了帮助学校餐厅了解学校七年级学生（七年级共20个班，每班50人）最喜爱的水果作为进货依据，抽取了部分学生进行问卷调查，要求学生必须从“（玉屏黄桃）、（德江猕猴桃）、（沿河空心李）、（万山香柚）”四种类型中选择一项．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）本次调查是______（填“全面调查”或“抽样调查”），调查的学生人数为______人；
（2）补全条形统计图（必须在条形图上方注明人数）；
（3）如果让你完成本次调查，请设计一个抽取学生的方式，并保证七年级每个学生被选到的机会均等．
【答案】（1）抽样调查，100；
（2）解：选择“C（沿河空心李）”的人数为（人），补全条形统计图如下：
（3）解：先将七年级20个班，每班50名学生，从1到1000进行编号；然后利用计算器或计算机生成1到1000之间的随机整数；每产生一个随机整数，就对应编号的学生被选中，重复的随机数跳过，直到抽取到所需数量（如已抽取 100 人）的学生为止．这样能保证七年级每个学生被选到的机会均等．
【知识点】全面调查与抽样调查；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：课外实践小组为了帮助学校餐厅了解学校七年级学生（七年级共20个班，每班50人）最喜爱的水果作为进货依据，抽取了部分学生进行问卷调查，属于抽样调查．
本次调查的学生人数为（人），
故答案为：抽样调查，100.
【分析】（1）利用抽样调查的定义及特征（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查）求解，再利用“B”的人数除以对定义的百分比可得总人数；
（2）先求出“C”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）利用条形统计图和扇形统计图中的数据分析求解即可.
（1）解：课外实践小组为了帮助学校餐厅了解学校七年级学生（七年级共20个班，每班50人）最喜爱的水果作为进货依据，抽取了部分学生进行问卷调查，属于抽样调查．
本次调查的学生人数为（人），
故答案为：抽样调查，100；
（2）解：选择“C（沿河空心李）”的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：先将七年级20个班，每班50名学生，从1到1000进行编号；然后利用计算器或计算机生成1到1000之间的随机整数；每产生一个随机整数，就对应编号的学生被选中，重复的随机数跳过，直到抽取到所需数量（如已抽取 100 人）的学生为止．这样能保证七年级每个学生被选到的机会均等．
20．如图，直线，相交于点，，垂足为．
（1）写出图中的所有余角______；
（2）若，求的度数；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）解：，
，
，
.
（3）解：且，
，
，
．
【知识点】角的运算；垂线的概念；邻补角
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴的余角有：；
故答案为：.
【分析】（1）利用余角的定义分析求解即可；
（2）先利用角的运算求出∠AOC的度数，再利用邻补角求出∠AOD的度数即可；
（3）先求出，再利用角的运算求出∠COE的度数即可.
（1）∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴的余角有：；
故答案为：；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：且，
，
，
．
21．已知方程组
（1）若方程组中的与互为相反数，求的值；
（2）若方程组中的与满足，求的范围．
【答案】（1）解：
由①+②，可得，
∵与互为相反数，
∴，解得，
即的值为.
（2）解：
由①可得，
把③代入②，得，解得
把代入③，可得
∵，
∴，
解得．
【知识点】解一元一次不等式；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消消元法可得，再结合“ 方程组中的与互为相反数 ”可得，最后求出a的值即可；
（2）先求出方程组的解，再结合“”可得，最后求出a的取值范围即可.
（1）解：
由①+②，可得，
∵与互为相反数，
∴，解得，
即的值为；
（2）解：
由①可得，
把③代入②，得，解得
把代入③，可得
∵，
∴，解得．
22．我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回字形”正方形（如图2）．
（1）观察图2，图2中阴影小正方形的边长是______；
（2）请通过求图2中阴影正方形的面积的不同方法探索、、之间的等量关系；
（3）根据（2）中的结论，若，，求的值．
【答案】（1）
（2）解：图中，用边长为的正方形的面积减去边长为的正方形等于个长宽分别、的矩形面积，
∴，
故答案为：．
（3）解：由（2）得，
∴，
把，代入得，
则．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：阴影部分为边长为，
故答案为：．
【分析】（1）结合图形利用线段的和差求出边长即可；
（2）利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得等式；
（3）先求出，再将，代入求解即可.
（1）解：阴影部分为边长为，
故答案为：．
（2）解：图中，用边长为的正方形的面积减去边长为的正方形等于个长宽分别、的矩形面积，
∴，
故答案为：．
（3）解：由（2）得，
∴，
把，代入得，
则．
23．（1）如图1，小明同学用两个大小相同的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．大正方形的面积是，则大正方形纸片的边长是______，小正方形纸片的边长是______；
（2）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长与宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由；
（3）如图2，现有一张由5个边长为1的小正方形组成的长方形纸片，请你尝试分割这张纸片，拼接成一个大正方形，不重叠，且无空隙．如果可以，请在图2左边的纸片上用虚线画出分割方法，并在右边的网格（网格中的小正方形边长都为1）中用实线画出大正方形的拼法，使它的四个顶点均位于网格的格点（即虚线的交点）上，然后求出所得大正方形的边长；如果不可以，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）设长方形长为，宽为，
由题意可得，
整理得，
解得（负值舍去），
∴长方形长为，宽为，
∵，
∴，
∴长方形的长比大正方形的边长大，
∴不能裁剪出满足条件的长方形；
（3）裁剪和拼接如下图：
∵由5个边长为1的小正方形组成的长方形纸片，分割这张纸片拼接成一个大正方形，
∴大正方形面积为5，
∴所得大正方形的边长为．
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵大正方形的面积是，
∴大正方形纸片的边长是，小正方形的面积为，
∴小正方形的边长为，
故答案为：，.
【分析】（1）利用大正方形的面积公式及算术平方根的计算方法求出边长，再求出小正方形的边即可；
（2）设长方形长为，宽为，再结合“长方形的面积为”列出方程求解即可；
（3）先画出符合题意的图形，再求解即可.
24．五月果香漫山野，又是一年枇杷黄．陈老师在水果市场买了甲、乙两种等级的枇杷共10kg，其中甲级枇杷每千克12元．乙级枇杷每千克8元，总共花费了104元，
（1）求出陈老师买了甲、乙两级枇杷各多少？
（2）随着枇杷大量上市，水果市场的，两商户各自推出不同的优惠方案：商户规定，购买超过50元后，超过50元的部分打九折；商户规定，购买超过100元后，超过100元的部分打八折．从购买金额考虑，陈老师去哪家商户购买更划算？
【答案】（1）解：设甲级买了kg，乙级买了kg，
依题意得：，
解得：．
答：甲级买了6kg，乙级买了4kg．
（2）解：设陈老师购买了元的商品，
当时，去商户购物更划算；
当时，
在商户购买需付金额为元，
在商户购买需付金额为元，
当时，，
当时，去商户购物更划算；
当时，，
当时，去两家商户购物花费相同；
当时，，
当时，去商户购物更划算．
答：当购物金额不足元时，去商户购物更划算；当购物金额为元时，去两家商户购物花费相同；当购物金额超过元时，去商户购物更划算．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲级买了kg，乙级买了kg，利用“ 买了甲、乙两种等级的枇杷共10kg ”和“ 甲级枇杷每千克12元．乙级枇杷每千克8元，总共花费了104元 ”列出方程组求解即可；
（2）设陈老师购买了元的商品，再分别求出在A、B商场需要的费用，再求解即可.
（1）解：设甲级买了kg，乙级买了kg，依题意得：，
解得：．
答：甲级买了6kg，乙级买了4kg．
（2）解：设陈老师购买了元的商品，
当时，去商户购物更划算；
当时，
在商户购买需付金额为元，
在商户购买需付金额为元，
当时，，
当时，去商户购物更划算；
当时，，
当时，去两家商户购物花费相同；
当时，，
当时，去商户购物更划算．
答：当购物金额不足元时，去商户购物更划算；当购物金额为元时，去两家商户购物花费相同；当购物金额超过元时，去商户购物更划算．
25．已知直线，点和点分别在直线和上，，射线平分交于点．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，若射线绕点以每秒的速度顺时针旋转一个周角，问当和平行时，旋转了多长时间？
（3）若射线绕点以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点以每秒转动的速度逆时针旋转，当转动结束时也随即停止转动．在转动过程中，当和平行时，设转动时间为秒，请直接写出的值．
【答案】（1）解：，，
∴．
平分，
．
∵，
．
（2）解：如图，当时，
∴，
则旋转了秒，
当时，
∴，
则旋转了秒，
综上可知，当和平行时，旋转了秒或秒；
（3）5或23．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：（3）由（1）知，，
．
如备用图1，当与共线前，
，
，
，
解得；
如备用图2，当与共线后，
，
，
，
解得；
综上可知，t的值为5或23．
【分析】（1）先利用平行线的性质求出，再利用角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质可得；
（2）分类讨论：①当时，②当时，先分别画出图形，再利用角的运算求解即可；
（3）分类讨论：①当与共线前，②当与共线后，先分别画出图形，再利用角的运算求解即可.
（1）解：，，
∴．
平分，
．
∵，
．
（2）如图，当时，
∴，
则旋转了秒，
当时，
∴，
则旋转了秒，
综上可知，当和平行时，旋转了秒或秒；
（3）由（1）知，，
．
如备用图1，当与共线前，
，
，
，
解得；
如备用图2，当与共线后，
，
，
，
解得；
综上可知，t的值为5或23．
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