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广东省惠州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1．已知复数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】本题考查复数的除法运算，核心是通过乘以分母的共轭复数进行化简。
2．已知，若，则实数（　　）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意得，向量，则，
因为，可得，解得．
故答案为：C.
【分析】本题考查向量垂直的坐标运算，核心是先求出的坐标，再利用向量垂直的条件建立方程求解。
3．某班有男生人，女生人，现在要用性别比例分配的分层随机抽样方法从该班中抽取人参加跳绳比赛，则男生被抽取的人数为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：设男生被抽取的人数为，则，解得.
故答案为：C.
【分析】本题考查分层抽样的计算，核心是利用各层抽样比例相同的特点求解男生抽取人数。
4．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图扇形的圆心角为，
则，
因为圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，
所以，即，所以.
则该圆锥的侧面积为
故答案为：A.
【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，核心是利用侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长求出母线长，再用侧面积公式求解。
5．位于灯塔处正西方相距海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的最短距离是 （　　）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】B
【知识点】余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，画出示意图如下，由题意得，，
由余弦定理得
.
所以，则乙船航行的距离为海里.
故答案为：B.
【分析】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，核心是根据方位角确定的度数，再利用余弦定理计算BC的长度。
6．如图，某几何体可看成是个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的倍，若几何体I、II、III的高之比分别为，则几何体I、II、III的体积之比为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】柱体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设直棱柱I的底面积为，高为，则棱台II的上底面面积为，下底面面积为，高为，
棱台III的上底面面积为，下底面面积为，高为，
设几何体I、II、III的体积分别为、、，
则，，
，
因此，.
故答案为：C.
【分析】本题考查棱柱与棱台的体积公式应用，核心是先设出各几何体的底面积与高，再分别计算体积并求比值。
7．如图，在△ABC中，过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设其中m，n>0， 则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：，
因为，，所以，
又三点共线，所以，即，且，
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：C
【分析】本题考查向量共线定理与基本不等式的综合应用，核心是先利用向量关系得出m与n的线性约束条件，再通过“乘1法”结合基本不等式求最值。
8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.在费马提到的这个问题中所求的点被称为费马点，其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点.已知、、分别是的内角、、所对的边， 且，，若为的费马点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，即，
由余弦定理可得，故，
即，即，
因为，由正弦定理可得，
因为、，则，故，，
所以，化简得，故，所以，
所以，可得，
故，
所以
，
故，
故
.
故答案为：A.
【分析】本题考查费马点性质、解三角形与向量数量积，核心是先通过三角恒等变换和余弦定理求出角A和bc的值，再利用费马点性质与面积法求解向量数量积。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分.
9．若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是 （　　）
A．
B．的模为
C．在复平面内对应的点位于第四象限
D．
【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】A，因为，，A正确；
B，，则，B错误；
C，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，C正确；
D，，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：利用复数除法化简，求出并判断；B：根据共轭复数的定义求，再用模长公式计算；C：根据复数的几何意义，判断在复平面内对应的点所在的象限；D：利用复数的运算法则计算并判断。
10．下列说法中正确的是（　　）
A．数据、、、、、、、、、的下四分位数为
B．若、为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥
C．设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和，若，则、、、、、 的平均数和方差分别为和
D．已知，，且，则
【答案】A,C
【知识点】极差、方差与标准差；概率的基本性质；互斥事件与对立事件；事件的混合运算；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】A，，故数据、、、、、、、、、的下四分位数为，A正确；
B，若事件、互斥且不对立，如下图所示：
则，即的对立事件与的对立事件不一定互斥，B错误；
C，设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和，若，则、、、、、的平均数为，方差为，C正确；
D，若，则，故，D错误.
故答案为：AC.
【分析】A：利用百分位数的定义计算下四分位数；B：通过韦恩图分析互斥事件的对立事件是否一定互斥；C：利用平均数和方差的性质，计算线性变换后数据的平均数和方差；D：根据事件的包含关系，判断P(AB)的值。
11．如图，在棱长为的正方体 中，为棱的中点，点满足 ，则下列说法中正确的是 （　　）
A．平面
B．若平面，则动点的轨迹长度为
C．若，则四面体的体积为定值
D．平面截正方体的截面面积为
【答案】B,C,D
【知识点】共线（平行）向量；棱柱的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A，如图1所示：
假设平面，因平面则①；
因为四边形为正方形，可得，
又因为平面，平面，则，
又因为，、平面，故平面，
因平面，故②，
又因为，、平面，所以由①②可得平面，
显然该结论不成立，故错误；
B，分别取、中点、，连接、、，如图2所示：
因为，，、分别为、的中点，所以，，
则四边形为平行四边形，，，
又因为，，所以，
即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，故平面③，
因为、分别为、的中点，所以，
因为，，故四边形为平行四边形，则，故，
因为平面，平面，所以平面④，
因为，、平面，
由③④可得平面平面，
而平面，则点在平面内，而点又在平面内，
故点的轨迹为线段，
其长度为，故B正确；
C、，，，
因为，，即，
所以，
即，即，故、、三点共线，
所以点在上，而，且平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，
所以四面体的体积为定值，故正确；
D、取的中点，连接、，如图3所示：
因为、分别为、的中点，故，
又因为，故，
且，
由勾股定理可得，
，
所以，
因为，故，
故，
因为，故，
所以，
因此，平面截正方体的截面面积为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用反证法，假设结论成立，经过推理得到平面，与事实矛盾即可判断A；分别取、中点、，连接、、，利用动线构造平面平面与平面平行，即可判断点的轨迹为线段，求出其长度即可判断B；由推理得到、、三点共线，而平面，故得四面体的体积为定值即可判断C；取的中点，连接、，分析出截面为梯形，求其面积即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 异面直线AC与A1B所成角的大小为　 　.
【答案】
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图所示，
因为是正方体，
所以.
所以直线与所成角为直线与所成角.
因为为面对角线，所以，
所以为等边三角形，所以.
所以直线与所成角的大小为.
故答案为：
【分析】本题考查正方体中异面直线所成角的计算，核心是通过平移直线，将异面直线所成角转化为平面角来求解。
13．已知向量与的夹角为则在方向上的投影向量的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：，，
由投影向量公式可得：.
故答案为：.
【分析】本题考查向量投影向量的计算，核心是先求出在方向上的投影数量，再乘以方向上的单位向量，得到投影向量的坐标。
14．已知正四面体的棱长为 ，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为 的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为　 　.
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，正四面体在点截去小正四面体，
取中点，连接，过点作⊥平面，则在上，且⊥平面，垂足为，连接，则为正的中心，
大正四面体的外接球球心在高上，设为，连接，则，
因为大正四面体的棱长为，故，解得，
由勾股定理得，
在中，，即，解得，
则大正四面体的外接球半径为6，
若这个八面体的外接球半径为，则截去的小正四面体的棱长最小，
由对称性可知，这个八面体的外接球的球心与正四面体的外接球球心重合，连接，
则，
设截去的小正四面体的棱长为，则，即，
则，故，故高，
所以，
在中，，即，
解得或，
，不合要求，舍去，符合要求，
截去的小正四面体的棱长最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查正四面体的性质与外接球问题，核心是先求出原正四面体的外接球半径，再根据容器半径列出方程，求解截去的小正四面体棱长的最小值。
四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间 （单位： 时） 按照、、、、分成组， 制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）根据频率分布直方图估计样本数据的第百分位数；
（3）根据频率分布直方图，用每组数据区间中点值作代表，估计这名住户上周体育锻炼时间的平均值.
【答案】（1）解：在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为，
可得，解得.
（2）解：前三个矩形的面积之和为，
前四个矩形的面积之和为，
设样本数据的第百分位数为，则，
由百分位数的定义可得，解得.
（3）解：由频率分布直方图可知，样本的平均数为.
估计这名住户上周体育锻炼时间的平均值为小时.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 利用频率分布直方图的性质（所有矩形面积和为1）求参数a；
(2) 根据百分位数的定义，通过累计频率确定第80百分位数；
(3) 利用每组区间中点值乘以对应频率，求和计算平均值。
（1）在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为，
可得，解得.
（2）前三个矩形的面积之和为，
前四个矩形的面积之和为，
设样本数据的第百分位数为，则，
由百分位数的定义可得，解得.
（3）由频率分布直方图可知，样本的平均数为.
估计这名住户上周体育锻炼时间的平均值为小时.
16．在中，已知a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边， 记 且 .
（1）求角C；
（2）若 求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
所以，化简得，
利用正弦定理得，
因为，所以，
所以，因为，所以.
又，所以.
（2）解：根据正弦定理，所以，
同理.
所以.
因为，所以，所以.
所以的取值范围为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形
【解析】【分析】(1) 利用向量平行的坐标表示结合正弦定理、三角恒等变换求角C；
(2) 由正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角函数的取值范围求2b a的范围。
（1）因为，
所以，化简得，
利用正弦定理得，
因为，所以，
所以，因为，所以.
又，所以.
（2）根据正弦定理，所以，
同理.
所以.
因为，所以，所以.
所以的取值范围为.
17．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A、B两部门的员工参加DeepSeek培训.
（1）已知该公司A、B部门分别有3名领导，此次DeepSeek培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，求全部来自A部门领导的概率；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 ，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率.
【答案】（1）解：记部门的3名领导为，部门的3名领导为，
从6名部门领导中随机选取2人负责，不同结果有：
，共15种，
选取2人全部来自A部门领导的事件，不同结果有：，共3种，
所以全部来自A部门领导的概率为.
（2）解：记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），则，，
依题意，
，
所以每位员工经过培训合格的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1) 利用古典概型，计算从6名领导中选2人且全部来自A部门的概率；
(2) 利用独立事件的概率公式，计算至少两轮培训达到 “优秀” 的概率。
（1）记部门的3名领导为，部门的3名领导为，
从6名部门领导中随机选取2人负责，不同结果有：
，共15种，
选取2人全部来自A部门领导的事件，不同结果有：，共3种，
所以全部来自A部门领导的概率为.
（2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
则，，
依题意，
，
所以每位员工经过培训合格的概率为.
18．如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，为的中点，且， 是上异于、的点，是的中点.
（1）证明：平面
（2）若圆的半径为， 设，
（i）当时， 求二面角的平面角的正切值；
（ii）当在弧上运动时 （不与、重合），证明：点到平面的距离 .
【答案】（1）证明：因为是半圆弧上一点，所以，即，
因为、分别是、的中点，所以，，
因为是等腰直角三角形，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为、平面，，所以平面.
（2）（i）解：由（1）可知平面，且、平面，故，，
所以，二面角的平面角为，
当时，，
因为为等腰直角三角形，且，则，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，故，
所以，即二面角的平面角的正切值为；
（ii）证明：过点在平面内作交于点，如图所示，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
由（ⅰ）知，
当时，，则，
所以，
由等腰三角形得，，
因为平面，平面，所以，
所以，
在中，，，
所以，
又因为，
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线和；
(2) (i) 找到二面角的平面角， 求出、的长，即可求出的正切值，即为所求 ；
(ii) 利用等体积法证明点到平面的距离公式。
（1）因为是半圆弧上一点，所以，即，
因为、分别是、的中点，所以，，
因为是等腰直角三角形，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为、平面，，所以平面.
（2）（i）由（1）可知平面，且、平面，故，，
所以，二面角的平面角为，
当时，，
因为为等腰直角三角形，且，则，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，故，
所以，即二面角的平面角的正切值为；
（ii）过点在平面内作交于点，如图所示，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
由（ⅰ）知，
当时，，则，
所以，
由等腰三角形得，，
因为平面，平面，所以，
所以，
在中，，，
所以，
又因为，
所以.
19．将所有平面向量组成的集合记作.如果对于向量. ，存在唯一的向量 与之对应，其中坐标、由、确定，则把这种对应关系记为. 或者 简记为.例如就是一种对应关系.若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值，
（1）如果，求；
（2）如果，计算的特征值，并求相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可）
（3）若，要使有唯一的特征值，实数、、、应满足什么条件 试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件.
【答案】（1）解：由题意得，所以，当时，，最大值也为，所以．
（2）解：由，可得：，
上述两个 相加得，解得．
当时，解方程组，此时这两个方程是同一个方程，
所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且．
（3）解：由，可得．
因为、都不为，从而向量与平行，
所以存在实数满足，即．
要使存在且唯一，则、、、应满足：．
当时，有唯一的特征值，且．具体证明为：
由的定义可知：，所以为特征值．
此时，，，满足：，所以有唯一的特征值．
在的条件下，从而有．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的综合题
【解析】【分析】(1) 先计算，再根据的条件求最大值，得到；
(2) 由特征值定义列方程组求解特征值及对应的向量；
(3) 利用，可得，进而可得，进而可证明当时，有唯一的特征值，且．
（1）由题意，所以，当时，，最大值也为，所以．
（2）由，可得：，
上述两个 相加得，解得．
当时，解方程组，此时这两个方程是同一个方程，
所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且．
（3）由，可得．
因为、都不为，从而向量与平行，
所以存在实数满足，即．
要使存在且唯一，则、、、应满足：．
当时，有唯一的特征值，且．具体证明为：
由的定义可知：，所以为特征值．
此时，，，满足：，所以有唯一的特征值．
在的条件下，从而有．
1 / 1广东省惠州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1．已知复数，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知，若，则实数（　　）
A． B．2 C． D．1
3．某班有男生人，女生人，现在要用性别比例分配的分层随机抽样方法从该班中抽取人参加跳绳比赛，则男生被抽取的人数为 （　　）
A． B． C． D．
4．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
5．位于灯塔处正西方相距海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的最短距离是 （　　）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
6．如图，某几何体可看成是个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的倍，若几何体I、II、III的高之比分别为，则几何体I、II、III的体积之比为 （　　）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设其中m，n>0， 则的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.在费马提到的这个问题中所求的点被称为费马点，其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点.已知、、分别是的内角、、所对的边， 且，，若为的费马点，则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分.
9．若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是 （　　）
A．
B．的模为
C．在复平面内对应的点位于第四象限
D．
10．下列说法中正确的是（　　）
A．数据、、、、、、、、、的下四分位数为
B．若、为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥
C．设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和，若，则、、、、、 的平均数和方差分别为和
D．已知，，且，则
11．如图，在棱长为的正方体 中，为棱的中点，点满足 ，则下列说法中正确的是 （　　）
A．平面
B．若平面，则动点的轨迹长度为
C．若，则四面体的体积为定值
D．平面截正方体的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 异面直线AC与A1B所成角的大小为　 　.
13．已知向量与的夹角为则在方向上的投影向量的坐标为　 　.
14．已知正四面体的棱长为 ，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为 的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为　 　.
四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间 （单位： 时） 按照、、、、分成组， 制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）根据频率分布直方图估计样本数据的第百分位数；
（3）根据频率分布直方图，用每组数据区间中点值作代表，估计这名住户上周体育锻炼时间的平均值.
16．在中，已知a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边， 记 且 .
（1）求角C；
（2）若 求的取值范围.
17．DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A、B两部门的员工参加DeepSeek培训.
（1）已知该公司A、B部门分别有3名领导，此次DeepSeek培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，求全部来自A部门领导的概率；
（2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 ，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率.
18．如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，为的中点，且， 是上异于、的点，是的中点.
（1）证明：平面
（2）若圆的半径为， 设，
（i）当时， 求二面角的平面角的正切值；
（ii）当在弧上运动时 （不与、重合），证明：点到平面的距离 .
19．将所有平面向量组成的集合记作.如果对于向量. ，存在唯一的向量 与之对应，其中坐标、由、确定，则把这种对应关系记为. 或者 简记为.例如就是一种对应关系.若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值，
（1）如果，求；
（2）如果，计算的特征值，并求相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可）
（3）若，要使有唯一的特征值，实数、、、应满足什么条件 试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】本题考查复数的除法运算，核心是通过乘以分母的共轭复数进行化简。
2．【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意得，向量，则，
因为，可得，解得．
故答案为：C.
【分析】本题考查向量垂直的坐标运算，核心是先求出的坐标，再利用向量垂直的条件建立方程求解。
3．【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：设男生被抽取的人数为，则，解得.
故答案为：C.
【分析】本题考查分层抽样的计算，核心是利用各层抽样比例相同的特点求解男生抽取人数。
4．【答案】A
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图扇形的圆心角为，
则，
因为圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，
所以，即，所以.
则该圆锥的侧面积为
故答案为：A.
【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，核心是利用侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长求出母线长，再用侧面积公式求解。
5．【答案】B
【知识点】余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，画出示意图如下，由题意得，，
由余弦定理得
.
所以，则乙船航行的距离为海里.
故答案为：B.
【分析】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，核心是根据方位角确定的度数，再利用余弦定理计算BC的长度。
6．【答案】C
【知识点】柱体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设直棱柱I的底面积为，高为，则棱台II的上底面面积为，下底面面积为，高为，
棱台III的上底面面积为，下底面面积为，高为，
设几何体I、II、III的体积分别为、、，
则，，
，
因此，.
故答案为：C.
【分析】本题考查棱柱与棱台的体积公式应用，核心是先设出各几何体的底面积与高，再分别计算体积并求比值。
7．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：，
因为，，所以，
又三点共线，所以，即，且，
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：C
【分析】本题考查向量共线定理与基本不等式的综合应用，核心是先利用向量关系得出m与n的线性约束条件，再通过“乘1法”结合基本不等式求最值。
8．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，即，
由余弦定理可得，故，
即，即，
因为，由正弦定理可得，
因为、，则，故，，
所以，化简得，故，所以，
所以，可得，
故，
所以
，
故，
故
.
故答案为：A.
【分析】本题考查费马点性质、解三角形与向量数量积，核心是先通过三角恒等变换和余弦定理求出角A和bc的值，再利用费马点性质与面积法求解向量数量积。
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】A，因为，，A正确；
B，，则，B错误；
C，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，C正确；
D，，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：利用复数除法化简，求出并判断；B：根据共轭复数的定义求，再用模长公式计算；C：根据复数的几何意义，判断在复平面内对应的点所在的象限；D：利用复数的运算法则计算并判断。
10．【答案】A,C
【知识点】极差、方差与标准差；概率的基本性质；互斥事件与对立事件；事件的混合运算；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】A，，故数据、、、、、、、、、的下四分位数为，A正确；
B，若事件、互斥且不对立，如下图所示：
则，即的对立事件与的对立事件不一定互斥，B错误；
C，设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和，若，则、、、、、的平均数为，方差为，C正确；
D，若，则，故，D错误.
故答案为：AC.
【分析】A：利用百分位数的定义计算下四分位数；B：通过韦恩图分析互斥事件的对立事件是否一定互斥；C：利用平均数和方差的性质，计算线性变换后数据的平均数和方差；D：根据事件的包含关系，判断P(AB)的值。
11．【答案】B,C,D
【知识点】共线（平行）向量；棱柱的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A，如图1所示：
假设平面，因平面则①；
因为四边形为正方形，可得，
又因为平面，平面，则，
又因为，、平面，故平面，
因平面，故②，
又因为，、平面，所以由①②可得平面，
显然该结论不成立，故错误；
B，分别取、中点、，连接、、，如图2所示：
因为，，、分别为、的中点，所以，，
则四边形为平行四边形，，，
又因为，，所以，
即四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，故平面③，
因为、分别为、的中点，所以，
因为，，故四边形为平行四边形，则，故，
因为平面，平面，所以平面④，
因为，、平面，
由③④可得平面平面，
而平面，则点在平面内，而点又在平面内，
故点的轨迹为线段，
其长度为，故B正确；
C、，，，
因为，，即，
所以，
即，即，故、、三点共线，
所以点在上，而，且平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，
所以四面体的体积为定值，故正确；
D、取的中点，连接、，如图3所示：
因为、分别为、的中点，故，
又因为，故，
且，
由勾股定理可得，
，
所以，
因为，故，
故，
因为，故，
所以，
因此，平面截正方体的截面面积为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用反证法，假设结论成立，经过推理得到平面，与事实矛盾即可判断A；分别取、中点、，连接、、，利用动线构造平面平面与平面平行，即可判断点的轨迹为线段，求出其长度即可判断B；由推理得到、、三点共线，而平面，故得四面体的体积为定值即可判断C；取的中点，连接、，分析出截面为梯形，求其面积即可判断D.
12．【答案】
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图所示，
因为是正方体，
所以.
所以直线与所成角为直线与所成角.
因为为面对角线，所以，
所以为等边三角形，所以.
所以直线与所成角的大小为.
故答案为：
【分析】本题考查正方体中异面直线所成角的计算，核心是通过平移直线，将异面直线所成角转化为平面角来求解。
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：，，
由投影向量公式可得：.
故答案为：.
【分析】本题考查向量投影向量的计算，核心是先求出在方向上的投影数量，再乘以方向上的单位向量，得到投影向量的坐标。
14．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图，正四面体在点截去小正四面体，
取中点，连接，过点作⊥平面，则在上，且⊥平面，垂足为，连接，则为正的中心，
大正四面体的外接球球心在高上，设为，连接，则，
因为大正四面体的棱长为，故，解得，
由勾股定理得，
在中，，即，解得，
则大正四面体的外接球半径为6，
若这个八面体的外接球半径为，则截去的小正四面体的棱长最小，
由对称性可知，这个八面体的外接球的球心与正四面体的外接球球心重合，连接，
则，
设截去的小正四面体的棱长为，则，即，
则，故，故高，
所以，
在中，，即，
解得或，
，不合要求，舍去，符合要求，
截去的小正四面体的棱长最小值为.
故答案为：.
【分析】本题考查正四面体的性质与外接球问题，核心是先求出原正四面体的外接球半径，再根据容器半径列出方程，求解截去的小正四面体棱长的最小值。
15．【答案】（1）解：在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为，
可得，解得.
（2）解：前三个矩形的面积之和为，
前四个矩形的面积之和为，
设样本数据的第百分位数为，则，
由百分位数的定义可得，解得.
（3）解：由频率分布直方图可知，样本的平均数为.
估计这名住户上周体育锻炼时间的平均值为小时.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1) 利用频率分布直方图的性质（所有矩形面积和为1）求参数a；
(2) 根据百分位数的定义，通过累计频率确定第80百分位数；
(3) 利用每组区间中点值乘以对应频率，求和计算平均值。
（1）在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为，
可得，解得.
（2）前三个矩形的面积之和为，
前四个矩形的面积之和为，
设样本数据的第百分位数为，则，
由百分位数的定义可得，解得.
（3）由频率分布直方图可知，样本的平均数为.
估计这名住户上周体育锻炼时间的平均值为小时.
16．【答案】（1）解：因为，
所以，化简得，
利用正弦定理得，
因为，所以，
所以，因为，所以.
又，所以.
（2）解：根据正弦定理，所以，
同理.
所以.
因为，所以，所以.
所以的取值范围为.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形
【解析】【分析】(1) 利用向量平行的坐标表示结合正弦定理、三角恒等变换求角C；
(2) 由正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角函数的取值范围求2b a的范围。
（1）因为，
所以，化简得，
利用正弦定理得，
因为，所以，
所以，因为，所以.
又，所以.
（2）根据正弦定理，所以，
同理.
所以.
因为，所以，所以.
所以的取值范围为.
17．【答案】（1）解：记部门的3名领导为，部门的3名领导为，
从6名部门领导中随机选取2人负责，不同结果有：
，共15种，
选取2人全部来自A部门领导的事件，不同结果有：，共3种，
所以全部来自A部门领导的概率为.
（2）解：记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），则，，
依题意，
，
所以每位员工经过培训合格的概率为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】(1) 利用古典概型，计算从6名领导中选2人且全部来自A部门的概率；
(2) 利用独立事件的概率公式，计算至少两轮培训达到 “优秀” 的概率。
（1）记部门的3名领导为，部门的3名领导为，
从6名部门领导中随机选取2人负责，不同结果有：
，共15种，
选取2人全部来自A部门领导的事件，不同结果有：，共3种，
所以全部来自A部门领导的概率为.
（2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），
则，，
依题意，
，
所以每位员工经过培训合格的概率为.
18．【答案】（1）证明：因为是半圆弧上一点，所以，即，
因为、分别是、的中点，所以，，
因为是等腰直角三角形，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为、平面，，所以平面.
（2）（i）解：由（1）可知平面，且、平面，故，，
所以，二面角的平面角为，
当时，，
因为为等腰直角三角形，且，则，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，故，
所以，即二面角的平面角的正切值为；
（ii）证明：过点在平面内作交于点，如图所示，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
由（ⅰ）知，
当时，，则，
所以，
由等腰三角形得，，
因为平面，平面，所以，
所以，
在中，，，
所以，
又因为，
所以.
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线和；
(2) (i) 找到二面角的平面角， 求出、的长，即可求出的正切值，即为所求 ；
(ii) 利用等体积法证明点到平面的距离公式。
（1）因为是半圆弧上一点，所以，即，
因为、分别是、的中点，所以，，
因为是等腰直角三角形，，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
因为、平面，，所以平面.
（2）（i）由（1）可知平面，且、平面，故，，
所以，二面角的平面角为，
当时，，
因为为等腰直角三角形，且，则，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，故，
所以，即二面角的平面角的正切值为；
（ii）过点在平面内作交于点，如图所示，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
由（ⅰ）知，
当时，，则，
所以，
由等腰三角形得，，
因为平面，平面，所以，
所以，
在中，，，
所以，
又因为，
所以.
19．【答案】（1）解：由题意得，所以，当时，，最大值也为，所以．
（2）解：由，可得：，
上述两个 相加得，解得．
当时，解方程组，此时这两个方程是同一个方程，
所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且．
（3）解：由，可得．
因为、都不为，从而向量与平行，
所以存在实数满足，即．
要使存在且唯一，则、、、应满足：．
当时，有唯一的特征值，且．具体证明为：
由的定义可知：，所以为特征值．
此时，，，满足：，所以有唯一的特征值．
在的条件下，从而有．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的综合题
【解析】【分析】(1) 先计算，再根据的条件求最大值，得到；
(2) 由特征值定义列方程组求解特征值及对应的向量；
(3) 利用，可得，进而可得，进而可证明当时，有唯一的特征值，且．
（1）由题意，所以，当时，，最大值也为，所以．
（2）由，可得：，
上述两个 相加得，解得．
当时，解方程组，此时这两个方程是同一个方程，
所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且．
（3）由，可得．
因为、都不为，从而向量与平行，
所以存在实数满足，即．
要使存在且唯一，则、、、应满足：．
当时，有唯一的特征值，且．具体证明为：
由的定义可知：，所以为特征值．
此时，，，满足：，所以有唯一的特征值．
在的条件下，从而有．
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