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广东省汕头市金平区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑．
1． 下列各数是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：Ａ、Ｃ、Ｄ为有理数，Ａ、Ｃ、Ｄ都错误．
Ｂ、无理数是无限不循环的小数，而π是无限不循环小数，
是无限不循环小数，B正确．
故答案为：Ｂ .
【分析】根据无理数是无限不循环的小数，其中开方开不尽的，含有的，有规律不循环的小数等都是无理数．
2．如图，下列条件中能判断直线的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：，不能判断，故选项A不符合题意；
∵，且当时，，
∴当时，，故选项B不符合题意；
∵，，不能判断，故选项C不符合题意；
与是直线和被第三条直线所截形成的同旁内角，且，
能判断，选项D正确．
故答案为：D．
【分析】本题考查平行线的判定定理应用，需逐一验证选项条件能否推出。A选项无对应平行线判定依据，无法判断；B选项不满足平行线判定的角关系，不能判定；C选项可判定，与无关；D选项与是、被第三条直线所截形成的同旁内角，同旁内角互补可判定两直线平行，因此该条件成立。
3．在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度后得到点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点向下平移2个单位长度后得到点的坐标为；
故答案为：C．
【分析】根据点的平移规律：左右平移—纵坐标不变，横坐标左减右加；上下平移—横坐标不变，纵坐标上加下减。然后再根据点向下平移2个单位长度，则纵坐标减2，即可求解
4．方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由方程①得，
将③代入方程②得，
解得；
将代入③，得；
因此，方程组的解为，
故选：A．
【分析】本题考查二元一次方程组的代入消元法求解，核心是通过变形消去一个未知数。先将第一个方程变形为，再代入第二个方程，先求出的值，最后将的值代回变形式求出，进而得到方程组的解。
5． 若，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式的左右两边同时加，不等号方向不变，成立，A正确．
B、在不等式的左右两边同时乘，不等号方向改变，成立，B正确．
C、在不等式的左右两边同时乘，不等号方向不变，成立，C正确．
D、在不等式的左右两边同时乘方，
不知道、是正数还是负数，
不一定成立，D错误．
故答案为：D
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式现性质可以分别判断A、B、C正确，但是D不知道、是正数还是负数，故不一定成立．
6． 为了解汕头市2025年各区(县)初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，最适合使用的统计图是（　　）
A．折线统计图 B．条形统计图 C．扇形统计图 D．复式条形图
【答案】C
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：根据题目要了解汕头市2025年各区(县)初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，而扇形统计图反映的就是某部分占总体的百分比关系，C正确．
故答案为：C
【分析】本题考查选择合适的统计图，根据不条形统计图、扇形统计图、折线统计图等统计图的意义可以得正确选项．
7．垂直式停车位形状为长方形，若一个停车位长比宽多，周长为，设长为，宽为，则由题意可列得方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设长为，宽为，
则由题意可得，
故选：C．
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，需找准两个等量关系。根据“长比宽多3m”得；根据长方形周长公式，结合周长16m得，联立两式即为所求方程组。
8．某商场停车场出入口折叠拦道闸，可其抽象为如图所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过B作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题考查平行线的性质与垂直定义综合应用，通过作辅助线转化角关系。过点B作，结合得，利用两直线平行，同旁内角互补得两组角和为，再由得，计算得出两角和。
9． 不等式 的最小整数解是 (　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：移项得：，
系数化为1得：，
此不等式的最小整数解为2．
故答案为：B
【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，根据解一元一次不等式的方法和步骤：去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可求解．
10．如图，在正六边形中，，，，，点A在正六边形的边上，一束光从点A发出，经过多次反射（A - B - C - D - E - F）后到达点F，已知由光的反射原理（入射角等于反射角）可得：，根据此原理，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；多边形内角与外角；生活中的轴对称现象；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
在四边形中，．
，，
．
由光的反射原理得：，，，．
在四边形中，，
，，
，
．
在四边形中，，
，，
，
．
同理可得：．
．
故答案为：D．
【分析】本题考查正六边形性质、四边形内角和与光的反射原理综合应用。利用反射角相等，结合四边形内角和为，先在四边形中求，依次推导后续角度，最终求出。
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11．在平面直角坐标系中，点M的坐标是，则点M到x轴的距离是　 　．
【答案】5
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解： 点M的坐标是，点到轴的距离为纵坐标的绝对值，
点到轴的距离为：．
故答案为：5．
【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离规则，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值。点纵坐标为，其绝对值为5，因此距离为5。
12．2025年1月30日(大年正月初二)晚上8点汕头在内海湾举办了“己如意 美美至汕”迎新春大型焰火晚会，吸引近50万观众现场观赏．市民小王也是现场观众之一，如图，他家住P处，观赏地点海滨路可以看成直线l，则小王赶往观赏地点的最近路线是线段，理由是　 　．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：直线外的点与直线上的点A、B、C、D的连线段中，是垂线段．
根据垂线段最短，小王赶往观赏地点的最近路线是线段．
故答案为：垂线段最短
【分析】本题考查垂线段的基本性质，直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，是点到直线的垂线段，因此路线最短。
13． 已知一个正数x的两个平方根分别为3和，则a的值为　 　.
【答案】-1
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：正数的两个平方根分别为3和
解得：
故答案为：-1
【分析】本题考查平方根的概念及表示，根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，再根据互为相反数的数和为0，可列方程解得的值．
14．已知不等式组的解集是2＜x＜3，则关于x的方程ax+b=0的解为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解不等式组得 ，根据不等式组的解集是2＜x＜3，可得2a-1=3，b+1=2，解得a=2，b=1，所以2x+1=0，解得x= .
故答案为：
【分析】本题考查不等式组解集与方程解的综合计算。先解不等式组得，结合已知解集列方程求、，再代入一元一次方程求解。
15．在平面直角坐标系中，有一系列的点其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点，则．若点的坐标为，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；用代数式表示数值变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
．．．．．．．
∴上述坐标4个为一个循环，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题考查点的坐标规律探究。先计算前几个点坐标，找到4个点为一个循环周期，用2025除以周期数，根据余数确定的坐标。
三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)
16．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数混合运算，需依次运用二次根式乘法、绝对值化简、立方根、乘方规则计算。先算二次根式乘法，再化简绝对值，计算立方根与乘方，最后合并同类项得出结果。
17．解方程组：．
【答案】解：
由得：，
由得：
把代入②得：，
解得：．
这个方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法。将第二个方程乘2，使系数相同，两式相减消去，先求，再代回方程求。
18．解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
【答案】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是：．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集.
四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
19．近年来，随着自媒体的兴起，潮汕地区各个非遗项目逐渐广为人知，其中包括被誉为“中华歌舞”的英歌舞、剪纸、潮剧、嵌瓷、抽纱等．某校为了解同学们对非遗项目的喜爱程度，随机抽查部分学生进行调查，把同学们最喜爱的项目分成4类，分别是：A（剪纸），B（英歌舞），C（潮剧），D（其他），将分类的调查结果制成如下两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 ；
（2）补全条形统计图，扇形统计图中表示“D类”的扇形圆心角的度数为 ；
（3）若该校有1000名学生，估计最喜爱英歌舞的学生有多少名？
【答案】（1）50
（2）解：由（1）得本次抽样人数为50人，
类的人数为：（人）
如图，补全条形统计图如下：
（3）解：根据题意得：（人），
答：该校最喜爱英歌舞的学生约有440名．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：样本容量为：．
故答案为：50；
（2）D类的百分数为：，
扇形统计图中表示“D类”的扇形圆心角的度数为：．
故答案为：；
【分析】（1）根据A类的人数与于占比即可求出答案.
（2）求出D类的人数，再补全图形即可，再根据360°乘以D类的占比即可求出答案.
（3）根据1000乘以喜爱英歌舞的学生的占比即可求出答案.
（1）解：根据题意得：样本容量为：．
故答案为：50；
（2）由（1）得本次抽样人数为50人，
类的人数为：（人）
如图，补全条形统计图如下：
类的百分数为：，
扇形统计图中表示“D类”的扇形圆心角的度数为：．
故答案为：；
（3）解：根据题意得：（人），
答：该校最喜爱英歌舞的学生约有440名．
20．已知：如图，，．
（1）证明．
（2）若，垂足为点A，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
．
，
．
．
；
（2）解：，
．
，
．
，
，
，
．
．
．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）本题考查平行线判定与性质综合，由得，结合推出，再由平行线性质得；
（2）由得，由求，再由求，作差得。
（1）证明：，
．
，
．
．
；
（2）解：，
．
，
．
，
，
，
．
．
．
21．根据以下信息，探索完成任务：
素材1 某酒店提供三种标准房供顾客入住；单人间、双人间、三人间，已知三人间每间 每晚400元；
素材2 4间单人间和3间双人间每晚共需付房费1700元， 3间单人间和4间双人间每晚共需要付房费1800元．
素材3 某旅游团共33人入住该酒店时，由于正值游客高峰期，该酒店双人间均已住满，只剩下单人间和三人间．
问题解决
任务1 （1）单人间和双人间每晚每间房费分别是多少元？
任务2 （2）该旅游团为节省经费，安排每间客房均住满，且计划每晚总房费不超过4800元，则该旅游团有哪几种入住方案？
【答案】解：（1）设单人间每晚每间房费是x元，双人间每晚每间房费是y元，
由题意可得：
解得：
答：单人间每晚每间房费是200元，双人间每晚每间房费是300元．
（2）设该旅游团入住三人间m间，则单人间为间，
由题意可得：
解得：
为正整数
的取值为：9、10、11．
该旅行团共有3种入住方案，分别如下：
①三人间9间，单人间为6间，
②三人间10间，单人间为3间，
③三人间11间，单人间为0间．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）本题考查二元一次方程组实际应用，设单人间、双人间房费为、元，根据房费条件列方程组求解；
（2）设三人间间，单人间间，根据总房费≤4800元、人数非负列不等式组，求正整数解确定方案。
五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分)
22．阅读材料，完成下列任务：
【材料一】，，即，的整数部分为2，小数部分为．
【材料二】若正方形面积为105，则它的边长为．我们可以按照以下方法求得 近似值：
，，即，
设，其中，
如图1，画出边长为的正方形，根据图中面积，得，
较小，
忽略，得：，解得，．
【探究问题】
（1）利用材料一中的方法，的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）；
【思维拓展】
（3）a是的小数部分，b是的小数部分，则的值是多少？
（4）探究的近似值，直接写出结果： （结果精确到 0.01）
【答案】解：（1）5，；
（2）当正方形面积为149，则它的边长为．
，
，
，
，，
如图，作边长为的正方形，
由图得：，
，
较小，
忽略，得：，
解得：，
．
（3），
，
，
，，
，．
∴；
（4）14.93．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
的整数部分为5，小数部分为．
故答案为：5，；
（4），
，
，
，，
如图，作边长为的正方形，
由图得：，
，
较小，
忽略，得：，
解得：，
，
，，，，
．
故答案为：14.93．
【方向】(1) 通过找相邻平方数确定的整数部分，用原数减整数部分得小数部分；
(2) 把拆成整数加小数，用正方形面积公式忽略 x2 列方程求近似值；
(3) 先确定的范围，分别表示出 a、b 的小数部分，相加后发现和为 1，再求幂；
(4) 用材料二的方法拆分，列方程求近似值后再精确到 0.01。
23．【问题背景】
综合与实践活动课上，林老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动．
如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，．
（1）【探索发现】
如图2，林老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线和上，则 ．（填写度数）
（2）如图3，摆放两块三角板，让和分别落在直线、上，且使直角顶点与重合（以下称为点R），求的度数；
（3）【迁移运用】
如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使与交于点E，与交于点F，若，，请求出和的数量关系；
（4）【拓展创新】
在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒，
①三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），存在三角板的一条边与直线平行，请直接写符合条件的t值；
②在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束．在旋转过程中，存在射线、、，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值．
【答案】（1）
（2）解：如图，过点作，
，
．
，，
，，
，．
；
（3）解： 如图，延长，于，交于．
，
．
由题意得：，，，
．
是的外角，
，
，
；
（4）①6或24秒或36秒；②8秒或17秒或23秒
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；旋转的性质；三角形的角平分线
【解析】【解答】（1）解：如图，
　　
，
，
，
；
故答案为：
（4）解：①a、如图，
当旋转至时，，旋转角，
（秒）
b、如图，
当旋转至时，，旋转角，
（秒）；
当时，此时正好旋转了半周
∴（秒）
符合条件的t值为6或24秒或36秒；
②a、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，
，
，
．
平分，
，
解得：（秒）．
符合条件的t值为8秒．
b、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，，
，
，
．
，．
平分，
，
解得：（秒）．
符合条件的t值为17秒．
c、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，
．
平分，
，
，
，
，
解得：（秒）
符合条件的t值为23秒．
综上所述，符合条件的t值为8秒或17秒或23秒．
【分析】本题以两块直角三角板与平行线组合为背景，综合考查平行线的性质、三角形内角和定理、外角性质以及旋转中的动态分类讨论。
（1）通过过点作平行线，将 BP 与DQP 转化为同旁内角或同位角关系求和；
（2）过点 R 作平行线，分别利用三角板已知角度推导 PRN；
（3）结合垂直关系与三角形外角定理，建立与的等式；
（4）①按三角板不同边与 AB 平行分情况讨论，列方程求时间 t；
②按射线 RN、RQ、RP 中某条平分另外两条所成角分三种情况，结合旋转速度列方程求解。
（1）如图，
　　
，
，
，
；
故答案为：
（2）解：如图，过点作，
，
．
，，
，，
，．
；
（3）解： 如图，延长，于，交于．
，
．
由题意得：，，，
．
是的外角，
，
，
；
（4）解：①a、如图，
当旋转至时，，旋转角，
（秒）
b、如图，
当旋转至时，，旋转角，
（秒）；
当时，此时正好旋转了半周
∴（秒）
符合条件的t值为6或24秒或36秒；
②a、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，
，
，
．
平分，
，
解得：（秒）．
符合条件的t值为8秒．
b、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，，
，
，
．
，．
平分，
，
解得：（秒）．
符合条件的t值为17秒．
c、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，
．
平分，
，
，
，
，
解得：（秒）
符合条件的t值为23秒．
综上所述，符合条件的t值为8秒或17秒或23秒．
1 / 1广东省汕头市金平区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑．
1． 下列各数是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，下列条件中能判断直线的是（　　）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度后得到点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
5． 若，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
6． 为了解汕头市2025年各区(县)初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，最适合使用的统计图是（　　）
A．折线统计图 B．条形统计图 C．扇形统计图 D．复式条形图
7．垂直式停车位形状为长方形，若一个停车位长比宽多，周长为，设长为，宽为，则由题意可列得方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．某商场停车场出入口折叠拦道闸，可其抽象为如图所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（　　）
A． B． C． D．
9． 不等式 的最小整数解是 (　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
10．如图，在正六边形中，，，，，点A在正六边形的边上，一束光从点A发出，经过多次反射（A - B - C - D - E - F）后到达点F，已知由光的反射原理（入射角等于反射角）可得：，根据此原理，若，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11．在平面直角坐标系中，点M的坐标是，则点M到x轴的距离是　 　．
12．2025年1月30日(大年正月初二)晚上8点汕头在内海湾举办了“己如意 美美至汕”迎新春大型焰火晚会，吸引近50万观众现场观赏．市民小王也是现场观众之一，如图，他家住P处，观赏地点海滨路可以看成直线l，则小王赶往观赏地点的最近路线是线段，理由是　 　．
13． 已知一个正数x的两个平方根分别为3和，则a的值为　 　.
14．已知不等式组的解集是2＜x＜3，则关于x的方程ax+b=0的解为　 　．
15．在平面直角坐标系中，有一系列的点其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点，则．若点的坐标为，则点的坐标为　 　．
三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)
16．计算：．
17．解方程组：．
18．解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
19．近年来，随着自媒体的兴起，潮汕地区各个非遗项目逐渐广为人知，其中包括被誉为“中华歌舞”的英歌舞、剪纸、潮剧、嵌瓷、抽纱等．某校为了解同学们对非遗项目的喜爱程度，随机抽查部分学生进行调查，把同学们最喜爱的项目分成4类，分别是：A（剪纸），B（英歌舞），C（潮剧），D（其他），将分类的调查结果制成如下两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 ；
（2）补全条形统计图，扇形统计图中表示“D类”的扇形圆心角的度数为 ；
（3）若该校有1000名学生，估计最喜爱英歌舞的学生有多少名？
20．已知：如图，，．
（1）证明．
（2）若，垂足为点A，，求的度数．
21．根据以下信息，探索完成任务：
素材1 某酒店提供三种标准房供顾客入住；单人间、双人间、三人间，已知三人间每间 每晚400元；
素材2 4间单人间和3间双人间每晚共需付房费1700元， 3间单人间和4间双人间每晚共需要付房费1800元．
素材3 某旅游团共33人入住该酒店时，由于正值游客高峰期，该酒店双人间均已住满，只剩下单人间和三人间．
问题解决
任务1 （1）单人间和双人间每晚每间房费分别是多少元？
任务2 （2）该旅游团为节省经费，安排每间客房均住满，且计划每晚总房费不超过4800元，则该旅游团有哪几种入住方案？
五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分)
22．阅读材料，完成下列任务：
【材料一】，，即，的整数部分为2，小数部分为．
【材料二】若正方形面积为105，则它的边长为．我们可以按照以下方法求得 近似值：
，，即，
设，其中，
如图1，画出边长为的正方形，根据图中面积，得，
较小，
忽略，得：，解得，．
【探究问题】
（1）利用材料一中的方法，的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）利用材料二中的方法，探究的近似值（要求写出求解过程，结果精确到 0.01）；
【思维拓展】
（3）a是的小数部分，b是的小数部分，则的值是多少？
（4）探究的近似值，直接写出结果： （结果精确到 0.01）
23．【问题背景】
综合与实践活动课上，林老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动．
如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，．
（1）【探索发现】
如图2，林老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线和上，则 ．（填写度数）
（2）如图3，摆放两块三角板，让和分别落在直线、上，且使直角顶点与重合（以下称为点R），求的度数；
（3）【迁移运用】
如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使与交于点E，与交于点F，若，，请求出和的数量关系；
（4）【拓展创新】
在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒，
①三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），存在三角板的一条边与直线平行，请直接写符合条件的t值；
②在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束．在旋转过程中，存在射线、、，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：Ａ、Ｃ、Ｄ为有理数，Ａ、Ｃ、Ｄ都错误．
Ｂ、无理数是无限不循环的小数，而π是无限不循环小数，
是无限不循环小数，B正确．
故答案为：Ｂ .
【分析】根据无理数是无限不循环的小数，其中开方开不尽的，含有的，有规律不循环的小数等都是无理数．
2．【答案】D
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：，不能判断，故选项A不符合题意；
∵，且当时，，
∴当时，，故选项B不符合题意；
∵，，不能判断，故选项C不符合题意；
与是直线和被第三条直线所截形成的同旁内角，且，
能判断，选项D正确．
故答案为：D．
【分析】本题考查平行线的判定定理应用，需逐一验证选项条件能否推出。A选项无对应平行线判定依据，无法判断；B选项不满足平行线判定的角关系，不能判定；C选项可判定，与无关；D选项与是、被第三条直线所截形成的同旁内角，同旁内角互补可判定两直线平行，因此该条件成立。
3．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点向下平移2个单位长度后得到点的坐标为；
故答案为：C．
【分析】根据点的平移规律：左右平移—纵坐标不变，横坐标左减右加；上下平移—横坐标不变，纵坐标上加下减。然后再根据点向下平移2个单位长度，则纵坐标减2，即可求解
4．【答案】A
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
由方程①得，
将③代入方程②得，
解得；
将代入③，得；
因此，方程组的解为，
故选：A．
【分析】本题考查二元一次方程组的代入消元法求解，核心是通过变形消去一个未知数。先将第一个方程变形为，再代入第二个方程，先求出的值，最后将的值代回变形式求出，进而得到方程组的解。
5．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、在不等式的左右两边同时加，不等号方向不变，成立，A正确．
B、在不等式的左右两边同时乘，不等号方向改变，成立，B正确．
C、在不等式的左右两边同时乘，不等号方向不变，成立，C正确．
D、在不等式的左右两边同时乘方，
不知道、是正数还是负数，
不一定成立，D错误．
故答案为：D
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式现性质可以分别判断A、B、C正确，但是D不知道、是正数还是负数，故不一定成立．
6．【答案】C
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：根据题目要了解汕头市2025年各区(县)初中学生人数占全市初中学生人数的百分比，而扇形统计图反映的就是某部分占总体的百分比关系，C正确．
故答案为：C
【分析】本题考查选择合适的统计图，根据不条形统计图、扇形统计图、折线统计图等统计图的意义可以得正确选项．
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设长为，宽为，
则由题意可得，
故选：C．
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，需找准两个等量关系。根据“长比宽多3m”得；根据长方形周长公式，结合周长16m得，联立两式即为所求方程组。
8．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：过B作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题考查平行线的性质与垂直定义综合应用，通过作辅助线转化角关系。过点B作，结合得，利用两直线平行，同旁内角互补得两组角和为，再由得，计算得出两角和。
9．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：移项得：，
系数化为1得：，
此不等式的最小整数解为2．
故答案为：B
【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，根据解一元一次不等式的方法和步骤：去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可求解．
10．【答案】D
【知识点】角的运算；多边形内角与外角；生活中的轴对称现象；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
在四边形中，．
，，
．
由光的反射原理得：，，，．
在四边形中，，
，，
，
．
在四边形中，，
，，
，
．
同理可得：．
．
故答案为：D．
【分析】本题考查正六边形性质、四边形内角和与光的反射原理综合应用。利用反射角相等，结合四边形内角和为，先在四边形中求，依次推导后续角度，最终求出。
11．【答案】5
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解： 点M的坐标是，点到轴的距离为纵坐标的绝对值，
点到轴的距离为：．
故答案为：5．
【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离规则，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值。点纵坐标为，其绝对值为5，因此距离为5。
12．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：直线外的点与直线上的点A、B、C、D的连线段中，是垂线段．
根据垂线段最短，小王赶往观赏地点的最近路线是线段．
故答案为：垂线段最短
【分析】本题考查垂线段的基本性质，直线外一点到直线的所有线段中，垂线段最短，是点到直线的垂线段，因此路线最短。
13．【答案】-1
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：正数的两个平方根分别为3和
解得：
故答案为：-1
【分析】本题考查平方根的概念及表示，根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，再根据互为相反数的数和为0，可列方程解得的值．
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解不等式组得 ，根据不等式组的解集是2＜x＜3，可得2a-1=3，b+1=2，解得a=2，b=1，所以2x+1=0，解得x= .
故答案为：
【分析】本题考查不等式组解集与方程解的综合计算。先解不等式组得，结合已知解集列方程求、，再代入一元一次方程求解。
15．【答案】
【知识点】点的坐标；用代数式表示数值变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
．．．．．．．
∴上述坐标4个为一个循环，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题考查点的坐标规律探究。先计算前几个点坐标，找到4个点为一个循环周期，用2025除以周期数，根据余数确定的坐标。
16．【答案】解：原式
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数混合运算，需依次运用二次根式乘法、绝对值化简、立方根、乘方规则计算。先算二次根式乘法，再化简绝对值，计算立方根与乘方，最后合并同类项得出结果。
17．【答案】解：
由得：，
由得：
把代入②得：，
解得：．
这个方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法。将第二个方程乘2，使系数相同，两式相减消去，先求，再代回方程求。
18．【答案】解：，
解不等式①得：；
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是：．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集.
19．【答案】（1）50
（2）解：由（1）得本次抽样人数为50人，
类的人数为：（人）
如图，补全条形统计图如下：
（3）解：根据题意得：（人），
答：该校最喜爱英歌舞的学生约有440名．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：样本容量为：．
故答案为：50；
（2）D类的百分数为：，
扇形统计图中表示“D类”的扇形圆心角的度数为：．
故答案为：；
【分析】（1）根据A类的人数与于占比即可求出答案.
（2）求出D类的人数，再补全图形即可，再根据360°乘以D类的占比即可求出答案.
（3）根据1000乘以喜爱英歌舞的学生的占比即可求出答案.
（1）解：根据题意得：样本容量为：．
故答案为：50；
（2）由（1）得本次抽样人数为50人，
类的人数为：（人）
如图，补全条形统计图如下：
类的百分数为：，
扇形统计图中表示“D类”的扇形圆心角的度数为：．
故答案为：；
（3）解：根据题意得：（人），
答：该校最喜爱英歌舞的学生约有440名．
20．【答案】（1）证明：，
．
，
．
．
；
（2）解：，
．
，
．
，
，
，
．
．
．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）本题考查平行线判定与性质综合，由得，结合推出，再由平行线性质得；
（2）由得，由求，再由求，作差得。
（1）证明：，
．
，
．
．
；
（2）解：，
．
，
．
，
，
，
．
．
．
21．【答案】解：（1）设单人间每晚每间房费是x元，双人间每晚每间房费是y元，
由题意可得：
解得：
答：单人间每晚每间房费是200元，双人间每晚每间房费是300元．
（2）设该旅游团入住三人间m间，则单人间为间，
由题意可得：
解得：
为正整数
的取值为：9、10、11．
该旅行团共有3种入住方案，分别如下：
①三人间9间，单人间为6间，
②三人间10间，单人间为3间，
③三人间11间，单人间为0间．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）本题考查二元一次方程组实际应用，设单人间、双人间房费为、元，根据房费条件列方程组求解；
（2）设三人间间，单人间间，根据总房费≤4800元、人数非负列不等式组，求正整数解确定方案。
22．【答案】解：（1）5，；
（2）当正方形面积为149，则它的边长为．
，
，
，
，，
如图，作边长为的正方形，
由图得：，
，
较小，
忽略，得：，
解得：，
．
（3），
，
，
，，
，．
∴；
（4）14.93．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1），
的整数部分为5，小数部分为．
故答案为：5，；
（4），
，
，
，，
如图，作边长为的正方形，
由图得：，
，
较小，
忽略，得：，
解得：，
，
，，，，
．
故答案为：14.93．
【方向】(1) 通过找相邻平方数确定的整数部分，用原数减整数部分得小数部分；
(2) 把拆成整数加小数，用正方形面积公式忽略 x2 列方程求近似值；
(3) 先确定的范围，分别表示出 a、b 的小数部分，相加后发现和为 1，再求幂；
(4) 用材料二的方法拆分，列方程求近似值后再精确到 0.01。
23．【答案】（1）
（2）解：如图，过点作，
，
．
，，
，，
，．
；
（3）解： 如图，延长，于，交于．
，
．
由题意得：，，，
．
是的外角，
，
，
；
（4）①6或24秒或36秒；②8秒或17秒或23秒
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；旋转的性质；三角形的角平分线
【解析】【解答】（1）解：如图，
　　
，
，
，
；
故答案为：
（4）解：①a、如图，
当旋转至时，，旋转角，
（秒）
b、如图，
当旋转至时，，旋转角，
（秒）；
当时，此时正好旋转了半周
∴（秒）
符合条件的t值为6或24秒或36秒；
②a、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，
，
，
．
平分，
，
解得：（秒）．
符合条件的t值为8秒．
b、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，，
，
，
．
，．
平分，
，
解得：（秒）．
符合条件的t值为17秒．
c、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，
．
平分，
，
，
，
，
解得：（秒）
符合条件的t值为23秒．
综上所述，符合条件的t值为8秒或17秒或23秒．
【分析】本题以两块直角三角板与平行线组合为背景，综合考查平行线的性质、三角形内角和定理、外角性质以及旋转中的动态分类讨论。
（1）通过过点作平行线，将 BP 与DQP 转化为同旁内角或同位角关系求和；
（2）过点 R 作平行线，分别利用三角板已知角度推导 PRN；
（3）结合垂直关系与三角形外角定理，建立与的等式；
（4）①按三角板不同边与 AB 平行分情况讨论，列方程求时间 t；
②按射线 RN、RQ、RP 中某条平分另外两条所成角分三种情况，结合旋转速度列方程求解。
（1）如图，
　　
，
，
，
；
故答案为：
（2）解：如图，过点作，
，
．
，，
，，
，．
；
（3）解： 如图，延长，于，交于．
，
．
由题意得：，，，
．
是的外角，
，
，
；
（4）解：①a、如图，
当旋转至时，，旋转角，
（秒）
b、如图，
当旋转至时，，旋转角，
（秒）；
当时，此时正好旋转了半周
∴（秒）
符合条件的t值为6或24秒或36秒；
②a、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，
，
，
．
平分，
，
解得：（秒）．
符合条件的t值为8秒．
b、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，，
，
，
．
，．
平分，
，
解得：（秒）．
符合条件的t值为17秒．
c、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，
．
平分，
，
，
，
，
解得：（秒）
符合条件的t值为23秒．
综上所述，符合条件的t值为8秒或17秒或23秒．
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