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广东省江门市蓬江区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列式子中，表示是的正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
3．在平行四边形中，，，则平行四边形的周长为（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
4．已知一次函数，随的增大而增大，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．当时，下列二次根式没有意义的是（　　）
A． B． C． D．
6．某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为90分，87分，93分，综合成绩中笔试、试讲、面试的占比为，则该教师的综合成绩为（　　）
A．90分 B．91分 C．92分 D．93分
7．如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（　　）
A．9 B．10 C．12 D．13
8．如图，在中，，、、分别是、、的中点，连结、，已知，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．设的整数部分是，小数部分是，则的值是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则光线从点到点经过的路线长是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．甲、乙两名同学近四次体育小测成绩的平均数都是80分，方差分别是，，则这两名学生的体育成绩最稳定的是　 　．
12．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：），通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，则电流的值为　 　．
13．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为　 　．
14．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走4，遇到障碍后又往东走6，再转向北走8后往西拐，走了2就到达点，则、两点之间的距离为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．直线经过点且平分矩形的周长，则直线的解析式为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：
17．某中学八年级举办数学知识竞赛，用简单随机抽样的方法，从该年级全体500名学生中抽取30名，其竞赛成绩如图所示：
（1）这30名学生成绩的众数是__________分；
这30名学生成绩的中位数是__________分；
（2）这30名学生成绩的平均数是__________分；
（3）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
18．如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，，连接，，求证：．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如、的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
（1）化简：＝__________；
（2）化简：；
（3）当时，化简：．
20．科学管理体重，守护全民健康．某体育馆计划在暑假期间推出甲、乙两种消费卡：
甲：按照运动次数收费；
乙：收取会员卡费用以后每次运动打折收费．
设运动次数为，所需费用为元，且与之间的函数关系如图所示，根据图中信息，解答下列问题：
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于的函数解析式；
（2）到体育馆运动多少次时，两者消费一样？费用是多少？
（3）小王准备花费180元去该体育馆办理消费卡，选择哪种消费卡更划算？请说明理由．
21．某实践探究小组组员们测量一款风筝离地面的垂直高度，通过测量，得到如下数据．
活动课题 探究风筝离地面的垂直高度
测量示意图 说明：点B、D在同一水平线上，点A、B、C在同一铅垂线上．
测量数据 ①放风筝组员的手（点）离地面的高度为1.6米； ②水平距离的长为8米； ③根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．
根据以上信息，完成下列任务：
（1）求出风筝离地面的垂直高度的长；
（2）若实践探究小组将风筝沿方向下降了9米，的长度不变，求放风筝组员应该回收多少米的风筝线？
（3）若实践小组将风筝线放出8米，距离地面的垂直高度保持不变，求放风筝组员需要向后移动多少米？
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于，两点，直线：与轴负半轴、轴、直线分别交于三点，且．
（1）求直线的函数解析式；
（2）求四边形的面积；
（3）在坐标轴上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程．
【动手操作】
第一步：将一张边长为的正方形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，折痕为，得到图①；
第二步：将图①中的纸片的右下角沿着翻折，使点落在点处，得到图②；
第三步：在图②的基础上，延长交于点，连接，得到图③．
【解决问题】
（1）求证：；
（2）求的长度；
（3）在图③的基础上延长交边于点，得到图④，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】A．中，的次数为2，不符合正比例函数的定义，故本选项不符合题意；
B．中，位于分母，不符合正比例函数的定义，故本选项不符合题意；
C．中，位于根号内，不符合正比例函数的定义，故本选项不符合题意；
D．中，的次数为1，且符合的形式（），是正比例函数，故本选项符合题意．
故选D．
【分析】本题考查正比例函数的定义，需紧扣（为常数且）的形式判断，自变量的次数必须为1，且不能出现在分母或根号中。A选项中的次数为2，属于二次函数；B选项中位于分母，属于反比例函数；C选项中位于根号内，不符合正比例函数要求；D选项符合的标准形式，其中，是正比例函数。
2．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：，，
与是同类二次根式，可以合并，
故选：C．
【分析】本题考查同类二次根式的判定方法，先将各选项二次根式化为最简形式，再判断被开方数是否与一致。，与的被开方数相同，属于同类二次根式，可以合并；其余选项化简后被开方数与不同，无法合并。
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】在平行四边形中，对边相等，即，．
因此，周长．
故选C．
【分析】本题考查平行四边形的周长计算，核心利用平行四边形对边相等的性质，周长等于两组邻边长度和的2倍，直接代入和的长度计算即可。
4．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的性质
【解析】【解答】∵，随的增大而增大．
∴，
∴．
∴的取值范围是．
故选D．
【分析】本题考查一次函数的增减性，一次函数中，当时，随的增大而增大。本题中一次项系数，据此列出不等式，求解即可得到的取值范围。
5．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A．∵，
∴有意义，故该选项不符合题意，
B．∵
∴没有意义，故该选项符合题意，
C．∵，
∴有意义，故该选项不符合题意，
D．∵，
∴有意义，故该选项不符合题意，
故选：B．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，将代入各选项的被开方数，若结果为负数，则该二次根式无意义。
6．【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：笔试、试讲、面试的权重比为，总权重为，
笔试：分
试讲：分
面试：分
求综合成绩分，
该教师的综合成绩为90分，
故选：A．
【分析】本题考查加权平均数的实际应用，先根据权重比例算出总权重，再用每一项成绩乘以对应权重，最后将结果相加，即可得到综合成绩。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵正方形和正方形的面积分别是49和25，
∴，，，
∵M，A，B在同一条直线上，
∴，
在中，
由勾股定理得：．
故选：D．
【分析】本题考查正方形的性质与勾股定理的综合应用，先由正方形面积求出两个正方形的边长，得到直角三角形的两条直角边长度，再通过勾股定理计算斜边的长度。
8．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，是的中点，
∴，
∴、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质与三角形中位线定理，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度，再由中位线定理可知是的中位线，进而求出的长度。
9．【答案】A
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：A．
【分析】本题考查无理数整数部分、小数部分的求解及二次根式混合运算，用夹逼法确定的取值范围，进而推出的整数部分和小数部分，将、代入式子计算即可。
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示：延长交x轴于点E，过点C作垂直x轴于点F，
由题意可知：，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴光线从A点到C点经过的路线长是：，
故选：B．
【分析】本题考查平面直角坐标系、勾股定理与光的反射性质，利用反射规律作辅助线构造全等三角形，将光线经过的路线长转化为线段的长度，再结合点的坐标用勾股定理计算。
11．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴这两名学生的体育成绩最稳定的是甲．
故答案为：甲．
【分析】本题考查方差的统计意义，方差是衡量数据波动程度的量，方差越小，数据的波动越小，成绩就越稳定，直接比较两人方差的大小即可判断。
12．【答案】2
【知识点】函数自变量的取值范围；求算术平方根
【解析】【解答】解：将，，，代入，
得：，
化简得：，
解得或（负值不合题意，舍去），
故答案为：2．
【分析】本题考查根据函数解析式求变量的值，将已知的、、代入公式，解方程求出，再根据实际意义舍去负根。
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
故答案为：．
【分析】本题考查菱形的性质、含30°角的直角三角形性质与勾股定理，由菱形对边平行的性质求出的度数，再根据直角三角形30°角所对直角边是斜边的一半求出，最后用勾股定理计算的长度。
14．【答案】15
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：作于点，如图，
由题意，可得：，，
在中，由勾股定理，得：；
故答案为：15．
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，先计算出直角三角形两条直角边的长度，再利用勾股定理求出斜边的长度。
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．
∴矩形的对称中心为，
设直线的解析式为，把和代入得到，
解得
∴直线的解析式为，
故答案为：
【分析】本题考查矩形的中心对称性质与待定系数法求一次函数解析式，过矩形对称中心的直线可平分矩形周长，先求出矩形的对称中心，再将对称中心与点的坐标代入解析式求解。
16．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，先按照二次根式除法法则计算除法部分，再化简单独的二次根式，接着利用平方差公式计算乘法部分，最后合并同类二次根式得出结果。
17．【答案】（1）90，90
（2）89
（3）解：（人）
答：估计该年级获优秀等级的学生人数为300人．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由列表中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90，
由于人数总和是30人为偶数，将数据从小到大排列后，第15个和第16个数据都是90分，因此这组数据的中位数应该是90，
故答案为：90，90；
（2）解：这30名学生成绩的平均数为：
，
故答案为：89；
【分析】（1）本题考查众数和中位数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数；
（2）本题考查加权平均数的计算，用各成绩乘以对应人数求和，再除以总人数即可；
（3）本题考查用样本估计总体，先计算样本的优秀率，再乘以年级总人数。
（1）解：由列表中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90，
由于人数总和是30人为偶数，将数据从小到大排列后，第15个和第16个数据都是90分，因此这组数据的中位数应该是90，
故答案为：90，90；
（2）解：这30名学生成绩的平均数为：
，
故答案为：89；
（3）解：（人）
答：估计该年级获优秀等级的学生人数为300人．
18．【答案】证明：∵，∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查平行四边形、全等三角形与平行四边形的判定和性质，先由推出对应角相等，结合平行四边形对边平行且相等的性质证明，得到，进而判定四边形是平行四边形，最后由平行线的性质证得。
19．【答案】（1）
（2）解：；
（3）解：当时，
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：
【分析】（1）本题考查简单二次根式的分母有理化，给分子分母同乘，约分后化简；
（2）本题考查含根式和的分母有理化，给分子分母同乘，利用平方差公式化简分母；
（3）本题考查二次根式的混合运算，先对两个分式分别分母有理化，再通分合并分子，化简后得出结果。
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：当时，
20．【答案】（1）解：设甲种消费卡的函数关系式为，乙种消费卡的函数关系式为，将代入，得，
解得，
∴甲种消费卡的函数关系式为．
将分别代入，得，
解得
∴乙种消费卡的函数关系式为．
答：甲种消费卡的函数关系式为，乙种消费卡的函数关系式为．
（2）解：当时，即，解得．
∴（元）
答：到体育馆运动4次时，两者消费一样，费用是120元．
（3）解：当时，，解得
当时，
解得
有，
∴小王准备花费180元去该体育馆办理消费卡，选择甲种消费卡有6次， 乙种消费卡有8次，即选择乙种消费卡更划算．
【知识点】解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）本题考查待定系数法求一次函数解析式，甲卡为正比例函数，代入已知点求；乙卡为一次函数，代入两点坐标求和；
（2）本题考查一次函数交点问题，令两个函数值相等，解方程求出运动次数，再代入计算费用；
（3）本题考查一次函数的实际应用，将分别代入两个解析式，比较运动次数，次数多的更划算。
（1）解：设甲种消费卡的函数关系式为，乙种消费卡的函数关系式为，
将代入，得，
解得，
∴甲种消费卡的函数关系式为．
将分别代入，得，
解得
∴乙种消费卡的函数关系式为．
答：甲种消费卡的函数关系式为，乙种消费卡的函数关系式为．
（2）解：当时，即，
解得．
∴（元）
答：到体育馆运动4次时，两者消费一样，费用是120元．
（3）解：当时，，
解得
当时，
解得
有，
∴小王准备花费180元去该体育馆办理消费卡，选择甲种消费卡有6次， 乙种消费卡有8次，即选择乙种消费卡更划算．
21．【答案】（1）在中，，∴，
∵，
∴(米)，
答：风筝离地面的垂直高度的长为16.6米；
（2）风筝沿方向下降了9米后，米，
此时风筝线的长为(米)，
(米)，
答：放风筝组员应该回收7米的风筝线；
（3）∵将风筝线放出8米后，米，此时水平距离的长为(米)，
(米)，
答：放风筝组员需要向后移动12米．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）本题考查勾股定理的实际应用，在中用勾股定理求，再加上到地面的高度得到；
（2）本题考查勾股定理的应用，先算出下降后的长度，求出新的风筝线长，用原线长减新线长得到回收长度；
（3）本题考查勾股定理的应用，先算出新的风筝线长，求出新的水平距离，用新距离减原距离得到移动长度。
（1）解：在中，，
∴，
∵，
∴(米)，
答：风筝离地面的垂直高度的长为16.6米；
（2）风筝沿方向下降了9米后，米，
此时风筝线的长为(米)，
(米)，
答：放风筝组员应该回收7米的风筝线；
（3）∵将风筝线放出8米后，米，
此时水平距离的长为(米)，
(米)，
答：放风筝组员需要向后移动12米．
22．【答案】（1）解：与轴、轴分别交于，两点代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）连接，如图：
∵，
，
，
，
，
把代入得：，
∴直线的函数解析式为，
令得，
，
由，得：
，
∴四边形的面积为4；
（3）在坐标轴上存在点P，使得，理由如下：，
，
，
当P在y轴上时，设，如图：
，，
，
解得或，
∴P点坐标或；
当P在x轴上时，设，如图：
，，
，
解得或，
∴P点坐标或．
综上所述，P的坐标为或或或
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）本题考查待定系数法求一次函数解析式，将、坐标代入解析式，解方程组得到、的值；
（2）本题考查一次函数与图形面积计算，由求出点坐标，进而得到解析式与、坐标，将四边形面积拆分为两个三角形面积求和；
（3）本题考查三角形面积与分类讨论思想，先计算得到，分在轴、轴两种情况，设坐标列方程求解。
（1）解：与轴、轴分别交于，两点代入得：
，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）连接，如图：
∵，
，
，
，
，
把代入得：，
∴直线的函数解析式为，
令得，
，
由，得：
，
∴四边形的面积为4；
（3）在坐标轴上存在点P，使得，理由如下：
，
，
，
当P在y轴上时，设，如图：
，，
，
解得或，
∴P点坐标或；
当P在x轴上时，设，如图：
，，
，
解得或，
∴P点坐标或．
综上所述，P的坐标为或或或
．
23．【答案】（1）证明：四边形是正方形，边长为，
，，
由折叠得：，，，
，，
在和中，
，
；
（2）解：设，则，
由折叠得，
，
在中，，
，
解得，
的长度为；
（3）解：由（2）知，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）本题考查正方形、折叠性质与全等三角形判定，由折叠得、，用HL定理证明，从而得；
（2）本题考查勾股定理的方程应用，设，表示出、，在中列勾股定理方程求解；
（3）本题考查相似三角形的判定与性质，证明，由对应边成比例求出，再计算、的长度，求出比值。
（1）证明：四边形是正方形，边长为，
，，
由折叠得：，，，
，，
在和中，
，
；
（2）解：设，则，
由折叠得，
，
在中，，
，
解得，
的长度为；
（3）解：由（2）知，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
1 / 1广东省江门市蓬江区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列式子中，表示是的正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】A．中，的次数为2，不符合正比例函数的定义，故本选项不符合题意；
B．中，位于分母，不符合正比例函数的定义，故本选项不符合题意；
C．中，位于根号内，不符合正比例函数的定义，故本选项不符合题意；
D．中，的次数为1，且符合的形式（），是正比例函数，故本选项符合题意．
故选D．
【分析】本题考查正比例函数的定义，需紧扣（为常数且）的形式判断，自变量的次数必须为1，且不能出现在分母或根号中。A选项中的次数为2，属于二次函数；B选项中位于分母，属于反比例函数；C选项中位于根号内，不符合正比例函数要求；D选项符合的标准形式，其中，是正比例函数。
2．下列二次根式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：，，
与是同类二次根式，可以合并，
故选：C．
【分析】本题考查同类二次根式的判定方法，先将各选项二次根式化为最简形式，再判断被开方数是否与一致。，与的被开方数相同，属于同类二次根式，可以合并；其余选项化简后被开方数与不同，无法合并。
3．在平行四边形中，，，则平行四边形的周长为（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】在平行四边形中，对边相等，即，．
因此，周长．
故选C．
【分析】本题考查平行四边形的周长计算，核心利用平行四边形对边相等的性质，周长等于两组邻边长度和的2倍，直接代入和的长度计算即可。
4．已知一次函数，随的增大而增大，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；一次函数的性质
【解析】【解答】∵，随的增大而增大．
∴，
∴．
∴的取值范围是．
故选D．
【分析】本题考查一次函数的增减性，一次函数中，当时，随的增大而增大。本题中一次项系数，据此列出不等式，求解即可得到的取值范围。
5．当时，下列二次根式没有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A．∵，
∴有意义，故该选项不符合题意，
B．∵
∴没有意义，故该选项符合题意，
C．∵，
∴有意义，故该选项不符合题意，
D．∵，
∴有意义，故该选项不符合题意，
故选：B．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，将代入各选项的被开方数，若结果为负数，则该二次根式无意义。
6．某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为90分，87分，93分，综合成绩中笔试、试讲、面试的占比为，则该教师的综合成绩为（　　）
A．90分 B．91分 C．92分 D．93分
【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：笔试、试讲、面试的权重比为，总权重为，
笔试：分
试讲：分
面试：分
求综合成绩分，
该教师的综合成绩为90分，
故选：A．
【分析】本题考查加权平均数的实际应用，先根据权重比例算出总权重，再用每一项成绩乘以对应权重，最后将结果相加，即可得到综合成绩。
7．如图，面积分别是49和25的两个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则的长为（　　）
A．9 B．10 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵正方形和正方形的面积分别是49和25，
∴，，，
∵M，A，B在同一条直线上，
∴，
在中，
由勾股定理得：．
故选：D．
【分析】本题考查正方形的性质与勾股定理的综合应用，先由正方形面积求出两个正方形的边长，得到直角三角形的两条直角边长度，再通过勾股定理计算斜边的长度。
8．如图，在中，，、、分别是、、的中点，连结、，已知，则的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，，是的中点，
∴，
∴、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质与三角形中位线定理，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度，再由中位线定理可知是的中位线，进而求出的长度。
9．设的整数部分是，小数部分是，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：A．
【分析】本题考查无理数整数部分、小数部分的求解及二次根式混合运算，用夹逼法确定的取值范围，进而推出的整数部分和小数部分，将、代入式子计算即可。
10．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则光线从点到点经过的路线长是（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示：延长交x轴于点E，过点C作垂直x轴于点F，
由题意可知：，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴光线从A点到C点经过的路线长是：，
故选：B．
【分析】本题考查平面直角坐标系、勾股定理与光的反射性质，利用反射规律作辅助线构造全等三角形，将光线经过的路线长转化为线段的长度，再结合点的坐标用勾股定理计算。
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．甲、乙两名同学近四次体育小测成绩的平均数都是80分，方差分别是，，则这两名学生的体育成绩最稳定的是　 　．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴这两名学生的体育成绩最稳定的是甲．
故答案为：甲．
【分析】本题考查方差的统计意义，方差是衡量数据波动程度的量，方差越小，数据的波动越小，成绩就越稳定，直接比较两人方差的大小即可判断。
12．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：），通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，则电流的值为　 　．
【答案】2
【知识点】函数自变量的取值范围；求算术平方根
【解析】【解答】解：将，，，代入，
得：，
化简得：，
解得或（负值不合题意，舍去），
故答案为：2．
【分析】本题考查根据函数解析式求变量的值，将已知的、、代入公式，解方程求出，再根据实际意义舍去负根。
13．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
故答案为：．
【分析】本题考查菱形的性质、含30°角的直角三角形性质与勾股定理，由菱形对边平行的性质求出的度数，再根据直角三角形30°角所对直角边是斜边的一半求出，最后用勾股定理计算的长度。
14．某次机器人创意大赛，如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从点处先往西走，又往北走4，遇到障碍后又往东走6，再转向北走8后往西拐，走了2就到达点，则、两点之间的距离为　 　．
【答案】15
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：作于点，如图，
由题意，可得：，，
在中，由勾股定理，得：；
故答案为：15．
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，先计算出直角三角形两条直角边的长度，再利用勾股定理求出斜边的长度。
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．直线经过点且平分矩形的周长，则直线的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．
∴矩形的对称中心为，
设直线的解析式为，把和代入得到，
解得
∴直线的解析式为，
故答案为：
【分析】本题考查矩形的中心对称性质与待定系数法求一次函数解析式，过矩形对称中心的直线可平分矩形周长，先求出矩形的对称中心，再将对称中心与点的坐标代入解析式求解。
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，先按照二次根式除法法则计算除法部分，再化简单独的二次根式，接着利用平方差公式计算乘法部分，最后合并同类二次根式得出结果。
17．某中学八年级举办数学知识竞赛，用简单随机抽样的方法，从该年级全体500名学生中抽取30名，其竞赛成绩如图所示：
（1）这30名学生成绩的众数是__________分；
这30名学生成绩的中位数是__________分；
（2）这30名学生成绩的平均数是__________分；
（3）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
【答案】（1）90，90
（2）89
（3）解：（人）
答：估计该年级获优秀等级的学生人数为300人．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由列表中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90，
由于人数总和是30人为偶数，将数据从小到大排列后，第15个和第16个数据都是90分，因此这组数据的中位数应该是90，
故答案为：90，90；
（2）解：这30名学生成绩的平均数为：
，
故答案为：89；
【分析】（1）本题考查众数和中位数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据排序后，偶数个数据取中间两个数的平均数；
（2）本题考查加权平均数的计算，用各成绩乘以对应人数求和，再除以总人数即可；
（3）本题考查用样本估计总体，先计算样本的优秀率，再乘以年级总人数。
（1）解：由列表中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90，
由于人数总和是30人为偶数，将数据从小到大排列后，第15个和第16个数据都是90分，因此这组数据的中位数应该是90，
故答案为：90，90；
（2）解：这30名学生成绩的平均数为：
，
故答案为：89；
（3）解：（人）
答：估计该年级获优秀等级的学生人数为300人．
18．如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，，连接，，求证：．
【答案】证明：∵，∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查平行四边形、全等三角形与平行四边形的判定和性质，先由推出对应角相等，结合平行四边形对边平行且相等的性质证明，得到，进而判定四边形是平行四边形，最后由平行线的性质证得。
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如、的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
（1）化简：＝__________；
（2）化简：；
（3）当时，化简：．
【答案】（1）
（2）解：；
（3）解：当时，
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：
【分析】（1）本题考查简单二次根式的分母有理化，给分子分母同乘，约分后化简；
（2）本题考查含根式和的分母有理化，给分子分母同乘，利用平方差公式化简分母；
（3）本题考查二次根式的混合运算，先对两个分式分别分母有理化，再通分合并分子，化简后得出结果。
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：当时，
20．科学管理体重，守护全民健康．某体育馆计划在暑假期间推出甲、乙两种消费卡：
甲：按照运动次数收费；
乙：收取会员卡费用以后每次运动打折收费．
设运动次数为，所需费用为元，且与之间的函数关系如图所示，根据图中信息，解答下列问题：
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于的函数解析式；
（2）到体育馆运动多少次时，两者消费一样？费用是多少？
（3）小王准备花费180元去该体育馆办理消费卡，选择哪种消费卡更划算？请说明理由．
【答案】（1）解：设甲种消费卡的函数关系式为，乙种消费卡的函数关系式为，将代入，得，
解得，
∴甲种消费卡的函数关系式为．
将分别代入，得，
解得
∴乙种消费卡的函数关系式为．
答：甲种消费卡的函数关系式为，乙种消费卡的函数关系式为．
（2）解：当时，即，解得．
∴（元）
答：到体育馆运动4次时，两者消费一样，费用是120元．
（3）解：当时，，解得
当时，
解得
有，
∴小王准备花费180元去该体育馆办理消费卡，选择甲种消费卡有6次， 乙种消费卡有8次，即选择乙种消费卡更划算．
【知识点】解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）本题考查待定系数法求一次函数解析式，甲卡为正比例函数，代入已知点求；乙卡为一次函数，代入两点坐标求和；
（2）本题考查一次函数交点问题，令两个函数值相等，解方程求出运动次数，再代入计算费用；
（3）本题考查一次函数的实际应用，将分别代入两个解析式，比较运动次数，次数多的更划算。
（1）解：设甲种消费卡的函数关系式为，乙种消费卡的函数关系式为，
将代入，得，
解得，
∴甲种消费卡的函数关系式为．
将分别代入，得，
解得
∴乙种消费卡的函数关系式为．
答：甲种消费卡的函数关系式为，乙种消费卡的函数关系式为．
（2）解：当时，即，
解得．
∴（元）
答：到体育馆运动4次时，两者消费一样，费用是120元．
（3）解：当时，，
解得
当时，
解得
有，
∴小王准备花费180元去该体育馆办理消费卡，选择甲种消费卡有6次， 乙种消费卡有8次，即选择乙种消费卡更划算．
21．某实践探究小组组员们测量一款风筝离地面的垂直高度，通过测量，得到如下数据．
活动课题 探究风筝离地面的垂直高度
测量示意图 说明：点B、D在同一水平线上，点A、B、C在同一铅垂线上．
测量数据 ①放风筝组员的手（点）离地面的高度为1.6米； ②水平距离的长为8米； ③根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米．
根据以上信息，完成下列任务：
（1）求出风筝离地面的垂直高度的长；
（2）若实践探究小组将风筝沿方向下降了9米，的长度不变，求放风筝组员应该回收多少米的风筝线？
（3）若实践小组将风筝线放出8米，距离地面的垂直高度保持不变，求放风筝组员需要向后移动多少米？
【答案】（1）在中，，∴，
∵，
∴(米)，
答：风筝离地面的垂直高度的长为16.6米；
（2）风筝沿方向下降了9米后，米，
此时风筝线的长为(米)，
(米)，
答：放风筝组员应该回收7米的风筝线；
（3）∵将风筝线放出8米后，米，此时水平距离的长为(米)，
(米)，
答：放风筝组员需要向后移动12米．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）本题考查勾股定理的实际应用，在中用勾股定理求，再加上到地面的高度得到；
（2）本题考查勾股定理的应用，先算出下降后的长度，求出新的风筝线长，用原线长减新线长得到回收长度；
（3）本题考查勾股定理的应用，先算出新的风筝线长，求出新的水平距离，用新距离减原距离得到移动长度。
（1）解：在中，，
∴，
∵，
∴(米)，
答：风筝离地面的垂直高度的长为16.6米；
（2）风筝沿方向下降了9米后，米，
此时风筝线的长为(米)，
(米)，
答：放风筝组员应该回收7米的风筝线；
（3）∵将风筝线放出8米后，米，
此时水平距离的长为(米)，
(米)，
答：放风筝组员需要向后移动12米．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于，两点，直线：与轴负半轴、轴、直线分别交于三点，且．
（1）求直线的函数解析式；
（2）求四边形的面积；
（3）在坐标轴上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：与轴、轴分别交于，两点代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）连接，如图：
∵，
，
，
，
，
把代入得：，
∴直线的函数解析式为，
令得，
，
由，得：
，
∴四边形的面积为4；
（3）在坐标轴上存在点P，使得，理由如下：，
，
，
当P在y轴上时，设，如图：
，，
，
解得或，
∴P点坐标或；
当P在x轴上时，设，如图：
，，
，
解得或，
∴P点坐标或．
综上所述，P的坐标为或或或
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）本题考查待定系数法求一次函数解析式，将、坐标代入解析式，解方程组得到、的值；
（2）本题考查一次函数与图形面积计算，由求出点坐标，进而得到解析式与、坐标，将四边形面积拆分为两个三角形面积求和；
（3）本题考查三角形面积与分类讨论思想，先计算得到，分在轴、轴两种情况，设坐标列方程求解。
（1）解：与轴、轴分别交于，两点代入得：
，
解得：，
∴直线的函数解析式为；
（2）连接，如图：
∵，
，
，
，
，
把代入得：，
∴直线的函数解析式为，
令得，
，
由，得：
，
∴四边形的面积为4；
（3）在坐标轴上存在点P，使得，理由如下：
，
，
，
当P在y轴上时，设，如图：
，，
，
解得或，
∴P点坐标或；
当P在x轴上时，设，如图：
，，
，
解得或，
∴P点坐标或．
综上所述，P的坐标为或或或
．
23．【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程．
【动手操作】
第一步：将一张边长为的正方形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，折痕为，得到图①；
第二步：将图①中的纸片的右下角沿着翻折，使点落在点处，得到图②；
第三步：在图②的基础上，延长交于点，连接，得到图③．
【解决问题】
（1）求证：；
（2）求的长度；
（3）在图③的基础上延长交边于点，得到图④，求的值．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，边长为，
，，
由折叠得：，，，
，，
在和中，
，
；
（2）解：设，则，
由折叠得，
，
在中，，
，
解得，
的长度为；
（3）解：由（2）知，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）本题考查正方形、折叠性质与全等三角形判定，由折叠得、，用HL定理证明，从而得；
（2）本题考查勾股定理的方程应用，设，表示出、，在中列勾股定理方程求解；
（3）本题考查相似三角形的判定与性质，证明，由对应边成比例求出，再计算、的长度，求出比值。
（1）证明：四边形是正方形，边长为，
，，
由折叠得：，，，
，，
在和中，
，
；
（2）解：设，则，
由折叠得，
，
在中，，
，
解得，
的长度为；
（3）解：由（2）知，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
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