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广东省汕头市金平区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑．
1．下列各数中，能使有意义的是（　　）
A．6 B．4 C．3 D．0
2．下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．某小组8名学生的中考体育测试成绩（单位：分，满分60分）依次为59，60，55，57，60，58，60，58，这组数据的众数是（　　）
A．55 B．57 C．58 D．60
4．已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．，，
C． D．∶∶∶∶
5．一次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
6．在平行四边形中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．正方形具有而矩形不一定具有的性质是 （　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
8．已知x，y为正数，且 ，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　）
A．5 B．25 C．7 D．15
9．如图，的顶点坐标分别为，，轴，，蒋沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为（　　）
A．12 B．24 C．15 D．30
10．菱形的边长为4，，点G为的中点，以为边作菱形，其中点E在的延长线上，连接，点M为的中点，连接，则线段的长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分．
11．化简：　 　．
12．正比例函数的图象经过点，则　 　．
13．一个弹簧秤不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上的物体后，弹簧伸长，则弹簧总长（单位：cm）与所挂重物质量（单位：kg）的函数解析式是　 　．
14．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点F，G是中点，若，，则的长为　 　．
15．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，点E在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点F和点A分别位于两侧，则点F运动的路径长是　 　．
三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分．共21分．
16．计算：．
17．如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形．
18．【追本溯源】：人教版八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．
【方法应用】：如图，在中，，，．
（1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积；
（2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分．
19．2025年央视春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，燃爆全球，广受好评．为调查观众对某创新节目的评价，组委会收集了50名现场观众和5000名线上观众的评分（满分10分），并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图：
两个观众群体对《秧BOT》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
现场 8 8
线上 7.6 7
（1）直接写出，，的值；
（2）请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数；
（3）小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由．
20．如图，杠杆是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡瓷，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重（）之间满足一次函数关系，若挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当秤砣到秤纽的水平距离为时，求秤钩所挂物重．
21．如图，中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，，求的长．
五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．【问题情境】如图，在矩形中，．
（1）【初步尝试】如图1，点P为边上一点，若点A关于直线的对称点正好是对角线的中点，则___________；
（2）【深入探究】如图2，点Q为边上一点，且，连接，若，；
①求n的值；
②将沿翻折，点C的对应点为点E，与交于点G，过点E作于H，求线段的长；
（3）【拓展延伸】如图3，若，，点P、Q分别是边上的动点，点M是矩形内一动点，且，，N为上一点，，连接，求的最小值．
23．【问题背景】如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，点为y轴上一点．
【构建联系】
（1）求点A，点B的坐标；
（2）点C为线段上一点，连接交于点E，若，
①求直线的解析式；
②点为y轴负半轴上一点，求点P到直线的距离；
【深入探究】
（3）点M为y轴上一点，在平面上是否存在点N，使以点A，D，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：．
所以符合条件的只有A选项．
故选：A
【分析】本题考查二次根式有意义的核心条件，二次根式要求被开方数为非负数，据此列不等式 解得 ，再逐一验证选项数值是否满足该取值范围，即可选出正确答案。
2．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数为，存在分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数是25，25=52是完全平方数，即被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、， 被开方数为3，不含分母且无法开方得到整数，是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数27=9×3，27是完全平方数，即被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】将数据从小到大排列为：55，57，58，58，59，60，60，60．
统计各数值出现次数：55、57、59各1次，58出现2次，60出现3次．
出现次数最多的是60，
故众数为60，
故选D．
【分析】本题考查众数的定义与求解方法，众数是一组数据中出现次数最多的数，先整理数据并统计各成绩出现频次，找出频次最高的数值即为众数。
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，，∴最大的角，∴不是直角三角形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）及三角形的内角和逐项分析判断即可.
5．【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：一次函数中，所以随的增大而减小，
由点，可知，
．
故选：A．
【分析】本题考查一次函数的增减性，一次函数 中 时， 随 增大而减小；比较两点横坐标 ，结合增减性可直接判断 与 的大小。
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴设，，
∴，
解得．
∴．
∴．
故选：B．
【分析】本题考查平行四边形的角的性质，平行四边形邻角互补、对角相等，先根据邻角和为 结合比例设未知数求，再利用对角相等得的度数。
7．【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；矩形四个角都是直角，对角线互相平分且相等，所以只有A正确.
故答案为：A.
【分析】根据正方形，矩形的四个角都是直角，正方形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不互相垂直，据此判断即可.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：依题意得： ，
∴ ，
斜边长 ，
所以正方形的面积 ．
故答案为：C．
【分析】根据非负数之和的性质求出x、y的值，再利用勾股定理求解即可。
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；平移的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵轴，，
∴在中，，
∴，
∴在函数中，当时，，即，
∴，
∴，
∴三角形平移距离为6个单位长度，
∴平移中扫过的面积为：．
故选：B．
【分析】本题结合一次函数、平移性质与勾股定理考查，先由坐标与轴、勾股定理求点C坐标，再代入直线求平移后C点坐标得平移距离，BC扫过的图形为平行四边形，用平移距离乘AC长度得面积。
10．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形和都是菱形，，
∴，，，，
∴，
∴
∴，是等边三角形，
∴，
∴，
∵点G为的中点，
∴，
∵，
∴
连接，交于点，则，
∴，
∴，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查菱形、等边三角形、直角三角形性质与勾股定理，由菱形性质证为等边三角形得长度，求出长度并证，用勾股定理求，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半求。
11．【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：5．
【分析】利用二次根式的性质分析求解即可.
12．【答案】
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，解得：，
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，函数图象上的点满足解析式，将代入，解一元一次方程即可求出值。
13．【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解： 如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm，如果挂上xkg的物体后，弹簧伸长2xcm，
不挂重物时长 10cm，因此总长y关于所挂重物x的函数关系式为，
故答案为：．
【分析】弹簧总长度=不挂重物时长 10cm+挂xkg的物体后弹簧伸长的2xcm.
14．【答案】1
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵的平分线与边相交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵G是中点，，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：1．
【分析】本题考查平行四边形性质、角平分线定义与三角形中位线定理，由平行四边形对边平行得内错角相等，结合角平分线证求，再由O、G为中点，用中位线定理求。
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点F运动的路径是，
∵，
∴，
∴，
∴点F运动的路径长是．
故答案为：．
【分析】本题考查矩形、等边三角形性质与全等三角形判定，先证为等边三角形，再证得，确定F的运动路径为，由三角函数求长度即为路径长。
16．【答案】解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，先通过完全平方公式展开，再用平方差公式计算，最后合并同类二次根式得出结果。
17．【答案】证明：连接，与交于点O，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
，
即，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接，与交于点O，利用平行四边形的性质及线段的和差求出，再结合OB=OD，即可证出四边形是平行四边形．
18．【答案】（1）解：∵，，，∴
∴，
∴的面积为30；
（2）解：由题意，∵，，，∴，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）本题考查海伦-秦九韶公式的直接应用，先根据三边长计算半周长，再将与三边代入公式，化简二次根式求出面积；
（2）本题考查勾股定理逆定理与直角三角形面积计算，先验证三边满足勾股定理逆定理确定直角三角形，再用直角边乘积的一半求面积。
（1）解：∵，，，
∴
∴，
∴的面积为30；
（2）解：由题意，∵，，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
19．【答案】（1）7.6，7，12
（2）解：根据题意，得（人），
答：线上观众评分不低于8分的人数为2400人；
（3）同意，因为线上观众群体样本容量大，更具有代表性
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意，得（分），
根据中位线的定义，得应该在的7分范围内，
故中位数为（分），
根据题意，得，
故，
故答案为：7.6，7，12；
【分析】
（1）利用加权平均数计算公式可得出、注意求中位数时，先对线上评分按照从小到大的顺序排序，再取第2500名和第2501名的平均评分定义即可，最后结合扇形统计图中所占百分比即可求得；
（2）利用总人数乘以不低于8分的百分比即可；
（3）根据样本容量大更具有代表性即可作答．
（1）解：根据题意，得（分），
根据中位线的定义，得应该在的7分范围内，
故中位数为（分），
根据题意，得，
故，
故答案为：7.6，7，12；
（2）解：根据题意，得（人），
答：线上观众评分不低于8分的人数为2400人；
（3）解：同意，理由：线上观众群体样本容量大，更具有代表性．
20．【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为．
根据题意得，点满足此关系式．
所以，
解得；
所以与之间的函数关系式为；
（2）当时，，
解得，
所以当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）本题考查一次函数待定系数法，设解析式为，将两组对应值代入解方程组，求出、得函数关系式；
（2）本题考查一次函数实际应用，将代入解析式，解一元一次方程得物重。
（1）解：设与之间的函数关系式为．
根据题意得，点满足此关系式．
所以，
解得；
所以与之间的函数关系式为；
（2）当时，，
解得，
所以当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为．
21．【答案】（1）证明：∵，∴，，
∵F是中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点C作于点G，
∵，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）本题考查平行四边形判定，由得内错角相等，结合F是中点证得，根据对角线互相平分判定平行四边形；
（2）本题考查解直角三角形与勾股定理，过C作，先在等腰中求、，再在中求，结合性质与勾股定理求，最终得长度。
（1）证明：∵，
∴，，
∵F是中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点C作于点G，
∵，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）
（2）解：①∵四边形是矩形，，∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得；
②∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
由折叠性质得，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得，则，，
∵
∴，即
∴；
（3）解：过M作于S，于K，连接，则，
当时，，
则四边形是正方形，
∴，，，点B与点D关于对称，
∴四边形是矩形，
∴，又，
∴，又，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴M在上运动，
连接，，
∵点B与点D关于对称，
∴，
∴，当D、M、N共线时，取等号，
∴的最小值为的长，
在中，，，
∴，
∴的最小值为．
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；正方形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：如图1，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点A关于直线的对称点正好是对角线的中点，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
【分析】（1）本题考查矩形、轴对称与等边三角形性质，连接，由轴对称与矩形对角线性质得，证为等边三角形，进而求；
（2）①本题考查矩形与勾股定理，由结合勾股定理列方程，代入已知值求解；②本题考查折叠性质、等腰三角形与面积法，由折叠与平行线性质得，设未知数列勾股定理方程求边长，再用面积法求；
（3）本题考查正方形、全等三角形与最短路径，证矩形为正方形，得M在对角线上，利用对称将转化为，由两点之间线段最短求即为最小值。
（1）解：如图1，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点A关于直线的对称点正好是对角线的中点，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：①∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得；
②∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
由折叠性质得，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得，则，，
∵
∴，即
∴；
（3）解：过M作于S，于K，连接，则，
当时，，
则四边形是正方形，
∴，，，点B与点D关于对称，
∴四边形是矩形，
∴，又，
∴，又，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴M在上运动，
连接，，
∵点B与点D关于对称，
∴，
∴，当D、M、N共线时，取等号，
∴的最小值为的长，
在中，，，
∴，
∴的最小值为．
23．【答案】解：（1）在中，令得，令得，∴，；
（2）①过B作于H，过H作轴，过B作于G，过E作于K，如图：
设直线解析式为，
将代入得，
解得：，
即直线解析式为，
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
设直线解析式为，
将代入得，
解得：，
即直线解析式为；
②过P作于T，连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P到直线的距离为；
（3）在平面上存在点N，使以点A，D，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设，
又，
①当为对角线时，的中点重合，且，
∴，
解得或，
∴或；
②当为对角线时，同理可得，
解得(此时M与D重合，舍去)或，
∴；
③当为对角线时，同理得，
解得，
∴；
综上所述，N的坐标为或或或．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）本题考查一次函数与坐标轴交点求法，在解析式中分别令、，求对应坐标值得A、B点坐标；
（2）①本题考查一次函数、等腰直角三角形与全等三角形，先求直线解析式，由证等腰直角三角形，再证全等求E点坐标，用待定系数法求解析式；②本题考查点到直线的距离，用勾股定理求，结合面积法求点P到直线的距离；
（3）本题考查菱形性质与坐标计算，设M、N坐标，分三种对角线情况，根据菱形四边相等、对角线平分列方程组，求出所有N点坐标。
1 / 1广东省汕头市金平区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应的小题所选的选项涂黑．
1．下列各数中，能使有意义的是（　　）
A．6 B．4 C．3 D．0
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：．
所以符合条件的只有A选项．
故选：A
【分析】本题考查二次根式有意义的核心条件，二次根式要求被开方数为非负数，据此列不等式 解得 ，再逐一验证选项数值是否满足该取值范围，即可选出正确答案。
2．下列各式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数为，存在分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数是25，25=52是完全平方数，即被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、， 被开方数为3，不含分母且无法开方得到整数，是最简二次根式，符合题意；
D、，被开方数27=9×3，27是完全平方数，即被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，据此逐一判断得出答案.
3．某小组8名学生的中考体育测试成绩（单位：分，满分60分）依次为59，60，55，57，60，58，60，58，这组数据的众数是（　　）
A．55 B．57 C．58 D．60
【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】将数据从小到大排列为：55，57，58，58，59，60，60，60．
统计各数值出现次数：55、57、59各1次，58出现2次，60出现3次．
出现次数最多的是60，
故众数为60，
故选D．
【分析】本题考查众数的定义与求解方法，众数是一组数据中出现次数最多的数，先整理数据并统计各成绩出现频次，找出频次最高的数值即为众数。
4．已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．，，
C． D．∶∶∶∶
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，，∴最大的角，∴不是直角三角形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）及三角形的内角和逐项分析判断即可.
5．一次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：一次函数中，所以随的增大而减小，
由点，可知，
．
故选：A．
【分析】本题考查一次函数的增减性，一次函数 中 时， 随 增大而减小；比较两点横坐标 ，结合增减性可直接判断 与 的大小。
6．在平行四边形中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴设，，
∴，
解得．
∴．
∴．
故选：B．
【分析】本题考查平行四边形的角的性质，平行四边形邻角互补、对角相等，先根据邻角和为 结合比例设未知数求，再利用对角相等得的度数。
7．正方形具有而矩形不一定具有的性质是 （　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；矩形四个角都是直角，对角线互相平分且相等，所以只有A正确.
故答案为：A.
【分析】根据正方形，矩形的四个角都是直角，正方形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不互相垂直，据此判断即可.
8．已知x，y为正数，且 ，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　）
A．5 B．25 C．7 D．15
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：依题意得： ，
∴ ，
斜边长 ，
所以正方形的面积 ．
故答案为：C．
【分析】根据非负数之和的性质求出x、y的值，再利用勾股定理求解即可。
9．如图，的顶点坐标分别为，，轴，，蒋沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为（　　）
A．12 B．24 C．15 D．30
【答案】B
【知识点】勾股定理；平移的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵轴，，
∴在中，，
∴，
∴在函数中，当时，，即，
∴，
∴，
∴三角形平移距离为6个单位长度，
∴平移中扫过的面积为：．
故选：B．
【分析】本题结合一次函数、平移性质与勾股定理考查，先由坐标与轴、勾股定理求点C坐标，再代入直线求平移后C点坐标得平移距离，BC扫过的图形为平行四边形，用平移距离乘AC长度得面积。
10．菱形的边长为4，，点G为的中点，以为边作菱形，其中点E在的延长线上，连接，点M为的中点，连接，则线段的长为（　　）
A．3 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形和都是菱形，，
∴，，，，
∴，
∴
∴，是等边三角形，
∴，
∴，
∵点G为的中点，
∴，
∵，
∴
连接，交于点，则，
∴，
∴，
∴，
∵点M为的中点，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查菱形、等边三角形、直角三角形性质与勾股定理，由菱形性质证为等边三角形得长度，求出长度并证，用勾股定理求，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半求。
二、填空题：本大题5小题，每小题3分，共15分．
11．化简：　 　．
【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：，
故答案为：5．
【分析】利用二次根式的性质分析求解即可.
12．正比例函数的图象经过点，则　 　．
【答案】
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，解得：，
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，函数图象上的点满足解析式，将代入，解一元一次方程即可求出值。
13．一个弹簧秤不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上的物体后，弹簧伸长，则弹簧总长（单位：cm）与所挂重物质量（单位：kg）的函数解析式是　 　．
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解： 如果挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm，如果挂上xkg的物体后，弹簧伸长2xcm，
不挂重物时长 10cm，因此总长y关于所挂重物x的函数关系式为，
故答案为：．
【分析】弹簧总长度=不挂重物时长 10cm+挂xkg的物体后弹簧伸长的2xcm.
14．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点F，G是中点，若，，则的长为　 　．
【答案】1
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵的平分线与边相交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵G是中点，，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：1．
【分析】本题考查平行四边形性质、角平分线定义与三角形中位线定理，由平行四边形对边平行得内错角相等，结合角平分线证求，再由O、G为中点，用中位线定理求。
15．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，点E在线段上从点A至点O运动，连接，以为边作等边三角形，点F和点A分别位于两侧，则点F运动的路径长是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点F运动的路径是，
∵，
∴，
∴，
∴点F运动的路径长是．
故答案为：．
【分析】本题考查矩形、等边三角形性质与全等三角形判定，先证为等边三角形，再证得，确定F的运动路径为，由三角函数求长度即为路径长。
三、解答题（一）：本大题3小题，每小题7分．共21分．
16．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，先通过完全平方公式展开，再用平方差公式计算，最后合并同类二次根式得出结果。
17．如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：连接，与交于点O，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
，
即，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接，与交于点O，利用平行四边形的性质及线段的和差求出，再结合OB=OD，即可证出四边形是平行四边形．
18．【追本溯源】：人教版八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．
【方法应用】：如图，在中，，，．
（1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积；
（2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
【答案】（1）解：∵，，，∴
∴，
∴的面积为30；
（2）解：由题意，∵，，，∴，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）本题考查海伦-秦九韶公式的直接应用，先根据三边长计算半周长，再将与三边代入公式，化简二次根式求出面积；
（2）本题考查勾股定理逆定理与直角三角形面积计算，先验证三边满足勾股定理逆定理确定直角三角形，再用直角边乘积的一半求面积。
（1）解：∵，，，
∴
∴，
∴的面积为30；
（2）解：由题意，∵，，，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
四、解答题（二）：本大题3小题，每小题9分，共27分．
19．2025年央视春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，燃爆全球，广受好评．为调查观众对某创新节目的评价，组委会收集了50名现场观众和5000名线上观众的评分（满分10分），并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图：
两个观众群体对《秧BOT》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
现场 8 8
线上 7.6 7
（1）直接写出，，的值；
（2）请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数；
（3）小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由．
【答案】（1）7.6，7，12
（2）解：根据题意，得（人），
答：线上观众评分不低于8分的人数为2400人；
（3）同意，因为线上观众群体样本容量大，更具有代表性
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意，得（分），
根据中位线的定义，得应该在的7分范围内，
故中位数为（分），
根据题意，得，
故，
故答案为：7.6，7，12；
【分析】
（1）利用加权平均数计算公式可得出、注意求中位数时，先对线上评分按照从小到大的顺序排序，再取第2500名和第2501名的平均评分定义即可，最后结合扇形统计图中所占百分比即可求得；
（2）利用总人数乘以不低于8分的百分比即可；
（3）根据样本容量大更具有代表性即可作答．
（1）解：根据题意，得（分），
根据中位线的定义，得应该在的7分范围内，
故中位数为（分），
根据题意，得，
故，
故答案为：7.6，7，12；
（2）解：根据题意，得（人），
答：线上观众评分不低于8分的人数为2400人；
（3）解：同意，理由：线上观众群体样本容量大，更具有代表性．
20．如图，杠杆是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡瓷，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重（）之间满足一次函数关系，若挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时秤砣到秤纽的水平距离为．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当秤砣到秤纽的水平距离为时，求秤钩所挂物重．
【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为．
根据题意得，点满足此关系式．
所以，
解得；
所以与之间的函数关系式为；
（2）当时，，
解得，
所以当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）本题考查一次函数待定系数法，设解析式为，将两组对应值代入解方程组，求出、得函数关系式；
（2）本题考查一次函数实际应用，将代入解析式，解一元一次方程得物重。
（1）解：设与之间的函数关系式为．
根据题意得，点满足此关系式．
所以，
解得；
所以与之间的函数关系式为；
（2）当时，，
解得，
所以当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为．
21．如图，中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，∴，，
∵F是中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点C作于点G，
∵，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）本题考查平行四边形判定，由得内错角相等，结合F是中点证得，根据对角线互相平分判定平行四边形；
（2）本题考查解直角三角形与勾股定理，过C作，先在等腰中求、，再在中求，结合性质与勾股定理求，最终得长度。
（1）证明：∵，
∴，，
∵F是中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点C作于点G，
∵，
∴，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
五、解答题（三）：本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．【问题情境】如图，在矩形中，．
（1）【初步尝试】如图1，点P为边上一点，若点A关于直线的对称点正好是对角线的中点，则___________；
（2）【深入探究】如图2，点Q为边上一点，且，连接，若，；
①求n的值；
②将沿翻折，点C的对应点为点E，与交于点G，过点E作于H，求线段的长；
（3）【拓展延伸】如图3，若，，点P、Q分别是边上的动点，点M是矩形内一动点，且，，N为上一点，，连接，求的最小值．
【答案】（1）
（2）解：①∵四边形是矩形，，∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得；
②∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
由折叠性质得，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得，则，，
∵
∴，即
∴；
（3）解：过M作于S，于K，连接，则，
当时，，
则四边形是正方形，
∴，，，点B与点D关于对称，
∴四边形是矩形，
∴，又，
∴，又，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴M在上运动，
连接，，
∵点B与点D关于对称，
∴，
∴，当D、M、N共线时，取等号，
∴的最小值为的长，
在中，，，
∴，
∴的最小值为．
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；正方形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：如图1，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点A关于直线的对称点正好是对角线的中点，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
【分析】（1）本题考查矩形、轴对称与等边三角形性质，连接，由轴对称与矩形对角线性质得，证为等边三角形，进而求；
（2）①本题考查矩形与勾股定理，由结合勾股定理列方程，代入已知值求解；②本题考查折叠性质、等腰三角形与面积法，由折叠与平行线性质得，设未知数列勾股定理方程求边长，再用面积法求；
（3）本题考查正方形、全等三角形与最短路径，证矩形为正方形，得M在对角线上，利用对称将转化为，由两点之间线段最短求即为最小值。
（1）解：如图1，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵点A关于直线的对称点正好是对角线的中点，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（2）解：①∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得；
②∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
由折叠性质得，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得，则，，
∵
∴，即
∴；
（3）解：过M作于S，于K，连接，则，
当时，，
则四边形是正方形，
∴，，，点B与点D关于对称，
∴四边形是矩形，
∴，又，
∴，又，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴M在上运动，
连接，，
∵点B与点D关于对称，
∴，
∴，当D、M、N共线时，取等号，
∴的最小值为的长，
在中，，，
∴，
∴的最小值为．
23．【问题背景】如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，点为y轴上一点．
【构建联系】
（1）求点A，点B的坐标；
（2）点C为线段上一点，连接交于点E，若，
①求直线的解析式；
②点为y轴负半轴上一点，求点P到直线的距离；
【深入探究】
（3）点M为y轴上一点，在平面上是否存在点N，使以点A，D，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）在中，令得，令得，∴，；
（2）①过B作于H，过H作轴，过B作于G，过E作于K，如图：
设直线解析式为，
将代入得，
解得：，
即直线解析式为，
设，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
设直线解析式为，
将代入得，
解得：，
即直线解析式为；
②过P作于T，连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P到直线的距离为；
（3）在平面上存在点N，使以点A，D，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设，
又，
①当为对角线时，的中点重合，且，
∴，
解得或，
∴或；
②当为对角线时，同理可得，
解得(此时M与D重合，舍去)或，
∴；
③当为对角线时，同理得，
解得，
∴；
综上所述，N的坐标为或或或．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）本题考查一次函数与坐标轴交点求法，在解析式中分别令、，求对应坐标值得A、B点坐标；
（2）①本题考查一次函数、等腰直角三角形与全等三角形，先求直线解析式，由证等腰直角三角形，再证全等求E点坐标，用待定系数法求解析式；②本题考查点到直线的距离，用勾股定理求，结合面积法求点P到直线的距离；
（3）本题考查菱形性质与坐标计算，设M、N坐标，分三种对角线情况，根据菱形四边相等、对角线平分列方程组，求出所有N点坐标。
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