资源简介

广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年九年级下学期期中数学试卷
1．的倒数是（　　）
A． B． C． D．6
2． 小 DNA病毒科（Parvoviridae)，又称“细小病毒科”，是最小且最简单的 DNA病毒. 小 DNA病毒粒是直径约为 0. 000000021米的二十面体，无囊膜，等轴对称. 数据“0. 000000021”用科学记数法可表示为（　　)
A． B． C． D．
3． 下列运算正确的是（　　)
A． B．
C． D．2a-3a=-a
4． 下列调查中，适合采用全面调查的是（　　)
A．为保证“神舟二十号”成功发射，对其零部件进行检查
B．调查某批次灯泡的使用寿命
C．调查某市居民垃圾分类意识的情况
D．调查某市市区空气质量情况
5． 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
6． 如图， A， B， C是⊙O上的点， OC⊥AB，垂足为点 D，且 D为 OC的中点，若 OA的长为 6，则 BC的长为（　　)
A．3 B．5 C．3 D．6
7． 如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度 h（m)与水平距离 x（m)之间的关系大致为抛物线 则小强本次投掷实心球的成绩为（　　)
A．8m B．9m C．10m D．3m
8． 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，延长CB 至点 E，延长AD 至点 F，连接AE，CF.若四边形AECF为菱形，则这个菱形的面积为(　　)
A．9 B． C． D．
9． 如图，一次函数 y1=kx+1与反比例函数 的图象交于点 P （2， t)，过点 P作 PA⊥x轴于点 A，连接 OP，下列结论错误的是（　　)
A．△OAP 的面积是 3
B．k=1
C．当 y1≥y2时， x≥2
D．点 B （m，n)在 上，当 m>2时， n>3
10． 如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=3， AB=6，点 D是 AB的中点，点 E是以点 B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接 AE，点F为 AE的中点，则 CF长度的最大值是（　　)
A． B． C． D．
11．函数 中自变量x的取值范围是　 　．
12． 已知线段 a，b，d，c成比例，若 a=5cm，c=3cm，d=4cm，则 b=　 　 cm.
13． 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点 A，B均在坐标轴上，已知点 A （0，1)，B （2， 0) ， AB=BC， ∠ABC=90°，连接 OC，则 OC所在直线的表达式是　 　.
14．如图，点D在圆心角为90°的扇形AOB的半径OA上，矩形OBCD与交于点E，EF⊥OB于点F.若OD=OF=1，则图中阴影部分的面积是　 　.
15． 如图，等边△ABC的边长为 6，点 D在边 AB上， BD=2，线段 CD绕 D顺时针旋转 60°得到线段 DE，连接 DE交 AC于点 F，连接 AE，下列结论： ①AF： FC=2：7； ②四边形ADCE面积为； ③直线 CE与 AB的交点为 G，则 AG： GB=1： 5；④过点 F作 FH⊥CD于 H，则 其中正确的是　 　（填写序号).
16． 解方程：
17． 某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道(从内到外的道次依次为1，2，3，4)，裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次.
（1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为　 　；
（2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球.请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率.
18．如图，在△ABC中， AB=BC，以 BC为直径作⊙O，分别交 AC， AB于点 D， E，连接 DO并延长，交⊙O于点 F，过点 F作⊙O的切线，交 CB的延长线于点 G.
（1）求证： DF∥AB；
（2）若 求 AC的长.
19．如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度 AB=3cm，烧杯高度 EF=12cm，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分 MN=GH=8cm，且∠MNH=∠GHN=60°，漏斗管位于烧杯的上方部分FG=6cm，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点 P处， 玻璃棒 PQ长度为 30cm.
（结果精确到 0. 1cm)
（1）求漏斗口处点 N到底座 AD的高度；
（2）某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为 53°，求此时玻璃棒顶端 Q点到桌面的距离.
（参考数据：
20． 如图，点 A在第一象限，点 B在 y轴正半轴上，AB⊥y轴，AB=3，OB=2，反比例函数 的图象经过点 A.
（1）求反比例函数 的解析式；
（2）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法)：求作菱形 AOCD，使得点 C在第二象限，点 B为 OD的中点；
（3）E是反比例函数的图象上一点，△ACE的面积为 12，求点 E坐标.
21．如图 1，在正方形 ABCD中， AB=3，点 E， F分别是边 AD， CD上动点，且满足 BF=CE.
（1）求证： BF⊥CE.
（2）点 E，F在运动过程中，DP的最小值为　 　.
（3）如图 2，取 AB的中点 G，连接 GP，过点 P作 PH⊥GP，交 BC于点 H，连接 GH，若 CF=1，求GH的长.
22．学习完了一元二次方程后，某校数学兴趣小组对关于 x的一元二次方程 开展深入探究.
（1）【初探究】
学校计划用围栏围成一个长方形劳动实践基地，经过测量，基地的长比宽多 1米，设基地的宽为 x米，围成基地的面积为 m平方米，当 m=12时，求此时 x的值；
（2）【再探究】
若实数 a，b满足 且 2a≠b，求 2a+b的值；
（3）【深度思考】
若两个不相等的实数 p，q满足 求证：
23．在平面直角坐标系中，抛物线 与 x轴交于点 A，B点 A在点 B的左侧. 顶点为 C.
（1）若顶点 C的横坐标为-1，求 b的值及顶点 C的坐标.
（2）规定：横、纵坐标均为整数的点叫做整点. 若抛物线 的对称轴为 y轴.
①写出抛物线 与 x轴所围成封闭图形 G内部（不包括边界)的所有整点坐标；
②若反比例函数 的图象与抛物线 在第三象限内围成的封闭图形 W内部及边界上的整点的个数总和为 2，求实数 k的取值范围.
（3）若点 C为直线 在第三象限上一点，且直线 与抛物线 在 x轴下方的部分有且只有一个交点，试求出 t的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：-6的倒数是．
故答案为：A．
【分析】根据互为倒数的两数相乘等于1求解即可。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：A、a=0.21＜1，不满足a≥1的要求，错误；
B、 a=2.1 满足1≤a<10的要求，且n=-8 ，正确；
C、a=21不满足a＜10的要求，错误；
D、a=2.1＜10，满足1≤a<10的要求，但 n=-7错误，2.1×10-7=0.00000021，比原数少一位小数，错误.
故答案为：B.
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，需熟知科学记数法的表示形式为“”，其中，n为整数.对于原数0.000000021，确定a的值应为2.1，再根据小数点向右移动的位数确定n的值为-8.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查整式的运算，包括同底数幂的乘法、单项式的除法、完全平方公式以及合并同类项.选项A是同底数幂相乘，运算规则是“底数不变，指数相加”；选项B是单项式的除法，系数相除，同底数幂相除，底数不变，指数应该相减；选项C是完全平方公式，，缺少中间项且4的符号应为正；选项D是合并同类项，只系数相加减，所以只有D正确.
4．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、航天器零部件必须万无一失，检查要求100%精确，且无破坏性，适合全面调查，正确；
B、灯泡寿命测试具有破坏性（点亮至损坏），不能逐一点亮，应采用抽样调查，错误；
C、全市居民数量庞大，普查耗时费力、成本高，应采用抽样调查，错误；
D、检测站点有限，空气质量本身是动态变化的，普查无意义，应抽样调查，错误．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查全面调查与抽样调查的适用场景选择.需要根据调查对象的数量、是否具有破坏性、以及调查的可行性来判断哪种调查方式更合理.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(-2)2-4(k-1)=0，
解得k=2.
故答案为：A.
【分析】根据判别式定理，当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根，因此需要计算判别式并令其等于零，解方程求出k的值.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB
∴AD=BD，∠ADO=∠BDC=90°
∵D为OC的中点
∴OD=CD
∴△ADO≌△BDC（SAS）
∴AO=BC
∵AO=6
∴BC=6.
故答案为：D.
【分析】本题综合考查垂径定理与三角形全等的性质与判定.根据垂径定理得到两个直角相等、两条边相等，结合已知判定三角形全等（SAS），从而得到所求线段BC与半径OA长度相等.
7．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当h=0时，得，整理得，解得（不符合题意，舍去），
所以小强本次投掷实心球的成绩为8m.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用——投掷类问题.实心球的“成绩”指的是它落地点到起点的水平距离，即当高度h=0时，水平距离x的解，解得两个x的值，因为距离应是正值，所以取x＞0的解.
8．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设BE＝x.
四边形ABCD是矩形
四边形AECF是菱形
，解得：
故答案为：C .
【分析】由矩形的性质可得是直角三角形，再由菱形的性质可得AE＝CE，则可设BE=x，则AE＝CE＝x+2，再利用勾股定理求出BE的长，则CE可得，再利用菱形的面积公式计算即可.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：将点P（2，t）代入得，，
∴点P坐标为（2，3）
A、∵PA⊥x轴于点 A，∴，故A正确，不符合题意；
B、将点P（2，3）代入y1=kx+1得，3=2k+1，解得k=1，故B正确，不符合题意；
C、根据图像可知，当y1≥y2时，x≥2，故C正确，不符合题意；
D、由于反比例函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以当m＞2时，n＜3，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用.首先利用交点P在反比例函数图象上，且反比例函数解析式已知，求出点P坐标.由已知三角形OAP是直角三角形，根据点P横纵坐标求出三角形面积；利用待定系数法，将点P代入一次函数即可解出k值；根据图象，y1≥y2是指一次函数图象在反比例函数上方，对应x的范围应是交点P横坐标的右侧，即x≥2；根据反比例函数的增减性结合图象判断当m＞2时，对应的n值小于3.
10．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接CD、DE、BE
∵在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，
∴，
∴BE=BD=3
∵点D，F分别是AB、AE的中点
∴
∵CF≤CD+DF
∴
故CF最大值为
故答案为：C.
【分析】本题考查了三角形的相关知识点.解题关键是利用三角形不等式将动点距离转化为定点间距离：根据三角形三边关系得到CF＜CD+DF，当C、D、F三点共线时，取最大值，即CF≤CD+DF.利用直角三角形斜边中线的性质“ 直角三角形斜边中线等于斜边一半”求出CD；利用三角形中位线的性质“中位线平行于第三边且等于第三边的一半”求出DF，即可求解.
11．【答案】x＞4
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵x-4≠0，x-4≥0
解得x＞4.
故答案为x＞4.
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式组求出函数自变量的取值范围即可.
12．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段a，b，d，c成比例
∴
将a=5cm，c=3cm，d=4cm代入，得
∴
解得
故答案为：.
【分析】本题考查比例线段的定义：若四条线段a、b、d、c成比例，则.根据定义，已知其中三条线段长度，即可求出第四条线段长度.代入已知数值求解即可.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
即点C的坐标是（3，2）
设OC所在直线的表达式为y=kx
将（3，2）代入y=kx，得2=3k
解得
∴OC所在直线的表达式为
故答案为：.
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及待定系数法求正比例函数解析式.根据所给条件作出辅助线，证明，得到对应线段相等，进而得到点C的坐标，利用待定系数法求出正比例函数解析式.
14．【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OE，如图，
∵四边形OBCD为矩形，
∴四边形ODEF和四边形BCEF都为矩形，
∴四边形ODEF为正方形，
∴由AD、DE和弧AE所围成的图形的面积=由BF、FE和弧BE所围成的图形的面积，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：
【分析】连接OE，如图，先证明四边形ODEF和四边形BCEF都为矩形，再证明四边形ODEF为正方形，所以 然后利用图中阴影部分的面积进行计算.
15．【答案】①②
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；相似三角形的判定；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴，即
∴
∴
∴
故①正确；
∵，
∴△CDE是等边三角形
∴，
∴
即
∵
∴
∴
如图，过点A作AM⊥BC于点M
∴
∴
∴
故②正确；
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
故③错误；
如图，过点D作DN⊥BC于点N
∵
∴
∴，
∴
∴
∵
∴，即
∴
∵FH⊥CD
∴
故④错误；
故答案为：①②.
【分析】本题综合考查了全等三角形、相似三角形及三角函数等知识点.
①结合等边三角形的性质及已知条件推出，得到对应线段成比例，利用三条已知线段求出AF的长，进而求出CF的长，求出比例即可；
②根据旋转的性质，利用“SAS”判定，故两个三角形面积相等，即可将所求四边形的面积转化为等边三角形ABC的面积，求出；
③根据两组角相等判定，进而得到AG与GB的比等于AE与BC的比，已知AE=2，BC=6，所以AG：GB=1：3；
④结合三角函数与勾股定理求出CD的长，再由求出DF的长，在直角三角形DHF中利用三角函数即可求出FH.
16．【答案】解：x-2=2x-6，
x=4.
经检验，x=4是原方程的解
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】去分母法解分式方程，即先化分式方程为整式方程，再验根，最后根据验根的结果写出根的情况即可.
17．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
甲 乙
1 2 3 4
1 —— (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) —— (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) —— (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) ——
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种，
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）；
【分析】（1）直接利用简单事件的概率公式计算即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
18．【答案】（1）（1）证明：，
．
，
，
，
；
（2）解：如图，设的半径为，连接，
切于点，
．
在中，，
解得，
，
，
．
为的直径，
．
在中，，
．
，
．
在中，．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行；
（2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出AC的长．
19．【答案】（1）解：如图，过点G作GR⊥NH于点R
∵∠GHN=60°，GH=8cm
∴在Rt△GHR中，
又∵FG=6cm，EF=12cm
∴点N到AD的距离=GR+GF+EF=
答：漏斗口处点N到底座AD的高度为24.9cm.
（2）解：如图，过点Q作QS⊥PW于点S，过点G作GT⊥PW于点T
在Rt△QSP中，PQ=30cm，∠QPS=53°，
∴QS=PQsin∠QPS=PQsin∠53°≈30×0.8=24cm。
在Rt△GPT中，，∠GPW=60°
∴MT=GPsin∠GPW=GPsin60°=
∴Q点到桌面的距离=QS+MT+GF+EF+AB=
答：此时玻璃棒顶端Q点到桌面的距离为49.3cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及锐角三角函数以及分段计算高度的方法.（1）构造直角三角形GHR，利用三角函数求出GR，求点N到底座AD之间的竖直线段的线段和；（2）根据题目中玻璃棒的长度、倾斜角度以及漏斗的几何结构，通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数求出各段竖直高度，最后相加得到顶端到桌面的总距离.
20．【答案】（1）解：∵AB⊥y轴，AB=3，OB=2
∴点A的坐标为（3，2），
将点A（3，2）代入得，
∴k=6
故反比例函数的解析式为；
（2）解：如图所示：
（答案不唯一）
（3）解：∵四边形AOCD是菱形
∴
∵点A的坐标为（3，2）
∴点C的坐标为（-3，2）
∴AC=3-（-3）=6
设△ACE中AC边上的高为h，
∵△ACE的面积为12
∴
∴h=4
当点E在AC上方时，，所以，即E（1，6）；
当点E在AC下方时，，所以，即E（-3，-2）；
综上所述，点E的坐标为（1，6）或（-3，-2）.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；菱形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（2）以点B为圆心，OB长为半径画弧，交y轴于点D；分别以点O、D为圆心，OA长为半径画弧，交于点C，连接点A、O、C、D即为所求.
【分析】（1）本题主要考查求反比例函数解析式.根据已知得到点A的坐标，代入求出k即可；
（2）本题主要考查根据菱形的性质尺规作图.由已知AB⊥y轴，所以“以点B为圆心，OB长为半径画弧，交y轴于点D”得到AD=OA；再分别以点O、D为圆心，OA长为半径画弧，交于点C，得到OA=AD=OC=CD，根据菱形的判定“四条边都相等的四边形是菱形”得到AOCD是菱形.
（3）本题综合考查反比例函数图象与坐标系中三角形面积的求法.根据菱形的性质及点A的坐标得到点C的坐标，进而得到AC的长为6；已知△ACE的面积为12，根据三角形面积公式可得到AC边上的高h为4；由于线段AC是水平线段，所以点A的纵坐标加减高h即为点E的纵坐标，将纵坐标代入反比例函数解析式即可得到横坐标，即可求解.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCF=∠D=∠BCD=90°，在Rt△BCF和Rt△CDE中，
∴Rt△BCF≌Rt△CDE（HL)，
∴∠CBF=∠ECD，
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠CBF+∠BCE=90°，
∴∠BPC=90°，
（2）
（3）解：如图，以点B为原点建立平面直角坐标系，点A坐标为（0，3），点C坐标为（3，0），点D坐标为（3，3）
∵四边形ABCD为正方形，CF=1
∴点F坐标为（3，1）
∵Rt△BCF≌Rt△CDE
∴DE=CF=1
∴点E坐标为（2，3）
设BF所在直线的解析式为，将点F（3，1）代入，得1=3k，解得
∴
设CE所在直线的解析式为，将点E（2，3），点C（3，0）代入，得
，解得
∴
联立，解得
∴点P的坐标为
∵G是AB中点
∴点G的坐标为
∴直线GP的解析式为
∵PH⊥GP
∴直线PH的斜率为
设直线PH的解析式为，将P代入，得，解得
∴
当y=0时，，解得
∴
在Rt△BCH中，.
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；一次函数的实际应用-几何问题；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】（2）如图所示：取BC的中点O，连接DP，OP
由（1）知，∠BPC=90°
∴OP是Rt△BCP斜边BC上的中线
∵四边形ABCD是正方形，AB=3
∴，
因此可以判断点P的运动轨迹是以点O为圆心，长为半径的圆上，连接OD交半圆于点P'，此时DP'长度最小，
∵∠BCD=90°，CD=3，
∴
∴
故DP最小值为.
【分析】（1）本题考查正方形的性质、全等三角形的性质、判定（HL）及垂直的判定.利用正方形的性质得到边相等、角为直角，结合已知BF=CE证明三角形全等（HL），得到角相等，从而推出∠BPC=90°，即可证明；
（2）本题的解题关键是找到何时DP有最小值.根据第（1）问得到的结论，联系“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”确定点P的运动轨迹，结合图像分析，（三角形三边关系），所以点O、P、D在一条直线上时，DP取得最小值，利用勾股定理求出OD即可求解；
（3）本题通过建立平面直角坐标系来求解.①根据正方形的性质建立平面直角坐标系；②待定系数法求直线BF、CE的解析式；③求交点坐标P；④待定系数法求直线GH的解析式，结合PH⊥GP，确定直线PH解析式的斜率；⑤求出点H坐标，利用勾股定理求解.
22．【答案】（1）解：依题可列
整理得
∴
解得，（不符合题意，舍去）
∴此时x的值为3；
（2）解：将两边同时除以4，得，
∵，2a≠b
∴a和是方程的两个不相等的实数根，
∴
整理得2a+b=-2；
（3）证明：∵p2+p-m=mq，q2+q-m=mp，
∴（p-q)（p+q+1)=-m（p-q)，
∴（p-q)（p+q+1+m)=0，
∵p≠q，
∴p+q+1+m=0，
∴p+q=-m-1，
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的其他应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）本题主要考查一元二次方程的应用.已知基地的宽为x米，长比宽多1米，则长为x+1，根据长方形面积列出方程，解方程并将负值舍去即可；
（2）本题主要考查一元二次方程根与系数的关系.观察两个方程的结构，可将b的方程与a的方程联系起来，将含b的方程两边同时除以4得到，恰好与a的方程形式相同，因此a和是方程的实数根，利用根与系数的关系求得；
（3）本题主要考查代数恒等变形与整体代入.首先将两式相减，消去m项，利用因式分解得到（p-q)（p+q+1+m)=0，结合p≠q，得到p+q=-m-1；再将两式相加，变形得到，将p+q=-m-1代入化简即可证明.
23．【答案】（1）解：由抛物线 得：a=1，
∴，解得b=2，
∴抛物线解析式为 ，将代入得
，
因此b的值为2，顶点C的坐标为（-1，-5）.
（2）解：①（1，-1)，（1，-2)，（0，-1)，（0，-2)，（0，-3)，（-1，-1)，（-1，-2)；
②由①知，抛物线在第三象限内的整点坐标为（-1，-3），抛物线在第三象限内部的整点坐标为（-1，-1），（-1，-2）
将（-1，-1）代入得，k=1；
将（-1，-2）代入得，k=2
∵图形W内部及边界上的整点的个数总和为2，根据图像
∴；
（3）解：∵点 C为直线 在第三象限上一点，且点C为抛物线顶点
∴当时，，解得，（不符合题意，舍去）
∴
当时，解得，
∵点A在点B的左侧
∴，
当直线经过点A时，将代入得，解得t=-2；
当直线经过点B时，将代入得，解得；
当直线 与抛物线在 x轴下方的部分有且只有一个交点时 ，整理得有两个相等的实数根，
∴解得，
结合图像：
∴t的取值范围：或.
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）①∵抛物线的对称轴为y轴
∴b=0，
∴
当时，，解得；
∵点 A在点 B的左侧
∴，
如图所示：
根据图像可以得出封闭图形G内部（不包括边界）的所有整点坐标（1，-1)，（1，-2)，（0，-1)，（0，-2)，（0，-3)，（-1，-1)，（-1，-2)；
【分析】（1）本题主要考查二次函数的顶点坐标公式：.已知a=1，顶点横坐标为-1，可先列出方程，求出b；再代回公式求顶点坐标，也可代回解析式求纵坐标；
（2）本题主要考查根据对称轴求函数解析式，以及对新定义“整点”的理解.
①按照要求写出一个区域内的“整点”，解题关键是明确封闭图形G是由抛物线与x轴围成的图形，在这个区域里找到符合“整点”定义的点，可结合图像写出点的坐标；
②根据题干的要求封闭图形W内部及边界上一共有2个整点.这个封闭图形是由抛物线与反比例函数在第三象限的图形组成的，结合图像分析，因为包含边界，所以其中一个整点一定是抛物线上的点（-1，-3），另外一个点为（-1，-2），求出反比例函数经过（-1，-2）时的k值；由于只能存在两个整点，所以反比例函数图象不能经过点（-1，-1)，求出此时的k值，即可得到k的范围；
（3）本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的交点个数.首先根据点C的纵坐标，求出抛物线解析式，进而得到点A、B的坐标.结合图像分析：当直线经过点A时，与抛物线的交点在x轴上，求出此时t值；当直线经过点B时，与抛物线在x轴下方有一个交点，求出此时t值；当直线与抛物线相切时，与抛物线在x轴下方有一个交点，结合函数与方程的关系，当判别式等于0时，求出t的值.
1 / 1广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年九年级下学期期中数学试卷
1．的倒数是（　　）
A． B． C． D．6
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：-6的倒数是．
故答案为：A．
【分析】根据互为倒数的两数相乘等于1求解即可。
2． 小 DNA病毒科（Parvoviridae)，又称“细小病毒科”，是最小且最简单的 DNA病毒. 小 DNA病毒粒是直径约为 0. 000000021米的二十面体，无囊膜，等轴对称. 数据“0. 000000021”用科学记数法可表示为（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：A、a=0.21＜1，不满足a≥1的要求，错误；
B、 a=2.1 满足1≤a<10的要求，且n=-8 ，正确；
C、a=21不满足a＜10的要求，错误；
D、a=2.1＜10，满足1≤a<10的要求，但 n=-7错误，2.1×10-7=0.00000021，比原数少一位小数，错误.
故答案为：B.
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，需熟知科学记数法的表示形式为“”，其中，n为整数.对于原数0.000000021，确定a的值应为2.1，再根据小数点向右移动的位数确定n的值为-8.
3． 下列运算正确的是（　　)
A． B．
C． D．2a-3a=-a
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查整式的运算，包括同底数幂的乘法、单项式的除法、完全平方公式以及合并同类项.选项A是同底数幂相乘，运算规则是“底数不变，指数相加”；选项B是单项式的除法，系数相除，同底数幂相除，底数不变，指数应该相减；选项C是完全平方公式，，缺少中间项且4的符号应为正；选项D是合并同类项，只系数相加减，所以只有D正确.
4． 下列调查中，适合采用全面调查的是（　　)
A．为保证“神舟二十号”成功发射，对其零部件进行检查
B．调查某批次灯泡的使用寿命
C．调查某市居民垃圾分类意识的情况
D．调查某市市区空气质量情况
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、航天器零部件必须万无一失，检查要求100%精确，且无破坏性，适合全面调查，正确；
B、灯泡寿命测试具有破坏性（点亮至损坏），不能逐一点亮，应采用抽样调查，错误；
C、全市居民数量庞大，普查耗时费力、成本高，应采用抽样调查，错误；
D、检测站点有限，空气质量本身是动态变化的，普查无意义，应抽样调查，错误．
故答案为：A．
【分析】本题主要考查全面调查与抽样调查的适用场景选择.需要根据调查对象的数量、是否具有破坏性、以及调查的可行性来判断哪种调查方式更合理.
5． 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(-2)2-4(k-1)=0，
解得k=2.
故答案为：A.
【分析】根据判别式定理，当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根，因此需要计算判别式并令其等于零，解方程求出k的值.
6． 如图， A， B， C是⊙O上的点， OC⊥AB，垂足为点 D，且 D为 OC的中点，若 OA的长为 6，则 BC的长为（　　)
A．3 B．5 C．3 D．6
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB
∴AD=BD，∠ADO=∠BDC=90°
∵D为OC的中点
∴OD=CD
∴△ADO≌△BDC（SAS）
∴AO=BC
∵AO=6
∴BC=6.
故答案为：D.
【分析】本题综合考查垂径定理与三角形全等的性质与判定.根据垂径定理得到两个直角相等、两条边相等，结合已知判定三角形全等（SAS），从而得到所求线段BC与半径OA长度相等.
7． 如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度 h（m)与水平距离 x（m)之间的关系大致为抛物线 则小强本次投掷实心球的成绩为（　　)
A．8m B．9m C．10m D．3m
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当h=0时，得，整理得，解得（不符合题意，舍去），
所以小强本次投掷实心球的成绩为8m.
故答案为：A.
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用——投掷类问题.实心球的“成绩”指的是它落地点到起点的水平距离，即当高度h=0时，水平距离x的解，解得两个x的值，因为距离应是正值，所以取x＞0的解.
8． 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，延长CB 至点 E，延长AD 至点 F，连接AE，CF.若四边形AECF为菱形，则这个菱形的面积为(　　)
A．9 B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设BE＝x.
四边形ABCD是矩形
四边形AECF是菱形
，解得：
故答案为：C .
【分析】由矩形的性质可得是直角三角形，再由菱形的性质可得AE＝CE，则可设BE=x，则AE＝CE＝x+2，再利用勾股定理求出BE的长，则CE可得，再利用菱形的面积公式计算即可.
9． 如图，一次函数 y1=kx+1与反比例函数 的图象交于点 P （2， t)，过点 P作 PA⊥x轴于点 A，连接 OP，下列结论错误的是（　　)
A．△OAP 的面积是 3
B．k=1
C．当 y1≥y2时， x≥2
D．点 B （m，n)在 上，当 m>2时， n>3
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：将点P（2，t）代入得，，
∴点P坐标为（2，3）
A、∵PA⊥x轴于点 A，∴，故A正确，不符合题意；
B、将点P（2，3）代入y1=kx+1得，3=2k+1，解得k=1，故B正确，不符合题意；
C、根据图像可知，当y1≥y2时，x≥2，故C正确，不符合题意；
D、由于反比例函数在x＞0时，y随x的增大而减小，所以当m＞2时，n＜3，故D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用.首先利用交点P在反比例函数图象上，且反比例函数解析式已知，求出点P坐标.由已知三角形OAP是直角三角形，根据点P横纵坐标求出三角形面积；利用待定系数法，将点P代入一次函数即可解出k值；根据图象，y1≥y2是指一次函数图象在反比例函数上方，对应x的范围应是交点P横坐标的右侧，即x≥2；根据反比例函数的增减性结合图象判断当m＞2时，对应的n值小于3.
10． 如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=3， AB=6，点 D是 AB的中点，点 E是以点 B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接 AE，点F为 AE的中点，则 CF长度的最大值是（　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接CD、DE、BE
∵在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，
∴，
∴BE=BD=3
∵点D，F分别是AB、AE的中点
∴
∵CF≤CD+DF
∴
故CF最大值为
故答案为：C.
【分析】本题考查了三角形的相关知识点.解题关键是利用三角形不等式将动点距离转化为定点间距离：根据三角形三边关系得到CF＜CD+DF，当C、D、F三点共线时，取最大值，即CF≤CD+DF.利用直角三角形斜边中线的性质“ 直角三角形斜边中线等于斜边一半”求出CD；利用三角形中位线的性质“中位线平行于第三边且等于第三边的一半”求出DF，即可求解.
11．函数 中自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x＞4
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵x-4≠0，x-4≥0
解得x＞4.
故答案为x＞4.
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式组求出函数自变量的取值范围即可.
12． 已知线段 a，b，d，c成比例，若 a=5cm，c=3cm，d=4cm，则 b=　 　 cm.
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段a，b，d，c成比例
∴
将a=5cm，c=3cm，d=4cm代入，得
∴
解得
故答案为：.
【分析】本题考查比例线段的定义：若四条线段a、b、d、c成比例，则.根据定义，已知其中三条线段长度，即可求出第四条线段长度.代入已知数值求解即可.
13． 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点 A，B均在坐标轴上，已知点 A （0，1)，B （2， 0) ， AB=BC， ∠ABC=90°，连接 OC，则 OC所在直线的表达式是　 　.
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
即点C的坐标是（3，2）
设OC所在直线的表达式为y=kx
将（3，2）代入y=kx，得2=3k
解得
∴OC所在直线的表达式为
故答案为：.
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及待定系数法求正比例函数解析式.根据所给条件作出辅助线，证明，得到对应线段相等，进而得到点C的坐标，利用待定系数法求出正比例函数解析式.
14．如图，点D在圆心角为90°的扇形AOB的半径OA上，矩形OBCD与交于点E，EF⊥OB于点F.若OD=OF=1，则图中阴影部分的面积是　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OE，如图，
∵四边形OBCD为矩形，
∴四边形ODEF和四边形BCEF都为矩形，
∴四边形ODEF为正方形，
∴由AD、DE和弧AE所围成的图形的面积=由BF、FE和弧BE所围成的图形的面积，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：
【分析】连接OE，如图，先证明四边形ODEF和四边形BCEF都为矩形，再证明四边形ODEF为正方形，所以 然后利用图中阴影部分的面积进行计算.
15． 如图，等边△ABC的边长为 6，点 D在边 AB上， BD=2，线段 CD绕 D顺时针旋转 60°得到线段 DE，连接 DE交 AC于点 F，连接 AE，下列结论： ①AF： FC=2：7； ②四边形ADCE面积为； ③直线 CE与 AB的交点为 G，则 AG： GB=1： 5；④过点 F作 FH⊥CD于 H，则 其中正确的是　 　（填写序号).
【答案】①②
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；相似三角形的判定；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形
∴，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴，即
∴
∴
∴
故①正确；
∵，
∴△CDE是等边三角形
∴，
∴
即
∵
∴
∴
如图，过点A作AM⊥BC于点M
∴
∴
∴
故②正确；
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
故③错误；
如图，过点D作DN⊥BC于点N
∵
∴
∴，
∴
∴
∵
∴，即
∴
∵FH⊥CD
∴
故④错误；
故答案为：①②.
【分析】本题综合考查了全等三角形、相似三角形及三角函数等知识点.
①结合等边三角形的性质及已知条件推出，得到对应线段成比例，利用三条已知线段求出AF的长，进而求出CF的长，求出比例即可；
②根据旋转的性质，利用“SAS”判定，故两个三角形面积相等，即可将所求四边形的面积转化为等边三角形ABC的面积，求出；
③根据两组角相等判定，进而得到AG与GB的比等于AE与BC的比，已知AE=2，BC=6，所以AG：GB=1：3；
④结合三角函数与勾股定理求出CD的长，再由求出DF的长，在直角三角形DHF中利用三角函数即可求出FH.
16． 解方程：
【答案】解：x-2=2x-6，
x=4.
经检验，x=4是原方程的解
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】去分母法解分式方程，即先化分式方程为整式方程，再验根，最后根据验根的结果写出根的情况即可.
17． 某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道(从内到外的道次依次为1，2，3，4)，裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次.
（1）将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为　 　；
（2）将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球.请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率.
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
甲 乙
1 2 3 4
1 —— (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) —— (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) —— (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) ——
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种，
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）；
【分析】（1）直接利用简单事件的概率公式计算即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
18．如图，在△ABC中， AB=BC，以 BC为直径作⊙O，分别交 AC， AB于点 D， E，连接 DO并延长，交⊙O于点 F，过点 F作⊙O的切线，交 CB的延长线于点 G.
（1）求证： DF∥AB；
（2）若 求 AC的长.
【答案】（1）（1）证明：，
．
，
，
，
；
（2）解：如图，设的半径为，连接，
切于点，
．
在中，，
解得，
，
，
．
为的直径，
．
在中，，
．
，
．
在中，．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行；
（2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出AC的长．
19．如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度 AB=3cm，烧杯高度 EF=12cm，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分 MN=GH=8cm，且∠MNH=∠GHN=60°，漏斗管位于烧杯的上方部分FG=6cm，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点 P处， 玻璃棒 PQ长度为 30cm.
（结果精确到 0. 1cm)
（1）求漏斗口处点 N到底座 AD的高度；
（2）某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为 53°，求此时玻璃棒顶端 Q点到桌面的距离.
（参考数据：
【答案】（1）解：如图，过点G作GR⊥NH于点R
∵∠GHN=60°，GH=8cm
∴在Rt△GHR中，
又∵FG=6cm，EF=12cm
∴点N到AD的距离=GR+GF+EF=
答：漏斗口处点N到底座AD的高度为24.9cm.
（2）解：如图，过点Q作QS⊥PW于点S，过点G作GT⊥PW于点T
在Rt△QSP中，PQ=30cm，∠QPS=53°，
∴QS=PQsin∠QPS=PQsin∠53°≈30×0.8=24cm。
在Rt△GPT中，，∠GPW=60°
∴MT=GPsin∠GPW=GPsin60°=
∴Q点到桌面的距离=QS+MT+GF+EF+AB=
答：此时玻璃棒顶端Q点到桌面的距离为49.3cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及锐角三角函数以及分段计算高度的方法.（1）构造直角三角形GHR，利用三角函数求出GR，求点N到底座AD之间的竖直线段的线段和；（2）根据题目中玻璃棒的长度、倾斜角度以及漏斗的几何结构，通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数求出各段竖直高度，最后相加得到顶端到桌面的总距离.
20． 如图，点 A在第一象限，点 B在 y轴正半轴上，AB⊥y轴，AB=3，OB=2，反比例函数 的图象经过点 A.
（1）求反比例函数 的解析式；
（2）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法)：求作菱形 AOCD，使得点 C在第二象限，点 B为 OD的中点；
（3）E是反比例函数的图象上一点，△ACE的面积为 12，求点 E坐标.
【答案】（1）解：∵AB⊥y轴，AB=3，OB=2
∴点A的坐标为（3，2），
将点A（3，2）代入得，
∴k=6
故反比例函数的解析式为；
（2）解：如图所示：
（答案不唯一）
（3）解：∵四边形AOCD是菱形
∴
∵点A的坐标为（3，2）
∴点C的坐标为（-3，2）
∴AC=3-（-3）=6
设△ACE中AC边上的高为h，
∵△ACE的面积为12
∴
∴h=4
当点E在AC上方时，，所以，即E（1，6）；
当点E在AC下方时，，所以，即E（-3，-2）；
综上所述，点E的坐标为（1，6）或（-3，-2）.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；菱形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（2）以点B为圆心，OB长为半径画弧，交y轴于点D；分别以点O、D为圆心，OA长为半径画弧，交于点C，连接点A、O、C、D即为所求.
【分析】（1）本题主要考查求反比例函数解析式.根据已知得到点A的坐标，代入求出k即可；
（2）本题主要考查根据菱形的性质尺规作图.由已知AB⊥y轴，所以“以点B为圆心，OB长为半径画弧，交y轴于点D”得到AD=OA；再分别以点O、D为圆心，OA长为半径画弧，交于点C，得到OA=AD=OC=CD，根据菱形的判定“四条边都相等的四边形是菱形”得到AOCD是菱形.
（3）本题综合考查反比例函数图象与坐标系中三角形面积的求法.根据菱形的性质及点A的坐标得到点C的坐标，进而得到AC的长为6；已知△ACE的面积为12，根据三角形面积公式可得到AC边上的高h为4；由于线段AC是水平线段，所以点A的纵坐标加减高h即为点E的纵坐标，将纵坐标代入反比例函数解析式即可得到横坐标，即可求解.
21．如图 1，在正方形 ABCD中， AB=3，点 E， F分别是边 AD， CD上动点，且满足 BF=CE.
（1）求证： BF⊥CE.
（2）点 E，F在运动过程中，DP的最小值为　 　.
（3）如图 2，取 AB的中点 G，连接 GP，过点 P作 PH⊥GP，交 BC于点 H，连接 GH，若 CF=1，求GH的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCF=∠D=∠BCD=90°，在Rt△BCF和Rt△CDE中，
∴Rt△BCF≌Rt△CDE（HL)，
∴∠CBF=∠ECD，
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠CBF+∠BCE=90°，
∴∠BPC=90°，
（2）
（3）解：如图，以点B为原点建立平面直角坐标系，点A坐标为（0，3），点C坐标为（3，0），点D坐标为（3，3）
∵四边形ABCD为正方形，CF=1
∴点F坐标为（3，1）
∵Rt△BCF≌Rt△CDE
∴DE=CF=1
∴点E坐标为（2，3）
设BF所在直线的解析式为，将点F（3，1）代入，得1=3k，解得
∴
设CE所在直线的解析式为，将点E（2，3），点C（3，0）代入，得
，解得
∴
联立，解得
∴点P的坐标为
∵G是AB中点
∴点G的坐标为
∴直线GP的解析式为
∵PH⊥GP
∴直线PH的斜率为
设直线PH的解析式为，将P代入，得，解得
∴
当y=0时，，解得
∴
在Rt△BCH中，.
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；一次函数的实际应用-几何问题；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】（2）如图所示：取BC的中点O，连接DP，OP
由（1）知，∠BPC=90°
∴OP是Rt△BCP斜边BC上的中线
∵四边形ABCD是正方形，AB=3
∴，
因此可以判断点P的运动轨迹是以点O为圆心，长为半径的圆上，连接OD交半圆于点P'，此时DP'长度最小，
∵∠BCD=90°，CD=3，
∴
∴
故DP最小值为.
【分析】（1）本题考查正方形的性质、全等三角形的性质、判定（HL）及垂直的判定.利用正方形的性质得到边相等、角为直角，结合已知BF=CE证明三角形全等（HL），得到角相等，从而推出∠BPC=90°，即可证明；
（2）本题的解题关键是找到何时DP有最小值.根据第（1）问得到的结论，联系“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”确定点P的运动轨迹，结合图像分析，（三角形三边关系），所以点O、P、D在一条直线上时，DP取得最小值，利用勾股定理求出OD即可求解；
（3）本题通过建立平面直角坐标系来求解.①根据正方形的性质建立平面直角坐标系；②待定系数法求直线BF、CE的解析式；③求交点坐标P；④待定系数法求直线GH的解析式，结合PH⊥GP，确定直线PH解析式的斜率；⑤求出点H坐标，利用勾股定理求解.
22．学习完了一元二次方程后，某校数学兴趣小组对关于 x的一元二次方程 开展深入探究.
（1）【初探究】
学校计划用围栏围成一个长方形劳动实践基地，经过测量，基地的长比宽多 1米，设基地的宽为 x米，围成基地的面积为 m平方米，当 m=12时，求此时 x的值；
（2）【再探究】
若实数 a，b满足 且 2a≠b，求 2a+b的值；
（3）【深度思考】
若两个不相等的实数 p，q满足 求证：
【答案】（1）解：依题可列
整理得
∴
解得，（不符合题意，舍去）
∴此时x的值为3；
（2）解：将两边同时除以4，得，
∵，2a≠b
∴a和是方程的两个不相等的实数根，
∴
整理得2a+b=-2；
（3）证明：∵p2+p-m=mq，q2+q-m=mp，
∴（p-q)（p+q+1)=-m（p-q)，
∴（p-q)（p+q+1+m)=0，
∵p≠q，
∴p+q+1+m=0，
∴p+q=-m-1，
.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一元二次方程的其他应用；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）本题主要考查一元二次方程的应用.已知基地的宽为x米，长比宽多1米，则长为x+1，根据长方形面积列出方程，解方程并将负值舍去即可；
（2）本题主要考查一元二次方程根与系数的关系.观察两个方程的结构，可将b的方程与a的方程联系起来，将含b的方程两边同时除以4得到，恰好与a的方程形式相同，因此a和是方程的实数根，利用根与系数的关系求得；
（3）本题主要考查代数恒等变形与整体代入.首先将两式相减，消去m项，利用因式分解得到（p-q)（p+q+1+m)=0，结合p≠q，得到p+q=-m-1；再将两式相加，变形得到，将p+q=-m-1代入化简即可证明.
23．在平面直角坐标系中，抛物线 与 x轴交于点 A，B点 A在点 B的左侧. 顶点为 C.
（1）若顶点 C的横坐标为-1，求 b的值及顶点 C的坐标.
（2）规定：横、纵坐标均为整数的点叫做整点. 若抛物线 的对称轴为 y轴.
①写出抛物线 与 x轴所围成封闭图形 G内部（不包括边界)的所有整点坐标；
②若反比例函数 的图象与抛物线 在第三象限内围成的封闭图形 W内部及边界上的整点的个数总和为 2，求实数 k的取值范围.
（3）若点 C为直线 在第三象限上一点，且直线 与抛物线 在 x轴下方的部分有且只有一个交点，试求出 t的取值范围.
【答案】（1）解：由抛物线 得：a=1，
∴，解得b=2，
∴抛物线解析式为 ，将代入得
，
因此b的值为2，顶点C的坐标为（-1，-5）.
（2）解：①（1，-1)，（1，-2)，（0，-1)，（0，-2)，（0，-3)，（-1，-1)，（-1，-2)；
②由①知，抛物线在第三象限内的整点坐标为（-1，-3），抛物线在第三象限内部的整点坐标为（-1，-1），（-1，-2）
将（-1，-1）代入得，k=1；
将（-1，-2）代入得，k=2
∵图形W内部及边界上的整点的个数总和为2，根据图像
∴；
（3）解：∵点 C为直线 在第三象限上一点，且点C为抛物线顶点
∴当时，，解得，（不符合题意，舍去）
∴
当时，解得，
∵点A在点B的左侧
∴，
当直线经过点A时，将代入得，解得t=-2；
当直线经过点B时，将代入得，解得；
当直线 与抛物线在 x轴下方的部分有且只有一个交点时 ，整理得有两个相等的实数根，
∴解得，
结合图像：
∴t的取值范围：或.
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）①∵抛物线的对称轴为y轴
∴b=0，
∴
当时，，解得；
∵点 A在点 B的左侧
∴，
如图所示：
根据图像可以得出封闭图形G内部（不包括边界）的所有整点坐标（1，-1)，（1，-2)，（0，-1)，（0，-2)，（0，-3)，（-1，-1)，（-1，-2)；
【分析】（1）本题主要考查二次函数的顶点坐标公式：.已知a=1，顶点横坐标为-1，可先列出方程，求出b；再代回公式求顶点坐标，也可代回解析式求纵坐标；
（2）本题主要考查根据对称轴求函数解析式，以及对新定义“整点”的理解.
①按照要求写出一个区域内的“整点”，解题关键是明确封闭图形G是由抛物线与x轴围成的图形，在这个区域里找到符合“整点”定义的点，可结合图像写出点的坐标；
②根据题干的要求封闭图形W内部及边界上一共有2个整点.这个封闭图形是由抛物线与反比例函数在第三象限的图形组成的，结合图像分析，因为包含边界，所以其中一个整点一定是抛物线上的点（-1，-3），另外一个点为（-1，-2），求出反比例函数经过（-1，-2）时的k值；由于只能存在两个整点，所以反比例函数图象不能经过点（-1，-1)，求出此时的k值，即可得到k的范围；
（3）本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的交点个数.首先根据点C的纵坐标，求出抛物线解析式，进而得到点A、B的坐标.结合图像分析：当直线经过点A时，与抛物线的交点在x轴上，求出此时t值；当直线经过点B时，与抛物线在x轴下方有一个交点，求出此时t值；当直线与抛物线相切时，与抛物线在x轴下方有一个交点，结合函数与方程的关系，当判别式等于0时，求出t的值.
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