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河南湘豫名校2026届高三下学期5月预测联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，在上单调递增，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知等边的边长为，且，，则( )
A. B. C. D.
5.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，，则( )
A. B. C. D.
6.将个相同的小球放入个不同盒子里，盒子可空，则不同的放法种数为
A. B. C. D.
7.若函数，则( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆，点，过点的直线交椭圆于，两点，的中点为，定点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机变量的分布列如下：
则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图，在四棱锥中，，，，，，则下列结论正确的是( )
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 直线平面 D. 直线与平面所成的角为
11.已知且，函数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则为增函数
B. 若，则的解集为
C. 若，则的图象关于直线对称
D. ，，恒为常数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的最大值为 ．
13.在长方体中，为的中点，为的中点，，，，则四面体的外接球的半径为 ．
14.已知抛物线上有点，其中又点，，若，分别交抛物线于另一点，，且直线的斜率为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，，为线段上两点，且平分，在的左侧．
若，，求的面积；
若，，求的值．
16.本小题分
如图，在三棱台中，，，，平面平面，且，．
证明：平面；
求平面与平面夹角的正弦值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于，横坐标同号两点，且的面积恒为．
求中点的轨迹的方程；
若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值．
18.本小题分
已知函数．
若时，恒成立，求实数的最大值．
当时，有两个极值点，，且．
(ⅰ)用表示，；
(ⅱ)证明：所有零点之和大于．
19.本小题分
某篮球队安排编号为，，，的名队员进行远程投篮训练，编号为，，，的队员为甲组，编号为，，，的队员为乙组，编号为，，，的队员为丙组，甲、乙、丙组队员投篮命中率分别为，，号队员先投篮，再按以下规则继续进行：若号队员投入，则由号队员继续投；若号队员未投入，则由号队员继续投，各队员命中与否相互独立．
前次投篮结束，求丙组队员一次未投的概率．
若第次由甲组、乙组、丙组队员投篮的概率分别为，，．
(ⅰ)求；
(ⅱ)证明：存在正整数，使得当时，．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为，所以在中，．
又，即，所以．
因为，所以，即，解得．
因为平分，所以，
解得，
所以
所以．
设，
则，
即，
整理得，
又，
故，即，解得．

16.解：因为，所以．
又平面平面，且平面平面，平面，所以平面．
因为平面，平面，所以，．
又，所以．
又，平面，所以平面，平面，所以．
因为在中，，，所以．
因为在中，，，
所以．
又，所以．
又，且，平面，
所以平面．
如图，以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，．
所以，，，．
设平面的法向量为，
则有不妨取，
则平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则有不妨取，
则平面的一个法向量为，
所以，所以．
故平面与平面夹角的正弦值为．

17.解：设，，，均大于，则．
设，则，，
可得，故轨迹的方程为．
设，，将代入，整理得，
，得．
又，
点到直线的距离为，
所以，即，解得负值舍去．
所以
18.解：由题易得，所以当时，所以．
而，所以，可得．
当时，令，得．
所以函数有两个零点，，且．
又函数图象的对称轴，所以当时，，
即在上单调递增，所以存在，使得，矛盾．
以下证的充分性：，
，所以为减函数，，
故的最大值为；
由知．
令，即，
可得的两个极值点，．
(ⅱ)因为，当时，，
又，，分别为的单调递减、单调递增、单调递减区间，
当时，；当时，，
所以在区间，，上分别有一个零点，，．
因为，则．
所以，
易知在上单调递减，且，
所以．

19.解：前次投篮情形为号中，号未中，号中，
其概率为．
由题意知，且，
所以，
所以，且．
所以
依题意，，，
所以，
两边同乘，得．
令，
则．
当时，，
，
其中，
，
所以．
所以当为奇数且时，即，，，时，．
当为偶数且时，，
当为偶数且时，令，可化为．
因为，
所以，
故存在，使得当时，．
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