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河南郑州外国语学校等校2026届高三下学期适应性训练（一）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
4.已知外卖员甲一周天的第一天送货件，之后每天的送货量比前一天多件，若甲第天的送货量是其该周前天的送货总量的，则( )
A. B. C. D.
5.若复数，则的最大值是( )
A. B. C. D.
6.我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”下列有关的结论正确的是( )
A. B. C. D.
7.为研究光照时长小时和种子发芽数量颗之间的关系，某课题研究小组采集了组数据，绘制散点图如图所示，并对，进行线性回归分析若在此图中加上点后，再次对，进行线性回归分析，则下列说法正确的是( )
A. ，不具有线性相关性 B. 决定系数变大
C. 相关系数变小 D. 残差平方和变小
8.已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点若，则该双曲线的离心率是
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为；骑自行车平均用时，样本方差为假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布则( )
A.
B.
C. 若某天只有可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车
D. 若某天只有可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车
10.已知函数，则( )
A. 当的最小正周期为时，
B. 当在上单调时，
C. 当在上恰有两个零点时，
D. 当时，在上的值域为
11.如图长方形，，，点，，，是所在边和上的三等分点，将长方形按照图中虚线进行翻折，使得，重合，，重合，，重合，，重合，得到六面体，其直观图如图所示，则( )
A. 该六面体的体积为
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 二面角的余弦值为
D. 该六面体内能装下的最大的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的展开式中，第项系数与第项系数之比为，则展开式一共有 项．
13.已知函数是偶函数，则函数的值域为 ．
14.中，，延长到点，使，连接若，则的大小为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列中，
已知数列满足，求证：是等比数列；
若是数列的前项和，求满足的所有正整数．
16.本小题分
如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次向左或向右移动一个单位，每次向右移动的概率为．
若
求质点移动次后回到原点的概率
在质点第次向右移动的条件下，求质点移动次后回到原点的概率
若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，若随机变量的期望，求的取值范围．
17.本小题分
如图，是圆柱的母线，四边形是底面内接正方形点，是棱，上的动点不与端点重合，且．
证明：平面；
已知圆柱的体积为，，点到直线的距离是．
求的长度；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知定义在上的函数．
求曲线在点处的切线方程；
设为函数的图象上不同于原点的三个不同的点，其中．
证明：；
定义两点间的距离如下：，
证明：．
19.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距为，且椭圆过点，椭圆的下顶点为．
求椭圆的方程；
过右焦点的直线与椭圆交于，两点点在点的上方，与轴交于点点在点的下方，点为点关于原点的对称点，交轴于点，设，，的面积分别为，，．
若直线的斜率为，求的值；
是否存在直线，使，，，四点共圆？若存在，试判断直线的条数；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：证明：，
，
又
是以为首项，为公比的等比数列．
由得是以为首项，为公比的等比数列
故，
即，
由，得，
，
，
显然当时，单调递减，
又当时，，当时，，
当时，；
综上，满足的所有正整数为．

16.解：质点移动次后回到原点，说明质点向左和向右各次，
由概率为
质点第次向右移动的条件下，质点移动次后回到原点，
则在后面的次移动中，有次向右移动，另次向左边移动，
所以概率为
取，，，，
则，
，
，
，
，
从而得，解得，
故．
17.在正方形中，由，得，
，
则，，因此，
由是圆柱的母线，得平面，
而平面，则，
又，，平面，所以平面 ；
18.解：因为，
所以，，
因此曲线在点处的切线方程为．
证明：构造函数，
因此．
令，则，
因此函数在上单调递增，所以当时，，
因此当时，，即当时，，所以函数在上单调递增．
因为函数的定义域为，、是函数的图象上不同于原点的二个不同的点，
所以由得：，因此由函数在上单调递增得，
即．
证明：由知：，因此．
由知：，因此函数在上单调递增，
所以，
因此，
．
由知：单调递增，
因此由得：，
所以、，因此，
所以．
19.解：椭圆的左、右焦点分别为，，
且过点，，
，，
可得椭圆方程为．
直线的方程为，设，，
联立，消去，得，则，，
又，，
，
假设存在直线，设直线的方程为，
联立，消去，得，，
，，，
如图，延长交轴于点，若，，，四点共圆，
，而，，
，，又，
，
由，，，
，，即，
由点在点的下方得，即，
记，，
，函数在上单调递增，
又，，函数在上只有唯一零点，即存在唯一，
使得成立，
存在直线，条数为条．

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