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2026年甘肃省武威市古浪县第三中学等校高考数学七诊试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知是夹角为的两个单位向量，，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列共有项，其所有奇数项和为，所有偶数项和为，则( )
A. B. C. D.
5.已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
6.已知互不相等的正数，，满足，则下列关系式可能成立的是( )
A. B. C. D.
7.已知数列的前项和，若，使得成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.小明在某超市购物后参加抽奖活动，活动如下：一个盒子中放有红、绿、蓝色的小球各一个，红球上标有数字，蓝球和绿球上标有数字，参与者必须有放回地抽取小球两次，每次可以抽取个、个或个小球，若两次抽到的小球上的数字之和为，则可以获得奖品，假设每种符合要求的小球组合被抽到都是等可能的，则小明获得奖品的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的为( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的图象关于原点对称，则( )
A.
B.
C. 函数存在两个零点
D. 的解集为
11.已知抛物线：的焦点为，准线：，过点的直线与抛物线交于，两点，过作抛物线的切线，点，在上，过点作，垂足为，则( )
A.
B. 若的斜率为，则
C. 线段，互相垂直平分
D. 四边形的面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若双曲线过点且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为 ．
13.某地区为了提升养老保障机制，组织相关的保险公司在该地区推广养老保险的相关产品，现在该地区随机抽取名老人，其购买的养老保险产品的数量的所有可能取值为，，，且，，则 ．
14.如图，在四边形中，，现沿进行翻折，使得点到达的位置，连接，得到三棱锥，记平面与平面所成的角为，平面与平面所成的角为，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求的极值；
若，且，使得，求实数的取值范围．
16.本小题分
某新能源汽车公司为研究电池容量对续航里程的影响，随机选取了辆不同配置的车进行测试，测量每辆车的电池容量单位：和续航里程单位：，得到如下数据：
样本号 总和
电池容量
续航里程
并计算得．
估计这辆车的平均电池容量与平均续航里程；
求电池容量与续航里程的样本相关系数；精确到
现该公司计划推出新款车型，电池容量为，已知续航里程与电池容量近似成正比，利用以上数据给出新款车型续航里程的估计值精确到
附：相关系数．
17.本小题分
的内角，，的对边分别是，，，已知．
求；
若点在边上，为的平分线且长度为，求；
若是边上的一点，且，求的面积的最大值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，且经过点．
求的方程．
已知，是的左、右顶点，是的短轴上的动点与短轴端点和原点均不重合，点满足，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为与不重合．
证明：直线与轴相交于定点；
当的面积最大时，求的值．
19.本小题分
已知四面体如图所示，其中，，两两互相垂直，，，，点满足，点在线段上．
求的面积．
已知直线与平面所成角的正弦值为．
求的值；
过点的动平面分别交射线，，于点，，均与点不重合，球与四面体的每个面都相切，则当球的体积最大时，求球的半径．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.．
13.．
14.．
15.解：依题意，，
令，解得或．
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以的极小值为，极大值为．
依题意，因为，，
令，解得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
故当时，取得极大值，也是最大值，
则，即，整理得，解得，
故实数的取值范围为．
16.解：由题意，平均电池容量，平均续航里程．
由题意，
．
由样本数据及的计算，可知续航里程与电池容量的比值约为，
所以新款车型续航里程的估计值为．
17.解：由题意，，
由正弦定理可得，
整理可得，
由余弦定理可得，
所以，
因为，故；
因为为的平分线，所以，
由，可得，
又因为，所以，
故；
由，可得，
即，
所以，
即，
当且仅当时等号成立，故，
所以，
即面积的最大值为．
18.解：设的半焦距为．
由，得，
又经过点，所以，得，，
故C的方程为．
证明：由题意知．
因为，所以．
直线，与椭圆方程联立得，
则，又，所以，
从而，所以．
直线，与椭圆方程联立，得，
则，又，所以，
从而，所以．
若直线与轴相交于点，
则，得，
因为，得，
直线与轴相交于定点．
由题意知的面积为．
由对称性，不妨取，又，所以，，
，
当时，，
当时，，
故当取最大值时，．
19.解：因为四面体如图所示，其中，，两两互相垂直，
，，，点满足，点在线段上，
所以，
所以，
所以，
所以；
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建系如图：
则，，
则，
，
设，
则．
设为平面即平面的法向量，
则，取，
则直线与平面所成角的正弦值为：
，
解得，舍去，即，
球的体积最大时，球的半径最大．
设球的半径为，，，，，，，．
由可知，所以，
由于，，，四点共面，故．
，四面体的表面积，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以设
设，则，
当时，，
当时，令，即，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以当时取等号，
故当球的体积最大时，球的半径为．
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